DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

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1 DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES. TEOREMA DE ROUCHE. REGLA DE CRAMER. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Ídice. INTRODUCCIÓN2 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES2 Defiicioes básicas.2 Iterpretació vectorial3 Teorema de Rouche..6 Degeeració de solucioes.8 Sistemas homogéeos SISTEMAS DE CRAMER..9 Discusió del sistema de Cramer9 4. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Método de Cramer.. Método de Gauss-Jorda.3

2 2. INTRODUCCIÓN. Los atecedetes de los sistemas de ecuacioes lieales, se remota a civilizacioes como la Babilóica o la Egipcia, que utilizaba sistemas secillos de dos icógitas, quedado muestra de ello e alguas tablillas babilóicas o papiros egipcios, que au se coserva. Tambié se sabe, que e la atigua civilizació griega, se resolvía sistemas de ecuacioes secillos por métodos geométricos, y que tambié aparece sistemas de ecuacioes e documetos o libros de las atiguas civilizacioes idia y chia. Si embargo y de forma mas rigurosa, parece ser que el estudio de los sistemas de ecuacioes lieales fue iiciado por Leibitz (646-76)., la solució de ecuacioes lieales utilizado determiates fue utilizado por MacLauri ( ), Cramer y Bezout, fuero quiees demostraro que u sistema homogéeo cuadrado tiee solució si y solo si el determiate del sistema se aula y D Alembert (77-783) demostró que la solució geeral de u sistema de ecuacioes, se obtiee sumado ua solució particular a las solucioes del sistema. 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Defiicioes básicas. U sistema de ecuacioes lieales co m icógitas e el cuerpo u cojuto de m ecuacioes lieales de la forma K K,,. es a x a 2 a x =b a 2 x a 22 a 2 x =b ( 2. ) a x a 2 a x =b a x a 2 a x =b Dode, para cada i=,2,,m ; j=, 2,,m; a ij,b j K so costates x i K so variables. U cojuto ordeado x,,,x K, que verifique las ecuacioes (2.) se deomia solució del sistema. Los úmeros a ij se deomia coeficietes del sistema y los úmeros b i térmios idepedietes. Cuado para todo i=,2,,, b i =0. se deomia sistema homogéeo. A todo sistema homogéeo cuyos coeficietes coicida co los coeficietes del sistema (2.), se deomia sistema homogéeo asociado al sistema de ecuacioes (2.).

3 3 Decimos que u sistema de ecuacioes lieales es u sistema compatible si admite algua solució. E otro caso se deomia sistema icompatible. Dado u sistema compatible, si la solució que admite es úica se deomia sistema compatible determiado y si admite más de ua se deomia sistema compatible idetermiado. # Ejemplo.- Dados los sistemas de ecuacioes siguietes e el cuerpo de los úmeros reales () x + y = ; (2) x + y = ; (3) x + y = 0. x - y = ; 2 x + 2 y = 2; x + y = 2. Teemos que el sistema () es compatible determiado de solució (,0). El sistema (2) es compatible idetermiado de solució r, r,r R. El sistema (3) es icompatible. E el caso de que A A,,. sea u aillo icluido e el cuerpo K, si para cada i=,2,,m; j=,2,,m ;a ij,b i A, podemos defiir el sistema e el aillo A, y e este caso será compatible, si existe ua solució x,,,x A. Iterpretació vectorial. Si cosideramos la matiz A de coeficietes e u cuerpo K a a 2 a a A= 2 a 22 a 2 a m a m2 a m Podemos establecer la aplicació lieal (etre espacios vectoriales) A : K K m : X A. X (producto matricial de A por el vector X) Luego, si = x X K x Será A.X = j= a j. x j, j = a 2j. x j,, j= a mj. x j Luego, el sistema (2.) lo podemos represetar matricialmete como: A.X =B ; A K ; B K m ; X K.

