TRABAJO: Números estrellas

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1 Premios del Departameto de Matemáticas de la Uiversidad Autóoma de Madrid para Estudiates de Secudaria Sexta Edició, 0/0 TRABAJO: Números estrellas GANADOR EN LA CATEGORÍA DE E.S.O. AUTORES: o Rommel Beltrá Carrero o José Atoio Pastor Rivera TUTOR: o Rafael Ágel Martíez Casado CENTRO: IES Cardeal Ciseros (Alcalá de Heares, Madrid)

2 NÚMEROS ESTRELLAS Autores COMPLUTUM

3 I N D I C E INTRODUCCIÓN - MOTIVACIÓN OBJETIVO DEL TRABAJO 3 METODOLOGÍA EMPLEADA 3 QUÉ SON LOS NÚMEROS FIGURADOS? 4 ANTECEDENTES 5 Números Poligoales 5 Números Poligoales Cetrados 8 NÚMEROS ESTRELLA 0 CONCLUSIONES 5 BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA 6 ANEXOS 7 Nigú descubrimieto se haría ya si os cotetásemos co lo que sabemos Seeca

4 INTRODUCCIÓN MOTIVACIÓN Es posible e pleo siglo XXI descubrir o ivetar uevos úmeros? Itetado respoder afirmativamete a esta preguta surgió este trabajo. Todo empezó cuado uestro profesor de Matemáticas y de Ampliació de Matemáticas os habló de los úmeros figurados (poligoales) cuado iiciamos el tema de las progresioes aritméticas. Tambié os aimó los dos trabajos premiados e este certame otros años sobre úmeros figurados. Los úmeros estrella (o estrellados como tambié los hemos buscado) so uos úmeros completamete descoocidos. Basta co buscar estos térmios e Google para descubrir que o se cooce i se habla ada de ellos. Cuado buscas úmeros estrella aparece (casi siempre) la lotería de los euromilloes y cuado buscas úmeros estrellados lo que ecuetras so los polígoos estrellados. De todas formas algo si hemos ecotrado e u libro de Marti Gader que os dejo uestro coordiador. E dicho libro sólo se habla de los 6 estrella (polígoos estrellados de seis putas), buscado algua propiedad y dejado claro que uca ha sido cosiderados úmeros figurados. Nosotros los hemos geeralizado a cualquier tipo de estrella, hemos obteido su fórmula geeral, diferetes propiedades, bastates relacioes etre ellos y los restates úmeros figurados, icluso hemos ecotrado algua curiosidad. No so grades descubrimietos, i aporta muchas cosas a las matemáticas, pero hemos disfrutado haciédolo, descubriedo cosas uevas y co la satisfacció persoal al haber descubierto u uevo cocepto matemático. Ver bibliografía Lo que hemos ecotrado estaba detro de u capítulo que hablaba de úmeros hexagoales, úmeros hexagoales cetrados y úmeros 6 estrella, titulado Hexas y estrellas.

5 OBJETIVOS DEL TRABAJO De forma geeral podemos decir que los pricipales objetivos que hemos buscado a la hora de realizar este trabajo so: Descubrir uos uevos úmeros figurados, hasta ahora o estudiados. Ecotrar propiedades y relacioes etre estos úmeros. Aalizar posibles relacioes co los úmeros figurados (poligoales) y co los poligoales cetrados. Descubrir posibles aplicacioes de estos úmeros. Coocer u poco más el mudo de las progresioes aritméticas y de los úmeros figurados. METODOLOGÍA EMPLEADA Este trabajo ha sido emietemete práctico, probado (y e su caso demostrado) las distitas propiedades: Primer paso. Defiir los objetivos y la forma de abordarlos e el trabajo. Segudo paso. Buscar bibliografía (muy escasa) y webgrafía sobre el tema, comprobado que los úmeros objeto de uestro trabajo solo está defiidos para k = 6 y apeas estudiados. Tercer paso: Estudiar los úmeros poligoales (muy estudiados desde los griegos) para familiarizarse sobre estos úmeros y el método de trabajo. Cuarto paso: Estudiar los úmeros poligoales cetrados, que va a ser ecesarios para el resto del trabajo, obteiedo propiedades hasta ahora o coocidas. Quito paso: Defiir los úmeros k estrellas y obteer su fórmula de obteció. Sexto paso: Utilizado los dibujos de los úmeros k estrellas, buscar posibles relacioes co otros úmeros. Sétimo paso: Demostrar las posibles relacioes obteidas e el paso aterior. Octavo paso: Utilizado la tabla de Excel, buscar úmeros k estrellas que sea a su vez cuadrados perfectos itetado ecotrar relacioes etre ellos. Noveo paso: Sistematizar toda la iformació obteida y sobre todo los resultados obteidos, sacado todas las coclusioes posibles- Décimo y último paso. Escribir el trabajo, itetado explicar lo mejor posible todo lo obteido y que esté a la alcace de cualquier alumo de bachillerato y de 4º de secudaria. 3

