Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1"

Transcripción

1 Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1 TEMA 10 CÁLCULO DE PROBABILIDADES 10.1 EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS EXPERIENCIAS DETERMINISTAS Y ALEATORIAS Se llama experiecia determiista a aquella que coocemos el resultado ates de realizar el experimeto: lazamos ua piedra y coocemos las codicioes iiciales de altura, velocidad, etc. Se llama experiecia aleatoria a aquella cuyo resultado depede del azar: lazar u dado, extraer ua carta de ua baraja, sacar bolas de ua ura,... SUCESO ALEATORIO Suceso aleatorio es u acotecimieto que ocurrirá o o depediedo del azar. ESPACIO MUESTRAL Se llama espacio muestral al cojuto de todos los posibles resultados de ua experiecia aleatoria, y se desiga co la letra E. Por ejemplo: E u dado E = {1,2,3,4,5,6} E ua moeda E = {C,+} SUCESOS Se llama suceso a cualquier subcojuto del espacio muestral. Los elemetos de E se llama sucesos idividuales o sucesos elemetales Tambié so sucesos el suceso vacío o suceso imposible,, y el propio E, suceso seguro. Al cojuto de todos los sucesos de ua experiecia aleatoria lo llamaremos S. Si E tiee u úmero fiito,, de elemetos, el úmero de sucesos de E es 2.

2 Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 2 OPERACIONES CON SUCESOS Dados dos sucesos A y B, se llama Uió: A B (se lee A uió B ) es el suceso formado por todos los elemetos de A y de B El suceso A B se verifica cuado ocurre uo de los dos, A o B, o ambos. Itersecció: A B (se lee A itersecció B ) es el suceso formado por todos los elemetos que so, a la vez, de A y de B. El suceso A B se verifica cuado ocurre simultáeamete A y B. Diferecia: A B (se lee A meos B ) es el suceso formado por todos los elemetos de A que o so de B. El suceso A B se verifica cuado lo hace A y o B Complemetario: El suceso A = A c = A = E A se llama suceso cotrario o complemetario de A. El suceso A se verifica siempre cuado o se verifique A. Sucesos icompatibles: Dos sucesos, A y B, se llama icompatibles cuado o tiee igú elemeto comú. Es decir, cuado A B = Los sucesos icompatibles o se puede verificar simultáeamete. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS Distributivas: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) De simplificació: Co el complemetario: A (B A) = A A (B A) = A A = A A B = A B A B A B A B A B

3 Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato FRECUENCIA Y PROBABILIDAD FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA Realizamos N veces ua experiecia aleatoria. Se llama frecuecia absoluta de u suceso S o, simplemete, frecuecia de S, al úmero de veces que ocurre S. Se desiga por f(s). Se llama frecuecia relativa de u suceso S a la proporció de veces que ocurre S. Se desiga por f (S) fr(s): fr(s) = N LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Al realizar reiteradamete ua experiecia aleatoria, la frecuecia relativa de u cierto suceso, fr(s), va tomado distitos valores. Estos valores al pricipio sufre grades oscilacioes pero, poco a poco, se va estabilizado (oscila cada vez meos). Cuado N crece mucho, se aproxima a u cierto valor que es la probabilidad de S, P(S) lim fr(s) P(S) LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS N PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES Axiomáticas: Ispiradas e las propias de la frecuecia relativa Las propiedades de cada suceso es u úmero. Se ha de cumplir los siguietes axiomas: Ax.1 : Cualquiera que sea el suceso S, P(S) 0 Ax.2 : Si dos sucesos so icompatibles, la probabilidad de su uió es igual a la suma de sus probabilidades. A B = P (A B) = ) + P(B) Ax.3 : La probabilidad total es 1: P(E) = 1 E esecia, estas tres propiedades idica que dispoemos de ua catidad total de probabilidad igual a 1 que hemos de repartir aditivamete etre los distitos sucesos. Teoremas: Se deduce de las propiedades axiomáticas T.1 : ) = 1 ) T.2 : P( ) = 0 T.3 : Si A B, etoces P(B) = ) + P(B-A) T.4 : Si A B, etoces ) P(B) T.5 : Si A 1, A 2,..., A k so icompatibles dos a dos, etoces: 1 A 2... A k ) = 1 ) + 2 ) k ) T.6 : B) = ) + P(B) B) T.7 : Si el espacio muestral E es fiito y u suceso es S = {x 1, x 2,..., x k }, etoces: P(S) = P(x 1 ) + P(x 2 ) P(x k )

