Tema 4: Relaciones de recurrencia

Transcripción

1 Tema 4: Relacioes de recurrecia A Médez, E Martí, C Ortiz y J Sedra Abril de 011 Ídice Guía del tema II 1 Itroducció a las relacioes de recurrecia 1 Relacioes de recurrecia lieales de primer orde 4 1 Relació lieal homogéea co coeficietes costates 4 Relació lieal completa co coeficietes costates 5 3 Relacioes de recurrecia lieales de segudo orde 6 31 Relació lieal homogéea co coeficietes costates 6 3 Relació lieal completa co coeficietes costates Solucioes particulares 1 4 Relacioes de recurrecia lieales de orde superior 1 41 Geeralidades 13 4 Solucioes y codicioes iiciales Relació lieal homogéea co coeficietes costates Solucioes particulares 1 Referecias I

2 Guía del tema 4 Asigatura: Titulo de la Uidad: Semaas de impartició e el cuatrimestre: Matemática Discreta Relacioes de recurrecia semaas Requisitos para seguir co aprovechamieto el tema Maejar co soltura las operacioes co poliomios Coocer alguas características sobre las raíces de u poliomio relacioadas co el grado del mismo Hallar raíces de poliomios de grado meor o igual que dos Maejar el método de Ruffii para el cálculo de raíces de poliomios de orde superior a dos Coocer coceptos de espacios vectoriales (operacioes, combiacioes lieales, depedecia e idepedecia lieal, bases, dimesió) Coocer coceptos de matrices (tipos especiales, operacioes y propiedades de las mismas, traspuesta, iversa) Habilidades de cálculo co matrices Coocer coceptos y cálculo de determiates (defiició, propiedades elemetales, relació co depedecia lieal ) Relacioar los sistemas de ecuacioes lieales co matrices Coocer solucioes de sistemas de ecuacioes lieales basados e matrices y determiates Teer ocioes de úmeros complejos Coocer y utilizar el pricipio de iducció matemática Coocer el cocepto de sucesió y alguas sucesioes particulares (progresioes aritméticas y geométricas) Objetivos II

3 Objetivo geeral: Compreder que los métodos recursivos so fudametales para el aálisis de problemas relacioados co los algoritmos Objetivos Específicos: Coocer ejemplos de relacioes de recurrecia Platear problemas e térmios de relacioes de recurrecia Discerir si ua relació de recurrecia es lieal y, e su caso, coocer el orde Resolver co soltura relacioes de recurrecia lieales de primer orde co coeficietes costates Resolver co soltura relacioes de recurrecia lieales homogéeas de segudo orde co coeficietes costates Hallar solucioes particulares de recurrecia lieales de segudo orde co coeficietes costates Ser capaz de geeralizar y aplicar los coceptos cocerietes a las recurrecias lieales de segudo orde Utilizar las raíces características para resolver relacioes de recurrecia lieales homogéeas co coeficietes costates Coocer y utilizar métodos para el cálculo de solucioes particulares de relacioes de recurrecia lieales co coeficietes costates Resolver alguas relacioes de recurrecia lieales co coeficietes costates Coteidos teóricos Relacioes de recurrecia 1 Itroducció; Relacioes de recurrecia lieales Relacioes de recurrecia lieales de primer orde 3 Relacioes de recurrecia lieales de segudo orde 4 Relacioes de recurrecia lieales homogéeas 5 Solucioes geeral y particular: Raíces características Evaluació Se etregará los ejercicios propuestos ates de la fecha límite lues 16 de mayo de 011 III

4 1 Itroducció a las relacioes de recurrecia Cosideramos la sucesió a 0, a 1,, dode a = 4 N Para determiar el valor de a 7 calculamos a 7 = 4 7 = 8 y o teemos ecesidad de coocer el valor de los 6 térmios ateriores Nótese que la sucesió (a ) N satisface la relació s +1 = s + 4, pero que la sucesió de térmio geeral b = tambié satisface la relació s +1 = s + 4 Si coocemos uo de los térmios de la sucesió, por ejemplo s 3 = 0 etoces la solució queda uívocamete determiada por s = a = 4( + ) N Otra forma de defiir ua sucesió es por iducció La sucesió de Fiboacci, F, es u ejemplo de sucesió defiida recursivamete, F 0 = 0; F 1 = 1 y F = F 1 + F Pero ahora si deseamos obteer el valor de F 7 deberemos coocer los previos F = F 1 + F 0 = = 1 F 3 = F + F 1 = = F 4 = F 3 + F = + 1 = 3 F 5 = F 4 + F 3 = 3 + = 5 F 6 = F 5 + F 4 = = 8 F 7 = F 6 + F 5 = = 13 Sabiedo la expresió exacta para los térmios de la sucesió de Fiboacci: ( F = ) ( ) 5, 5 5 podemos hallar el valor de u térmio cualquiera si ecesidad de coocer otros, por ejemplo F 30 = Los ejemplos mecioados so casos particulares de u cojuto más amplío de cuestioes relacioadas co problemas de la técica y que se expresa de ecuacioes difereciales, o e derivadas parciales Las solucioes exactas y co codicioes iiciales, a veces, solo puede obteerse aproximadamete y uo de los métodos es la discretizació La idea de cosiste e cambiar el cojuto dode varía los parámetros (segmeto, rectágulo, etc) por u cojuto discreto de putos, o odos, que formará redes y las ecuacioes que rige el feómeo aplicadas a los odos de la malla forma uas relacioes e diferecias, o ecuacioes e diferecias Defiició 11 U cojuto e el que se especifica alguos de sus elemetos y que el resto de elemetos se defie a partir de los coocidos se dice que es u cojuto defiido recursivamete E particular, ua sucesió S : N R está defiida recursivamete si: 1 0 N tal que se cooce los valores S 1,, S 0 1

