Análisis de Señales en Geofísica

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1 Aálisis de Señales e Geofísica 3 Clase Frecuecia de los Sistemas Lieales e Ivariates Facultad de Ciecias Astroómicas y Geofísicas, Uiversidad Nacioal de La Plata, Argetia

2 Fucioes y Valores Propios Defiició: Diremos que ua fució es ua fució propia de u sistema lieal e ivariate si cuado excitamos el sistema co esta fució os respode etregádoos la misma fució x propio del sistema: x pero escalada co u factor, este factor de escala es llamado valor x S y S x x Ejemplo: e t d dt d e e dt t t

3 Frecuecia Excitemos u SLI de respuesta impulsiva compleja: h, co ua fució expoecial i k x e h y h * e h e e h e i i i ik k k k k Llamaremos respuesta e frecuecia H ( ) de los SLI a: H ( ) k k h e ik i e h H ( ) e i Es decir que la fució expoecial compleja es ua fució propia de los SLI y su valor propio asociado es la respuesta e frecuecia H ( ). 3

4 Propiedades de H(ω) Es ua fució cotiua de la frecuecia agular digital. Es ua fució periódica de la frecuecia de período. Está completamete determiada por la respuesta impulsiva del sistema lieal e ivariate. La respuesta impulsiva del sistema puede ser ivertida a partir de ella, es decir que defie perfectamete al sistema. Por lo geeral tomará valores complejos, es decir que itroducirá cambios de escala y corrimietos de fase. 4

5 Relació co la Trasformada Z La trasformada Z de la respuesta impulsiva H ( z) está dada por: i Si evaluamos H ( z) sobre el círculo uidad z e, obteemos: k h z i ik H ( e ) h e H ( ) k k k Es decir que la respuesta e frecuecia H ( ) de u SLI es la trasformada Z de su respuesta impulsiva evaluada sobre el círculo uidad. Esto sigifica que la respuesta e frecuecia H ( ), es tambié ua trasformada que va del domiio discreto del tiempo al domiio cotiuo de las frecuecias, y como veremos más adelate, es ua de las cuatro formas de la trasformada de Fourier. k h 5

6 Ejemplo : Suavicemos ua señal Tomemos trasformada Z: x aplicádole u filtro de 3 putos: y x x x 3 Y ( z) 3zX ( z) X ( z) z X ( z) 3 z z X ( z) Evaluemos está expresió sobre el círculo uidad: i i Y ( ) e e X ( ) cos( ) X ( ) 3 3 La respuesta e frecuecia del sistema, tambié llamada fució de trasferecia, está dada por: Y ( ) H ( ) 3+ 3cos X ( ) 6

7 Ejemplo : H(ω) H ( ) cos ω 7

8 Ejemplo : Suavicemos la señal x co u filtro de 3 putos diferete: y x x x 4 Tomemos trasformada Z: Y ( z) 4zX ( z) X ( z) z X ( z) 4 z z X ( z) Evaluemos está expresió sobre el círculo uidad: i i Y ( ) e e X ( ) cos( ) X ( ) 3 4 La fució de trasferecia de este uevo filtro está dada por: H ( ) Y ( ) X ( ) + cos 8

9 Ejemplo : H( ) H ( ) cos 9

10 frecuecia del operador itegració: e x e dt y e dt x i i it it it ( t) ( t) ( t) H exacto ( ) i Es decir que la respuesta e frecuecia del operador exacto de itegració itroduce u factor de escala iversamete proporcioal a la frecuecia y u atraso de la fase de 90. 0

11 Trasformada Z de la regla del trapezoide: La regla del trapezoide se defie del siguiete modo: Tomamos trasformada Z: y y x x Y ( z) zy ( z) X ( z) zx ( z) La fució de trasferecia es: H trapezoide Y ( z) z ( z) X ( z) z Está es la trasformada Z del operador de la regla del trapezoide, y como veremos está estrechamete relacioada a lo que se deomia operador bilieal.

