Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

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1 Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1 TEMA 10 CÁLCULO DE PROBABILIDADES 10.1 EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS EXPERIENCIAS DETERMINISTAS Y ALEATORIAS Se llama experiecia determiista a aquella que coocemos el resultado ates de realizar el experimeto: lazamos ua piedra y coocemos las codicioes iiciales de altura, velocidad, etc. Se llama experiecia aleatoria a aquella cuyo resultado depede del azar: lazar u dado, extraer ua carta de ua baraja, sacar bolas de ua ura,... SUCESO ALEATORIO Suceso aleatorio es u acotecimieto que ocurrirá o o depediedo del azar. ESPACIO MUESTRAL Se llama espacio muestral al cojuto de todos los posibles resultados de ua experiecia aleatoria, y se desiga co la letra E. Por ejemplo: E u dado E = {1,2,3,4,5,6} E ua moeda E = {C,+} SUCESOS Se llama suceso a cualquier subcojuto del espacio muestral. Los elemetos de E se llama sucesos idividuales o sucesos elemetales Tambié so sucesos el suceso vacío o suceso imposible,, y el propio E, suceso seguro. Al cojuto de todos los sucesos de ua experiecia aleatoria lo llamaremos S. Si E tiee u úmero fiito,, de elemetos, el úmero de sucesos de E es 2.

2 Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 2 OPERACIONES CON SUCESOS Dados dos sucesos A y B, se llama Uió: A B (se lee A uió B ) es el suceso formado por todos los elemetos de A y de B El suceso A B se verifica cuado ocurre uo de los dos, A o B, o ambos. Itersecció: A B (se lee A itersecció B ) es el suceso formado por todos los elemetos que so, a la vez, de A y de B. El suceso A B se verifica cuado ocurre simultáeamete A y B. Diferecia: A B (se lee A meos B ) es el suceso formado por todos los elemetos de A que o so de B. El suceso A B se verifica cuado lo hace A y o B Complemetario: El suceso A = A c = A = E A se llama suceso cotrario o complemetario de A. El suceso A se verifica siempre cuado o se verifique A. Sucesos icompatibles: Dos sucesos, A y B, se llama icompatibles cuado o tiee igú elemeto comú. Es decir, cuado A B = Los sucesos icompatibles o se puede verificar simultáeamete. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS Distributivas: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) De simplificació: Co el complemetario: A (B A) = A A (B A) = A A = A A B = A B A B A B A B A B

3 Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato FRECUENCIA Y PROBABILIDAD FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA Realizamos N veces ua experiecia aleatoria. Se llama frecuecia absoluta de u suceso S o, simplemete, frecuecia de S, al úmero de veces que ocurre S. Se desiga por f(s). Se llama frecuecia relativa de u suceso S a la proporció de veces que ocurre S. Se desiga por f (S) fr(s): fr(s) = N LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Al realizar reiteradamete ua experiecia aleatoria, la frecuecia relativa de u cierto suceso, fr(s), va tomado distitos valores. Estos valores al pricipio sufre grades oscilacioes pero, poco a poco, se va estabilizado (oscila cada vez meos). Cuado N crece mucho, se aproxima a u cierto valor que es la probabilidad de S, P(S) lim fr(s) P(S) LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS N PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES Axiomáticas: Ispiradas e las propias de la frecuecia relativa Las propiedades de cada suceso es u úmero. Se ha de cumplir los siguietes axiomas: Ax.1 : Cualquiera que sea el suceso S, P(S) 0 Ax.2 : Si dos sucesos so icompatibles, la probabilidad de su uió es igual a la suma de sus probabilidades. A B = P (A B) = ) + P(B) Ax.3 : La probabilidad total es 1: P(E) = 1 E esecia, estas tres propiedades idica que dispoemos de ua catidad total de probabilidad igual a 1 que hemos de repartir aditivamete etre los distitos sucesos. Teoremas: Se deduce de las propiedades axiomáticas T.1 : ) = 1 ) T.2 : P( ) = 0 T.3 : Si A B, etoces P(B) = ) + P(B-A) T.4 : Si A B, etoces ) P(B) T.5 : Si A 1, A 2,..., A k so icompatibles dos a dos, etoces: 1 A 2... A k ) = 1 ) + 2 ) k ) T.6 : B) = ) + P(B) B) T.7 : Si el espacio muestral E es fiito y u suceso es S = {x 1, x 2,..., x k }, etoces: P(S) = P(x 1 ) + P(x 2 ) P(x k )