5 Para > 0 el térmio S está defiida e térmios de S 1,, S 1 ; S = f(s 1,, S 1 ) Observació 11 Los valores S 1,, S 0 se deomia codicioes iiciales y a la fució que describe a S e térmios de sus predecesores se llama relació de recurrecia, o ecuació e diferecias, para S A veces, la sucesió se describe para N {0}, como e la sucesió de Fiboacci Ejemplo 11 1 Sea 0! = 1 y N! = ( 1)! De esta forma se defie por recurrecia el factorial de los úmeros aturales La sucesió a +1 = λ a para 1 y λ C está defiida recursivamete So solucioes de dicha relació Si λ = y a 0 = 1, etoces (a ) = (1,, 4, ) Si λ = y a 0 = 3, etoces (a ) = (3, 6, 1, ) Si λ = y a 0 = 5, etoces (a ) = (5, 10, 0, ) Si λ = 3 y a 0 = 5, etoces (a ) = (5, 15, 45, ) El coocimieto del valor de λ y a 0 determia completamete la sucesió 3 Dada la secuecia de úmeros reales b 1, b, verificado que b 1 = 1; b b 1 = Por b = b 1 + = b + ( 1) + = = b = Probaremos que b = 1 6 ( + 1) ( + 1) 1 a) Para = 1, se tiee 1 6 ( + 1) ( + 1) = = 1 = b 1), luego es cierto el resultado b) Supogamos que el resultado es cierto para k c) Sea = k + 1 etoces, b k+1 = b k + (k + 1) = 1 6 k (k + 1) (k + 1) + (k + 1) = = (k + 1) 1 6 (k (k + 1) + 6(k + 1)) = (k + 1) 1 6 (k + ) (k + + 1)) = 1 6 1) ((k + 1) + 1) (k + 1) ((k + 1) + Luego, por el pricipio de iducció, se cumple que b = 1 6 ( + 1) ( + 1) 4 U baco paga u iterés del 3 % aual para cuetas de ahorro, co u iterés compuesto mesual U cliete deposita 1000 C el día 1 de febrero, cuáto diero tedrá depositado justo u año después?

6 El iterés mesual será de 3 1 = 0, 5 % Si el valor del depósito al cabo de meses es d, etoces d +1 = d + 0, 005 d = 1, 005 d d 1 = 1000 (1, 005) 1 = 1030, 41, así que después de u año el cliete tedrá 1030, 41 C 5 Supogamos que teemos ua lista de úmeros reales, a 1,, a R que deseamos ordear de maera ascedete El siguiete método, llamado de la burbuja, actúa como sigue: se compara el último elemeto co su predecesor si a < a 1 se itercambia los valores A cotiuació comparamos a 1 co su predecesor imediato procediedo de la misma maera Tras 1 comparacioes el úmero más pequeño de la lista se ecuetra e el primer lugar Repetimos el proceso para los 1 restates Para determiar la complejidad de este algoritmo e fució del tamaño de la lista cotamos el total de comparacioes hasta fializar la ordeació Si c es el úmero de comparacioes para ordear elemetos tedremos la siguiete relació de recurrecia: c 1 = 0; c = c 1 + ( 1) Para hallar los primeros térmios podríamos ir sustituyedo Vamos a demostrar, por iducció que, e geeral, c = a) Para = 1, se tiee = 0 = c 1, luego es cierto el resultado b) Supogamos que el resultado es cierto para k c) Sea = k + 1 etoces, c k+1 = c k + k = k k + k = k k + k Luego, por el pricipio de iducció, se cumple que c = = (k + 1) (k + 1) Defiició 1 Ua sucesió (x ) N de úmeros complejos diremos que es recursiva lieal de orde k y co coeficietes costates si se puede expresar como x = a 1 x 1 + a x + + a k x k + e (1) para > k y dode a 1, a,, a k so costates reales, o complejas, fijas E el caso de que el térmio e sea cero diremos que la relació es lieal y homogéea Observació 1 Se deomia ecuacioes lieales porque los valores de la sucesió o aparece multiplicados etre si, i afectados por otras fucioes (x 1 x 3, o se x 1 ) Coociedo los primeros k elemetos todos los siguietes se puede hallar mediate ua combiació lieal de los k precedetes, y dichas ecuacioes se cooce como codicioes de frotera, o iiciales 3

7 E estos aputes cosideraremos el caso de que los coeficietes a 1,, a k so costates Ua recursió lieal geeral de orde k tiee por expresió x = a 1 () x 1 + a () x + + a k () x k + e Ejemplo 1 La sucesió de Fiboacci, F, defiida por, F 0 = 0; F 1 = 1 y F = F 1 +F es u ejemplo de relació lieal de segudo orde y homogéea U ejemplo de ecuació de recurrecia lieal co coeficietes costates de orde 4 y o homogéea es x = x x 4 x 3 + x 4 + Relacioes de recurrecia lieales de primer orde Las relacioes de recurrecia lieales más simples so las de primer orde Defiició 1 Ua sucesió (x ) N de úmeros complejos diremos que es recursiva lieal de primer orde y co coeficietes costates si se puede expresar como x = k x 1 + e () para > 1 y dode k es ua costate fija Si e = 0 para cualquier diremos que es homogéea E el caso de coocer algú valor particular diremos que es ua codició de frotera 1 Relació lieal homogéea co coeficietes costates Las relacioes de recurrecia lieales homogéeas de primer orde y co coeficietes costates so de la forma x = k x 1 Ejemplo 1 Ua progresió geométrica de razó r es ua sucesió de úmeros dode el cociete de cualquier térmio etre el que le precede es r, es decir x +1 x ua ecuació de recurrecia lieal, de primer orde y homogéea = r x +1 = r x, por lo que teemos Dada la sucesió 3, 9, 7, 81,, es secillo comprobar que x +1 = 3 x 1 Pero la sucesió 5, 15, 45, 5,, tambié verifica x +1 = 3 x 1 La úica diferecia apreciable es que empieza por valores distitos A cotiuació vemos u resultado que os proporcioa u método geeral de resolució de estas relacioes recurretes Proposició 1 La solució geeral de la relació x +1 = r x úica y viee dada por x = A r N 1, r costate y x 0 = A es 4