12 frecuecia de la regla del trapezoide: H trapezoide Y ( z) z ( z) X ( z) z i Evaluamos la trasformada Z sobre el círculo uidad z e : i i i e e e cos Htrapezoide( ) i i i cotg e e e i si i E las bajas frecuecias, cuado 0, H ( ), es decir que la regla i del trapezoide es ua buea aproximació de baja frecuecia. Calculemos el cociete etre la respuesta e frecuecia del trapezoide y la respuesta e frecuecia del operador exacto: H trapezoide H exacto cotg ( ) i cotg ( ) i

13 Cocietes de las respuestas e frecuecia de trapecio, Simpso y Tick, co la respuesta exacta: Trapecio: y y ( x x ) Simpso: y y ( x 4 x x ) Tick: 3 y y x.83x x 3

14 frecuecia del operador derivació: d d x e y e ie ix dt dt it it it ( t) ( t) ( t) H exacto ( ) i Es decir que la respuesta e frecuecia del operador exacto de derivació itroduce u factor de escala directamete proporcioal a la frecuecia y u adelato de la fase de 90. La respuesta e frecuecia del operador exacto de derivació es la iversa de la respuesta e frecuecia del operador exacto de itegració. 4

15 Diferecias de Primer Orde Es posible aproximar ua derivada e forma discreta utilizado la diferecia cetral de primer orde: y ( x x ) diferecia cetral de primer orde Este operador utiliza dos muestras o cosecutivas para aproximar la derivada. Es claro que si utilizamos dos muestras cosecutivas, podríamos obteer ua mejor aproximació de la derivada. Existe dos posiblidades: y x x x f y x x x b diferecia de primer orde hacia adelate diferecia de primer orde hacia atrás El problema es que ambas aproximacioes itroduce u corrimieto e tiempo de media muestra respecto de la posició correcta de la salida y e y, este corrimieto e tiempo correspode a u corrimieto lieal de la fase que alcaza los 90 cuado. 5

16 Diferecias de Orde Superior Repetidas aplicacioes de las diferecias de primer orde puede utilizarse para obteer diferecias de orde superior y aproximar de maera discreta derivadas de orde superior. Por ejemplo: f b x x x x x x x x x x x x x ( x x ) x x x f b x x x x x x f 3 3 x 3x 3x x b 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x 3x 3x x x x x x x x x x 3 f 3 b 3 x x x x 3x 3x x x 3x 3x x 4 f 3 b 3 x 4x 6x 4x x 6

17 frecuecia de la diferecia de primer orde hacia adelate: y x x x f Tomamos trasformada Z: Y z z X z ( ) ( ) La fució de trasferecia está dada por: Y( z) H z z X( z) diferecia ( ) Evaluado sobre el círculo uidad z e i, obteemos: i H ( ) e i i diferecia 3 6 El cociete etre la respuesta e frecuecia de la diferecia de primer orde hacia adelate y la respuesta e frecuecia del operador exacto es: i H diferecia e H exacta ( ) i ( ) i 6 7

18 Cociete de la respuesta e frecuecia de la diferecia de primer orde hacia adelate co la respuesta exacta: db H ( ) diferecia 0log0 Hexacta ( ) 8

19 Desarrollo e Serie del Logaritmo Hagamos uso de la coocida serie geométrica: Itegramos ambos miembros: z 3 4 z z z z z, z dz z 0 z l( z) l( z) l( z) l( z) 0 z dz z ( ) z z 0 ( ) ( z ) 9

20 Desarrollo e Serie del Logaritmo Para obteer ua covergecia más rápida del desarrollo e serie del logaritmo hacemos el siguiete cambio de variables: z w z, w w z w l( z) l w w w w w w z z z z l( z) z 3 z 5 z 7 z 0

21 Desarrollo e Serie de la expoecial e! 3! 4! 3 4 e i! 3! 4! i 3 4 i e i! 3! 4! i 3 4 i e i e i e i 3 4 i i! 3! 4! 3 4 i i! 3! 4!

