P( A i B j ) = n ij n

Transcripción

1 1. PROBABILIDAD MARGINAL. Sea u espacio muestral Ω formado por putos co probabilidades iguales, 1. Sea A 1, A 2,..., A r ua partició de Ω formada por r subcojutos mutuamete excluyetes (disjutos). Sea B 1, B 2,..., B s otra partició de Ω e s subcojutos disjutos. Etoces, los putos del espacio muestral los podemos clasificar segú la siguiete tabla de doble etrada: B 1 B 2... B s A s A s A r r1 r2... rs La tabla os idica que de los resultados existetes e el espacio muestral Ω, 11 tiee simultáeamete el atributo A 1 y el atributo B 1 ; 12 el A 1 y el B 2 ; y, e geeral, ij los atributos A i y B j. La suma de todos los ij es. Como ejemplo podemos cosiderar como espacio muestral Ω las 52 cartas de ua baraja. Ua partició de Ω puede ser segú el palo (espadas, bastos, oros o copas) y otra partició puede ser segú el úmero de la carta. La probabilidad del suceso A i y B j se puede represetar por P(A i,b j ) e lugar de por P(A i B j ), y el valor de esta probabilidad es, evidetemete P( A i B j ) = ij Puede iteresaros sólo uo de los criterios de clasificació, por ejemplo A, y seros idiferete la clasificació B. E este caso prescidimos de B e el símbolo, y la probabilidad de u valor cualquiera A i se desiga por P(A i ) y es s P( A i ) = ij j =1 que recibe el ombre de Probabilidad Margial. La calificació de margial se emplea siempre que se prescide de uo o más criterios de clasificació. Es evidete que 1/16

2 ya que P( A i ) = s ij j =1 = P( A i j =1 ij = P( A i B j ) B j ) De forma aáloga, la probabilidad margial de B j es r ij r P(B j ) = i=1 = P( A B j ) i=1 i Co la termiología aterior, hemos particioado el espacio muestral Ω e r s subcojutos disjutos, desigado el subcojuto geeral por A i B j. Ahora bie: Puesto que A i = ( A i B 1 ) ( A i B 2 ) ( A i B 3 ) ( A i B s ) ( A i B j ) ( A i B j ' ) = cuado j j. Teiedo e cueta los axiomas de probabilidad, aplicado P3 obteemos P( A i ) = P( A i B 1 ) + P( A i B 2 ) + P( A i B 3 ) + + P( A i B s ) y teiedo e cueta el valor de cada uo de los sumados, podemos escribir la expresió aterior como P( A ) = P( A i s B ) = ij i j j =1 j=1 s E el ejemplo que hemos puesto ates de la baraja co 52 cartas, la probabilidad de obteer u as es la suma de probabilidades de obteer u as de espadas, u as de bastos, u as de oros y u as de copas. Cosiderado u caso más geeral, supogamos tres criterios de clasificació A, B y C. Sea A 1, A 2,..., A r ua partició de Ω formada por r subcojutos mutuamete excluyetes (disjutos), sea B 1, B 2,..., B s otra partició de Ω e s subcojutos disjutos y sea C 1, C 2,..., C t la tercera partició de Ω. Deotemos por ijk el úmero de resultados, de etre los, que preseta los caracteres A i, B j y C k. La clasificació completa sería ua tabla de triple etrada compuesta de t capas de tablas de doble etrada, correspodiedo cada capa a u C k. La probabilidad margial de, por ejemplo, A i y C k es: s P( A i C k ) = P( A i B j C k ) j =1 2/16