4 4 Y resolver el sistema (2.) equivale a = x m K ecotrar u X K x tal que A.X =B. Dos sistemas de ecuacioes lieales A.X =B y C.Y = D so equivaletes, si dado u vector B= b b 2 b {X = x = K : A. X B}={Y x y y 2 y D} K :C.Y Si queremos estudiar sistemas de ecuacioes lieales, lo que os iteresa es: o o o Saber cuado el problema tiee solució y cuado o. Saber cuátas solucioes tiee. Dar u método para ecotrar las solucioes. Teiedo e cueta que A es ua aplicació etre espacios vectoriales, los cojutos Ker A= {X K : A. X = 0} Im A={A.X K m : X K } Co la operació suma so subespacios vectoriales de K y K m respectivamete. Y utilizado las propiedades de los subespacios vectoriales, teemos las siguietes propiedades o. El sistema (2.) es compatible SI Y SOLO SI B Im A. o 2. El cojuto Ker A, es el cojuto de solucioes del sistema homogéeo asociado al sistema (2.). o 3. Si el sistema (2.) es compatible, dada ua solució cualquiera X 0 K, la solució geeral del sistema será de la forma # Demostració X = X 0 v ; v Ker A. o. Para que el sistema (2.) tega solució, deberá de existir u X 0 K tal que A.X =B, y dado que esto es equivalete que Im A X =B. Esto solo será posible si y solo si B Im A.

5 5 o 2. Dado que Im A Ker A =0 Im A. Claramete las solucioes del sistema homogéeo A.X = 0, asociadas al sistema de ecuacioes (2.) tiee como cojuto de solucioes Ker A. o 3. Teiedo e cueta que si X 0 es solució del sistema A.X =B, se verificará A.X 0 =B. Y si X es otra solució del sistema, teiedo e cueta las propiedades matriciales se cumplirá A. X X 0 = A. X A. X 0 =0 Es decir, X X 0 Ker A. Por tato defiiedo v=x X 0 Se cumplirá X 0 v {X 0 Ker A} Es decir A. X 0 v = A. X 0 A.v=B 0=B Desde el puto de vista geométrico, el espacio de solucioes de u sistema compatible es ua variedad lieal, que pasa por u puto fijo X_0 y tiee como espacio de direccioes el subespacio vectorial Ker A K.

6 6 Teorema de Rouche. Además, de la matriz A de coeficietes del sistema de ecuacioes lieales A. X =B, podemos costruir para el estudio de dicho sistema la matriz A, B = a a 2 a b a 2 a 22 a 2 b 2 a m a m2 a m b m deomiada matriz ampliada A a. Teorema de Rouche.- El sistema A. X =B escompatible rago A=rago A a. Además, e el caso de que Compatible determiado si rago A =. Compatible idetermiado si rago A <. A. X =B sea u sistema compatible, será # Demostració : Si cosideramos los vectores columas de la matriz A a a a =,.., a =. a a m m, ) Si el sistema A. X =B es compatible, existe ua solució p, p 2,, p r ; r tal que: B= p a p r a r Y el vector B depede liealmete de los vectores a,.,a r. Por tato, los subespacios geerados por {a,.,a } y {a,., a, B} coicide, es decir {a,.,a } = {a,.,a, B} Y por tato, tiee ambos espacios la misma dimesió Rago A= Rago A a ) Recíprocamete si Rago A=Rago A a =r, etoces, los subespacios geerados por {a,., a } y {a,., a, B} tiee la misma dimesió, por teer ambos u sistema geerador liealmete idepediete de r r vectores. Es decir dimesió {a,.,a } =dimesió {a,.,a, B} Y teiedo e cueta, que el rago de ua matriz es igual al de su traspuesta, deducimos que B depede liealmete de los vectores a,,a r es decir B Image A. Por tato A. X =B es u sistema compatible. Rago de ua matriz es el úmero máximo de vectores liealmete idepedietes.

