Filtro. k k. determinan la respuesta en frecuencia del filtro. Una señal x(n) que pase a través del sistema tendrá una salida Y ( ω)

Transcripción

1 Itroducció a los filtros digitales. Itroducció. El térmio FILTRO hace referecia a cualquier sistema que discrimia lo que pasa a su través de acuerdo co alguo de los atributos de la etrada. De acuerdo co esta defiició ta geeral podemos teer filtros de agua, filtros de partículas de aire, filtros de aceite etc. osotros os vamos a cetrar e filtros digitales. Estos filtros discrimiará las señales de acuerdo co sus características frecueciales. Este tipo de filtros tiee como etrada ua secuecia discreta y como salida otra secuecia discreta, que habrá experimetado ciertas variacioes e amplitud y/o fase depediedo del filtro empleado. x( Filtro y(. Coceptos de filtros digitales Vamos a cosiderar sistemas lieales ivariate temporales (LIT caracteriados por ua ecuació e diferecias co coeficietes costates de la forma: Su fució de trasferecia es: Los coeficietes { a } y { b } y( M b x( H ( M b a a y( Y ( X ( determia la respuesta e frecuecia del filtro. Ua señal x( que pase a través del sistema tedrá ua salida Y ( ω H ( ω X ( ω, siedo H (ω la respuesta e frecuecia del filtro cosiderado. Los filtros digitales que vamos a cosiderar será sistemas LIT que va a producir ua alteració selectiva de las compoetes frecueciales de la señal de etrada. Ejemplo: y ( x( + x(. CURSO 9-

2 + e H ( ω jω H Φ ( ω ( ω ω cos ω Respuesta e frecuecia e módulo U filtro selectivo e frecuecia ideal tiee las siguietes características: jω Ce ω ω ω H ( ω e otro caso cosideremos ua señal de etrada x (, cuyas compoetes frecueciales se ecuetre el e itervalo [ ω,ω ], Y ( ω H j ( ω ( ω ω X Ce X ( ω Tambié podríamos cosiderar ua señal de etrada x x( + x (, siedo x ( la parte de la j ω + CURSO 9-. ( x ( señal co compoetes frecueciales e el itervalo [ ω,ω ] y ese itervalo, co lo que Y ( ω H ( ω X ( ω H ( ω X ( ω H ( ω X ( ω Ce X ( ω la compoetes frecueciales fuera de

3 Siedo ω y ω los límites de la bada de paso, y C u factor de gaacia. Depediedo de los valores de ω y ω, tedremos filtros pasa-baja, pasa-alta, elimia-bada, etc. E el domiio temporal, calculado trasformadas iversas, y( Cx( La señal de etrada solo se retarda, o se distorsioa H ( ω C Θ( ω ω Se defie ua fució de retardo de grupo como τ ( ω ( ω dθ dω Esta fució determia el retardo producido, al atravesar el filtro, para u cojuto de frecuecias o armóicamete relacioadas respecto de la señal aalógica origial. Si Θ ( ω es lieal τ ( ω cte por lo que el retardo producido o depederá de la frecuecia; es decir, el retardo experimetado por todas las compoetes presetes e la señal será el mismo. Este tipo de sistemas se dice que tiee fase lieal. Si Θ ( ω o es lieal diremos que el sistema produce distorsió de fase.. La propiedad de liealidad de fase es importate e comuicacioes, audio y otras aplicacioes e las que las relacioes temporales etre las diferetes frecuecias so críticas. Se defie el retardo de fase τ ( ω ( ω Θ ω p que proporcioa el retardo experimetado por ua siusoide de frecuecia ω al pasar a través del sistema. El retardo de grupo τ ( ω.3 g ( ω dθ dω, se puede iterpretar, e el caso de ua señal modulada, como el retardo experimetado por la evolvete, e idica el retardo de las diferetes frecuecias presetes e la señal de etrada etre sí. Es decir si teemos ua señal modulada del x a x( Aa( τ cos ω τ, la señal a la salida vedrá dada por ( ( tipo ( ( cos( ω c CURSO 9- g c p

4 .. Filtro pasa-baja ideal La respuesta e módulo y fase es la mostrada e las siguietes gráficas..4 Respuesta e frecuecia e módulo ωc ω c ω c ω c Podemos obteer la respuesta impulsioal a partir la trasformada de Fourier iversa de su respuesta e frecuecia 3 H ( ω jω Ce ωc ω ωc e otro caso Extraído de: Digital Sigal Processig. A computer-based approach. S. K, Mitra. 3 La expresió más habitual para u filtro pasa baja ideal es H ( ω.4 ωc ω ωc e otro caso CURSO 9-