4 Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato LEY DE LAPLACE La propiedades T.7 permite calcular la probabilidad de u suceso S coociedo las probabilidades de los sucesos elemetales que lo compoe. Pero si el espacio muestral costa de sucesos elemetales equiprobables (todos ellos co la misma probabilidad 1/), etoces la probabilidad de S sólo depede del úmero de sucesos elemetales que lo compoe: P(S ) =... LEY DE LAPLACE Si E = {x 1, x 2,..., x } y P(x 1 ) = P(x 2 ) =... = P(x ), etoces úmero _ de _ elemetos _ de _ S Número _ de _"casos _ favorables"_ a _ S P(s) = úmero _ de _"casos _ posibles" Se dice que u suceso aleatorio es de Laplace cuado la probabilidad de todos sus sucesos elemetales (casos) es la misma. Por ejemplo: u dado correcto, ua moeda, ua baraja,... CASOS EN LOS QUE NO SE PUEDE APLICAR LA LEY DE LAPLACE La ley de Laplace se puede aplicar cuado todos los sucesos elemetales tiee la misma probabilidad. Pero hay muchos casos e que esto o ocurre. Por ejemplo: - Istrumetos irregulares : Dados trucados, ua chicheta... Para evaluar la probabilidad de estos sucesos se recurre a la ley de los grades úmeros. P(S) = fr(s). Cuato mayor sea la N más fiable será la estimació. - Istrumetos regulares, pero sucesos elemetales o equiprobables : Por ejemplo lazamos dos dados correctos y sumamos sus resultados. Para calcular su probabilidad recurrimos a técicas de recueto y modificamos la descripció de la experiecia de modo que los sucesos elemetales sea equiprobables PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES PROBABILIDAD CONDICIONADA Dados dos sucesos, A y B, se llama probabilidad de B codicioada a A, y se desiga por P(B/A) B) a P(B/A) = y mide la proporció de veces que ocurre B de etre las que ocurre A. ) De la expresió aterior se deduce que B) = ).P(B/A) SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos, A y B, se dice que so idepedietes cuado: /B) = ) y P(B/A) = P(B) Cuado dos sucesos so idepedietes la probabilidad de su itersecció es igual al producto de sus probabilidades: A y B idepedietes B) = ).P(B) TABLAS DE CONTINGENCIA Tablas que ayuda al estudio de probabilidades.

5 Tema 10 Cálculo de probabilidades Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato PRUEBAS COMPUESTAS Se llama pruebas compuestas a aquellas experiecias e las que fácilmete podemos distiguir dos o más etapas. E ellas, el cálculo de probabilidades de sucesos compuestos se simplifica mucho calculado las probabilidades de sus compoetes. Dos pruebas compuestas so idepedietes cuado el resultado de ua o ifluye e la otra. Si o es así, se llama depedietes. EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES Se dice que dos o más pruebas so idepedietes cuado el resultado de cada ua de ellas o ifluye e las probabilidades de los distitos resultados de las otras. Por tato, los sucesos correspodietes a la primera so idepedietes de los sucesos correspodietes a la seguda. Si pruebas so idepedietes y los sucesos S 1, S 2,..., S correspode, respectivamete, a cada ua de ellas se cumple que: P(S 1 e la 1ª y S 2 e la 2ª y... S e la -ésima) = P(S 1 ).P(S 2 )...P(S ) EXPERIENCIAS DEPENDIENTES Dos experiecias so depedietes cuado el resultado de la primera ifluye e las probabilidades de los sucesos de la seguda. Las probabilidades de sucesos compuestos se obtiee así: P(S 1 e la 1ª y S 2 e la 2ª) = P(S 1 e la 1ª).P(S 2 e la 2ª supuesto que ocurrió S 1 e la 1ª) P(S 1 S 2 ) = P(S 1 ).P(S 2 /S 1 ) Si se ecadea más de dos experiecias depedietes, las probabilidades de los sucesos compuestos se obtiee aálogamete: P(S 1 S 2 S 3 ) = P(S 1 ).P(S 2 /S 1 ).P(S 3 /S 1 S 2 ) 10.6 PROBABILIDAD TOTAL Teemos sucesos A 1, A 2,..., A, icompatibles dos a dos y tales que A 1 A 2... A = E. Etoces, para cualquier suceso S se cumple que: P(S) = 1 ).P(S/A 1 ) + 2 ).P(S/A 2 ) ).P(S/A ) A la probabilidad P(S) descompuesta de este modo se la llama probabilidad total. DIAGRAMAS DE ÁRBOL : Esquema para el cálculo de la probabilidad total PROBABILIDADES A POSTERIORI. FÓRMULA DE BAYES i /S) = i ).P(S/ A i ) ).P(S/ A )... ).P(S/ A )

