APUNTES DE MATEMÁTICAS

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1 APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo

2 INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí Ejercicios Tema 3..6 Tema 4: La Recta.. 8 Ejercicios Tema Tema 5: La Ecuació de La Circuferecia.. 49 Tema 6: La Elipse Tema 7: Sucesioes...57 Ejercicios Tema Tema 8: Progresioes Ejercicios Tema Aexo I: Problemas de lógica matemática.86 Aexo II: Sudokus..90

3 Tema : Vectores e el Plao TEMA : VECTORES EN EL PLANO. Vectores Fijos Dos putos distitos A y B determia ua recta que llamaremos la recta r. Tambié determia el segmeto AB o BA. Si el segmeto AB se cosidera recorrido de A hacia B, se dice que es el vector fijo de orige el puto A y de extremo el puto B y se escribe: AB Dos putos A y B determia u solo segmeto AB = BA, y dos vectores fijos: AB y BA. U vector fijo, se dice que es u vector fijo ulo cuado su orige y su extremo coicide: AA, BB y CC so vectores fijos ulos.. Características de u vector fijo Los tres elemetos característicos de u vector fijo de orige A so: Módulo, direcció y setido. El módulo de u vector fijo AB es la logitud del segmeto AB. Para expresar que el vector AB tiee de módulo 3cm, se escribe: AB = 3cm. El vector ulo AA tiee módulo cero: AA =0. Se llama direcció de u vector fijo AB a la determiada por la recta que pasa por los putos A y B. Todas las rectas paralelas tiee la misma direcció. Para expresar que los vectores AB y CD tiee la misma direcció, se escribe: AB CD El setido de u vector fijo AB es del orige A al extremo B. Ua direcció tiee dos setidos.

4 Tema : Vectores e el Plao.3 Vectores opuestos Dos putos A y B determia dos vectores fijos: AB y BA que se llama vectores fijos opuestos. Es evidete que dos vectores fijos opuestos tiee el mismo módulo, la misma direcció y setidos cotrarios..4 Vectores equipoletes Dos vectores fijos AB y CD se dice que so equipoletes si los dos so ulos o si los dos tiee la misma direcció, el mismo módulo y el mismo setido, idepedietemete de los putos de orige y extremo de los mismos. B D A C AB CD o AB = CD E el ejemplo, AB y CD so equipoletes o equivaletes, e cosecuecia, so el mismo vector. Se llama vector libre a cada vector fijo juto co todos sus equipoletes, el vector fijo AB y todos sus equipoletes forma u vector libre. El vector libre formado por todos los vectores ulos se llama vector libre ulo. El módulo, direcció y setido de u vector libre es el módulo, direcció y setido de cualquiera de sus represetates..5 Compoetes de u vector fijo Dados los putos A = (x, y ) y B = (x, y ) que determia el vector AB :

5 Tema : Vectores e el Plao y B y A x x La diferecia x x etre las abcisas de A y B se llama Primera Compoete del vector AB y la diferecia y y es la Seguda Compoete de AB..6 Compoetes de u vector libre U vector libre es u par de úmeros reales dados e u cierto orde que se llama compoetes del vector. 3

6 Tema : Vectores e el Plao.8 Ejercicios resueltos a) Dados los putos A = (, 3) y B = (3, 7), hallar las compoetes de los vectores opuestos: AB y BA y las compoetes de los vectores ulos AA y BB. Solució: AB = (3, 7 3) = (, 4) BA = ( 3, 3 7) = (-, -4) AA = (, 3 3) = (0, 0) BB = (3 3, 7 7) = (0, 0) b) Del vector PQ de compoetes (5, -) se cooce el extremo Q = (, -3). Hallar las coordeadas de P. Solució: PQ = ( x, -3 y) = (5, -), x = 5-3 y = - Por tato: x = 7, y = - y P = (7, -) c) Se llama resultado de aplicar u vector a u puto al extremo del vector que resulta de sumar las compoetes del vector a las coordeadas del puto. Aplicar el vector x = (, 3) a los putos A = (, 4), B = (3, 0) y O = (0, 0) Solució: A = (, 4) (+, 4+3) = (3, 7) = A B = (3, 0) (3+, 0+3) = (5, 3) = B O = (0, 0) (0+, 0+3) = (, 3) = O Los vectores fijos: AA ', OO ' y BB so equipoletes e iguales a x. OO ' sería el represetate caóico del vector libre x. d) Hallar el puto simétrico A de A = (4, -) respecto del puto M = (, 6) 4

7 Tema : Vectores e el Plao Solució: Los vectores MA y MA ' ha de ser opuestos MA = (4, - 6) = (, -8) MA ' = (x, y 6) Se deberá cumplir que: ( x, y 6 ) = ( -, 8 ) x = -, x = 0 Luego el puto simétrico de A es A =(0, 4) y 6 = 8, y = 4 A (x, y) -- M (, 6) A (4, -) 5

8 Tema : Vectores e el Plao.8 Suma de vectores libres La suma de los vectores libres: a y b se defie de la siguiete maera: Partiedo de u puto A cualquiera del plao, se traza u represetate AB del vector libre a y, co orige e B, se traza u represetate BC del vector libre b. El vector suma a + b es el que tiee por orige A y por extremo C. Esta forma de defiir el vector suma se llama regla del paralelogramo. A a + b b B a C.9 Compoetes del vector suma Vamos a sumar los vectores libres a = (, 4) y b = (6, ). Puesto que la suma de vectores o depede del orige elegido, tomaremos como tal el orige de coordeadas: Para sumar dos vectores se suma sus respectivas compoetes a + b = (, 4) + (6, ) = ( + 6, 4 + ) = (8, 6) 6