5 ωc ωc jω ( ω ω jω ( e scola ècica uperior giyeria ( (( ωc ( c si j j h( Ce e dω Ce dω C C π π π j π ωc ωc ωc Si ; es decir, o hay retardo iicial la represetació gráfica de la respuesta impulsioal es ua fució sic escalada. ω si ( ω c c π ω c h( ωc π Para C y varios valores de ω las gráficas obteidas so: c ω.3.5 Respuesta impulsioal del filtro ideal para distitas frecuecias de corte ω c.π ω c.π ω c.3π El filtro ideal es o causal y tiee u úmero ifiito de térmios. Por tato o es realiable físicamete. La secuecia { h( } o es absolutamete sumable 4 por lo que este sistema o será estable. Los filtros reales tiee ua respuesta e frecuecia diferete, tal como se muestra e la siguiete figura. Estos filtros satisface las codicioes de Payley-Wieer, que so: H (ω o puede ser cero excepto e u úmero fiito de frecuecias. 4 Ua secuecia h( es absolutamete sumable si h( <.5 CURSO 9-

6 H (ω o puede ser costate e u itervalo fiito de frecuecias. H (ω o puede ser discotiua e igua frecuecia H y ( ω (ω Φ o so idepedietes Lo que idica, por ua parte, que las respuestas e frecuecia de los filtros ideales o se puede coseguir, y por otra que se debe utiliar técicas de optimiació para determiar los parámetros que mejor ajusta la respuesta e frecuecia deseada. Dado que H( es o lieal, existe múltiples procedimietos de optimiació para calcular los coeficietes; so lo que costituye las técicas de diseño de filtros digitales..4. +δ δ BADA PASATE BADA TRASICIÓ BADA ATEUADA. δ ω p ω s ω/π CARACTERÍSTICAS DE U FILTRO REAL + δ Riado e la bada pasate δ, δ P R, ( log p rp db > δ Riado e la bada de rechao (Ateuació δ, δ S δ R s, r s ( db log logδ > + δ Frecuecia límite de la bada de paso. ω p Frecuecia límite de la bada de rechao ω s Bada de trasició: Bω s -ω p. Frecuecia de corte: H ( H ( ω c (para u F. pasa baja La respuesta e frecuecia e módulo o es cero para u itervalo de frecuecias sio solo para determiadas..6 CURSO 9-

7 .. Diseño de filtros por ubicació de ceros y polos Uo de los métodos más básicos para el diseño de filtro digitales secillos es mediate la ubicació de ceros polos. La base de este método de diseño se basa e la iterpretació geométrica de la respuesta e frecuecia. La respuesta e módulo de u filtro digital factoriado como productos de ceros y polos es la siguiete: H ( M Π Π ( ( p M Π Π ( distacia de a ceros ( distacia de a polos Cuado calculamos la respuesta e frecuecia de u sistemas aaliamos el comportamieto del mismo ate señales de etrada siusoidales; es decir, evaluamos jω H ( sobre la circuferecia uidad; e (si ROC de H ( Procedimieto de diseño: Para el diseño de filtros por ubicació de ceros y polos colocaremos los ceros sobre la circuferecia uidad a las frecuecias que se desea elimiar y polos e las frecuecias que se desea amplificar, cerca de la circuferecia uidad, pero e su iterior, para asegurar la estabilidad del sistema. Para que los coeficietes del sistema sea reales, los ceros y polos aparecerá como pares complejos cojugados. Posteriormete podemos multiplicar por u factor de gaacia para que la respuesta e módulo e la bada pasate sea la uidad. Para el diseño de filtros pasa-baja los ceros se colocará a altas frecuecias y los polos a bajas. El procedimieto cotrario será utiliado para u filtro pasa-alta. Las gráficas siguietes muestra alguos filtros diseñados por este método..7 CURSO 9-