8 Demostració La uicidad es trivial, ya que si existiese otra solució co la misma codició iicial los siguietes térmios ecesariamete coicide co los térmios de la dada E el caso de que A sea cero la sucesió es costatemete igual a cero y la solució se puede expresar de otras formas Cosideremos A 0, si x = A r N x +1 ecuació y se cumple la codició iicial x 0 = A r 0 = A x = A r+1 A r = r, luego es solució de la Ejemplo Para resolver x +1 = 3 x co la codició x = 18, cosideramos la solució geeral que es x = x 0 3 Para = se tiee que x = x 0 9 = 18 a 0 = x = 3 N Relació lieal completa co coeficietes costates Ahora cosideramos la Ecuació () completa Proposició La solució geeral de la relació x +1 = r x + e es úica y viee dada por > 1, r costate y x 0 = A 1 x = A r + r 1 j e j N (3) j=0 Demostració La uicidad de la solució es trivial Para demostrar la fórmula aterior razoaremos por iducció 1 Si = 1, x 1 = A r + 0 r j e j = r A + e 0 = r x 0 + e 0, luego se cumple la relació j=0 Supogamos que se cumple para todo k 3 Sea = k + 1 etoces, x +1 = r x + e = r 1 = A r +1 + r r 1 j e j + r 0 e = A r +1 + j=0 1 A r + r 1 j e j + e = j=0 r j e j j=0 Como queríamos demostrar Ejemplo 3 Ua progresió aritmética de razó d es ua sucesió dode la diferecia etre u térmio y el que le precede es la costate d, es decir x +1 x = d x +1 = x + d, luego es ua relació lieal o homogéea de orde uo Sea la relació x +1 = x + para 1, co x 0 = 1 Si aplicamos el resultado (3) obteemos 1 x = j = 1 + = + 1 N, 1 j=0 Es decir, los úmeros eteros impares positivos 5

9 Observació 1 1 Si la relació lieal homogéea co coeficietes costates es x +1 = r x para > 0, y la codició iicial es x 0 = A etoces, la solució geeral es x = A r 0, para 0 Se puede demostrar que dada la relació lieal homogéea co coeficietes ( variables x +1 = a x 1 ) para > 0, y la codició iicial x 0 = x 0, la solució es x = x 0, para 0 i= 0 a 3 Si la relació lieal co coeficietes costates es x +1 = r x + e para > 0, y la codició 1 iicial es x 0 = A etoces, la solució geeral es x = A r 0 + r 1 j e j, para 0 j= 0 4 Tambié se puede demostrar que dada la relació lieal co coeficietes variables y de primer orde x +1 = a x + e para > 0, co la codició iicial x 0 = A etoces, la solució geeral es x = A 1 i= 0 a + 1 j= 0 1 i=j+1 a e j, para 0 Ejemplo 4 Vimos al comiezo que si c era el úmero de comparacioes para ordear elemetos etoces, c 1 = 0; c = c 1 + ( 1) c +1 = c + 1, que es ua relació lieal 1 de primer orde co coeficietes costates Aplicado la (3) obteemos c = j j = (1 + 1)( 1) = ( 1) = = Se ha empleado que la suma de los k primeros térmios de ua progresió aritmética es la suma del primero y el último multiplicada por el úmero de térmios dividido por El resultado cofirma la solució vista ateriormete j=0 3 Relacioes de recurrecia lieales de segudo orde Ates de tratar el problema geeral, cosideraremos co detalle el caso de recurrecia lieales de segudo orde, x = a 1 x 1 + a x + e, co a 1 y a costates, a 0 31 Relació lieal homogéea co coeficietes costates Comezaremos supoiedo que la secuecia e es idéticamete cero Si tuviésemos ua solució de la forma x = r etoces la relació verifica 0 = x a 1 x 1 a x = r a 1 r 1 a r = r (r a 1 r a ) Para que la expresió aterior sea cero se debe cumplir r = 0 (solució trivial), o bie r a 1 r a = 0 6

10 Defiició 31 Dada la relació de recurrecia lieal homogéea de coeficietes costates y de segudo orde x a 1 x 1 a x = 0, se deomia ecuació característica asociada, a la expresió x a 1 x a = 0 Al poliomio P (λ) = λ k a 1 λ k 1 a característico y a sus ceros raíces características le llamaremos poliomio Ejemplo 31 E la recurrecia que defie la sucesió de Fiboacci, F = F 1 + F, la ecuació característica es x x 1 = 0 y sus raíces características so 1 ± Proposició 31 Sea la relació x a 1 x 1 a x = 0 Si z 1 y z so dos ceros distitos del poliomio característico, etoces = z 1 y x() raíz doble del poliomio característico, etoces = z so solucioes de la relació Si el cero z 1 es = z 1 y x() Demostració Para el caso de raíces distitas, para i = 1, se tiee x a 1 x 1 a x = z i a 1 z 1 i a z i = z 1 1 so solucioes de la relació = z i (z i a 1 z i a ) = 0, dode la última igualdad es cosecuecia de ser z i raíz del poliomio característico Para el caso de raíz doble, la comprobació de que es solució coicide co el apartado precedete Para x () se cumple x a 1 x 1 a x = z 1 1 a 1 ( 1)z 1 a ( )z 3 1 = = z 3 1 (( + ) z 1 a 1 ( + 1) z 1 a ( )) = z 3 1 ( ) (z 1 a 1 z 1 a ) + z 1 (z 1 a 1 ) Por ser z 1 cero doble del poliomio característico P (λ) = λ a 1 λ a = (λ z 1 ) y por tato, P (z 1 ) = 0, y P (λ) = (λ z 1 ) = λ a 1 P (z 1 ) = 0 = z 1 a 1 Luego, se cumple la relació, ya que z 1 1 a 1 ( 1)z 1 a ( )z 3 1 = z 3 1 ( ) 0 + z 1 0 = 0 Ejemplo 3 Para ( la sucesió ) de Fiboacci, F = F 1 + F, so solucioes de la relació las ( ) sucesioes = y x () = Ejemplo 33 Dada la relació x = x 1 x, el poliomio característico es P (λ) = λ λ+ Puesto que las raíces de P (λ) so 1 ± j, las secuecias de úmeros complejos z (1) z () = (1 j) so solucioes de la relació dada = (1 + j) y Proposició 3 Si y x () so dos solucioes de x a 1 x 1 a x = 0, y si c 1 y c so dos costates arbitrarias, etoces la sucesió y = c 1 + c x () cosiderada tambié es solució de la relació Demostració Esta propiedad es cosecuecia de la liealidad de las relacioes y a 1 y 1 a y = c 1 + c x () a 1 (c c x () 1 ) a (c 1 + c x () ) = = c 1 ( a 1 1 a ) + c (x () a 1 x () 1 a x () ) = 0, dode la última igualdad es cosecuecia de que x (i) so solucioes de la relació dada 7