9 Tema : Vectores e el Plao.0 Propiedades de la suma de vectores a) La suma de vectores es ua operació itera. ( LCI ) b) Se cumple la propiedad asociativa c) El elemeto eutro es el vector (0, 0) d) Todo vector tiee su opuesto e) Se cumple la propiedad comutativa Por cosiguiete el cojuto de los vectores libres co la operació suma tiee estructura de Grupo Abeliao.. Diferecia de dos vectores Se llama vector diferecia de los vectores libres a y b al vector que resulta de sumar al primero el opuesto del segudo: a b = a + ( b) = d. Ejercicios a) Demuestra geométricamete la propiedad asociativa de la suma de vectores. b) Dados los vectores a = ( 3, -) y b = (4, ), hallar a b, b a y b a. Efectuar la represetació gráfica. c) E el paralelogramo OABC, averiguar el vector que resulta de cada ua de las operacioes siguietes:. OA + OC. OA + AB 3. OC OA 4. OC CB 7

10 Tema : Vectores e el Plao.3 Producto de u úmero real por u vector Se llama producto de u úmero real k por u vector a, y se desiga por k a, o bie ka, al vector libre que verifica estas tres codicioes:. La direcció del vector k a es la misma que la del vector a.. El setido del vector k a es el mismo que el del vector a si k > o, y es el cotrario si k < El módulo del vector ka es igual al producto del valor absoluto de k por el módulo del vector a : ka = k a Si el vector a = (a, a ), etoces: ka = k(a, a ) = (ka, ka ).4 Propiedades del producto de úmeros reales por vectores. Distributiva respecto a la suma de vectores: k ( a + b) = k a + k b. Distributiva respecto de la suma de escalares: ( k + m) a = k a + m a 3. Asociativa mixta: ( km) a = k ( m a) 4. El elemeto eutro del producto de escalares lo es tambié del producto por cualquier vector: a = a Recordemos que la suma de vectores libres forma u Grupo Abeliao o Comutativo. Además, el producto de escalares por vectores libres tiee las 4 propiedades que acabamos de ver, y por tato se dice que el cojuto de vectores libres del plao es u Espacio Vectorial. 8

11 Tema : Vectores e el Plao EJERCICIOS DE VECTORES EN EL PLANO Ejercicio : Cuestioario: a) Sí dos vectores fijos o tiee el mismo setido etoces tiee setidos cotrarios. b) U vector libre es u cojuto de ifiitos vectores fijos cualesquiera. c) Los vectores fijos ulos so equipoletes. d) Todos los vectores fijos equipoletes etre si tiee iguales sus compoetes. e) Las compoetes de u vector libre coicide co las coordeadas del extremo de su represetate co orige e el orige de coordeadas. f) La suma de dos vectores libres o depede del orige elegido i del orde de los sumados. g) El vector ulo es el elemeto eutro de la suma y de la diferecia de vectores libres. h) Al multiplicar u vector libre por u úmero real se obtiee otro vector de igual direcció y setido que el primero. Ejercicio : Dado el cuadrado ABCD, cuatos vectores libres determia los vértices? Ejercicio 3: Se cosidera e u plao u puto fijo O. Se toma represetates de orige O de todos los vectores fijos del mismo módulo: Qué figura determia los extremos de estos vectores? 9

12 Tema : Vectores e el Plao Ejercicio 4: Averiguar si los vectores AB y CD so equipoletes. Puto Coordeadas A (,-3) B (6, -) C (5, ) D (9, 3) Ejercicio 5: Averiguar si el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices so A = (, ), B = (6, 4), C = (3, 5) y D = (8, 3) es u paralelogramo. Ejercico 6: Aplicar el vector libre a =(, -3) a los putos A = (, 5), B = (3, 4), C = (-, ) Si A, B y C so los putos trasformados de A, B y C, respectivamete, calcular las compoetes de los vectores: vectores? AA ', BB ' y CC '. Como so estos Ejercicio 7: Dado el triágulo de vértices: A = (4, ), B = (-, 4) y C = (-, -), se pide represetarlo y hallar las compoetes de los vectores: PQ, QR y RP, siedo P, Q y R los putos medios de los lados AB, BC y CA, respectivamete. Ejercicio 8: Dados los vectores : a = (, -), b = (3, -), c a) a + b b) a b c) b a = (-, 4), calcular: 0

13 Tema : Vectores e el Plao d) a + b + c e) a + b c f) a b c g) a + b c Ejercicio 9: Represetar los vectores a + b y a b del ejercicio aterior mediate represetates que tega su orige e el orige de coordeadas. Ejercicio 0: Hallar el simétrico del puto A = (6, -) respecto del puto M = (-8, 4). Ejercicio : Dibujar e u sistema de coordeadas cartesiaas represetates de los vectores libres a = (6, -) y b = (, 4), co orige e (0, 0), y obteer gráficamete la suma. Comprobar que las compoetes del vector suma coicide co las obteidas aalíticamete. Ejercicio : Represetar la suma de a = (3, ) y b = (6, ). Comprobar que e este caso o es aplicable la regla del paralelogramo. Ejercicio 3: Teiedo e cueta que AB + BC = AC, calcular: AB + BC + CA B A C