6 QUÉ SON LOS NÚMEROS FIGURADOS? Se llama úmeros figurados a aquellos úmeros que puede represetarse mediate figuras geométricas regulares, co la codició de que los putos que los represeta guarde siempre etre ellos la misma distacia. Cuado dichas figuras so polígoos regulares, se habla de úmeros poligoales. Los úmeros poligoales se remota al comiezo mismo de la matemática. Fuero los pitagóricos los que los descubriero. Tal vez, la mejor forma de compreder los úmeros poligoales es percatarse que e aquella época los úmeros se represetaba mediate piedras (calculi) que se poía sobre ua superficie. Alguos úmeros puede dispoerse formado figuras geométricas, por ejemplo 3 piedras se puede dispoer formado u triágulo, 4 forma u cuadrado, etc. Segú esto, las series de úmeros poligoales sería: Triagulares:, 3, 6, 0, 5,, Cuadrados:, 4, 9, 6, 5, 36, 49, Petagoales:, 5,,, 35, 5, 70, Hexagoales:, 6, 5, 8, 45, El estudio de los úmeros figurados perteece a ua rama de la teoría de úmeros, llamada aálisis diofático, que trata de la determiació de las solucioes eteras de las ecuacioes co ifiitas solucioes. Los grades pioeros de la teoría de úmeros dedicaro u eorme esfuerzo al estudio de las propiedades de los úmeros figurados. E cambio a los úmeros poligoales cetrados o a los úmeros estrella apeas se les ha dedicado tiempo y estudio, posiblemete porque sus posibilidades y propiedades so bastate isigificates e comparació co los úmeros poligoales, o que ya existía herramietas más poderosas para estudiar las progresioes. Icluso los úmeros 6 estrella (los úicos estudiados y defiidos) o se ha cosiderado uca como úmeros figurados. 4

7 ANTECEDENTES (úmeros poligoales y cetrados) NÚMEROS POLIGONALES Tal y como lo defiiero los pitagóricos, los llamados úmeros poligoales, so úmeros que puede represetarse mediate polígoos regulares. A partir de estos polígoos se puede observar (y estudiar) progresioes aritméticas. Números Triagulares Orde () Orde (3) Orde 3 (6) Orde 4 (0) Orde 5 (5) Fijádoos e su represetació podemos observar que los úmeros triagulares, 3, 6, 0, 5, so la suma de los térmios de ua progresió aritmética co primer térmio y diferecia Por tato su fórmula es T + = =. Números Cuadrados Orde () Orde (4) Orde 3 (9) Orde 4 (6) Orde 5 (5) De igual forma que los úmeros triagulares, los úmeros cuadrados, 4, 9, 6, 5, so la suma de los térmios de ua progresió aritmética co primer térmio y diferecia. Por tato su fórmula es C = =. Números Petagoales Orde () Orde (5) Orde 3 () Orde 4 () Orde 5 (35) So, 5,,, 35, so la suma de los térmios de ua progresió aritmética co primer 3 = =. térmio y diferecia 3. Por tato su fórmula es P ( 3 ) 5