11 Observació 31 Supogamos que dada la relació x a 1 x 1 a x = 0, co a 1, a R y a 0, deseamos ecotrar solucioes reales E el caso de que las raíces del poliomio característico sea complejas, z 1 y z, estas será cojugadas, z = z 1, y las solucioes distitas será x () = z 1 = z1, por ser el cojugado del producto igual al producto de cojugados = z 1 y Para cualquier úmero complejo, z, se verifica que 1 (z+z) = Re(z) y 1 (z z) = Im(z), siedo j Re(z) e Im(z) las partes real e imagiaria, respectivamete, de z Etoces, aplicado el resultado previo, las sucesioes so solucioes de la relació y (1) = 1 (z 1 + z 1 ) = Re(z 1 ) y y () = 1 j (z 1 z 1 ) = Im(z 1 ) Ejemplo 34 Sea la relació x = x 1 x para, x 0 = 1 y x 1 = es La ecuació característica es λ λ+ = 0 y sus raíces λ = 1±j Etoces, la solució geeral y = c 1 (1+j) +c (1 j) = c 1 ( ) (cos π/4+j se π/4)+c ( ) (cos π/4 j se π/4) = = ( ) ((c 1 + c ) cos π/4 + j(c 1 c ) se π/4) = ( ) (k 1 cos π/4 + k se π/4) Teiedo e cueta las codicioes iiciales, x 0 = 1 = k 1 y x 1 = = (k 1 + k ) = k 1 + k, por lo que k 1 = 1, k = 1 y la solució es y = ( ) (cos π/4 + se π/4), que resulta ser real pese a que las raíces de la ecuació característica era complejas E el ejemplo precedete hemos ecotrado ua solució particular, a partir de ua solució geeral, determiado el valor de costates Ahora bie, dadas dos solucioes coocidas de la ecuació homogéea, y x (), y dada otra solució y, siempre es posible ecotrar costates c 1 y c tales que y = c 1 + c x ()? Si fuese así a la combiació lieal c 1 + c x () la podríamos deomiar solució geeral Para que se pueda expresar cualquier solució particular como combiació lieal de dos solucioes halladas se debe cumplir que, para dos eteros cosecutivos y + 1,el siguiete sistema tega solució c 1 + c x () = y c c x () +1 = y +1 Por la teoría de sistemas de ecuacioes lieales este sistema admite solució úica si el determiate de la matriz W = x(1) x () x () es diferete de cero, es decir w = +1 x () x () 0 +1 (4) 8

12 Defiició 3 Dadas las secuecias y x () llamaremos matriz de Casorati de orde asociada a la secuecia a W () = W (, x () ) = y a su determiate w() = w(, x () ) = det W () = secuecias Ejemplo 35 x(1) x () +k 1 x () +k 1 x () +k 1 x () +k 1 casoratiao de las 1 Las secuecias (( 1) ) N y (1 = 1) N tiee la siguiete la matriz de Casorati de orde y casoratiao W (( 1), 1) = ( 1) 1 ( 1) +1 1 ; w(( 1), 1) = ( 1) 1 ( 1) +1 1 = ( 1) ( 1) +1 = ( 1) 0 Dadas las secuecias (z 1 ) N y (z =) N, dode z 1 y z so dos raíces o ulas y distitas de la ecuació característica asociada a la relació x = a 1 x 1 + a x, tiee la siguiete la matriz de Casorati de orde y casoratiao W (z1, z ) = z 1 z ; w(z z1 +1 z +1 1, z ) = z 1 z z1 +1 z +1 = z 1 z +1 z +1 1 z = z 1 z (z z 1 ) 0 Defiició 33 Dos sucesioes y x (), defiidas sobre u subcojuto I de úmeros eteros (o ecesariamete solucioes de ua relació lieal) se dice que so liealmete depedietes si existe dos costates, c 1 y c, o ulas simultáeamete tales que c 1 + c x () es la sucesió cero sobre I Si o existe dichas costates se dice que las sucesioes so liealmete idepedietes Ejemplo 36 Cosideramos las sucesioes (( 1) ) N y (1 = 1) N Si fuese depedietes existiría dos costates, c 1 y c, que verifica para cualquier etero positivo c 1 ( 1) + c 1 = 0 c 1 ( 1) +1 + c 1 = 0 por ser el casoratiao o ulo (ver Ejemplo prevío) c 1 = c = 0 Por lo que las secuecias so idepedietes Defiició 34 Si (x ) N e (y ) N so sucesioes cualesquiera, y c 1 y c so dos costates arbitrarias, la sucesió (c 1 x +c y ) N se llama combiació lieal de las sucesioes (x ) N e (y ) N E geeral o es secillo comprobar si dos sucesioes so, o o, liealmete depedietes, pero e el caso de que ambas sea solucioes de ua relació lieal homogéea de segudo orde la depedecia está relacioada co el valor del casoratiao 9

13 Proposició 33 Sea y x () dos solucioes de la relació lieal x a 1 x 1 a x = 0, y la sucesió de sus casoratiaos W = (w ) N 1 Si y x () cero so liealmete depedietes, etoces W es la sucesió costatemete igual a Si w m = 0 para algú etero m, etoces las sucesioes so liealmete depedietes Demostració 1 Si y x () so liealmete depedietes, etoces existe costates, c 1 y c, o ulas simultáeamete tales que c 1 + c x () = 0 N Sea u etero cualquiera, etoces el sistema c 1 + c x () = 0 c c x () +1 = 0 es lieal, homogéeo y co solució (c 1, c ) o trivial, por lo que el determiate de los coeficietes, es decir w, debe ser cero Si w m = 0 para algú etero m, etoces el sistema homogéeo de dos ecuacioes c 1 m + c x () m = 0 c 1 m+1 + c x () m+1 = 0 tiee solució o trivial (c 1, c ) y la sucesió y = c 1 + c x () = 0 es solució de la relació x a 1 x 1 a x = 0, por lo que y x () so liealmete depedietes Ua cosecuecia imediata es el siguiete corolario Corolario 31 E las mismas hipótesis de la proposició aterior, si w m 0 para algú etero m, etoces w 0 N, y las solucioes y x () so liealmete idepedietes Ejemplo 37 Si (z 1 ) N y (z ) N so dos raíces o ulas y distitas de la ecuació característica asociada a la relació x = a 1 x 1 +a x, hemos visto e u ejemplo precedete que los casoratiaos era diferetes de cero, luego las sucesioes (z 1 ) N y (z ) N so liealmete idepedietes Teorema 31 Toda solució de x = a 1 x 1 + a x puede expresarse como ua combiació lieal de dos solucioes fijas liealmete idepedietes Demostració Por la Prop 3, dadas dos solucioes de la relació ua combiació lieal de las mismas es tambié solució 10