3 y la probabilidad margial de C k es r s r s P(C k ) = P( A i B j C k ) = P( A i C k ) = P(B j C k ) i=1 j =1 i=1 j=1 La geeralizació de lo aterior para más de tres criterios se realiza de forma imediata. 2. ROBABILIDAD CONDICIONADA. Teiedo e cueta la clasificació de doble etrada vista al pricipio del puto aterior, co la tabla de doble etrada, supogamos que deseamos examiar el resultado de u experimeto aleatorio para u atributo, pero o para el otro. Queremos hallar la probabilidad de que el otro atributo tega u valor determiado. Supogamos que hemos observado que el suceso tiee el atributo B 3. Cuál será la probabilidad de que tega así mismo el atributo A 2? El total de resultados de A cuado ha sucedido B 3 es r i 3 i=1 y el úmero de resultados favorables a A 2 es 23. Así, la probabilidad de A 2, cuado se sabe que ha ocurrido B 3, es 23 r i 3 i=1 que se desiga co el ombre de Probabilidad Codicioada y cuyo símbolo es P(A 2 B 3 ). E geeral, supoiedo que los deomiadores o so ulos, P( A i B j ) = r ij P(B j A i ) = s ij ij i=1 ij j =1 Dividiedo el umerador y el deomiador de la fracció del segudo miembro por, os queda P( A i B j ) = P( A i B j ) P(B j ) P(B j A i ) = P( A i B j ) P( A i ) o bie P( A i B j ) = P( A i B j ) P(B j ) P( A i B j ) = P( B j A i ) P( A i ) 3/16

4 Esta última ecuació puede euciarse de la siguiete maera: La probabilidad de que u resultado tega los atributos A i y B j es igual a la probabilidad margial de A i multiplicada por la probabilidad codicioal de B j cuado a ocurrido A i. La idea de probabilidad codicioal admite ua geeralizació imediata a situacioes dode iterviee más de u criterio de clasificació. Por ejemplo, e el caso de tres criterios, se ve imediatamete que P( A i B j C k ) = P( A i B j C k ) P(C k ) P( A i B j C k ) = P( A i B j C k ) P(B j C k ) y tambié que P( A i B j C k ) = P( A i B j C k ) P(C k ) = = P( A i B j C k ) P(B j C k ) = = P( A i B j C k ) P(B j C k ) P(C k ) Podría obteerse otras relacioes aálogas permutado las letras A, B y C. Así y o bie P( A i B j C k ) P(B j A i C k ) = P( A i C k ) P( A i B j C k ) = P( B j A i C k ) P( A i C k ) P(C k ) P( A i B j C k ) = P(B j A i C k ) P(C k A i ) P( A i ) Podríamos seguir escribiedo todas las relacioes aálogas existetes, pero o es el objetivo del tema. Debe quedar claro que las probabilidades ateriores o está defiidas si el deomiador es 0. Para describir la probabilidad codicioal hemos utilizado u espacio muestral ciertamete especial, coteiedo u úmero fiito de putos, cada uo de ellos co la misma probabilidad. Si embargo, la idea es completamete geeral y puede defiirse para espacios muestrales discretos y cotiuos de la siguiete forma. DEF Sea A y B dos sucesos de u espacio muestral Ω tal que P(B)>0. La probabilidad codicioal del suceso A cuado ha ocurrido el suceso B, y que se desiga por P(A B) es P( A B) P( A B) = P(B) Para la probabilidad codicioada P(A B) podemos utilizar la otació más breve P( A B) P ( A) = P( A B) = B P(B) 4/16

5 De este modo vemos que, fijado el suceso B, P B es ua fució de domiio S. PROP Dado el espacio de probabilidad (Ω, S P) y defiida la fució P B como P( B) tambié (Ω, S, P B ) es u espacio de probabilidad. La familia S es ua σ-álgebra por hipótesis. Por ser P ua medida de probabilidad, se deduce fácilmete que P B es tambié ua medida de probabilidad de domiio S. 3. DOS LEYES BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD. Si A y B so dos subcojutos mutuamete excluyetes (disjutos), el axioma 3, P3, de la probabilidad establece que P(A B) = P(A) + P(B) Vamos a obteer ahora ua fórmula más geeral que os sirva au e el caso de que los sucesos o sea disjutos. TEOREMA. Sea Ω u espacio muestral y S la σ-álgebra asociada, co fució de probabilidad P. Si A y B so dos sucesos cualesquiera de S, se verifica P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) El álgebra de cojutos permite establecer la igualdad A B = A ( A B) Pero los cojutos A y A B so disjutos, por tato podemos aplicarles el axioma P3, obteiedo P(A B) = P(A) + P( A B) Ahora bie B = (A B) ( A B) siedo, de uevo, ambos cojutos disjutos, por lo que aplicado de uevo el axioma P3. P(B) = P(A B) + P( A B) O tambié como P( A B) = P(B) P(A B) Sustituyedo esta expresió e la primera, obteemos el resultado deseado. Para demostrar el teorema e u espacio muestral fiito Ω, dode cada puto tiee 1 de probabilidad, os referiremos a la tabla del apartado 1, y calcularemos, por 5/16