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD INTRODUIÓN L PROBBILIDD EXPERIMENTOS LETORIOS Y DETERMINISTS Los experimetos o feómeos cuyo resultado o puede coocerse hasta haber realizado la experiecia se llama aleatorios o estocásticos. uado el resultado

Más detalles

CÁLCULO DE PROBABILIDADES EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS EXPERIENCIAS DETERMINISTAS Y ALEATORIAS

CÁLCULO DE PROBABILIDADES EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS EXPERIENCIAS DETERMINISTAS Y ALEATORIAS CÁLCULO DE PROBABILIDADES EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS EXPERIENCIAS DETERMINISTAS Y ALEATORIAS Se llama experiencia determinista a aquella que conocemos el resultado antes de realizar el experimento:

Más detalles

CÁLCULO DE PROBABILIDADES :

CÁLCULO DE PROBABILIDADES : CÁLCULO DE PROBBILIDDES : Experimeto aleatorio. Espacio muestral. Sucesos. Álgebra de sucesos. Frecuecias. Propiedades. Probabilidad. Resume de Combiatoria. Probabilidad codicioada. Teoremas. PROBBILIDD

Más detalles

Probabilidad. Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna. 1. Introducción 1

Probabilidad. Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna. 1. Introducción 1 Probabilidad BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhabreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimeez@ull.es) M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ (imarrero@ull.es) ALEJANDRO SANABRIA

Más detalles

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro)

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) (PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS Defiició: U feómeo o experiecia se dice aleatorio cuado al repetirlo e codicioes aálogas o se puede predecir el

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA.

INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA. Població: El cojuto de todos los elemetos o idividuos que posee ua determiada característica o cualidad de iterés. Existe situacioes e las que o es posible aalizar

Más detalles

Números complejos Susana Puddu

Números complejos Susana Puddu Números complejos Susaa Puddu 1. El plao complejo. E el cojuto C = IR IR defiimos la suma y el producto de dos elemetos de C de la siguiete maera a, b + c, d = a + c, b + d a, b.c, d = ac bd, ad + bc Dejamos

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

Intervalo de confianza para µ

Intervalo de confianza para µ Itervalo de cofiaza para p y ˆp1 ˆp ˆp1 ˆp ˆp z 1 α/ ; ˆp + z 1 α/, 7.6 ˆp + z 1 α/ ± z 1 α/ 1 + z 1 α/ ˆp1 ˆp + z 1 α/ 4 7.7 siedo ˆp = x/ y z 1 α/ el cuatil 1 α/ de la distribució ormal estádar. El itervalo

Más detalles

Figura 8.1: Ejemplos de conjuntos de índices.

Figura 8.1: Ejemplos de conjuntos de índices. Capítulo 8 Cojuto de ídices Defiició 8.1 (Cojuto de ídices) Sea I u cojuto, tal que para cada i I se tiee u cojuto A i U. El cojuto I se deomia cojuto de ídices y cada i I es u ídice. (a) Los ídices so

Más detalles

Ejemplos: Resultado obtenido en la tirada de un dado. Resultado obtenido en el lanzamiento de una moneda.