14 Si y x () so dos solucioes particulares de la relació dada, de forma que toda solució se puede expresar como combiació lieal de las dos, y = c 1 + c x (), etoces las costates c 1 y c debe ser solució de c 1 m + c x () m = y m c 1 m+1 + c x () m+1 = y m+1 para u m fijo, por lo que el determiate w(x(1), x () ) 0 Por el Corolario previo las solucioes y x () so liealmete idepedietes Observació 3 Para obteer la solució de ua relació de recurrecia lieal, de segudo orde, co coeficietes costates y homogéea se procederá de la siguiete maera: 1 Formar la ecuació característica y hallar sus raíces, z 1 y z Obteer la solució geeral: c 1 z 1 + c z, o bie c 1 z 1 + c z 1 1 e el caso de que z 1 = z 3 Utilizar las codicioes iiciales para determiar c 1 y c 3 Relació lieal completa co coeficietes costates Para resolver relacioes de la forma x = a 1 x 1 + a x + e, dode e depede de, veremos u resultado que afirma que toda solució se puede obteer como suma de la solució geeral de la relació homogéea más ua solució particular Teorema 3 Sea y ua solució particular de x = a 1 x 1 + a x + e, y sea y x () dos solucioes liealmete idepedietes de x = a 1 x 1 + a x Etoces toda solució x de x = a 1 x 1 +a x +e puede expresarse como x = c 1 +c x () +y, siedo c 1 y c costates adecuadas Demostració La sucesió (y ) N verifica y = a 1 y 1 + a y + e N Si (x ) N es ua solució arbitraria de x = a 1 x 1 + a x + e, etoces (x y = d ) N es solució de x = a 1 x 1 + a x, si más que restar Por el T a 31 existe costates, c 1 y c, de forma que d = c 1 + c x (), siedo y x () solucioes liealmete idepedietes de la homogéea Por tato, x = d + y = c 1 + c x () + y N Ejemplo 38 Dada la relació x = 5 x 1 6 x + 7, vamos a comprobar que y = 7+ es ua 0 solució particular y determiar la forma de todas las solucioes ( 5 y 1 6 y +7 = = ) = 7 = = 7+ 0 = y 11

15 Luego, y es ua solució particular La ecuació característica de la relació es λ 5 λ + 6 = 0, cuyas raíces so y 3 Por lo que las solucioes so x = c 1 + c Solucioes particulares E este apartado describiremos el método de variació de las costates para ecotrar ua solució particular de la relació de recurrecia supoiedo que el térmio idepediete, e es ua fució poliómica, expoecial o trigoométrica I- Supogamos que e = (l 0 +l 1 + +l k k ) b es el producto de u poliomio por ua expoecial Nótese que se icluye las fucioes poliómicas (cuado b = 1) y las expoeciales (co l 1 = = l k = 0) como casos particulares La forma que adopta la solució particular depede de las raíces de la ecuació característica Tipo de raíz b o es raíz b es raíz simple b es raíz doble Solució particular (C 0 + C C k k ) b (C 0 + C C k k ) b (C 0 + C C k k ) b II- Supogamos que e = b cos α, o b se α, es decir que e es de tipo trigoométrico (si b es complejo cosideramos e = b = b e jα ) La solució particular la buscaremos etre las que tiee la forma e = b (A cos α + B se α) E el caso de que b ± jα sea raíces de la ecuació característica, etoces la solució particular adopta la forma e = b (A cos α + B se α) Ejemplo 39 E el ejemplo aterior cosiderábamos la relació x = 5 x 1 6 x + 7 Dado que e = 7 y que 7 o es raíz de la ecuació característica, buscamos ua solució del tipo y = C 0 7 Etoces C C C = 7 (C C C 0 7 ) = 0 C 0 ( ) = 49 C 0 = 49 0 Que resulta ser la solució particular de la que partíamos 4 Relacioes de recurrecia lieales de orde superior Las coleccioes de secuecias de datos aparece e problemas muy variados relacioados co la Ecoomía, la Física, la Biología o la Igeiería, e los que se dispoe de cojutos de datos discreto 1

16 que se puede modelizar a través de ua relació de recurrecia, por ejemplo uidades auales de producció de cierta materia prima Además de los tipo de problemas mecioados, tambié se puede cosiderar u abaico mucho más amplío de cuestioes relacioadas co problemas de la técica y que se expresa como ecuacioes difereciales, o e derivadas parciales Las solucioes exactas y co codicioes iiciales, a veces, sólo se puede obteer aproximadamete y uo de los métodos es la discretizació La idea cosiste e cambiar el cojuto dode varía los parámetros (segmeto, rectágulo, etc) por u cojuto discreto de putos, o odos, que formará redes, o mallas, y las ecuacioes que rige el feómeo aplicadas a los odos de la malla forma uas relacioes e diferecias, o ecuacioes e diferecias 41 Geeralidades Para tratar de resolver ua relació lieal geeral co coeficietes costates de la forma (1) cosideraremos el cojuto de las sucesioes y geeralizaremos alguos de los procedimietos vistos e las seccioes precedetes Trabajaremos sobre el cojuto de las sucesioes de úmeros reales S R = {(x ) N : co x R y = 1,, } o de úmeros complejos S C = {(w ) N : co w C y = 1,, }, e el campo de la igeiería a cada elemeto de los cojutos ateriores se deomia señal discreta Como ya cometamos e ocasioes la sucesió se describe para el cojuto de ídices N {0} Si la sucesió (x ) N verifica que x = l N la deotaremos por (l) N, o simplemete (l) Proposició 41 El cojuto S R, respectivamete S C, co la suma y el producto por escalares habituales tiee estructura de R-espacio vectorial, respectivamete C-espacio vectorial, de dimesió ifiita Demostració E la demostració utilizaremos el cojuto S R, para S C las cosideracioes so aálogas Recordemos que las operacioes mecioadas se defie como: Suma: (x ) N + (y ) N = (x + y ) N (x ), (y ) S R Producto por escalares: λ (x ) N = (λ x ) N (x ) S R y λ R La estructura de espacio vectorial (co la suma es grupo abeliao y co el producto por escalares verifica que es distributiva respecto de los escalares y respecto de las sucesioes, asociativa respecto de los escalares y elemeto eutro para la operació) es cosecuecia de las propiedades de la suma y el producto de úmeros reales 13