8 Números Hexagoales Orde () Orde (6) Orde 3 (5) Orde 4 (8) Orde 5 (45) So, 6, 5, 8, 45, so la suma de los térmios de ua progresió aritmética co primer térmio y diferecia 4. Por tato su fórmula es H = ( 3 ) =. Nomeclatura Los úmeros poligoales los podemos escribir como K Dode: K = N.º de lados del polígoo; = orde del úmero Fórmula La fórmula para obteer los úmeros poligoales es: (( k ) ( k 4 )) ( k ) ( k 4 ) K = = Demostració: Hemos visto que los úmeros poligoales se va formado siguiedo ua progresió aritmética: a = + + Triagulares: ( ) d a = + = T = ai = = = a = + ( ) + 0 Cuadrados: a = + ( ) = C = ai = = = d = a = + ( 3 ) 3 Petagoales: ( ) d a = + 3 = 3 P = ai = = = 3 a = + ( 4 3) 4 Hexagoales: a = + ( ) 4 = 4 3 H = ai = = = = 4 K goales: d a = a = + k = + k k + = k k d = k i = ( ) ( 3) (( k ) ( k 4) ) + k k 3 k k 4 k k 4 K = ai = = = = Las pricipales relacioes coocidas de los úmeros poligoales so 3 : Teorema de Nicómaco (siglo I d.c.): K = ( K ) + T Descomposició triagular de Fermat: K = T + ( K 3) T Descomposició de Hipsicles (siglo II a.c.): K = + ( K ) T Relació 4 : K = + ( )( k ) Relació (fórmula recurrete): K K ( K ) ( ) = Las demostracioes (hechas por osotros) está e el aexo. 4 Estas dos últimas relacioes las hemos obteido e la clase de ampliació de matemáticas. No hemos ecotrado igua bibliografía que hable de ellas. 6

9 NÚMEROS POLIGONALES CENTRADOS Tal y como está formados, los úmeros poligoales crece a partir de u vértice, y o tiee cetro. Si los formamos a partir de u puto (cetro) rodeado después co u polígoo regular se obtiee lo que se deomia úmero poligoal cetrado. Números Triagulares Cetrados Orde () Orde (4) Orde 3 (0) Orde 4 (9) Orde 5 (3) Números Cuadrados Cetrados Orde () Orde (5) Orde 3 (3) Orde 4 (5) Orde 5 (4) Números Petagoales Cetrados Orde () Orde (6) Orde 3 (6) Orde 4 (3) Orde 5 (5) Números Hexagoales Cetrados Orde () Orde (7) Orde 3 (9) Orde 4 (37) Orde 5 (6) 7

10 Defiició Llamaremos úmeros poligoales cetrados a aquellos úmeros figurados que partiedo de u puto (cetro) se obtiee rodeado dicho puto de sucesivos polígoos regulares. Así obteemos: Números triagulares cetrados:, 4, 0, 9, 3, Números cuadrados cetrados:, 5, 3, 5, 4, Números petagoales cetrados:, 6, 6, 3, 5, Números hexagoales cetrados:, 7, 9, 37, 6, Nomeclatura Para el trabajo escribiremos los úmeros poligoales cetrados como CK Dode: C = Cetrado; K = N.º de lados del polígoo; = orde del úmero Fórmula CK K K + = Demostració: Se ha podido observar que los úmeros poligoales cetrales so la suma de progresioes aritméticas más uo (primer elemeto): = + ( ) Triagulares Cetrados: a = 0+ ( ) 3 = 3 3 CT = + a = + = Cuadrados Cetrados: a d i = 3 a = 0 0+ ( 4 4) 4 4+ d a = 0+ 4 = 4 4 CC = + ai = + = = 4 a = 0 0+ ( 5 5) 5 5+ d a = 0+ 5 = 5 5 CP = + ai = + = = 5 a = 0 0+ ( 6 6) 6 6+ a = 0+ 6 = 6 6 CH = + a = + = = Petagoales Cetrados: Hexagoales Cetrados: i d 6 K goales Cetrados: a = k k k k + d k a = 0+ k k = k k CH = + ai = + = = Las pricipales relacioes de los úmeros poligoales so: Relació co los úmeros poligoales 5 : CK = K + ( ) Relació co los úmeros triagulares: CK = k T k + 5 Las demostracioes (hechas por osotros) está e el aexo. 8

11 NÚMEROS ESTRELLAS Co todo lo visto e la parte de teoría podemos defiir los úmeros estrellas como aquellos que se puede formar a partir de u puto (cetro) y que forma ua estrella regular de k putas. Así teemos los siguietes úmeros estrella: 3 estrella Orde () Orde (7) Orde 3 (9) Orde 4 (37) Orde 5 (6) 4 estrella Orde () Orde (9) Orde 3 (5) Orde 4 (49) Orde 5 (8) 5 estrella Orde () Orde () Orde 3 (3) Orde 4 (6) Orde 5 (0) 6 estrella Orde () Orde (3) Orde 3 (37) Orde 4 (73) Orde 5 () 9