4 Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato LEY DE LAPLACE La propiedades T.7 permite calcular la probabilidad de u suceso S coociedo las probabilidades de los sucesos elemetales que lo compoe. Pero si el espacio muestral costa de sucesos elemetales equiprobables (todos ellos co la misma probabilidad 1/), etoces la probabilidad de S sólo depede del úmero de sucesos elemetales que lo compoe: P(S ) =... LEY DE LAPLACE Si E = {x 1, x 2,..., x } y P(x 1 ) = P(x 2 ) =... = P(x ), etoces úmero _ de _ elemetos _ de _ S Número _ de _"casos _ favorables"_ a _ S P(s) = úmero _ de _"casos _ posibles" Se dice que u suceso aleatorio es de Laplace cuado la probabilidad de todos sus sucesos elemetales (casos) es la misma. Por ejemplo: u dado correcto, ua moeda, ua baraja,... CASOS EN LOS QUE NO SE PUEDE APLICAR LA LEY DE LAPLACE La ley de Laplace se puede aplicar cuado todos los sucesos elemetales tiee la misma probabilidad. Pero hay muchos casos e que esto o ocurre. Por ejemplo: - Istrumetos irregulares : Dados trucados, ua chicheta... Para evaluar la probabilidad de estos sucesos se recurre a la ley de los grades úmeros. P(S) = fr(s). Cuato mayor sea la N más fiable será la estimació. - Istrumetos regulares, pero sucesos elemetales o equiprobables : Por ejemplo lazamos dos dados correctos y sumamos sus resultados. Para calcular su probabilidad recurrimos a técicas de recueto y modificamos la descripció de la experiecia de modo que los sucesos elemetales sea equiprobables PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES PROBABILIDAD CONDICIONADA Dados dos sucesos, A y B, se llama probabilidad de B codicioada a A, y se desiga por P(B/A) B) a P(B/A) = y mide la proporció de veces que ocurre B de etre las que ocurre A. ) De la expresió aterior se deduce que B) = ).P(B/A) SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos, A y B, se dice que so idepedietes cuado: /B) = ) y P(B/A) = P(B) Cuado dos sucesos so idepedietes la probabilidad de su itersecció es igual al producto de sus probabilidades: A y B idepedietes B) = ).P(B) TABLAS DE CONTINGENCIA Tablas que ayuda al estudio de probabilidades.

5 Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato PRUEBAS COMPUESTAS Se llama pruebas compuestas a aquellas experiecias e las que fácilmete podemos distiguir dos o más etapas. E ellas, el cálculo de probabilidades de sucesos compuestos se simplifica mucho calculado las probabilidades de sus compoetes. Dos pruebas compuestas so idepedietes cuado el resultado de ua o ifluye e la otra. Si o es así, se llama depedietes. EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES Se dice que dos o más pruebas so idepedietes cuado el resultado de cada ua de ellas o ifluye e las probabilidades de los distitos resultados de las otras. Por tato, los sucesos correspodietes a la primera so idepedietes de los sucesos correspodietes a la seguda. Si pruebas so idepedietes y los sucesos S 1, S 2,..., S correspode, respectivamete, a cada ua de ellas se cumple que: P(S 1 e la 1ª y S 2 e la 2ª y... S e la -ésima) = P(S 1 ).P(S 2 )...P(S ) EXPERIENCIAS DEPENDIENTES Dos experiecias so depedietes cuado el resultado de la primera ifluye e las probabilidades de los sucesos de la seguda. Las probabilidades de sucesos compuestos se obtiee así: P(S 1 e la 1ª y S 2 e la 2ª) = P(S 1 e la 1ª).P(S 2 e la 2ª supuesto que ocurrió S 1 e la 1ª) P(S 1 S 2 ) = P(S 1 ).P(S 2 /S 1 ) Si se ecadea más de dos experiecias depedietes, las probabilidades de los sucesos compuestos se obtiee aálogamete: P(S 1 S 2 S 3 ) = P(S 1 ).P(S 2 /S 1 ).P(S 3 /S 1 S 2 ) 10.6 PROBABILIDAD TOTAL Teemos sucesos A 1, A 2,..., A, icompatibles dos a dos y tales que A 1 A 2... A = E. Etoces, para cualquier suceso S se cumple que: P(S) = 1 ).P(S/A 1 ) + 2 ).P(S/A 2 ) ).P(S/A ) A la probabilidad P(S) descompuesta de este modo se la llama probabilidad total. DIAGRAMAS DE ÁRBOL : Esquema para el cálculo de la probabilidad total PROBABILIDADES A POSTERIORI. FÓRMULA DE BAYES i /S) = i ).P(S/ A i ) ).P(S/ A )... ).P(S/ A )