Ejemplos: Resultado obtenido en la tirada de un dado. Resultado obtenido en el lanzamiento de una moneda. IS adre oveda (Guadix Matemáticas plicadas a las SS II UNIDD 9: OILIDD. La probabilidad se ocupa del estudio de los feómeos aleatorios, es decir, feómeos cuya ocurrecia está sujeta al azar. cocreto, la

Más detalles

Tema 12: IDEA DE PROBABILIDAD

Tema 12: IDEA DE PROBABILIDAD Tema 12: IDEA DE PROBABILIDAD 1.- Experimetos aleatorios U experimeto se llama aleatorio cuado se cooce todos los posibles resultados del mismo, pero o puede predecirse cuál de ellos se producirá e ua

Más detalles

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.-

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, se obtiee sumado al aterior ua costate d, que se deomia diferecia de la progresió.

Más detalles

Trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor.

Trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor. 1 Estadística Descriptiva Tema 8.- Estadística. Tablas y Gráficos. Combiatoria Trata de describir y aalizar alguos caracteres de los idividuos de u grupo dado, si extraer coclusioes para u grupo mayor.

Más detalles

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.

CAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió

Más detalles

Probabilidad. Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Teoría de probabilidades

Probabilidad. Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Teoría de probabilidades Experimentos deterministas Probabilidad Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas,

Más detalles

TEMA 16. ESTEQUIOMETRIA DE UNA FORMULA QUIMICA

TEMA 16. ESTEQUIOMETRIA DE UNA FORMULA QUIMICA 1 TEMA 16. ESTEQUIOMETRIA DE UNA FORMULA QUIMICA Mario Melo Araya Ex Profesor Uiversidad de Chile melomarioqca@gmail.com Estructuralmete las substacias químicas está costituidas por etidades elemetales

Más detalles

Para obtener el número total de los resultados, es necesario desarrollar algunas técnicas de conteo, las cuales son: Permutaciones. Combinaciones.

Para obtener el número total de los resultados, es necesario desarrollar algunas técnicas de conteo, las cuales son: Permutaciones. Combinaciones. TÉNIAS DE ONTEO. ara obteer el úmero total de los resultados, es ecesario desarrollar alguas técicas de coteo, las cuales so:. ricipio fudametal de coteo. Diagramas de árbol.. Aálisis combiatorio. ermutacioes.

Más detalles

TEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones*

TEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones* CURSO -6 TEMA 9 Cálculo de límites de sucesioes* Propiedades aritméticas de los límites de sucesioes. b tales que : a = a b = b, dode ab, R Sea las sucesioes { } a y { } Etoces podemos obteer su suma,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2005 (Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 3) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( putos) Dibuje el recito defiido por las siguietes iecuacioes: + y 6; 0 y; / + y/3 ; 0; ( puto) Calcule

Más detalles

ESTADÍSTICA. Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean

ESTADÍSTICA. Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean ESTADÍSTICA Estadística: Es ua rama de la matemática que comprede Métodos y Técicas que se emplea e la recolecció, ordeamieto, resume, aálisis, iterpretació y comuicació de cojutos de datos. Població:

Más detalles

Sobrantes de 2004 (Septiembre Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

Sobrantes de 2004 (Septiembre Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua pastelería elabora dos tipos de trufas, dulces y amargas Cada trufa dulce lleva 20 g de cacao, 20 g de ata y 30 g de azúcar y se vede a 1 euro la uidad Cada trufa amarga

Más detalles

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. PROBABILIDAD Definición de probabilidad La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A x 1 0 1

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A x 1 0 1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A x 1 0 1 Sea las matrices A = y B =. 1 x+1 (1 puto) Ecuetre el valor o valores de x de forma

Más detalles

CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES

CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES (Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CAPÍTULO V. UCEIONE Y ERIE DEFINICIÓN. Ua sucesió ifiita, o simplemete sucesió, es ua fució cuyo domiio está costituido por el cojuto de los úmeros aturales

Más detalles

ÁLGEBRA ELEMENTAL. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas).