17 ( La dimesió es ifiita porque el cojuto {(0, 0,, 0, 1, 0, ) : N} es libre, o liealmete idepediete,y geerador, por lo que es base, e ifiito Nota 41 Recordemos que las sucesioes {( ), (x () ),, (x (k) )} so liealmete idepedietes si y sólo si λ 1 ( ) N + λ (x () ) N + + λ k (x (k) ) N = (0) N λ 1 = λ = = λ k = 0 Para estudiar la idepedecia de u cojuto fiito de sucesioes {(x 1 ), (x ),, (x k )} se aaliza submatrices de las matrices ifiitas 1 x () 1 x (k) 1 x () x (k) x () x (k) Proposició 4 Las sucesioes {( ), (x () ),, (x (k) )} so liealmete idepediete si y sólo si existe k ídices, { 1,, k }, e N tales que la matriz cuadrada 1 x () 1 x (k) 1 x () x (k) k x () k x (k) k es regular (tiee rago k, o tiee determiate o ulo) Demostració La combiació lieal λ 1 ( ) + λ (x () ) + + λ k (x (k) ) = (0), siedo λ 1, λ,, λ k elemetos del cojuto cosiderado, R o C, y dode (0) represeta la sucesió idéticamete cero, se puede expresar como 1 x () 1 x (k) 1 x () x (k) x () x (k) λ 1 λ λ k 0 0 = 0 Es u sistema lieal ifiito y homogéeo, siedo las icógitas λ 1, λ,, λ k, por lo que siempre admite la solució idéticamete cero La solució es úica si y sólo si la matriz de coeficietes tiee rago máximo, es decir k Decir que la solució λ 1 = λ = = λ k = 0 es úica, equivale a decir que 14

18 {(x 1 ), (x ),, (x k )} so liealmete idepediete, si y sólo si existe ua submatriz de orde k k regular Para estudiar la idepedecia lieal de fucioes de variable cotiua se utiliza el wrosquiao, e aalogía para el aálisis de la idepedecia de sucesioes cosideraremos el casoratiao, cuya versió para dos sucesioes es la Def 3 Defiició 41 Dadas las secuecias {(x 1 ), (x ),, (x k )} llamaremos matriz de Casorati de orde j, co j N, a W j = W j (x 1, x,, x k )) = W ( j, x () j,, x (k) j ) = j x () j x (k) j j+1 x () j+1 x (k) j+1 j+k 1 x () j+k 1 x (k) j+k 1 y a su determiate, w j = w( j, x () j,, x (k) j ) = det W j (x 1, x,, (x k )), casoratiao de las secuecias Nótese que para cada ídice j la matriz de Casorati puede ser diferete Ejemplo 41 Dadas las sucesioes {( ), ( ), (1 )} las matrices de Casorati de ordees y 5 so 1 W = W (,, 1) = = ; W 5 = W ( 5, 5, 1) = y los correspodietes casoratiaos so w = 38 y w 5 = 3360 Como cosecuecia de la Prop4 Corolario 41 Si el casoratiao de orde h de las sucesioes {(x 1 ), (x ),, (x k )} es o ulo, es decir w h 0, para algú h N, etoces so liealmete idepedietes Demostració Si existe u ídice h N, co w h 0, etoces la submatriz co ídices cosecutivos desde h hasta (h + k 1), que es la matriz de Casorati de orde h de las sucesioes, es regular Observació 41 Si bie que u casoratiao sea o ulo implica que las sucesioes sea liealmete idepedietes, el recíproco o es cierto, es decir puede ocurrir que todos los casoratiaos sea ulos y que las secuecias sea liealmete idepedietes, por ejemplo si x = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, ) e y = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ), etoces todos los casoratiaos so cero y si embargo existe ua submatriz de orde, la formada por los ídices 1 y 3, regular 15

19 Proposició 43 Sea r 1, r,, r p C {0} todos diferetes etre si, ie r i r j si i j, co i, j N, etoces el cojuto de p secuecias, co p 1, {(r 1 ) N, (r ) N,, (r p ) N } es liealmete idepediete Demostració El caso p = 1 es trivial y el caso p = está desarrollado e el Ejemplo 35() Para el caso geeral se puede comprobar que w 1 = w 1 (r1, r,, rp )) = r 1 r r p r1 r rp r p 1 r p rp p p = r 1 r r p (r i r j ) 0 i,j=1 i>j dode la última igualdad es cosecuecia de ser las costates o ulas y diferetes Proposició 44 Si r C {0}, etoces el cojuto de p+1 secuecias {(r ) N, (r ) N,, ( p r ) N }, co p 1, es liealmete idepediete Demostració El casoratiao de primer orde para las p + 1 secuecias (r ), (r ),, ( p r ) es w 1 = w 1 (r1, r,, rp )) = r r r r r p r r p+1 (p + 1)r p+1 (p + 1) p+1 r p+1 Sacado factor comú r e la primera fila, r e la seguda y así sucesivamete hasta r p+1 e la última fila obteemos w 1 = rr r p p 1 (p + 1) (p + 1) p+1 = r (p+1)(p+) p+1 = 1!! (p 1)! p! r (p+1)(p+) dode la última igualdad es cosecuecia de que p+1 es u determiate de tipo Vadermode, co lo que w Solucioes y codicioes iiciales Recordemos que la relació de recurrecia lieal de orde k co coeficietes costates es x = a 1 x 1 + a x + + a k x k + e 16