14 Tema : Vectores e el Plao Ejercicio 4: Teiedo e cueta que AB + BC + CD + DE = AC + CD + DE = AD + DE = AE, calcular: AB + BC + CD + DE + EA B C D A E Ejercicio 5: Dados los putos A = (5, 8),B = (, 5) y O = (0, 0), se pide: a) Hallar la suma OA + OB y hacer la represetació gráfica. b) Hallar OB OA y hacer la represetació gráfica. c) Hallar el módulo del vector OB Ejercicio 6: Dados los vectores a = (-, ) y b = (3, 4), represeta gráficamete co vectores de orige O = (0, 0) los vectores: 4a, b y b Ejercicio 7: Sustituir a y b por úmeros de modo que resulte ciertas las siguietes igualdades, a la vista de la figura: a) a AB + b AD = BC b) a BA+ b AD = AC c) a AB + b BO = AD

15 Tema : Vectores e el Plao B C O A D Ejercicio 8: De los elemetos característicos de u vector libre: módulo, direcció y setido, hay uo que o cambia uca al multiplicar el vector por u úmero o ulo cualquiera. Cuál es? Ejercicio 9: Por qué úmero se ha de multiplicar el vector a para obteer otro vector b diferete y de igual módulo? 3

16 Tema : Depedecia Lieal TEMA : DEPENDENCIA LINEAL. Combiacioes lieales Cosideremos los vectores libres v, v y v 3 de la figura. Co ellos se ha operado de la siguiete maera: ) Se ha sumado los vectores 3v y v. ) Al vector resultate se le ha sumado el vector v3. Así ha resultado otro vector libre del plao: x = 3v + v v3. El vector se dice que es ua combiació lieal de los vectores v, v y v 3. Los úmeros 3, y se llama coeficietes de la combiació lieal. v v 3v v 3 x v v 3 E geeral: Si cosideremos ahora vectores libres del plao: v, v, v3,... v y sea úmeros cualesquiera: a..., a, a3, a : 4

17 Se llama combiació lieal de los vectores Tema : Depedecia Lieal v, v, v3,... v a cada uo de los vectores de la forma v = a... v + a v + a3 v3 + + a v. Se dice tambié que el vector v depede liealmete de v,..., v, v3 v. Es fácil comprobar que el vector ulo es combiació lieal de cualquier cojuto de vectores, basta co que sea ceros todos los coeficietes de la combiació lieal.. Vectores liealmete depedietes Varios vectores libres del plao se dice que so liealmete depedietes si hay ua combiació lieal de ellos que es igual al vector ulo, si que sea cero todos los coeficietes de la combiació lieal. Es decir: v, v, v3,... v so liealmete depedietes si y solo si, existe ciertos úmeros reales a, a, a3,... a tales que a v + a v + a3 v a v = 0, siedo alguo de los a, a, a3,... a distito de cero..3 Propiedades a) Si varios vectores libres so liealmete depedietes, etoces uo al meos de los vectores depede liealmete de los demás y recíprocamete. Demostració: Supogamos que v, v y v 3 so liealmete depedietes. Etoces, e la relació: a v + a v + a v 0, algú a 0. Si a 0 : a a3 v = v v3 a a 3 3 = Esta igualdad expresa que el vector v depede liealmete de v y v 3. Recíprocamete, si v depede liealmete de v y de v 3 : i 5

18 Tema : Depedecia Lieal v = + y etoces: v + s v + s v 0 co el coeficiete - de s v s3v3 3 3 = v distito de cero y por tato, v, v y v 3 so liealmete depedietes. b) Dos vectores del plao a y b so liealmete depedietes si y solo si, so paralelos. Demostració: Si a y b so paralelos, ha de ocurrir uo de estos dos casos: que tega el mismo setido a b b = m a que tega distito setido m es el cociete etre los módulos de a y b a b b = m a E cualquiera de los dos casos b depede liealmete de a, y e cosecuecia so liealmete depedietes. Para la demostració reciproca, si a y b so liealmete depedietes, uo de ellos depede liealmete del otro: b = k a, para algú úmero real k Y teiedo e cueta la defiició de producto de u vector por u escalar, la relació aterior idica que a y b so paralelos. c) Si dos vectores libres o ulos del plao a ( a, a ) y ( b,b ) b so liealmete depedietes, sus compoetes so proporcioales y recíprocamete. Demostració: Si a y b so liealmete depedietes: b = k a 6

19 Tema : Depedecia Lieal Es decir (, b ) k( a a ) b =,. Por cosiguiete: b k a = y b = k a, de dode: b a b = a = k.3 Vectores liealmete idepedietes Varios vectores libres se dice que so liealmete idepedietes si o so liealmete depedietes. Para dos vectores libres v y v, el ser liealmete idepedietes sigifica que la relació a v + a v = 0 sólo es posible si a y a so cero. E el apartado aterior se demostró que dos vectores paralelos so liealmete depedietes y ahora vamos a ver que dos vectores o ulos del plao a y b de distita direcció so liealmete idepedietes. Para demostrarlo hay que ver que e la relació: s a + pb = 0 los úmeros s y p tiee que ser cero. E efecto si s fuera distito de cero, etoces seria p a = b y e este caso a s y b seria paralelos, e cotra de lo que hemos supuesto. Ejemplos:. U vector libre o ulo es liealmete idepediete, pues si v 0, k v =0 sólo es posible si k = 0.. Los vectores u = ( 3, ) y = ( 6, 4) v so liealmete depedietes porque se cumple que: u v = 0 siedo como vemos los coeficietes y - distitos de cero. 7