ÁLGEBRA ELEMENTAL. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas). ÁLGEBRA ELEMENTAL 1.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS (GENERALIDADES) 1.1.- Alguas defiicioes Ua epresió algebraica es ua epresió matemática que cotiee úmeros, letras que represeta úmeros cualesquiera sigos matemáticos

Más detalles

8. INTERVALOS DE CONFIANZA

8. INTERVALOS DE CONFIANZA 8. INTERVALOS DE CONFIANZA Al estimar el valor de u parámetro de la distribució teórica, o se provee iformació sobre la icertidumbre e el resultado. Esa icertidumbre es producida por la dispersió de la

Más detalles

Sobrantes de 2004 (Junio Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

Sobrantes de 2004 (Junio Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2004 (Juio Modelo 5) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A x+y 6 3x-2y 13 Sea el sistema de iecuacioes. x+3y -3 x 0 (2 putos) Dibuje el recito cuyos

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A =

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A = IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y -1 3 0 - z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos)

Más detalles

4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES

4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES 4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES Dr. http://math.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ 41 4.1 Espacio Muestral y Evetos 4.1.1 1 Experimetos Aleatorios y Espacios

Más detalles

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Sucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,

Más detalles

TEMA 6. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA

TEMA 6. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA TEMA 6. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ETADÍTICA 6.. Itroducció 6.. Coceptos básicos 6.3. Muestreo aleatorio simple 6.4. Distribucioes asociadas al muestreo 6.4.. Distribució Chi-Cuadrado 6.4.. Distribució

Más detalles

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. PROBABILIDAD La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. Experimentos deterministas

Más detalles

ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL

ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL ESTADISTICA UIDIMESIOAL La estadística estudia propiedades de ua població si recurrir al sufragio uiversal. El estudio estadístico tiee dos posibilidades (1) Describir lo que ocurre e la muestra mediate

Más detalles

Combinatoria y definiciones básicas de probabilidad

Combinatoria y definiciones básicas de probabilidad Combiatoria y defiicioes básicas de probabilidad Defiicioes de probabilidad Probabilidad como ituició Probabilidad como la razó de resultados favorables Probabilidad como medida de la frecuecia de ocurrecia

Más detalles

Teorema del límite central

Teorema del límite central Teorema del límite cetral Carles Rovira Escofet P03/75057/01008 FUOC P03/75057/01008 Teorema del límite cetral Ídice Sesió 1 La distribució de la media muestral... 5 1. Distribució de la media muestral

Más detalles

TEMA IV. 1. Series Numéricas

TEMA IV. 1. Series Numéricas TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios

Más detalles

PROCESO DE POISSON Rosario Romera Febrero 2009

PROCESO DE POISSON Rosario Romera Febrero 2009 1 PROCESO DE POISSON Rosario Romera Febrero 2009 1. Proceso de Coteo U proceso estocástico fn t g t0 es u proceso de coteo si N t represeta el total de sucesos ocurridos asta el tiempo t. Sea u espacio

Más detalles

Aptitud Matemática 5 RPTA.: E SUCESIONES RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN 5 4 7 6 9 8 11 ; ; ; ; ; ; 4 5 6 7 8 9 10

Aptitud Matemática 5 RPTA.: E SUCESIONES RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN 5 4 7 6 9 8 11 ; ; ; ; ; ; 4 5 6 7 8 9 10 SUCESIONES I. Determiar el térmio que cotiúa e cada ua de las siguietes sucesioes: 1. ; 5; 11; 0; 4. - ; 5; - 9 ; 19; A) 8 B) - 7 C) 7 D) - 8 E) 14 A) 8 B) 0 C) D) 1 E) 5. 5 4 7 6 9 8 ; ; ; ; ; ;... 4

Más detalles

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: Axiomas de la probabilidad 1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p(a) 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(e) = 1 3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: p(a B)

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles

TEMA 4: POLINOMIOS EN UNA INDETERMINADA.

TEMA 4: POLINOMIOS EN UNA INDETERMINADA. I.E.S. Salvador Serrao de Alcaudete Deartameto de Matemáticas º ESO 0 / TEMA : POLINOMIOS EN UNA INDETERMINADA.. Eresioes Algebraicas. Las EXPRESIONES ALGEBRAICAS se usa ara traducir al leguaje matemático,

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -5 0

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -5 0 IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo 1 ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 014 MODELO 1 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -5 0-1 -8-1 Sea las matrices B =

Más detalles

14. Técnicas de simulación mediante el método de Montecarlo

14. Técnicas de simulación mediante el método de Montecarlo 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo 4. Técicas de simulació mediate el método de Motecarlo Qué es la simulació? Proceso de simulació Simulació de evetos discretos Números aleatorios

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p.