20 para > k y dode a 1, a,, a k so costates reales, o complejas, fijas y a k 0 E el caso de que el térmio e sea cero diremos que la relació es lieal y homogéea Si además, se cooce alguos valores x 1,, x 0, que llamamos codicioes iiciales, podremos determiar ua solució, es decir secuecia, (x ) N, que verifique la ecuació y las codicioes iiciales El siguiete resultado geeraliza el caso de las relacioes homogéeas de segudo orde de la Prop 3 Proposició 45 El cojuto, S, de solucioes de la la relació de recurrecia lieal de orde k co coeficietes costates homogéea, x = a 1 x 1 + a x + + a k x k, es u subespacio vectorial de S C Demostració Evidetemete la sucesió costatemete igual a cero, (0), es ua de la solucioes Sea (x ) e (y ) solucioes de la ecuació, etoces x = a 1 x 1 + a x + + a k x k y = a 1 y 1 + a y + + a k y k Sea λ, µ C y sea la sucesió (z = λx + µy ) N a 1 z 1 +a z + +a k z k = a 1 (λx 1 +µy 1 )+a (λx +µy )+ +a k (λx k +µy k ) = = λ(a 1 x 1 + a x + + a k x k ) + µ(a 1 y 1 + a y + + a k y k ) = λ x + µ y = z Luego, (λx + µy ) N es solució y por tato S es subespacio vectorial de S C Proposició 46 Sea 0 N, suele ser 0 = 1, y c 1,, c k C costates cualesquiera co x 0 = c 1, x 0 +1 = c,, x 0 +k 1 = c k Etoces existe ua úica solució de x = a 1 x 1 + a x + + a k x k + e y cumpliedo las codicioes dadas Demostració La obteció de la solució se realiza iterativamete hacía adelate y hacía atrás a partir de los valores coocidos y, además, es úica por costrucció Si 0 + k x = a 1 x 1 + a x + + a k x k + e Si < 0 x = x +k a 1 x +k 1 a x +k a k 1 x 1 e +k a k Observació 4 Se puede demostrar que la dimesió del subespacio vectorial S formado por las solucioes de la la relació de recurrecia lieal de orde k co coeficietes costates tiee dimesió k 17

21 Teorema 41 Sea y ua solució particular de la Relació 1 Etoces, z es solució de la Relació 1 si y sólo si y z es solució de la relació homogéea asociada Demostració Se deja como ejercicio Nótese que las solucioes de la relació completa se obtiee como suma de ua solució particular de la completa y algua solució de la relació homogéea asociada A cotiuació euciamos si demostració u resultado que geeraliza el de la Prop 33 Proposició 47 Sea, x (),, x (k) k solucioes de la relació lieal homogéea x = a 1 x 1 + a x + + a k x k, y la sucesió de sus casoratiaos W = (w ) N Las siguietes afirmacioes so equivaletes 1, x (),, x (k) so liealmete idepedietes W es la sucesió costatemete igual a cero, es decir w = 0 N 3 w m = 0 para algú etero m Observació 43 Al igual que para resolver las relacioes de recurrecia lieales de segudo orde co coeficietes costates procederemos a calcular todas las solucioes de la ecuació homogéea (siguiete subsecció), después trataremos de hallar ua solució particular y, por último, determiar las costates para que se verifique las codicioes iiciales impuestas 43 Relació lieal homogéea co coeficietes costates Para hallar la solució geeral de la relació homogéea obtedremos k solucioes liealmete idepedietes a partir de las raíces de la ecuació característica Defiició 4 Dada la relació de recurrecia lieal y homogéea de coeficietes costates x a 1 x 1 a x + a k x k = 0 llamaremos ecuació característica asociada, a la expresió x k a 1 x k 1 a x k a k 1 x a k = 0 (5) El poliomio P (λ) = λ k a 1 λ k 1 a λ k a k 1 λ a k y a sus ceros raíces características se deomia poliomio característico 18

22 Nota 4 Esta defiició amplía la dada para relacioes lieales de orde dos Se cosidera primeramete el caso de que las k raíces características sea diferetes etre si y, a cotiuació el caso de multiplicidad de dichas raíces Proposició 48 Sea la relació x a 1 x 1 a x + a k x k = 0 Si λ es raíz de la ecuació característica, etoces x = λ es ua solució de la relació dada Demostració Se utiliza los mismos argumetos de la Prop 31 Proposició 49 Sea la relació x a 1 x 1 a x a k x k = 0 Si λ 1, λ,, λ k so las raíces de la ecuació característica y so distitas etre si, etoces la solució geeral de la relació dada es x = A 1 λ 1 + A λ + + A k λ k, siedo A 1, A,, A k costates arbitrarias Demostració El cojuto G = {(λ 1 ) N, (λ ) N,, (λ k ) N} es liealmete idepediete (Prop 43) Además, segú la Observ 4, la dimesió del cojuto de solucioes es k, co lo que G es ua base y cualquier elemeto se puede expresar como combiació lieal, es decir de la forma A 1 λ 1 + A λ + + A kλ k Ejemplo 4 Cosideramos la relació lieal homogéea de orde tres x = 6 x 1 11 x +6 x 3 co las codicioes iiciales x 0 =, x 1 = 5 y x = 15, que deotaremos por P 1 x = 6 x 1 11 x + 6 x 3 (P 1) x 0 =, x 1 = 5, x = 15 El poliomio característico es P (λ) = λ 3 6 λ + 11 λ 6 y sus raíces λ 1 = 1, λ = y λ 3 = 3, que so distitas, etoces la solució geeral es x = A A + A 3 3 Para determiar las costates, A i, utilizamos las codicioes iiciales y se forma el sistema x 0 = = A 1 + A + A 3 x 1 = 5 = A 1 + A + A 3 3 A 1 = 1, A = 1, A 3 = x = 15 = A 1 + A 4 + A 3 9 Luego la solució al problema P 1 es x = A cotiuació abordamos el caso de que las raíces de la ecuació característica sea múltiples Defiició 43 Dado el poliomio P (x) co coeficietes e C, es decir P (x) C[x], diremos que λ C es ua raíz múltiple de orde h de la ecuació P (x) = 0, si P (x) = (x λ) h Q(x), co Q(x) C[x] y Q(λ) 0 19