20 Tema : Depedecia Lieal 3. Los vectores x = ( 3,) e = (,3) para que se cumpla x + b y = 0 y so liealmete idepedietes, porque a, es decir: a ( 3,) + b (,3) = ( 0,0) 3a + b = 0 ser a + 3b = 0 Sistema que resuelto da como úica solució: a = 0 y b = 0., ha de.5 Bases y coordeadas Cualquier vector libre del plao se puede represetar como combiació lieal de dos vectores libres de distita direcció: u x u x xu + x u = [] Si se verifica que: a) u y u so liealmete idepedietes. b) Todo vector x del plao se puede expresar de forma úica como combiació lieal de u y u, es decir: x = xu + x u. Por cumplir estas dos codicioes, se dice que los vectores u y u forma ua base de los vectores libres del plao (plao vectorial). Todas las bases del plao vectorial tiee dos vectores; por eso se dice que los vectores libres del plao forma u espacio vectorial de dimesió. Los úmeros x y x so los coeficietes de la combiació lieal [] Ejemplo importate: Los vectores e = (, 0) y e = (0, ) tiee distita direcció y, e cosecuecia forma ua base. Esta base se llama base caóica. 8

21 Tema : Depedecia Lieal Ejercicio resuelto Dados los vectores libres a = (, ), b = (, 4) y c = (5, 6), probar que a y b so liealmete idepedietes y expresar el vector c como combiació lieal de a y b. Forma a y b ua base?, cuáles so las coordeadas de c e esta base? Solució: (,) + (, 4) = ( 0,0) m, m + = 0 m + 4 = 0 = m ( m) m + 4 = 0 m = 0 7m = 0 = 0 luego a y b so liealmete idepedietes. Para expresar c como combiació lieal de a y b poemos: x a x b = c + x (,) + x (, 4) = ( 5,6) x + x = 5 x + 4x = 6 Resolviedo el sistema resulta: x = y x =. Por cosiguiete: c = a + b El par de vectores ( a, b) forma ua base, y las coordeadas del vector c respecto de esta base so y. 9

22 Tema : Depedecia Lieal EJERCICIOS DE DEPENDENCIA LINEAL Ejercicio : Verdadero o Falso: a) Dos vectores de distita direcció puede teer las compoetes proporcioales. b) Es imposible ecotrar tres vectores del plao que sea liealmete idepedietes. c) Dos vectores liealmete idepedietes del plao vectorial forma siempre ua base. d) U mismo vector, expresado e distitas bases, tiee distitas coordeadas. e) Dos vectores o ulos cualesquiera forma ua base del plao vectorial. Ejercicio : Expresar el vector a = (3, - ) como combiació lieal de los vectores b = (, ) y c = (-4, 3). Ejercicio 3: Idicar si los siguietes vectores libres del plao, dados por sus compoetes so liealmete depedietes o idepedietes. a) u = (3, 5) y v = (, 7) b) x = (, -3) e y = (-4, 6) c) a = (/, -/3) y b = (3/, -) Ejercicio 4: Averiguar si los vectores u = (, -3), v = (4, 5) y w = (-, ) so o o depedietes. Expresar, si es posible, uo cualquiera de ellos como combiació lieal de los otros dos. 0

23 Tema : Depedecia Lieal Ejercicio 5: Hallar el vector (x, x ) que cumple: a) (, 3) + 5(x, x ) = (-, -4) b) -(x, x ) - (3, -) = (-, 0) Ejercicio 6: Demostrar que los vectores (-, ) y (, 3) so liealmete idepedietes. Ejercicio 7: Demostrar que los vectores (-, 3) y (6, -9) so liealmete depedietes. Ejercicio 8: Ver si los siguietes vectores forma o o ua base: a) (-, 0) y (0, ) b) (3, 5) y (0, 0) c) (/3, ) y (, 6)

24 Tema 3: El Plao Afí TEMA 3: EL PLANO AFÍN 3. Sistema de referecia. Coordeadas de u puto Sabemos que dos putos A y B, e este orde, determia u úico vector libre: a = AB Por otra parte si a es u vector libre y A es u puto fijo, existe u úico puto B del plao tal que: AB = a Estas dos codicioes relacioa los vectores libres y los putos del plao, que llamaremos plao afí. U sistema de referecia e el plao afí esta formado por u puto O, que se llama orige del sistema, y por dos vectores o paralelos que costituye la base del sistema. Sistema de referecia afí: ( O, u, v) 3. Coordeadas de u vector libre Dados dos putos A y B del plao puede expresar el vector libre de represetate AB como diferecia de los vectores de posició de A y de B. A B Sí A = (a, a ) y B = (b, b ), etoces: AB = OB - OA = (b, b ) - (a, a ) = (b - a, b - a ) Es decir:

25 Tema 3: El Plao Afí Las coordeadas del vector AB se obtiee restado las coordeadas del orige A de las del extremo B. Ejemplo: Si las coordeadas de u vector AB so (-, ) y las coordeadas del puto A so (3, -), podemos calcular las coordeadas del puto B de la siguiete = x 3 x = forma: = y + y = 3.3 Coordeadas del puto medio de u segmeto Dos putos A (x, y ), B (x, y ) determia el segmeto AB. Si M (x, y) es el puto medio de AB, se verifica la siguiete relació vectorial: AM = AB (x x, y y ) = (x x, y y ) Es decir: x x x = x x x = x x x x = + x y y y = y y y = y y y y = + y Estas so las coordeadas del puto medio de u segmeto e fució de las coordeadas de los extremos. Ejemplo: Si B es el puto de coordeadas (3, -), veamos cuales tiee que ser las coordeadas (x, y ) del extremo A para que el puto medio M del segmeto AB sea M (, ): 3