8 Extraído de: Tratamieto Digital de Señales. J.G. Proais Los filtro pasa bada se diseña colocado pares de polos complejos cojugados cerca de la circuferecia uidad e la bada pasate. Podemos colocar ceros a frecuecias bajas y/o altas si el sistema desea ateuar dichas frecuecias. Ejemplo: Diseñar u filtro pasa bada cetrado e π ω. Hemos de situar u par de polos complejos cojugados cerca de la circuferecia uidad a la frecuecia cetral de la bada. Los colocaremos a ua distacia r (Opció I. Si o teemos especificacioes adicioales podemos colocar tambié ceros e ω y ω π (Opció II. La fució de trasferecia e cada caso será: Opció I: H ( si impoemos que H ( ω que G r. ω π G π π j j re re, utiliado la iterpretació geométrica es fácil determiar La respuesta e frecuecia, módulo y fase es la siguiete:.8 CURSO 9-

9 Respuesta e frecuecia e módulo r.9 ω c π/ Opció II: ( ( ( H G,si impoemos que H ( ω r G. + π j re re π j ω π, etoces.9 CURSO 9-

10 Respuesta e frecuecia e módulo r.9 ω c π/ Veamos alguos tipos de filtros diseñados por ubicació de ceros polos: resoadores digitales, filtros raura (otch, filtros peie (comb.... Resoadores digitales. U resoador digital es u filtro pasa bada estrecho que tiee u par de polos complejos ± jωo cojugados situados cerca de la circuferecia uidad. p re < r (El diseño I del ejemplo aterior es u resoador La fució de trasferecia es: H ( G jωo jωoc ( re ( re., < Si impoemos que la gaacia del sistema sea la uidad para ω ω el valor de G es: G ( ( r + r r cos( ω o Este filtro resuea (la respuesta e frecuecia e módulo tiee u máximo e las proximidades de ω + r ω r cos cos( ωo r c CURSO 9-

11 La respuesta impulsioal de u resoador viee dada por r h( G se( ω( + u( (Probar como ejercicio seω Diagrama de polos y ceros Respuesta e frecuecia e módulo r.9 ω c π/4.5 Imagiary Part Real Part Respuesta impulsioal r.9 ω c π/ Si el valor de r es muy próximo a la uidad la frecuecia de resoacia coicide co la frecuecia del polo lim ω ω. r r o La achura de la resoacia ω (distacia etre las dos frecuecias para las que la ateuació ha caído e 3dB, respecto al valor cetral es aproximadamete: ( ω 3dB r para r >. 9 Si colocamos los ceros e y, la expresió obteida expresada e potecias egativa de es: H ( ( ( + G jω o jωo ( re ( re G ( ( r + r r cos( ω o cos( ω. o CURSO 9-

12 Diagrama de polos y ceros Respuesta e frecuecia e módulo r.9 ω c π/4.5 Imagiary Part Real Part Respuesta impulsioal r.9 ω c π/ Osciladores Siusoidales. Podemos cosiderar el oscilador siusoidal como u caso límite de u resoador cuyos polos se ecuetra sobre la circuferecia uidad H ( G jωo e e jωoc ( ( si particulariamos la respuesta impulsioal calculada para el resoador obteemos h ( G se( ω( + u( seω Si G A seω la respuesta impulsioal de este sistema es ua oscilació siusoidal de amplitud A; es decir si a partir de H( obteemos la ecuació e diferecias, ua forma secilla de geerar ua señal siuosidad de frecuecia agular y amplitud seleccioable por el usuario es dar valores a esta expresió. h( A seω δ ( + cosω h( h( Tégase e cueta que ua ve elegida la frecuecia y amplitud de la oscilació los térmios A seω y cosω so costates, por lo que la geeració de la siusoide úicamete realia operacioes suma y producto.. CURSO 9-

13 Estabilidad de u oscilador. Segú la defiició de estabilidad BIBO, se debe cumplir que para cualquier etrada acotada la salida debe estar acotada. E este caso las salidas está acotadas salvo para ua etrada siusoidal de frecuecia igual a la frecuecia de oscilació por lo que u oscilador es u sistema IESTABLE....3 Filtros Raura y Peie (otch filters,comb filters. Los filtros raura so filtros elimia-bada muy estrechos. Idealmete tiee ulos perfectos a determiadas frecuecias. Sirve para elimiar frecuecias putuales. Para ello se coloca ceros complejos cojugados sobre la circuferecia uidad e las frecuecias ± jωo que se desea elimiar. e, La fució de trasferecia es: H jωo ( ( ( jωo G e e E la siguiete figura mostramos el diagrama de polos y ceros y la respuesta e frecuecia para ua frecuecia digital f (G. 8 Diagrama de polos y ceros Respuesta e frecuecia e módulo r ω c π/4 4 Imagiary Part Real Part Respuesta impulsioal r ω c π/ El filtro elimia la frecuecia deseada pero tambié modifica las frecuecias próximas. Ua forma de mejorar el comportamieto de este tipo de filtros es itroducir ua resoacia a la.3 CURSO 9-