7 7 E el caso de que el sistema A. X =B sea compatible, si rago A,B =, puesto que hemos visto que B depede liealmete de los vectores a,, a, será: {a,., a } ua base de {a,., a } Y por las propiedades de la base de u espacio vectorial, el vector B, se podrá poer como combiació lieal úica los vectores de la base. Es decir existe u úico vector x= x,,, x K tal que: B=x a x a. E el caso de que el sistema A. X =B sea compatible, si rago A, B =r, sabemos que existe al meos ua solució del problema x= x,,, x K tal que A. X =B Y por ser r, los vectores a,,a será liealmete depedietes y por tato podemos ecotrar ua combiació lieal, co coeficietes p, p 2,, p o todos ulos, tales que 0= p a p a Y deomiado p= p, p 2,, p, teemos que x p es otra solució por cumplir A X p = A X A p=b 0=B # Ejemplo.- Aalizar los valores del parámetro a para los que el sistema: x 2 y= 2 2 x y=3 3 x 2 y=a Tega solució real. # Solució: Puesto que rago A=2 y det A, B =5a 2. Se cumplirá:.- Si a= 2 5, rago A=rago A,B =2. Se cumplirá que el sistema es compatible determiado. Cuya solució es x, y = 8 0, Si a 2 5, rago A=2 rago A,B =3. Se cumplirá que el sistema es icompatible.

8 8 Degeeració de solucioes. Si teemos u sistema de ecuacioes lieales A. X =B. Dado, que si coocemos ua solució particular x 0 del sistema, la solució geeral es de la forma x= x 0 v, v Ker A. Si tomamos ua base {v, v 2,, v r } del subespacio vectorial solució geeral como se cumple que r x= x 0 i.v i, i= i Ker A Ker A, etoces, podemos poer la Y teiedo e cueta las propiedades de las aplicacioes lieales etre espacios vectoriales, dim Kef A = dim Im A = rago A. Y obteemos el siguiete teorema. Teorema.- E u sistema compatible, la solució geeral depede de u úmeros de parámetros ( - rago A) igual al de las icógitas meos el rago de la matriz. E el caso de ser u sistema compatible determiado dicho úmero es cero. Sistemas homogéeos. E u sistema homogéeo A. X = 0, rago A=rago A, 0. Ya que ambas matrices difiere solo e ua columa de ceros. Y como cosecuecia de ello, y por aplicació del teorema de Rouche, u sistema homogéeo siempre es compatible, y el vector ulo x = vec 0, es siempre ua solució del sistema A. X = 0. Además, por la aplicació del teorema de Rouche, dicha solució será úica cuado rago A =, y e el caso de que el sistema A. X = 0 sea u sistema compatible idetermiado, tedrá que ser rago A y el cojuto se solucioes será Ker A. Por lo tato todo sistema homogéeo A. X = 0, tiee al meos la solució x= 0 x = 0; que o será úica cuado A 0.

9 9 3. SISTEMAS DE CRAMER. Dado u sistema de ecuacioes lieales (2.) co coeficietes e u cuerpo K, o e forma vectorial A. X =B, se dice que es u sistema de Cramer cuado:.- El úmero de ecuacioes es igual al úmero de icógitas, o e térmios de la matriciales cuado A M (cojuto de matrices cuadradas de orde ). 2.- La matriz A de coeficietes del sistema posee matriz iversa 2, o lo que es equivalete a que det (A) 0. Discusió del sistema de Cramer. Como e u sistema Cramer de ecuacioes, tato la matriz A como la ampliada (A,B) tiee filas, y dado que A 0, es evidete que se cumple rago A,B Rago A= Por lo tato rago A=rago A,B = Luego, como aplicació del teorema de Rouche, el sistema de Cramer es compatible determiado (tiee solució úica). Por lo que se deduce el siguiete teorema: Teorema.- Todo sistema de Cramer es compatible determiado. # Demostració: Dado que e u sistema de Cramer A. X =B, la matriz A tiee iversa A, multiplicado ambos miembros de la igualdad por A, obteemos A. A. X =A. B Es decir X =A. B Además, si A= a ij i, j =,2,, es A = A ji i, j=,2,,. Dode, A ji es la matiz adjuta correspodiete al elemeto a ij de A (es decir A ji = i j.det a rs r, s {{,2,, } {i, j }} ). Utilizado la expresió de matriz iversa del producto de matrices y el desarrollo de determiates a través de los elemetos de ua columa, obteemos 2 A es matriz iversa de A si A. A =A. A= I (Matriz idetidad), teiedo e cueta las propiedades matriciales, A si y solo si A 0. Ya que si supoemos A =0, obteemos: A. A = I, es decir 0 =, que es ua cotradicció.