26 Tema 3: El Plao Afí x + 3 = x y =, = y = Divisió de u segmeto Supogamos que coocemos las coordeadas de los extremos A y B de u segmeto AB y deseamos ecotrar las coordeadas de u puto M que divide al segmeto AB e otros dos, AM y MB, que está e ua razó dada. Las coordeadas de los extremos del segmeto AB so A=(, -) y B=(8, -4). Ejercicio: Hallar las coordeadas de otro puto C que divide al segmeto AB e dos partes tales que AC es la mitad de CB. Solució: AC = CB, o bie CB = AC (8 x c, -4 y c ) = (x c, y c + ) 8 x c = x c 4 3x c = x c = 4-4 y c = y c + 3y c = -6 y c = Coordeadas del baricetro de u triágulo Se llama baricetro de u triágulo al puto de itersecció de las mediaas. El baricetro tiee la propiedad de estar a /3 del vértice y a /3 del lado opuesto. A P G N B M C 4

27 Tema 3: El Plao Afí AG = GM, BG = GN, CG = GP OBSERVACION: Ortocetro: Puto de itersecció de las alturas. Icetro: Puto de itersecció de las bisectrices, es el cetro de la circuferecia iscrita. Circucetro: Puto de itersecció de las mediatrices, es el cetro de la circuferecia circuscrita. Ejemplo: Vamos a expresar el vector de posició del Baricetro e fució de los vectores de posició de los vértices: ( a m) m + g = m + MG = m + MA = m + = a, y como b + c m = : a + b + c g = 3 Y las coordeadas del baricetro e fució de las coordeadas de los vértices: x + x + x y + y ( x, y) =, y 5

28 Tema 3: El Plao Afí EJERCICIOS DEL PLANO AFIN Ejercicio : Siedo O u puto cualquiera del plao, decir si las siguietes teras forma u sistema de referecia del plao afí: a) ( O u, v) b) ( O u, v) c) ( O u, v) ;, co u = (, -), v = (-, 4) ;, co u = (, 0), v = (0, ) ;, co u = (, 0), v = (0, -) Ejercicio : E u cierto sistema de referecia ( O u, v) e (, 0). Cuál es su extremo? ;, el vector a = (-3,) tiee orige Ejercicio 3: Dados los putos: A = (0, ), B = (-, 3), C = (, -5), D = (-, -) Hallar las coordeadas de los vectores: AB, CB, CD, DA. Ejercicio 4: Sabiedo que M = (, -), P = (3, 5) y Q = (-3, ) so los putos medios de los lados del triágulo ABC, hallar las coordeadas de los vértices. Ejercicio 5: Hallar las coordeadas de los putos M y M tales que situados sobre el segmeto de extremos A = (0, ) y B = (4, -3) divida a este e tres partes iguales. Ejercicio 6: M = (, ) es el puto medio del lado AB del triágulo ABC; A = (, 5) y C = (-4, ). Hallar el baricetro del triágulo ABC 6

29 Tema 3: El Plao Afí Ejercicio 7: E el triágulo ABC, el baricetro es G = (-, -). El puto medio del lado AB es M = (3, 4) y el puto medio del lado AC es N = (-, 3). Hallar los vértices del triágulo. Ejercicio 8: Las coordeadas de los vértices del triágulo ABC so A = (, -), B = (4, 3) y C = (0, ). Hallar el baricetro de este triágulo. Al uir los putos medios de los lados del triágulo ABC, se obtiee u uevo triágulo MNP. Hallar el baricetro de este triágulo y compararlo co el del aterior. 7

30 Tema 4: La Recta TEMA 4: LA RECTA 4. Ecuació vectorial de la recta Ua recta queda determiada por u puto A y u vector libre v o ulo paralelo a ella que se llama vector de direcció de la recta. y A v X = ( x, y ) r x x Vamos a obteer la relació vectorial que caracteriza a todos los putos de la recta r. Si X = (x, y) es u puto cualquiera de la recta r, el vector AX tiee la direcció de v y e cosecuecia so liealmete depedietes, es decir so proporcioales, luego: AX = t v, t R Segú la figura: OX = OA+ AX es decir OX = OA+ t v OX Si a es el vector de posició del puto A y x es el vector de posició del puto X: x = a + t v que es la ecuació vectorial de la recta r. Ejemplo: La ecuació de la recta r que pasa por el puto (, -) y tiee por vector v = (, 3) es: (x, y) = (, -) + t (, 3) 8

31 Tema 4: La Recta 4. Ecuacioes Paramétricas y e forma cotiua de ua recta De la ecuació vectorial de la recta r: (x, y) = (x, y ) + t (v,v ) (x, y) = (x + tv, y + tv ) es decir: x = x + t v y = y + t v que so las ecuacioes paramétricas de la recta. El escalar t R se llama parámetro, y para cada valor de t se obtiee u puto distito de la recta. Ejemplo: Calculemos las ecuacioes paramétricas de la recta que pasa por el puto A = (, -3) y tiee por vector de direcció al vector MN, siedo M = (0, 5) y N = (-, 3). Las compoetes MN so: (- 0, 3 5) = (-, -), por lo que las ecuacioes paramétricas de la recta será: x = t y = -3 t 4.3 Ecuació e forma cotiua de ua recta E las ecuacioes paramétricas de la recta se puede elimiar el parámetro t despejado e cada ua de ellas e igualado las expresioes resultates: x x v y y = v que es la ecuació de la recta e forma cotiua. Para expresar esta ecuació solo ecesitamos coocer u puto que dé la recta A = (x, y ) y u vector paralelo a ella v = (v, v ). Ejemplo: 9