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p. Divisibilidad Matemática discreta Dados dos úmeros aturales a y b, escribiremos a b y leeremos a divide a b si existe u c N tal que ac = b. E este caso, decimos que a es u divisor de b o que b es divisible

Más detalles

COMBINATORIA Y PROBABILIDAD

COMBINATORIA Y PROBABILIDAD COMBINATORIA Y PROBABILIDAD Esp. HENRY CARRASCAL C. Lic. Matemáticas y Física Esp. Informática Educativa Esp. Práctica Docente Universitaria Magíster en Práctica Pedagógica INSTITUCIÓN EDUCATIVA RAFAEL

Más detalles

4 Contrastes del Chi 2 de bondad del ajuste

4 Contrastes del Chi 2 de bondad del ajuste 4 Cotrastes del Chi de bodad del ajuste U cotraste de bodad del ajuste es de la forma o H 0 : P = P 0 frete a H 1 : P P 0 H 0 : P {P θ } θ Θ frete a H 1 : P / {P θ } θ Θ 4.1 Cotraste del χ para modelos

Más detalles

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: Axiomas de la probabilidad 1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p(a) 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(e) = 1 3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: p(a B)

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2004 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A 0 2-4 (A I 2 ) B = A A A = -

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2004 (Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A 0 2-4 (A I 2 ) B = A A A = - IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 004 (Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A - 0 0 - - - Sea las matrices A=, B= y C= - 0 0 - ( puto) Calcule (A I ) B, siedo I la matriz idetidad

Más detalles

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS. VALOR NUMÉRICO Y RAÍCES DE UN OLINOMIO Sea u poliomio y a u úmero real cualquiera. Se deomia valor umérico de e = a y se deota por a, al úmero que resulta al sustituir e la

Más detalles

Calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.

Calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 1 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua impreta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico ecesita u cartucho de

Más detalles

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL. E estadística, la distribució biomial es ua distribució de probabilidad discreta que mide el úmero de éxitos e ua secuecia de esayos

Más detalles

(finitas o infinitas)

(finitas o infinitas) Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5.

Más detalles

ALGEBRA ELEMENTAL AUTOR: CARLOS DOMÍNGUEZ V... 16 INDICE... 1 UNIDAD III.- EXPONENTES Y RADICALES. RAZONES, PROPORCIONES Y VARIACIONES.

ALGEBRA ELEMENTAL AUTOR: CARLOS DOMÍNGUEZ V... 16 INDICE... 1 UNIDAD III.- EXPONENTES Y RADICALES. RAZONES, PROPORCIONES Y VARIACIONES. ALGEBRA ELEMENTAL INDICE AUTOR: CARLOS DOMÍNGUEZ V... 16 INDICE... 1 UNIDAD III.- EXPONENTES Y RADICALES. RAZONES, PROPORCIONES Y VARIACIONES. Ley asociativa... Ley distriutiva... 1.- EXPONENTES Y RADICALES...

Más detalles

TEMA 7: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

TEMA 7: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD 7.. Itroducció... 7.2 Espacio Muestral... 2 7.3 ocepto de σ-álgebra.... 5 7.4. Defiició clásica de probabilidad.... 6 7.5. Defiició frecuetista de probabilidad.... 6 7.6. Defiició axiomática de probabilidad...

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 2015 MODELO 3 OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 8-4 1 2 Sea las matrices A = -1 2, B = 1 2 2-1 -1 2, C = 12 8. -8 4 (0 5 putos) Calcule A 2. (1 7 putos) Resuelva

Más detalles

Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD. X- μ. f(x) = e para - < x < Z 2. . e para - < z <

Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD. X- μ. f(x) = e para - < x < Z 2. . e para - < z < Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD La distribució ormal: La distribució ormal, campaa de Gauss o, curva ormal, tambié defiida por De Moivre. Características y propiedades: La siguiete fórmula

Más detalles

Señales en Tiempo Discreto

Señales en Tiempo Discreto Señales e Tiempo Discreto Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció.. Señales e tiempo discreto.3. Clasificació de las señales