22 La Trasformació Bilieal Las operacioes de derivacio e itegració está defiidas e u domiio cotiuo. Queremos ecotrar u operador que aplicado e el domiio de los tiempos discretos sea equivalete a multiplicar o dividir por i e el domiio de las frecuecias. La dificultad del problema radica esecialmete e la o simplicidad de la relació que vicula a las variables z y, esta relació está defiida por: z e i i l( z) Ir desde el domiio de los tiempos discretos al domiio de la trasformada Z es simple e imediato. Pero ir desde el domiio de la respuesta e frecuecia al domiio de los tiempos discretos, pasado por el domiio de la trasformada Z, es ua tarea compleja que requerirá de algú tipo de aproximació.

23 La Trasformació Bilieal Para ecotrar las aproximacioes buscadas, hacemos u desarrollo e serie de la expoecial compleja y trucamos e el segudo térmio: z i i i i e i! e i e i i i! Aálogamete, hacemos u desarrollo e serie del logaritmo atural y trucamos tambié e el segudo térmio: i z z z i l e l( z) z 3 z z 3 3

24 La Trasformació Bilieal Estas expresioes aproximadas que vicula la variable z y la variable so coocidas como Trasformació Bilieal: z i z i i z Esta trasformació se utiliza para aproximar derivadas e itegrales por medio de u desarrollo e serie trucado de las relacioes etre z y. 4

25 La Trasformació Bilieal Veamos como podemos iterpretar la utilizació de la Trasformació Bilieal para aproximar la derivada: b x = y = x x y = y + y y + y = x x Y z + zy z = X z zx z Y z + z = X z z Y z H z = X z = z + z La Trasformació Bilieal tiee ua respuesta e amplitud muy superior a la de las diferecias de primer orde para frecuecias extremadamete bajas y tiee ua respuesta e fase exacta para todas las frecuecias a expesas de ua paupérrima respuesta e amplitud para las frecuecias más altas. 5

26 La TB preserva las propiedades de causalidad, estabilidad y fase míima Se puede demostrar que si u sistema aalógico es causal y estable, el sistema discreto que se obtiee aplicado la Trasformació Bilieal tambié será causal y estable. Asimismo, si el sistema aalógico origial es de fase míima, la Trasformació Bilieal preservará dicha propiedad, de tal forma que el sistema discreto obteido tambié será de fase míima. Ua ecuació diferecial estable, covertida e ua ecuació de diferecias utilizado la Trasformació Bilieal, tambié tedrá ua solució discreta estable. Esto o siempre es así cuado la ecuació se discretiza utilizado diferecias hacia adelate o hacia atrás. 6

27 La TB preserva las propiedades de causalidad, estabilidad y fase míima Si supoemos que la frecuecia puede tomar valores complejos, estaríamos evaluado la trasformada Z o solamete sobre el círculo uidad sio sobre cualquier puto del plao complejo: z = e iω i Re ω +iim ω = e = e Im ω ire ω e Esta relació mapea el exterior del círculo uidad del plao Z e la mitad superior del plao w. Mietras que el iterior del círculo uidad del plao Z es mapeado e la mitad iferior del plao w. Observado la defiició de la trasformació bilieal, puede verse que el mapeo que efectúa etre los plaos Z y w, tiee las mismas características. Este hecho extremadamete fortuito tiee como implicacia que la codició de fase míima es preservada por la trasformació bilieal. Por ejemplo, que ua ecuació diferecial estable, covertida e ua ecuació de diferecias utilizado la trasformació bilieal, tambié tedrá ua solució digital estable. Esto o siempre es así cuado se utiliza diferecias hacia adelate o hacia atrás. 7

28 Bibliografía: Karl, Joh H. (989), A itroductio to Digital Sigal Processig, Academic Press, Chapter Three. 8

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