TEOREMA DE PITAGORAS

Transcripción

1 TEOREMA DE PITAGORAS

2 INTRODUCCION El Teorema de Pitágoras lleva este ombre porque su descubrimieto recae sobre la escuela pitagórica. Ateriormete, e Mesopotamia y el Atiguo Egipto se coocía teras de valores que se correspodía co los lados de u triágulo rectágulo, y se utilizaba para resolver problemas referetes a los citados triágulos, tal como se idica e alguas tablillas y papiros, pero o ha perdurado igú documeto que expoga teóricamete su relació. La pirámide de Kefré, datada e el siglo XXVI a. C., fue la primera gra pirámide que se costruyó basádose e el llamado triágulo sagrado egipcio, de proporcioes OBJETIVO Demostrar que el teorema de Pitágoras tambié se cumple co otras figuras, cosiderado que la suma de las áreas de los polígoos regulares semejates costruidos sobre los catetos será igual al área del polígoo regular semejate costruido sobre la hipoteusa. HIPÓTESIS E todo triagulo rectágulo, la suma de las áreas de los polígoos regulares semejates costruidos sobre los catetos, es igual al área del polígoo regular semejate costruido sobre la hipoteusa. PROBLEMÁTICA Seguirá siedo cierto, que el área de la figura regular costruida sobre la hipoteusa es igual a la suma de las áreas de las figuras regulares semejates costruidas sobre los catetos?

3 MARCO TEORICO U teorema es ua afirmació que puede ser demostrada como verdadera detro de u marco lógico. Demostrar teoremas es el asuto cetral e la matemática. U teorema geeralmete posee u úmero de codicioes que debe ser eumeradas o aclaradas de atemao y que se deomia respuesta. Luego existe ua coclusió, ua afirmació matemática, la cual es verdadera bajo las codicioes e las que se trabaja. El coteido iformativo del teorema es la relació que existe etre la hipótesis y la tesis o coclusió. U teorema requiere de u marco lógico; este marco cosistirá e u cojuto de axiomas y u proceso de iferecia, el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que ha sido derivados previamete. E lógica matemática y e lógica proposicioal, cualquier afirmació demostrada se deomia teorema. REMEMBRANZA HISTÓRICA Plató: La relació que expresa el teorema de Pitágoras es especialmete ituitiva si se aplica a u triágulo rectágulo e isósceles. Este problema lo trata Plató e sus famosos diálogos. Plató aborda y resuelve el teorema de Pitágoras para u triágulo rectágulo e isósceles, (catetos iguales). Al ser las áreas costruidas sobre los catetos iguales, el área costruida sobre la hipoteusa es el doble de cada uo de los costruidos sobre los otros lados. Euclides: La relació etre los catetos y la hipoteusa de u triágulo rectágulo, aparece ya e los Elemetos de Euclides. E los triágulos rectágulos el cuadrado del lado que subtiede el águlo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprede el águlo recto. Bhâskara: El cuadrado sobre la hipoteusa se divide e triágulos rectágulos iguales al origial y u cuadrado de lado la diferecia de los catetos. Reordeado las 5 piezas ateriores se obtiee dos cuadrados de lados los catetos del triagulo iicial.

4 DESARROLLO E u triágulo rectágulo, la suma de las áreas del cuadrado costruido sobre la hipoteusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados costruidos sobre los catetos. a + b = c Cada uo de los sumados, represeta el área de u cuadrado de lado, a, b, c. Co lo que la expresió aterior, e térmios de áreas se expresa e la forma siguiete: El área del cuadrado costruido sobre la hipoteusa de u triágulo rectágulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados costruidos sobre los catetos. Cuadrado (polígoo regular de lados) Si añadimos tres triágulos iguales al origial detro del cuadrado formado la figura mostrada e la image, obteemos u cuadrado de meor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultate tiee efectivamete u lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado meor puede expresarse de la siguiete maera:

5 Ya que. Es evidete que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triágulos de altura a y base b que está detro de él más el área del cuadrado meor: Co lo cual queda demostrado geométricamete el teorema. a + b = c EJEMPLO Si a = 3, b = y c = 5, etoces 5 = = 5