32 Tema 4: La Recta La ecuació e forma cotiua de la recta que pasa por el puto (3, 5) y tiee por vector de direcció (-, 3) es: 4.4 Ecuació geeral de ua recta De la ecuació e forma cotiua de la recta: x x v y y = v, co v 0 y v 0 se obtiee las siguietes expresioes: x 3 5 = y 3 v (x x ) = v (y y ) v x - v x = v y - v y v x - v y + v y - v x e la que llamado: A = v, B = - v y C = v y - v x, resulta: A x + B y + C = 0 que es la ecuació geeral o ecuació implícita de la recta. La úica codició restrictiva es A y B o puede ser cero al mismo tiempo ya que el vector (0, 0) o defie igua direcció. E todos los casos el vector de direcció de la recta vedrá dado por: ( v v ) = ( B A) v =,, Ejemplo: Dada la ecuació de la recta e forma geeral: x 3y + 5 = 0, vamos a escribirla e las formas: vectorial, paramétrica y cotiua: El vector de direcció será: v = (3, ) 30

33 Tema 4: La Recta Necesitamos ecotrar ahora u puto que perteezca a la recta : si a x le damos el valor obteemos para y el valor 3, luego el puto A = (, 3) perteece a la recta y por tato la ecuació vectorial será: ( x, y ) = (, 3 ) + t ( 3, ), t R Las ecuacioes paramétricas: x = + 3t y = 3+ t Y la ecuació cotiua: x y 3 = 3 Ejemplo: Determia la ecuació geeral de ua recta sabiedo que esta determiada por el puto A = (, 5) y por el vector de compoetes (-, ). La ecuació vectorial será: (x, y) = (, 5) + t(-, ) Las ecuacioes. Paramétricas: x = t y = 5+ t La ecuació cotiua: x 5 = y Operado: x 4 = -y + 5 x + y 9 = 0 3

34 Tema 4: La Recta 4.5 Recta que pasa por dos putos. Pediete de ua recta Sea dos putos A = (x, y ) y B = (x, y ) de ua recta r. A B Etoces AB es u vector de direcció de la recta: v = AB = (v, v ) = (x x, y y ) Y sustituyedo estas compoetes e la ecuació cotiua de la recta, resulta: x x = x x y y y y que es la ecuació de la recta que pasa por dos putos. Ejemplo: Ecuetra la ecuació de la recta que pasa por los putos: A = (, 3) y B = (, -5). x y 3 = 5 3 8x + 8= y 8x + y = 0 3

35 Tema 4: La Recta Se defie la pediete de ua recta como el cociete de la seguda compoete de u vector de direcció de la recta etre la primera, siedo esta última distita de cero. Se deota co la letra m: v m =, co. v v 0 Si v = 0, la recta es paralela al eje OY y o tiee pediete. Si la recta viee dada por su ecuació geeral: Ax + By + C = 0, etoces u vector de direcció es (-B, A) y por tato su pediete es: A m = B La pediete de ua recta o depede del vector de direcció elegido para su determiació, sio que tiee siempre u valor costate. 4.6 Ecuació puto-pediete de ua recta De la forma cotiua de la ecuació de ua recta: x x v y y = v, se obtiee: v v y y ( x ) y como = m, resulta: v = x v y y = m (x x ) Que es la ecuació puto pediete de la recta. Así pues ua recta queda determiada cuado se cooce u puto de ella y su pediete. Ejemplo: Determiar la ecuació de la recta que pasa por el puto (, 5) y tiee pediete /3. y 5 = /3 (x ) de dode: 33

36 Tema 4: La Recta 3y 5 = x, luego x 3y + 3 = Ecuació explícita de la recta Despejado y e la ecuació puto-pediete: y = mx -mx + y, llamado b = y mx : y = mx + b que es la ecuació explícita de la recta. El térmio idepediete b es la ordeada correspodiete a x = 0, por lo que se le llama ordeada e el orige de la recta y mide la distacia del orige al puto dode la recta corta al eje OY. Ejemplos: a) Ecuetra la pediete y la ordeada e el orige de la recta cuya ecuació geeral es: x + 3 y - 5 = 0. Solució: x y = = x +, de dode m = y b = b) Escribir la ecuació explícita de la recta cuyas ecuacioes paramétricas so: x = 3 t y = 5 + t x y 5 Solució: = x 4= 3y + 5, por tato: 3 9 y = x

37 Tema 4: La Recta c) Ecuetra u vector de direcció v de la recta y = 3x 5 Solució: v La pediete es m = 3=, luego los posibles vectores so: v (, 3), (, 6), (3, 9), etc. 4.8 Ecuació segmetaria o caóica de ua recta La ecuació segmetaria de la recta es la expresió de la recta e fució de los segmetos que esta determia sobre los ejes de coordeadas: a se llama abcisa e el orige de la recta b se llama ordeada e el orige de la recta ( 0, b ) b a ( a, 0 ) La ecuació de la recta que pasa por los putos: (a, 0) y (0, b) es: x x x x y y = y y x a y b = 0 a b 0 x a = a y b x a + = y b x y, es decir + = a b co a, b 0 Que es la ecuació segmetaria de la recta. Los valores de a y b se puede obteer fácilmete de la ecuació geeral: 35