6 ejemplo, la probabilidad P(A 1 B 2 ). La probabilidad de que ocurra los sucesos A 1 o B 2 se obtiee sumado todas las ij de la primera fila y de la seguda columa, y dividiedo por. Así, teemos s r s r P( A 1 B 2 ) = 1 j + i 2 1 j + i2 12 j =1 i= 2 = j =1 i =1 = P( A 1 ) + P(B 2 ) P( A 1 B 2 ) Cabe geeralizar esta ley para más de dos subcojutos, siedo para tres P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Y para el caso de subcojutos, sería: TEOREMA Sea A 1, A 2,..., A sucesos cualesquiera. Etoces P A = P( A ) P( A A ) + P( A A A ) + + ( 1) 1 P A j j i j i j k j j =1 j=1 1 i < j 1 i < j <k j=1 Vamos a realizar la demostració por iducció e el úmero de sucesos. Supogamos que teemos +1 sucesos. Para =2 la expresió aterior se covierte e el Teorema aterior. Supogamos válida la expresió para sucesos. Para +1 teemos P +1 A = P A + P( A ) P A A j j +1 j +1 j=1 j =1 j =1 Aplicado ahora la suposició de ser cierto para sucesos completamos la demostració por iducció. Al defiir la probabilidad codicioal, hemos deducido e esecia la ley multiplicativa de las probabilidades. Esta ley dice PROP La probabilidad de los sucesos A y B es igual a la probabilidad codicioal de B, e el supuesto de que haya ocurrido A, multiplicada por la probabilidad margial de A. P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) 6/16

7 Vamos a demostrar esta proposició cosiderado que el espacio muestral Ω tiee putos equiprobables. Sea m 1 y m 2 el úmero de putos coteidos e A y B respectivamete y m 3 el úmero de putos comues a ambos. Si supoemos que m 1 y m 2 so ambos positivos, teemos m P( A B) = 3 m P( A) = 1 m P( B) = 2 P( A B) = m 3 P(B A) = m 3 m 2 m 1 De las expresioes ateriores deducimos de forma imediata la tesis a demostrar. Geeralizado la proposició aterior, teemos el siguiete euciado llamado Teorema de la Probabilidad Producto o Teorema de la Probabilidad Compuesta. TEOREMA Teorema de la Probabilidad Compuesta. 1 Sea A 1, A 2,..., A sucesos cualesquiera y supogamos que P A i > 0. i =1 Etoces P A i 1 i = P A i A j i =1 i=1 j =1 La codició permite escribir la idetidad 1 P A i > 0 i =1 2 3 P A i P A i P A i i =1 i=1 i=1 P A = P( A ) i 1 i =1 P( A 1 ) 2 1 P A i P A i i=1 i=1 ya que iguo de los deomiadores ateriores es ulo. La defiició de probabilidad codicioada aplicada a cada fracció covierte esta idetidad e la expresió que queríamos demostrar. OBS E total, iguales a la expresió aterior, teemos! relacioes, obteidas permutado las letras del segudo miembro. 7/16

8 4. SUCESOS COMPUESTOS. La ley multiplicativa de las probabilidades resulta especialmete útil para simplificar el cálculo de las probabilidades de sucesos compuestos. U suceso compuesto cosiste e dos o más sucesos simples, como ocurre cuado se laza u dado dos veces o se extrae sucesivamete tres cartas de ua baraja. Veamos u ejemplo que sirva de ilustració. Se extrae dos bolas, ua tras otra, de ua ura que cotiee dos bolas egras, tres blacas y cuatro rojas. Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la seguda blaca? Cosideraremos al extracció si reemplazamieto. Los resultados de este suceso compuesto puede clasificarse segú dos criterios El color de la primera bola. El color de la seguda bola. Podemos pues, costruir ua tabla aáloga a la del primer apartado. La clasificació A se basa e el color de la primera bola, y hacemos correspoder los sucesos A 1, A 2 y A 3 a los colores egro, blaco y rojo, respectivamete. Aálogamete, los sucesos B 1, B 2 y B 3 correspode a los mismos colores para la seguda bola. El úmero total de resultados es = 9 8 = 72 9 No es el úmero combiatorio porque estamos cosiderado permutacioes y 2 o combiacioes, ya que existe u determiado orde de extracció. La tabla completa de resultados es: B 1 B 2 B s A A A r Y la probabilidad pedida es P( A B ) = 12 = Utilizado la ley multiplicativa de las probabilidades, sólo ecesitamos cosiderar los dos sucesos simples por separado. E este caso, se debe utilizar dicha ley e la forma P( A 3 B 2 ) = P( A 3 ) P(B 2 A 3 ) Ahora bie, P(A 3 ) es simplemete la probabilidad de obteer bola roja e ua sola 4 extracció, la cual es. P(B A ) es la probabilidad de extraer bola blaca habiedo extraido ya ua bola roja, probabilidad que vale 3. El producto de estos dos úmeros 8 os da la probabilidad pedida. 8/16