6 ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR La fórmula para obteer el perímetro de cualquier polígoo regular es: perímetro apotema k'apotema Cálculo del apotema de cualquier polígoo regular: Todos los polígoos regulares de lados, se puede dividir e triágulos rectágulos isósceles cuyos águlos iguales (α ) mide: 180( ) α = / 180( ) α = 90( ) α = La altura es el apotema del triágulo, y lo divide e dos triágulos rectágulos iguales y de base la mitad el lado (l ) del polígoo. Base del triágulo rectágulo= l Usado la razó trigoométrica taα se obtiee: taα = taα = apotema l apotema l y despejado la apotema: apotema = l taα

7 Por lo que el área de u polígoo regular de lado l es igual a: Perímetro apotema l l( ta α) l (ta α) Por lo que si el lado del polígoo de úmero de lados mide a uidades 90( ) α = la mitad de su águlo iterior α mide, su área mide: y 90( ) a (ta ) Si el lado del polígoo de úmero de lados mide buidades y la mitad de 90( ) α = su águlo iterior α mide, su área mide: 90( ) b (ta ) Si el lado del polígoo de úmero de lados mide c uidades y la mitad de 90( ) α = su águlo iterior α mide, su área mide: 90( ) c (ta )

8 Sumado las áreas de los polígoos semejates de lados respectivamete se obtiee: a y b 90( ) 90( ) 90( ) (ta ) (ta ) ( ) (ta ) + = a b a + b Pero por el teorema de Pitágoras se sabe que sustituir a + b por c se obtiee: a + b = c, por lo que l 90( ) 90( ) ( a + b ) (ta ) c (ta ) = = 90( ) c (ta ) E resume se cofirma la hipótesis que se plateó e u pricipio: E todo triagulo rectágulo, la suma de las áreas de los polígoos regulares semejates costruidos sobre los catetos, es igual al área del polígoo regular semejate costruido sobre la hipoteusa Ejemplo Si, a = 3, b = y c = 5, y los polígoos semejates so de 6 lados, la suma de las áreas de los hexágoos costruidos sobre los catetos es:

9 Área de hexágoo de base a=3: 90(6 ) 6(3) (ta ) Área de hexágoo de base b=: 90(6 ) 6() (ta ) Área de hexágoo de base c=5: 90(6 ) 6(5) (ta ) = =6.95 Por lo que La suma de las áreas de los hexágoos semejates costruidos sobre los catetos de u triágulo rectágulo es igual ál área del hexágoo semejate costruido sobre su hipoteusa. Ésta propiedad tambié se cumple para polígoos irregulares. Semicírculo (polígoo irregular de ifiito úmero de lados) Si e u triagulo rectágulo, se costruye sobre cada uo de sus lados, u semicírculo, etoces la suma de las áreas de los semicírculos costruidos

10 sobre los catetos, es igual al área del semicírculo costruido sobre la hipoteusa. Demostració El radio de cada semicírculo, es respectivamete igual a: ra =, rb= y rc= Así, el área de cada semicírculo es: 1 Aazul = πa 8 1 Averde = πb 8 1 Aroja = πc 8 Sumado las áreas de los círculos azul y verde se obtiee: Pero como ( πa + πb = π a + b ) a + b = c, al sustituir c e la ecuació aterior se obtiee: π a + πb = πc Por lo que se comprueba que: Si e u triagulo rectágulo, se costruye sobre cada uo de sus lados, u polígoo irregular (semicírculo), etoces la suma de las áreas de los semicírculos costruidos sobre los catetos, es igual al área del semicírculo costruido sobre la hipoteusa.

11 RESULTADOS E todo triagulo rectágulo, la suma de las áreas de los polígoos regulares semejates costruidos sobre los catetos, es igual al área del polígoo regular semejate costruido sobre la hipoteusa E todo triagulo rectágulo, la suma de las áreas de los semicírculos semejates costruidos sobre los catetos, es igual al área del semicírculo semejate costruido sobre la hipoteusa CONCLUSIONES Co los desarrollos ateriores, se puede cocluir que se puede hacer ua geeralizació del Teorema de Pitágoras para polígoos regulares. BIBLIOGRAFIA Geometría ua modera itroducció Mervi L. Keely México 1965 Trigoometría de Jua José Rivauld México 1987 Relació de Semejazas Corado Flores García México198