Más detalles

1. Sucesiones y series numéricas

1. Sucesiones y series numéricas ITINFORMÁTICA CÁLCULO INFINITESIMAL BOLETÍN CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS CURSO 005-06 Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3,

Más detalles

Tema 6 Probabilidad. 0.-Introducción La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y

Tema 6 Probabilidad. 0.-Introducción La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y Tema 6 Probabilidad 0.-Introducción La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Más detalles

1 Valores individuales del conjunto

1 Valores individuales del conjunto 5/03/00 METROLOGÍA ESTADÍSTICA ANÁLISIS DE DATOS Cuado se obtiee uo o más grupos de datos, producto de repeticioes i e ua medida, la mejor forma de represetarlas, es mediate las Medidas de tedecia cetral

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:

Más detalles

Técnicas experimentales de Física General 1/11

Técnicas experimentales de Física General 1/11 La distribució de Itroducció. Ejemplo. Defiició geeral de. Grados de libertad. reducido. La distribució de. Probabilidades de. Ejemplos: 1. Distribució de Poisso.. Bodad de u ajuste. Técicas eperimetales

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 6 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Sea las matrices A= y B = (1 1). -5-4 Eplique qué dimesió debe teer la matriz X para

Más detalles

Notas Docentes. Estadística para Economistas. Carlos Casacuberta. Nota Docente No. 08

Notas Docentes. Estadística para Economistas. Carlos Casacuberta. Nota Docente No. 08 Notas Docetes Estadística para Ecoomistas Carlos Casacuberta Nota Docete No. 08 Diploma e Ecoomía 004 Departameto de Ecoomía Facultad de Ciecias Sociales Estadística Notas de clase. Itroducció La estadística

Más detalles

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir: Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.

Más detalles

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES Espacios Vectoiales Heamietas ifomáticas paa el igeieo e el estudio del algeba lieal. ESPACIOS VECTORIALES.. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL... Defiició..2. Ejemplos de espacios vectoiales..3. Popiedades

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 005 (Modelo 4) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 3 (1 puto) Sea las matrices A= 0 1 y B = 1-1 - 0 1 1 De las siguietes operacioes, alguas o se puede

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 0 2

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 0 2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 0 - Sea las matrices A, B - 1 0 5 (1 5 putos) Calcule B.B t - A.A t (1 5 putos) Halle la matriz

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 3, Parte II, Opció A Juio, Ejercicio 3, Parte II, Opció B Reserva

Más detalles

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En

LOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

T ema 8 ESTIMACIÓN. Conceptos previos. Población y muestra:

T ema 8 ESTIMACIÓN. Conceptos previos. Población y muestra: T ema 8 ESTIMACIÓN Coceptos previos Població y muestra: Població se refiere al cojuto total de elemetos que se quiere estudiar ua o más características. Debe estar bie defiida. Llamaremos N al úmero total

Más detalles

CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATEMÁTICA I - 0 - Capítulo 6 ------------------------------------------------------------------------------------ CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Las matrices iversas se puede usar

Más detalles

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS.

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. La toma de datos es ua de las partes de mayor importacia e el desarrollo de ua ivestigació. Así los datos obteidos mediate u primer proceso recibe el ombre de datos si tratar

Más detalles

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I. COMBINATORIA Variacioes ordiarias de elemetos tomados de k e k:! V, k = ; k< k! Variacioes co repetició: VR,k = k Permutacioes de elemetos: P =! Permutacioes de elemetos,

Más detalles

Ejercicios resueltos de probabilidad

Ejercicios resueltos de probabilidad Ejercicios resueltos de probabilidad. El 70% de empresas tiee errores e sus activos fiacieros, el 60% tiee errores e sus pasivos fiacieros y el 40% tiee errores e sus activos y e sus pasivos fiacieros.

Más detalles

Diferencial Total. se define. en el punto x

Diferencial Total. se define. en el punto x Dierecial Total El propio ombre derivada parcial os debiera idicar que e cotraposició al caliicativo parcial eiste otro que lo complemeta Tal ombre el correspodiete cocepto eiste se le llama dierecial

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)

Más detalles

LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS

LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS 11 LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS Págia 266 1. Ua gaadería tiee 3 000 vacas. Se quiere extraer ua muestra de 120. Explica cómo se obtiee la muestra: a) Mediate muestreo aleatorio simple. b) Mediate muestreo

Más detalles

LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS

LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS 11 LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS Págia 266 1. Ua gaadería tiee 3 000 vacas. Se quiere extraer ua muestra de 120. Explica cómo se obtiee la muestra: a) Mediate muestreo aleatorio simple. b) Mediate muestreo

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.