9 La validez de la técica empleada e el ejemplo o es evidete. No resulta imediato que la probabilidad margial P(A 3 ) pueda calcularse prescidiedo por completo del segudo suceso, i que la probabilidad codicioal correspoda al suceso físico simple que ates hemos descrito. Para u suceso compuesto, que coste de dos sucesos simples, basta cosiderar ua tabla 2 por 2. Hacemos correspoder A 1 a u acierto e el primer suceso y A 2 a u fallo e el mismo. Sea m 1 el úmero de maeras co que puede presetarse co acierto el primer suceso y m 2 el úmero de veces e que dicho suceso puede fallar. Supogamos que B 1 y B 2 se defie de forma aáloga para el segudo suceso. Sea m 11 y m 12 las veces e que el segudo suceso puede ser u acierto y u fallo, supoiedo que se haya obteido u acierto e el primero. Sea m 21 y m 22 los úmeros de maeras e que el segudo puede resultar acierto o fallo cuado sabemos que el segudo ha sido u fallo. La tabla 2 por 2 que queda sería: El úmero total de resultados posibles es B 1 B 2 A 1 m 1 m 11 m 1 m 12 A 2 m 2 m 21 m 2 m 22 = m 1 m 11 + m 1 m 12 + m 2 m 21 + m 2 m 22 La probabilidad buscada es que se produzca u acierto e ambos sucesos, luego La probabilidad margial P(A 1 ) es P( A m m B ) = 1 1 m m m m m (m + m ) P( A 1 ) = + = m 1 ( m 11 + m 12 ) + m 2 ( m 21 + m 22 ) Ahora bie, la probabilidad de obteer u acierto e el primer suceso si teer e cueta el segudo es m 1 m 1 + m 2 que o coicide co la expresió aterior salvo que 1 11 m 11 + m 12 = m 21 + m 22 esto es, a meos que el úmero total de resultados del segudo suceso sea el mismo si teer e cueta si el primero ha sido acierto o fallo. La probabilidad codicioal es m 11 m 11 + m 12 9/16

10 y da la probabilidad de u acierto para el segudo suceso, e el supuesto de que el primero haya sido u acierto. Podríamos icliaros a deducir que este uso de la probabilidad codicioal sólo es correcto cuado el úmero de resultados para el segudo suceso es idepediete del resultado del primero, pero precisamete sucede lo cotrario. La probabilidad correcta es m 1 P( A 1 B 1 ) = m 1 + m 2 m 11 m 11 + m 12 y o el valor dado ateriormete P( A m m B ) = 1 1 El valor calculado por este método codicioal es siempre correcto, mietras que el obteido por eumeració de resultados lo es sólo cuado el úmero de ellos para el segudo suceso es idepediete del resultado del primero. U ejemplo secillo os va a permitir aclarar todo esto. Supogamos que se laza ua moeda y que si sale cara, se itroduce ua bola egra e ua ura, mietras que si sale cruz, se itroduce e la ura ua bola egra y otra blaca. A cotiuació, se extrae ua bola de la ura. Si salió cara, la bola tedrá que ser, evidetemete, egra. Si represetamos los sucesos cara y cruz por C y X, y blaca y egra por B y N, los tres resultados posibles será CN, XN y XB. Estos tres resultados o so, por supuesto, equiprobables. Si el experimeto se repitiese u cierto úmero de veces, cabría esperar que el resultado CN ocurriera doble úmero de veces que cualquiera de los otros dos. Es decir, que su probabilidad fuese ½ y o 1/3. E geeral, los resultados posibles de u suceso compuesto o so igualmete probables si el úmero de resultados del segudo suceso depede del resultado del primero. Por tato, o es aplicable la defiició de probabilidad. No obstate, si la defiició puede aplicarse por separado a los sucesos compoetes, será posible calcular la probabilidad del suceso compuesto utilizado el método de las probabilidades codicioales. Desgraciadamete, o es posible dar ua demostració formal de estas afirmacioes. Teemos que limitaros a cofiar e uestra ituició o, más bie, e el valor de cualquier testimoio experimetal que poseamos SUCESOS INDEPENDIENTES. Si P(A B) o depede del suceso B, diremos que los sucesos A y B so idepedietes. Podemos expresarlo formalmete de la siguiete forma: DEF Sea A y B dos sucesos de u espacio muestral Ω. Diremos que A y B so Sucesos Idepedietes si satisface P(A B) = P(A) P(B) 10/16