12 Nomeclatura Para el trabajo escribiremos los úmeros poligoales cetrados como EK Dode: E = Estrella; K = N.º de putas de la estrella; = orde del úmero Lo primero que hubo que hacer fue obteer la fórmula geeral de estos úmeros, y para ello utilizamos las fórmulas de las progresioes aritméticas. Fórmula EK = k + Demostració: Observado los dibujos de costrucció de los úmeros poligoales estrella, se puede ver que dichos úmeros so la suma de progresioes aritméticas más uo (primer elemeto): a = 0 a = 0 + ( ) 6 = 6 6 d = 6 Estrella 3: 0+ ( 6 6) 6 6+ E3 = + ai = + = = 3 3+ = 3( ) + a = 0 a = 0 + ( ) 8 = 8 8 d = 8 Estrella 4: 0+ ( 8 8) 8 8+ E4 = + ai = + = = 4 4+ = 4( ) + a = 0 a = 0 + ( ) 0 = 0 0 d = 0 Estrella 5: 0+ ( 0 0) 0 0+ E5 = + ai = + = = 5 5+ = 5( ) + a = 0 a = 0 + ( ) = d = Estrella 6: 0+ ( ) + E6 = + ai = + = = 6 6+ = 6( ) + Estrella K: a = 0 a = 0 + ( ) k = k k d = k 0+ k k k k + i EK = + a = + = = k k + = k + Esta fórmula es acorde co el siguiete dibujo, que os puede ayudar a comprederla: EK = k + = k + Co esta fórmula podemos sacar la primera propiedad, muy evidete. 0

13 Propiedad Todo úmero k estrella es impar Demostració: EK = k +. Teemos que: Ahora bie es par ya que es el producto de dos úmeros cosecutivos, y etoces uo de ellos tiee que ser par. k es par ya que es el producto de u úmero par por otro úmero. Por tato Luego EK k ( ) = + es impar (sumamos uo a u úmero par)- Propiedad Ua vez defiidos uestros úmeros estrellas y habiedo obteido su fórmula, pasemos a ver las distitas relacioes. Empezamos observado este dibujo: E él se puede ver que cada estrella está formada por úmeros triagulares (el doble que úmeros de picos de la estrella), pero de u orde meor. A ello hay que sumarle el puto cetral. Por tato se puede supoer que la fórmula que relacioa los úmeros estrella co los triagulares es: EK = k T +. Pero, claro, esto se ha obteido para ua estrella de seis putas, hay que demostrarlo para cualquier úmero de putas. Relació co los úmeros triagulares EK = k T + Demostració: k T + = k + = k( ) + = k k + = EK Propiedad 3 El siguiete paso fue buscar si existía algua relació etre los úmeros estrella y los úmeros poligoales. Al o ecotrar ada co los dibujos probamos varios desarrollos de la fórmula de los úmeros estrella y poligoales hasta ecotrar ua relació utilizado la descomposició de Hipsicles: Relació co los úmeros poligoales EK = K Demostració: ( ) ( ) ( ) k k K = + ( k ) = + = + ( ) = k + EK = + = + = + + EK K 4

14 Propiedad 4 Aprovechado este último resultado y la relació que teíamos etre los úmeros poligoales y los poligoales cetrados, obtuvimos ua fórmula que relacioaba estos tres tipos de úmeros: Relació co los úmeros poligoales y los poligoales cetrados. EK = K + CK + Demostració: Ates hemos obteido la relació etre los úmeros cetrados y los poligoales: CK = K + ( ) CK K = ( ) Aplicado esto a lo obteido e la relació aterior (propiedad ): EK = K + 4+ = K = K + + = = K + + = K + CK K + = K + CK + Es decir lo que queríamos demostrar. Propiedad 5 Volviedo a utilizar la propiedad operado co dicho resultado y aprovechado la propiedad 3, obtuvimos ua ueva relació etre los úmeros estrella y los úmeros poligoales cetrados: Relació co los úmeros poligoales cetrados EK = CK Demostració: propiedad 3 4 EK = K + + = K + + = K + propiedad 3 EK = K + CK K = CK Propiedad 6 E este estado de cosas, os fijamos e este dibujo, e el cual se puede ver si igua duda que e realidad los úmeros estrella so u caso particular de los úmeros poligoales cetrados, ya que toda estrella se puede covertir e u polígoo regular del doble de lados que de picos. Por tato obtuvimos (geeralizado uestro descubrimieto y demostrádolo para todo tipo de úmero estrella): Relació Fudametal co los úmeros poligoales cetrados ( ) EK = C K Demostració: k k + C K = = k k + = EK