10 0. A X =A. B= Det A Luego A2 A A 2 A 22 A 2 A A 2 A = x = a,,a i,b,a i,,a A # Ejemplo.- Sea el sistema de ecuacioes x y z=3 x y z= x y z= Que matricialmete represetamos. A x z y = 3. Det A j = j = j= A j.b j A 2j.b j A j.b j = Det A. Det B,a2,, a Det a, B,, a Det a,a 2,,B Como la matriz de coeficietes A tiee tres filas y tres columas y u sistema de Cramer, cuya solució es x= B,a,a 2 3 = 4 A 4 = y= a, B,a 3 = 4 A 4 = z= a,a, B 2 = 4 A 4 = Que tambié podemos resolver matricialmete mediate Det A = 4 0. Es y = A. 0 z B= =

11 4. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Método de Cramer. tal que Sea u sistema lieal de ecuacioes (2.) e forma geeral: A. X =B Dode A es la matriz de coeficietes del cuerpo K de m filas y columas. Si supoemos que dicho sistema es compatible, existirá u úmero atural r=mi m, RANGO A =r. Y por tato, existirá u meor de A de orde r (submatriz cuadrada de A de r filas, co determiate o ulo). Podemos supoer, si perdida de geeralidad (e otro caso, bastaría co reordear coeficietes y variables) que dicha submatriz es a 2 a r A r = a a 2 a 22 a 2r a r a r2 a rr Y a las icógitas correspodietes z= x x r Si cosideramos C= b b 2 b r a r a r 2 a a 2 r a 2 r 2 a 2 x r 2 a r r a r r 2 a r. xr se x les deomia pricipales. El sistema: A r. z=c Es u sistema de Cramer, y por lo tato su solució será fució de las restates x r, x r 2,, x y será de la forma x x r, x r 2,, x = C,,a i,a i,a i,,a r A r x r,x r 2,, x = a, C,,a i,a i,a i,,a r A r r variables

12 2 O matricialmete x i x r, x r 2,, x = a,,a i,c,a i,,a r A r x r x r, x r 2,, x = a a,a,a,a, 2, i i i,,c A r z x r,z r 2,, x =A r.c La solució obteida depede del úmero de parámetros dados por rago A. # Ejemplo.- Si cosideramos la resolució de x y z=3 x y z= 2 x 2 y 2 z=6 O e forma matricial: = x 3 6 A. X. y = =B z Como rago A =rago A,B =2 3. Es u sistema compatible idetermiado y su solució de pederá de rago A = parámetro. Dado que ua matriz o sigular de orde 2 es, podemos resolver la sistema de Cramer tomado como icógitas pricipales x y z, mediate el sistema : x z=3 y x z= y Que os da como solucioes: x y =2 y z y = Hay que observar que segú lo visto al pricipio del tema las solucioes e el espacio vectorial R 3 so de la forma: 2,0,,,0 = 2,0, Ker A.

13 3 Método de Gauss-Jorda. U método operativo para resolver u sistema de ecuacioes A. X =B es el método de Gauss-Jorda o de reducció. Su justificació teórica cosiste, e cosiderar la ecuació vectorial asociada a la aplicació lieal A : K K m utilizado u cambio de base e el espacio fial K m, de forma que sea suficietemete secilla de resolver (El método de Gauss-Jorda preseta la vetaja de ser fácilmete programable para las máquias electróicas). Los cambios de base e la aplicació A, dará lugar a cambios e la matriz asociada A y e el vector B. Las coordeadas de X permaece ivariates. Por tato si A y B so las uevas matrices asociadas y uevas coordeadas de B, las solucioes del sistema A. X =B ' coicide co las del sistema origial A. X =B Para coseguir dicha trasformació, teiedo e cueta las propiedades de las aplicacioes lieales, así como de sus matrices asociadas, se aplica las siguietes propiedades. Si permutamos el orde de los vectores de la base de K m deberemos igualmete permutar los coeficietes de B. Equivale a permutar filas e la matriz A,B. 2. Si sustituimos u vector v j de la base de K m por k.v j ; k 0, siedo k u elemeto del cuerpo K, etoces, el elemeto b j queda multiplicado por k. Equivale a multiplicar la fila j de A,B por k. 3. Si sustituimos u vector v j de la base de K m por v j k.v h, siedo k u elemeto del cuerpo K o ulo y h j, etoces, al elemeto b j se le resta el elemeto b h multiplicado por k. Equivale a la fila j de la matriz A, B restarle la fila h multiplicada por k 4. Si sustituimos u vector v j de la base de K m por v j t.v t t =, t j, etoces al elemeto b_j se le resta t.v t t =, t j Equivale a a la fila j de la matriz A,B restarle t.v t. t =, t j Haciedo cambios del tipo, 2, 3 y 4 y permutado si es ecesario el orde de las icógitas, lo que equivale a permutar el orde de las primeras columas de la matriz A, B, obteemos la matriz A ', B ' de la forma