23 Proposició 410 Sea el poliomio P (x), co P (x) C[x] λ C es ua raíz múltiple de orde h de la ecuació P (x) = 0 si y sólo si P (λ) = 0, P (λ) = 0,, P (h 1 (λ) = 0 y P (h (λ) 0 Demostració ) Si P (x) = (x λ) h Q(x) evidetemete P (λ) = 0 P (x) = (x λ) h 1 (h Q(x) + (x λ) Q (x) y P (λ) = 0 Cotiuado co el proceso llegamos a que P (h 1 (x) = (x λ)(h(h 1) Q(x) + (x λ) h 1 Q (h 1 (x)) y P (h 1 (λ) = 0 Por último, P (h (x) = h! Q(x) + (x λ) h Q (h (x), por tato P (h (λ) = h! Q(λ) porque Q(λ) 0 ) Si el grado del poliomio P (x) es el desarrollo e serie de Taylor alrededor de λ es [ ] P (x) = (x λ) h P (h (λ) + P (h+1 (λ) + + P ( (λ) = (x λ) h Q(x) h! (h + 1)!! Obteiédose el resultado co Q(x) la suma etre corchetes Proposició 411 Si λ es ua raíz o ula co orde de multiplicidad h (h > 1) de la ecuació característica de la relació x = a 1 x 1 + a x + + a k x k, etoces el cojuto {(λ ) N, (λ ) N,, ( h 1 λ ) N } es u cojuto de solucioes liealmete idepedietes Demostració So idepedietes por la Prop 44 Queda como ejercicio demostrar que si m {0, 1,,, h 1}, etoces la secuecia ( m λ ) N es solució de x = a 1 x 1 + a x + + a k x k Corolario 4 Sea la relació x = a 1 x 1 + a x + + a k x k, co poliomio característico P (x) Si las raíces o ulas so λ 1, λ,, λ l co orde de multiplicidad h 1, h,, h l, respectivamete, y h 1 + h + + h l = k, etoces la solució geeral de la relació dada es x = ( ) ( A 11 λ 1 + A 1 λ A 1h1 h1 1 λ A l1 λ l + A l λ l + + A lhl h l 1 λ l ) siedo A 1j costates arbitrarias Ejemplo 43 Sea la relació lieal homogéea de orde tres x = 3 x 1 3 x 6 x 3 co las codicioes iiciales x 0 = 1, x 1 = y x = 1, que deotaremos por P x = 3 x 1 3 x 6 x 3 (P ) x 0 = 1, x 1 =, x = 1 El poliomio característico es P (λ) = λ λ + 3 λ + 1 y su úica raíz es λ = 1, co orde de multiplicidad 3 Etoces la solució geeral es x = A 1 ( 1) + A ( 1) + A 3 ( 1) Para 0

24 determiar las costates usamos las codicioes iiciales, obteiedo x 0 = 1 = A 1 x 1 = = A 1 A 3 A 1 = 1, A = 3, A 3 = x = 1 = A 1 + A + A 3 4 Luego la solució al problema P es x = ( 1) + 3 ( 1) ( 1) = ( 1) ( ) 44 Solucioes particulares Como ya se ha mecioado las solucioes de ua relació lieal completa se obtiee como suma de ua solució particular de la completa y algua solució de la relació homogéea asociada E este apartado describiremos dos métodos de cálculo de solucioes particulares, el método de variació de las costates, que ya se mecioó e la Secció 43 y el método de reducció a ecuació homogéea El método de variació de las costates que expoemos es para ecotrar ua solució particular de la relació de recurrecia supoiedo que el térmio idepediete, e, es ua fució poliómica, expoecial o trigoométrica I- Supogamos que e = (l 0 +l 1 + +l k k ) b es el producto de u poliomio por ua expoecial (poliómicas co b = 1 y expoeciales co l 1 = = l k = 0) La forma que adopta la solució particular depede de las raíces de la ecuació característica Tipo de raíz b o es raíz b es raíz simple b es raíz múltiple de orde h Solució particular (C 0 + C C k k ) b (C 0 + C C k k ) b h (C 0 + C C k k ) b II- Si e es de tipo trigoométrico, e = b cos α, o b se α E caso de que b sea complejo cosideramos e = b = b e jα ) La forma de solució particular es e = b (A cos α + B se α) Si b ± jα so además raíces de la ecuació característica de orde h, etoces la solució particular adopta la forma e = h 1 b (A cos α + B se α) Ejemplo 44 Co objeto de ilustrar el método cosideraremos el caso de relacioes de orde dos Aalizaremos la forma de solucioes particulares de la relació lieal homogéea de orde dos x = 6 x 1 9 x + e cuado e = 3, e = 3, e = y e = ( + 1)3 El poliomio característico es x 6x + 9 y la úica raíz (doble) es x = 3 Por lo que la solució geeral de la ecuació homogéea es x = A A 3 Para la forma de la solució particular se debe teer e cueta si las raíces características iterviee e e 1

25 1 Si e = 3, y puesto que 3 es raíz doble del poliomio característico, la solució particular será de la forma y = B 3 Sustituyedo e la relació y operado B 3 = 6B ( 1) 3 1 9B ( ) 3 +3 B 3 = B ( 1) 3 B ( ) 3 +3 Dividiedo por 3 e igualado los coeficietes de los poliomios de grado tres e obteemos B = 1 Luego, la solució es z = A A 3 Si e = 3, por ser 3 raíz característica la forma de la solució particular es y = (B+C)3 3 Si e =, por o ser raíz característica la forma de la solució particular es y = (B + C + D) 4 Si e = ( + 1)3, por ser 3 raíz la forma de la solució particular es y = (B + B + C)3 Como ejercicio calcula las costates, si existe, de los tres últimos casos El segudo método cosiste e realizar ua combiació lieal de las relacioes de recurrecia desplazadas de forma que se obtega ua relació lieal homogéea, auque de grado superior, que puede resolverse e ocasioes Proposició 41 Si ( ) es solució de x = a 1 x 1 + a x + + a k x k + e y (x () ) es solució de x = a 1 x 1 + a x + + a k x k + f, etoces ( + x () ) es solució de x = a 1 x 1 + a x + + a k x k + e + f Demostració Por ser solucioes de los problemas mecioados se verifica que = a a + + a k k + e x () = a 1 x () 1 + a x () + + a k x () k + f Sumado obteemos +x () = a 1 ( 1 +x() 1 )+a ( +x() )+ +a k( k +x() k )+e +f Referecias [1] E Bujalace, JA Bujalace, AF Costa, E Martíez, Elemetos de Matemática Discreta, Saz y Torres, Madrid, 1993 [] E Bujalace, JA Bujalace, AF Costa, E Martíez, Problemas de Elemetos de Matemática Discreta, Saz y Torres, Madrid, 1993

26 [3] RL Grimaldi, Matemática discreta y combiatoria Ua itroducció co aplicacioes, Pretice- Hall, México, 1998 [4] RL Grimaldi, Matemática discreta y combiatoria, Addiso-Wesley Iberoamericaa, 1989 [5] P Herici, Elemetos de aálisis umérico, Ed Trillas, México, 197 [6] K H Rose, Matemática discreta y sus aplicacioes, 5 a ed, McGraw-Hill Iberoamericaa, 004 [7] AA Samarski, ES Nikolaev, Métodos de solució de las ecuacioes reticulares, Ed Mir, 198 3