14 misma frecuecia, colocado u par de polos complejos cojugados de trasferecia e este caso es: H scola ècica uperior giyeria p re jωo jωo ( ( e ( e cosωo + G G jωo jωo ( re ( re r cosω + r o ± jωo, la fució La respuesta e frecuecia, se muestra e la gráfica siguiete. Se ha elegido G de forma que la gaacia a bajas frecuecias sea la uidad. Diagrama de polos y ceros Respuesta e frecuecia e módulo r.9 ω c π/4.5 Imagiary Part Real Part Respuesta impulsioal r.9 ω c π/ E la figura siguiete vemos u tipo de otch filter co ulos equiespaciados. La forma de su respuesta e frecuecia se asemeja a u peie, por lo que estos filtros se deomia Comb filters. Preseta ulos periódicamete distribuidos e todo el espectro. E setido geeral u Comb filers es u filtro cuya respuesta e frecuecia es ua fució periódica de ω co período π/l co L u etero positivo..4 CURSO 9-

15 Diagrama de polos y ceros Respuesta e frecuecia e módulo r.9 ω c π/.5 Imagiary Part Real Part Respuesta impulsioal r.9 ω c π/ Los filtros peie se obtiee cocateado ceros y polos colocados a la misma frecuecia, muy próximos etre sí M jω ( e M + b + b bm H ( M M + ra + r a r a D r M jω ( re M ( ( < r < U caso particular de esta estructura es la del ejemplo aterior cuado los ceros y polos se ecuetra equiespaciados. Como ocurre e la gráfica aterior. Podemos defiir ua expresió más geeral permitiedo que los ceros o esté sobre la circuferecia uidad. E este caso tedremos u parámetro adicioal, R. Depediedo de que r>r o r<r, tedremos otch equiespaciados o badas de resoadores cuya forma se asemeja a las putas de u peie. E la gráfica aterior hemos mostrado el caso r.9<r y e la siguiete el caso r.98>r CURSO 9-

16 Diagrama de polos y ceros Respuesta e frecuecia e módulo r.98 ω c π/.5 Imagiary Part Real Part Respuesta impulsioal r.98 ω c π/ Otro ejemplo de filtro peie es el promediado móvil de M+ muestras: y( M + Si calculamos la respuesta e frecuecia, M x(.6 CURSO 9-

17 M + jωm ( ( H M + H ( ω e M + si ( ω ( M + si( ω El sistema tiee M+ ceros equiespaciados sobre la circuferecia uidad a las frecuecias: ω π.. M. Hay ua cacelació cero-polo e ω. M + Imagiary Part Diagrama de polos y ceros Real Part Respuesta impulsioal ω c π/ Respuesta e frecuecia e módulo ω c π/ Filtros pasa todo. So filtros co ua respuesta e módulo igual a la uidad para todas las frecuecias. Úicamete modifica la fase de la señal de etrada. El más secillo es el retardo H (. El filtro pasa-todo o trivial básico tiee por fució de trasferecia a + H ( > a a Si obteemos la respuesta e frecuecia e módulo es fácil obteer que H ( ω idepedietemete del valor de a..7 CURSO 9-

18 .8 CURSO 9- Se puede obteer filtros pasa todo de orde superior cocateado sistemas de primer y segudo orde (polos complejos. La expresió geeral de u filtros pasa-todo es: ( ( o a a a H Es decir los coeficietes del umerador y deomiador so los mismos pero e orde iverso. Si se verifica esto las raíces del umerador está relacioadas ya que si so ceros del sistema los polos estará e p. Para que el sistema sea estable, los polos estará e el iterior y todos los ceros e el exterior de la circuferecia uidad. Este tipo de filtro permite modificar la fase de ua señal si afectar a su amplitud. La expresió geeral para u filtro pasa todo co R raices reales y C complejas es: ( ( ( ( ( ( c c R R K K K K b b b b a a H * * ( La siguiete figura muestra la respuesta e frecuecia del sistema co fució de trasferecia: ( ( cos cos.7.5 ( H π π

19 Imagiary Part Diagrama de polos y ceros - Real Part Respuesta impulsioal scola ècica uperior giyeria Respuesta e frecuecia e módulo CURSO 9-