38 Tema 4: La Recta Si hacemos y = 0 resulta x = a Si hacemos x = 0 resulta y = b Ua recta carece de forma segmetaria e los siguietes casos: Caso : Recta paralela al eje X y = b Caso : Recta paralela al eje Y x = a 36

39 Tema 4: La Recta Caso 3: Recta que pasa por el orige y = m x E los casos y, como ya se ha visto tampoco existe forma cotiua. Recordemos además que e el caso la pediete es cero, y e el caso o hay pediete. EJERCICIOS RESUELTOS: ) Hallar la ecuació segmetaria de la recta que pasa por P = (-, ) y tiee por vector de direcció a (3, -4). Solució: x = + 3t De las ecuacioes paramétricas: y = 4t x + y se obtiee la forma cotiua: = 3 4 y de ésta la ecuació geeral: 4 x 8= 3y 3 4x + 3y + 5= 0 Etoces, si y=0, x=-5/4 = a, y si x= 0, y = -5/3 = b, luego la ecuació será: x y + = 5/ 4 5/ 3 37

40 Tema 4: La Recta x y ) Dada la recta r e forma caóica: + = 5 escribir la ecuació geeral y la ecuació vectorial de r. Solució: 5x y = -0 5x y + 0 = 0 (ecuació geeral). (-, 0) es u puto de r, y el vector de direcció v = (-B, A) = (, 5), luego: (x, y) = (-, 0) + t(, 5) es la ecuació vectorial. 4.9 Icidecia de putos y rectas Sea u puto P = (x, y ) y ua recta r : Ax + By + C = 0 del plao afí: El puto P es icidete co la recta r, o el puto P perteece a la recta r, o la recta r pasa por el puto P, cuado las coordeadas del puto P satisface la ecuació de la recta. Es decir: Si P r Ax + By + C = 0 Si P r A x + B y + C 0 La sustitució de las coordeadas del puto puede hacerse e cualquiera de las formas de la ecuació de la recta. 4.0 Codició de alieació de tres putos Se dice que tres putos distitos del plao P= (x, y ), Q = (x,y ) y R = (x 3, y 3 ) está alieados cuado los tres perteece a ua misma recta. 38

41 Tema 4: La Recta La recta que pasa por P y Q será: x x x x y y = y y Si el puto R tambié perteece a esta recta deberá satisfacerla: x x 3 x x y = y 3 y y, co x x, y y Tambié podemos aalizar el tema de tres putos alieados: P, Q y R diciedo que lo estará si los vectores: PQ y QR tiee la misma direcció, es decir sus compoetes so proporcioales. Ejemplo: Veamos si los putos P = (, 3), Q = (-, -3) y R = (3, 7) está alieados. La recta PQ: x y 3 = 3 3-6x + 6 = -3y + 9 6x 3y + 3 = 0 x y + = 0 Y sustituyedo las coordeadas de R: = 0 es decir las coordeadas de R satisface la ecuació de la recta PQ, por tato los tres putos está alieados. De otra forma: PQ = (-, -3 3) = (-3, -6) QR = (3, 7 3) = (, 4) Que so vectores paralelos ya que sus compoetes so proporcioales: 3 6 = 4 4. Haz de rectas Sea u puto P = (x, y ) del plao: 39

42 Tema 4: La Recta El cojuto de rectas del plao que pasa por el puto P se llama haz de rectas de vértice P. Todas las rectas que pasa por el puto P = (x, y ) se puede escribir e la forma puto-pediete, a excepció, como ya se sabe, de la recta vertical x x = 0, que o tiee pediete. Por tato: Haz de rectas de vértice P: { y y = m( x x ) m R} { x x 0}, = Es decir, al variar m e R se obtiee todas las rectas del haz meos ua. Así, el haz de rectas de vértice P = (3, 5) es el cojuto formado por la recta y=3, paralela al eje y, y todas las demás que pasa por P co cualquier valor real de la pediete: Haz de P = { y 5 = m( x 3 ), m R} { x = 3} EJERCICOS RESUELTOS ) Hallar la ecuació de todas las rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C = 0 Solució: Cualquier recta paralela a r: A x + B y + C = 0 debe cumplir que su vector de direcció tega uas compoetes proporcioales a las del vector de direcció de la recta r, es decir: A B = A B Si además guarda tambié proporcioalidad co los térmios idepedietes, etoces las rectas so coicidetes. Luego el haz formado por todas las rectas paralelas a r tedrá por ecuació: Ax + By + k = 0, k R ) Hallar la ecuació del cojuto de rectas paralelas a la recta: x = 0 40

43 Tema 4: La Recta Solució: x + 3y + k = 0, k R 3) Hallar la ecuació del haz de rectas paralelas a la recta 5x + y = 0 y determiar la recta del haz que pasa por el puto P = (, -). Solució: Haz de rectas paralelas: 5 x + y + k = 0, k R Y la que pasa por (, -) deberá satisfacer la ecuació aterior: 5 + k = 0 k = -3 luego la recta buscada será: 5x + y 3 = 0 4) Hallar la ecuació de la recta que pasa por P = (3, 5) y es paralela a la recta: x 3y + 4 = 0 Solució: La recta paralela pedida es : x 3y + k = 0, k R Si además debe pasar por el puto P: k = k = 0 k = 9 Luego la recta que cumple las dos codicioes será: x 3y + 9 = 0 5) Halla la ecuació de la recta que pasa por el puto de itersecció de las rectas r y s y es paralela a la recta t. r: x = + t y = t s: x + 3y 5= 0 t: x y + = 3 Solució: Escribamos la recta e forma geeral: x y + = x = y + 4 x y 5= 0 4