15 Propiedad 7 Estos dos últimos resultados os permitiero obteer ua relació etre los úmeros cetrados hasta ahora descoocida: Relació etre los úmeros poligoales cetrados C K = CK Demostració: Teemos: EK C ( K ) Por tato = y EK = CK C K = CK Ua vez acabada esta fase, pasamos a otra que fue estudiar los úmeros estrellas (sus valores) co la ayuda de ua hoja de Excel, dode geeramos los primeros úmeros k estrellas (para distitos k), itetado buscar posible regularidades y buscado úmeros estrella que a la vez fuese cuadrados y obtuvimos uas propiedades iteresates. Propiedad 8 Primera sorpresa, descubrimos que todos los úmeros 4 estrella era úmeros cuadrados: Propiedad de los 4 estrella Todo úmero 4 estrella es u cuadrado perfecto Demostració: EK = k + : Teemos que u úmero estrella es de la forma Por tato, e uestro caso: Luego es u cuadrado perfecto. E4 = 4 + = = Propiedad 9 6 Siguiedo probado co la lista de úmeros estrellas, itetado ecotrar esa regularidad buscada co los úmeros cuadrados observamos que o había igú úmero cuadrado (exceptuado el ) e los 9 estrellas y e los 6 estrellas, lo que os hizo pesar que los úmeros EK (co K ) uca so úmeros estrellas (excepto el ). Estamos covecidos de esta propiedad, hasta que descubrimos que había uos úmeros muy específicos que este tipo de k estrellas que teía u segudo cuadrado perfecto y que cumplía ua regla perfecta: Los úmeros de la forma E ( 8 4) so cuadrados perfectos Demostració 7 : E( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) = = ( 8 + ) 8 4 = = = = 6 Propiedad observada por osotros, pero que o hemos sido capaces de demostrar algebraicamete. 7 Demostració realizada co la ayuda de uestro profesor y coordiador. 3

16 Los úmeros cuadrados asi obteidos so (hasta = 0) 8 4 K estrella Número 8 4 K estrella Número Propiedad 0 Viedo la tabla de los úmeros estrellas 8 se puede observar que la diferecia etre dos úmeros del mismo orde y de putas cosecutivas es el doble de u úmero triagular, por tato se puede obteer otra relació etre uestros úmeros y los úmeros triagulares: Relació co los úmeros triagulares ( ) EK = E K + T Demostració: ( ) + ( ) E( K ) + T ( k )( ) = + + = ( ) = k = EK + + = EK Propiedad Nuestro último trabajo de ivestigació fue ver si había algua pauta para la obteció de úmeros estrella cuadrados y obtuvimos la siguiete tabla de úmeros estrella que a la vez so cuadrados, pero o hemos ecotrado igua relació para obteerlos, excepto la coocida 9 para los 6 estrella que dice que: Para obteer ua 6 estrella cuadrada basta teer ua de ellas (las dos primeras so, ) y multiplicarla por 98, restarle la 6 estrella cuadrada aterior y sumarle al resultado 4. Así la 6 estrella siguiete a es: = 88 TABLA DE K ESTRELLAS CUADRADAS DE ORDEN MENOR DE estrella:, 69, 376, , estrella:, 36, 68, 37446, estrella:,, 88, 644, , estrella:, 68, 8705, 08475, estrella:, 49, 68, 57, , 65986,397704, estrella:. 0 estrella:,, 40, 7556, 34633, 53599, estrella:, 76, 7984, , estrella:, 5, 36, 504, 705, 978, 36348, , , estrella:, 79, 744, , estrella:, 69, 849, 588, 665, , , estrella:, 84, 88, 33640, 38088, , estrella:. 8 Ver aexo 3 9 Aparece e el libro Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas. Ver bibliografía 4