Más detalles

Propiedades de las series numéricas (18.03.2015)

Propiedades de las series numéricas (18.03.2015) Propiedades de las series uméricas 8.03.205) ) Si itercalamos e la sucesió {a } N u úmero fiito de térmios de suma b, el carácter de la serie a o varía y, si coverge, su suma aumeta e b. D: Sea b +b 2

Más detalles

FORMULAS Y EJEMPLOS PARA EL CÁLCULO DE INTERESES DE UN DEPÓSITO A PLAZO FIJO CONVENCIONAL

FORMULAS Y EJEMPLOS PARA EL CÁLCULO DE INTERESES DE UN DEPÓSITO A PLAZO FIJO CONVENCIONAL FORMULAS Y EJEMLOS ARA EL CÁLCULO DE NERESES DE UN DEÓSO A LAZO FJO CONVENCONAL 1. GLOSARO DE ÉRMNOS a. Depósito a plazo fijo: roducto e el que el cliete podrá depositar ua catidad de diero a ua tiempo

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 5 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2001 (Modelo 5 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 00 (Modelo 5 Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A (3 putos) Para fabricar tipos de cable, A y B, que se vederá a 50 y 00 pts el metro, respectivamete,

Más detalles

:: OBJETIVOS [3.1] :: PREINFORME [3.2]

:: OBJETIVOS [3.1] :: PREINFORME [3.2] :: OBJETIVOS [3.] Verificar que la resistecia equivalete a ua asociació de resistecias e serie se obtiee sumado aritméticamete las resistecias coectadas Verificar que la resistecia equivalete a ua asociació

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 4) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 0-1 2 1 ( putos) Resuelva la siguiete ecuació matricial: A X - 2 B C, siedo A 1 0 1, B -2, C. 1

Más detalles

Sea cualquier número real. Designamos con la letra el mayor entero que no supere a. Si no es entero, se tiene = + ; 1 +

Sea cualquier número real. Designamos con la letra el mayor entero que no supere a. Si no es entero, se tiene = + ; 1 + 4. 4.. Fraccioes cotiuas: prelimiares. Demostrar el Algoritmo de Euclides. Sea cualquier úmero real. Desigamos co la letra el mayor etero que o supere a. Si o es etero, se tiee + ; >. Exactamete igual,

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

ESTIMACIÓN. TEMA 5: Estimación puntual I. Propiedades de los estimadores. TEMA 6: Estimación puntual II. Métodos de estimación puntual

ESTIMACIÓN. TEMA 5: Estimación puntual I. Propiedades de los estimadores. TEMA 6: Estimación puntual II. Métodos de estimación puntual ESTIMACIÓN TEMA 5: Estimació putual I. Propiedades de los estimadores TEMA 6: Estimació putual II. Métodos de estimació putual TEMA 7: Estimació por itervalos CONTRASTES DE HIPÓTESIS TEMA 8: Cotrastes

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las

Más detalles

Solución: Se observa que en su perímetro e interior, el primer cuadrilátero tiene cinco puntos y además 5 = 1+

Solución: Se observa que en su perímetro e interior, el primer cuadrilátero tiene cinco puntos y además 5 = 1+ Problema. E el diagrama se preseta los tres primeros cuadriláteros de ua secuecia que iicia e u puto e el cetro del tablero crece desde ese puto hacia fuera, cuál es el úmero de putos que está e el perímetro

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida CADENAS DE MARKOV Itroducció U proceso o sucesió de evetos que se desarrolla e el tiempo e el cual el resultado e cualquier etapa cotiee algú elemeto que depede del azar se deomia proceso aleatorio o proceso

Más detalles

Prueba A = , = [ 7.853, 8.147]

Prueba A = , = [ 7.853, 8.147] PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 5-6 - CONVOCATORIA: Septiembre MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee

Más detalles