11 Por ejemplo, supogamos que lazamos u dado dos veces y que deseamos hallar la probabilidad de que los resultados sea dos y tres, e este orde: P(2 3) = P(2) P(3 2) = 1 1 = P(2) P(3) 6 6 de modo que los dos sucesos so idepedietes. La depedecia es la egació de la idepedecia. Por tato, diremos que A y B so Depedietes si o so idepedietes. PROP Cualquier suceso ulo o casi seguro es idepediete de cualquier otro suceso. La validez de la codició P(A B) = P(A) P(B) e el caso de que A sea ulo o casi seguro es imediata. PROP Si A y B so idepedietes y P(B)>0 etoces P(A) = P(A B). Recíprocamete, si P(B)>0 y se verifica P(A) = P(A B) etoces A y B so idepedietes. y Como P(A B) = P(A) P(B) por el hecho de ser idepedietes P(A B) = P(B) P(A B) se deduce rápidamete que P(A) = P(A B). Recíprocamete, teiedo e cueta las expresioes P(A) = P(A B) P(A B) = P(B) P(A B) Obteemos que A y B so idepedietes. PROP Si A y B so dos sucesos idepedietes, etoces A y B tambié lo so. Restado las dos igualdades se obtiee de dode P(A) = P(A) P(A B) = P(A) P(B) P(A A B) = P(A) (1 P(B)) P(A B ) = P(A) P( B ) 11/16

12 DEF Diremos que los sucesos A 1, A 2,..., A so Idepedietes por Parejas (dos a dos) si cada par A i y A j so idepedietes etre sí. Es decir, si se verifica que P(A i A j ) = P(A i ) P(A j ) 1 i<j Más restrictivo resulta el cocepto de idepedecia etre los sucesos de ua familia fiita. DEF Los sucesos A 1, A 2,..., A so Idepedietes etre sí si para cada r, co 2 r, tomamos los ídices 1 i 1 <i 2 <...<i r se tiee P( A A A i ) = P( A ) P( A ) P( A i ) i1 i2 r i1 i 2 r El úmero de codicioes que se obtiee a partir de la defiició aterior so = Cuado los sucesos o sea idepedietes. es decir, algua de las codicioes o sea correcta, diremos que so Depedietes. Ahora vamos a euciar uas propiedades que, dada su imediatez y por o extederos demasiado, o vamos a demostrar. PROP La idepedecia de sucesos es idepediete del orde co que se eucie. Los sucesos de u subcojuto del cojuto de sucesos idepedietes so tambié idepedietes PROP Sea A 1, A 2,..., A sucesos idepedietes y defiimos los subcojutos de ídices I, J {1, 2,..., } verificado que I J = 0 Sea los cojutos A = B = Etoces A y B so idepedietes. i I A i A j j J PROP Si los sucesos A 1, A 2,..., A -1 so idepedietes, etoces, para que A 1, A 2,..., A sea idepedietes es suficiete que A sea idepediete de cada suceso A obteido como A = co I {1, 2,..., } i I A i PROP Si los sucesos A 1, A 2,..., A so idepedietes, y sustituimos uo de ellos, por ejemplo el último, A, por su complemetario, los sucesos del uevo cojuto so tambié idepedietes. 12/16