17 CONCLUSIONES Aparte de todo lo que hemos apredido y disfrutado este trabajo, de la eorme ilusió que ha producido e osotros ecotrar algo uevo e las matemáticas, creemos que hemos coseguido los objetivos que os habíamos marcado e el trabajo y ua serie de coclusioes bastate iteresates. Defiir y geeralizar de forma coherete uos uevos úmeros figurados. Los úmeros estrellas. EK = k + Ecotrar ua fórmula para la obteció de dichos úmeros: Todo úmero estrella es impar. Todo úmero 4 estrella es cuadrado perfecto. Distitas relacioes etre los úmeros figurados Relació co los úmeros triagulares: EK = k T + Relació co los úmeros poligoales: EK = K Relació co los úmeros poligoales y los poligoales cetrados: EK = K + CK + Relació co los úmeros poligoales cetrados: EK = CK EK = E K + T Relació co los úmeros triagulares: Hemos comprobado que los úmeros estrella so, e realidad, u caso particular de los úmeros poligoales cetrados. Además hemos obteido ua ueva propiedad, pero que o hemos sido capaces de demostrar: Los úmeros EK (co K ) uca so úmeros cuadrados (excepto el ), exceptuado los úmeros de la forma E ( 8 4) que sí so cuadrados perfectos Y hemos coseguido ua ueva relació etre los úmeros poligoales cetrados hasta ahora C K = CK descoocida: 5

18 BIBLIOGRAFÍA y WEBGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA Libros Marti Garder (988). Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas (Traducció de Luis Bou García e 007).RBA Coleccioables Artículos Castro, E; Rico, L; Romero, I. Sistemas de represetació y apredizaje de estructuras uméricas. Departameto Didáctica de la matemática de la Uiversidad de Graada. 996 Bell, A (Shel, Ceter for Mathematical Educatió. Uiverdidad de Nottigha). Alguas otas acerca de la represetació mediate putos de úmeros, series y fucioes. Eseñaza de la Ciecia Boo, K. Teo, N. J. A. Sloe. Magic umbers i Polygoal ad Polyhedral Cluster. Iorgaic Chemise WEBGRAFÍA: atroes/patroes.htm 6

19 ANEXO DEMOSTRACIONES (NUESTRAS) DE LAS DISTINTAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS POLIGONALES Teorema de Nicómaco: K = ( K ) + T Demostració: ( K ) ( ) ( ) k k 4 + k 3 k T = + = + = ( k 3) ( k 5) ( k 3 + ) ( k 5 + ) ( k ) ( k 4) = + = = = K Descomposició triagular de Fermat: K = T + ( K 3) T Demostració: + ( ) + ( ) T + k 3 T = + k 3 = + ( k 3) = + ( k 3) = + ( k 3) ( k 3) ( k 3 + ) ( k 3 ) ( k ) ( k 4) = + = = = K Relació (uestra): K = + ( )( k ) Demostració: Partiedo de la fórmula de los úmeros poligoales y operado se obtiee que: ( k ) ( k 4) k k + 4 k k + ( k k + ) K = = = + = + = ( ( k ) ( k ) ) ( k )( ) = + = + Descomposició de Hipsicles: K = + ( K ) T Demostració: Sabemos que T = = = Partiedo de la Relació y aplicado este último resultado se obtiee: ( ) k K = + = + k = + k T Relació (uestra) (fórmula recurrete) : K K ( K ) ( ) Demostració: Operado teemos que: ( ) ( )( )( k ) = + + K + k + = + + k + = ( )( )( k ) ( k )( ) ( )( k ) (( ) + ) = = + = ( )( k ) = + = K 7

20 ANEXO DEMOSTRACIONES (NUESTRAS) DE LAS DISTINTAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS POLIGONALES CENTRADOS CK = K + Relació co los úmeros poligoales: Demostració ( ) ( ) ( 4) k k CK K k k = = = + = ( ) CK = K + Relació co los úmeros triagulares: CK = k T k + Demostració + k k k + k T k + = k + = = CK ANEXO 3 TABLA DE NÚMEROS ESTRELLA K ESTRELLA ORDEN