14 4 0 0 c r c d 0 0 c 2 r c 2 d 2... A ', D ' = c r r c r d r d r d Y teiedo e cueta, el teorema de Rouche, dicho sistema será compatible si y solo si d r =d r 2 ==d =0. Además, dicha solució será de la forma x i =d i c i r. x r c.x ; i=,2,,r. Para resolver u sistema de ecuacioes por el método de Gauss-Jorda, solemos idicar las operacioes efectuadas e cada ua de las trasformacioes. Pudiedo utilizar para ello, tato su otació ormal como matricial. permutamos. # Ejemplo.- Para resolver el sistema de ecuacioes x y z=3 x y z= x y z= mediate el teorema de Gauss, lo aplicamos a la matriz A,B Notació habitual Notació matricial x y z=3 3 x y z= x y z= Las siguietes trasformacioes: a la seguda y tercera fila le restamos la primera y las Notació habitual Notació matricial x y z=3 F 3 F 2. y 2.z= F 2 F 2. z= A la primera fila le sumamos la seguda multiplicada por, la seguda fila la 2 multiplicamos por 2 y le sumamos la tercera multiplicada por 2 y la tercera fila la multiplicamos por 2.

15 5 Notació habitual Notació matricial u parámetro. F 2. F 2 F 2. F 2 2. F 3 Por lo que la solució es x=, y=, z= x= y= z= 0 0 E ocasioes, os iteresa estudiar sistemas de ecuacioes cuya compatibilidad depede de # Ejemplo.- Para resolver el sistema de ecuacioes 2 x y= x y 2 z= 3 x y a z=b Co a, y b dos úmeros reales. Como =a 2 3 a co solució Si a 2, Rago A=Rago A, B =3 y el sistema es compatible determiado Si a=2 2 b Si b, como =b 0, será 3 2=Rago A Rago A, B =3 y el sistema será icompatible.

16 6 2 b Si b=, como =b =0, será 3 Rago A=Rago A, B =2 y el sistema será compatible idetermiado co solució (elimiamos ua ecuació cualquier del sistema). x= 2.t ; y= 4.t ; z=t Cabe destacar, que e alguas ocasioes se os platea sistemas de ecuacioes dode las variables so vectores, y los coeficietes de la matriz A so submatrices. Siedo por tato, el producto de u elemeto de A por ua variable u producto matricial. Además, todos los resultados expuestos e los apartados ateriores, puede cambiar sustacialmete cuado tomamos como coeficietes el aillo de los úmeros eteros, el cuerpo de los úmeros racioales ó el cuerpo de los úmeros complejos. Ya que u sistema compatible de ecuacioes puede teer solucioes reales, que o sea racioales i etras, o pude teer solucioes complejas y o reales. Por otra parte, hay que teer e cueta que cuado teemos que resolver sistemas de ecuacioes co muchas variables, podemos utilizar métodos uméricos para ecotrar ua solució aproximada. Particularmete, los métodos de cálculo umérico se utiliza para resolver sistemas grades, o de coeficietes muy pequeños que geera errores e el cálculo exacto. Por ejemplo, para resolver uméricamete el sistema de ecuacioes A M K es simétrica y defiida positiva. Si D = ua matriz diagoal de orde. L = ua matriz triagular iferior. U = ua matriz triagular superior. Comezado la iteració, por 0 X = x 0. x 0 Se obtiee el siguiete procedimieto umérico D. X m = L U. X m B A=D L U, dode: Efectuaremos iteracioes, hasta obteer la aproximació buscada. A. X =B, dode