13 DEF Los sucesos de ua familia {A t : t T} dode T es u cojuto cualquiera de ídices, diremos que so idepedietes si los sucesos de cada cojuto fiito so idepedietes. A, A,, A co 2 y {t t1 t 2 t 1, t 2,..., t } T 6. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL. E cálculo de probabilidades se os puede presetar situacioes e que existe sucesos icompatibles (disjutos) cuya uió es todo el espacio muestral Ω. H 1, H 2,..., H H i H j = i j i=1 H i = Ω que posee probabilidades coocidas P(H i ) y que para cada suceso A resulta tambié coocidas las probabilidades codicioadas P(A H i ). E esta situació se puede calcular la probabilidad de A a través de las probabilidades ateriores mediate ua fórmula que costituye el llamado Teorema de la Probabilidad Total. E la situació descrita suele utilizarse la siguiete omeclatura. los sucesos H i se llama hipótesis o causas. Las probabilidades P(H i ) se llama probabilidades a priori de las hipótesis. La probabilidad codicioada P(A H i ) es la probabilidad de A e la hipótesis H i. La probabilidad P(H i A) es la probabilidad a posteriori de la hipótesis H i cuado se sabe que ha sucedido A. TEOREMA Sea H 1, H 2,..., H sucesos icompatibles de probabilidades o ulas cuya uió es Ω. etoces, para cualquier suceso A se tiee P( A) = P(H i ) P( A H i ) i =1 So imediatos los cálculos siguietes P( A) = P( A Ω) = P A H i = P (H i A) = i =1 i =1 = P(H i A) = P(H i ) P( A H i ) i=1 i=1 OBS E el euciado del Teorema aterior, la restricció de que P(H i )>0 puede suprimirse quedado la suma extedida al cojuto J={i : P(H i )>0} ya que 13/16

14 P( A) = P(H i A) = P( H i A) = P(H i ) P( A H i ) i=1 i J i J OBS Tambié puede utilizarse la tesis del teorema, si igua dificultad, si el cojuto de sucesos H i es umerable e vez de u cojuto fiito. 7. TEOREMA DE BAYES. La fórmula de Bayes da la probabilidad a posteriori de ua hipótesis H r cuado se sabe que ha ocurrido u suceso A. TEOREMA. Fórmula de Bayes Sea H 1, H 2,..., H sucesos icompatibles de probabilidades o ulas cuya uió es Ω. Sea A u suceso cualquiera de probabilidad positiva. Etoces para cualquier suceso H r se tiee P(H P(H r A) = r ) P( A H r ) P( H i ) P( A H i ) i=1 Partiedo de la defiició de probabilidad codicioada P(H A) P(H A) = r r P( A) y aplicado e el deomiador la igualdad demostrada e el teorema aterior, obteemos imediatamete la expresió a comprobar. TEOREMA. Geeralizació de la Fórmula de Bayes. Sea H 1, H 2,..., H sucesos icompatibles cuya uió es Ω. Sea A u suceso tal que P(A H i )>0 para i : 1, 2,..,. Etoces, para cualquier suceso C se tiee P(H i ) P( A H i ) P(C H i A) P(C A) = i=1 P(H ) P( A H ) i i i=1 Partiedo de la defiició de probabilidad codicioada 14/16

15 P(C A) = P( A C) = P( A) P( A C H i ) i =1 P( A H i ) i =1 y utilizado la expresió obteida e el teorema de la probabilidad total llegamos a la fórmula a demostrar. OBS Las dos fórmulas de Bayes obteidas puede ser utilizadas e el caso de ser umerable el cojuto de sucesos {H i : i I} OBS Tambié se aprecia la vetaja de supoer que las sumas de los deomiadores de ambas fórmulas se extiede al cojuto {j : P(H j )>0} y la del umerador de la seguda fórmula al cojuto {j : P(H j A)>0}. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA. Estadística Teórica. Aut. J.M.Doblado y M.C. Nieto. Edit. UNED Itroducció a la Estadística Teórica. Aut.: G Aráiz. Edit.: Lex Nova Estadística Teórica y Aplicada. Aut.: A. Nortes. Edit.: S. Rodríguez. Itroducció a la Probabilidad y la Medida (I). Aut.: P Zoroa y N. Zoroa. DM. Edit.: Maior 15/16