44 Tema 4: La Recta El puto de itersecció de r y s aparecerá al resolver el sistema formado por r y s: ( y + 5) x y 5= 0 x = y y 5= 0 x + 3y 5= 0 4y y 5= 0 7y = -5, y = -5/7 x = (-5/7) + 5, x = 5/7 La recta t e forma geeral es: -3x + y = 6 3x y + 6 = 0 Luego la ecuació de todas las rectas paralelas a t: 3x y + k = 0, k R Como debe pasar por el puto ( 5/7, - 5/7 ): 3 5/7 (-5/7) + k = 0 75/7 + 0/7 + k = k = 0 k = - 85/7 Por tato la ecuació buscada será: 3x y 85/7 = 0 x 4y 85 = 0 4

45 Tema 4: La Recta EJERCICIOS DE LA RECTA Verdadero o Falso: a) Si v = (-, 5), v = (, -5) y A es u puto cualquiera del plao, etoces: Los pares (A, v ) y (A, v ) determia la misma recta. b) y = x es la ecuació de ua recta paralela al eje x c) x 5 = 0 es la ecuació de ua recta vertical d) Las rectas paralelas al eje x o tiee pediete e) Todas las fucioes de primer grado e las variables x e y represeta rectas del plao. f) La pediete de ua recta depede del vector de direcció que elijamos, pues m = v / v g) Si dos rectas tiee la misma pediete, etoces so paralelas. h) Las rectas: by + c = 0 y b y + c = 0 so siempre paralelas. i) El úico puto de la recta x + y 5 = 0 que tiee abcisa igual a es el (,3) j) La codició ecesaria y suficiete para que las rectas: Ax + By + C = 0 y A x + B y + C = 0 Sea las secates AB A B k) Al variar la pediete se obtiee todas las rectas perteecietes al haz de vértice P. Ejercicio : Escribir las ecuacioes vectorial, paramétricas y cotiua de las rectas cuyas determiacioes lieales viee dadas por: a) El puto (, 3) y el vector de direcció (-, 5). b) El puto (3, 0) y el vector de direcció (3, -4). c) El puto (, ) y el vector de direcció (0, -3). 43

46 Tema 4: La Recta Ejercicio : Escribir las ecuacioes geeral, explícita y segmetaria de las rectas del ejercicio aterior. Ejercicio 3: Dibuja las rectas cuyas ecuacioes so las siguietes: a) x = - b) y = 3 c) x = /3 d) y = 0 e) y = - x Ejercicio 4: Hallar la ecuació de la recta que pasa por los putos P y Q e los siguietes casos: a) P = (-, 5) y Q = (3, ) b) P = (4, 3) y Q = (0, 0) c) P = (, 3) y Q = (, 5) d) P = (3, 4) y Q = (-5, 4) Ejercicio 5: Dado el triágulo de vértices: A = (, ), B = (0, 5) y C = (-, -3) Ecotrar las ecuacioes de sus mediaas. Ejercicio 6: Escribir la ecuació geeral de la recta que pasa por el puto A = (-, ) y tiee la misma pediete que la recta que pasa por B = (, 5) y C = (4, -). Ejercicio 7: 44

47 Tema 4: La Recta Ecotrar las ecuacioes de las diagoales del cuadrado cuyos vértices so los putos A = (, ), B = (3, ), C = (, 0) y D = (3, 0). Comparar las pedietes de ambas rectas. Ejercicio 8: Represetar las siguietes rectas: a) x + y + = 0 b) x 4y + 5 = 0 c) x + y = 4 5 Ejercicio 9: Calcular el área del triágulo que la recta de ecuació x + 3y 8 = 0 determia co los ejes de coordeadas. Ejercicio 0: Dada la recta: 3x y + 5 = 0, idicar cuales de los siguietes putos so coicidetes co ella: a) P = (, 4 ) b) Q = (, ) c) R = ( 3, 7 ) d) S = ( /, 3/4 ) Ejercicio : Hallar el valor de k para que: a) El puto (, 3) perteezca a la recta de ecuació kx 4y + 5 = 0. b) La recta 3x ky + = 0 pase por el puto P. c) La recta kx + ky + 4 = 0 sea coicidete co el puto (, -3) Ejercicio : 45

48 Tema 4: La Recta Hallar los putos dode la recta 4 x y + 5 = 0 corta a los ejes de coordeadas. Ejercicio 3: Decir si los putos A = (, 3), B = (-, 5) y C = (-5, 7) perteece a la misma recta. Ejercicio 4: Hallar el valor de k para que los putos A = (, k), B = (, 5) y C = (-, -) esté alieados. Ejercicio 5: Escribir las coordeadas de dos putos que esté alieados co los putos: P = (, ) y Q = (-3, -3). Ejercicio 6: Hallar el valor de m para que las siguietes rectas o tega igú puto comú: r: x y 3 = 0 s: mx + 3y = 0 Ejercicio 7: Ecuacioes de las mediaas del triágulo de vértices A = (0, 0), B = (, ) y C = (3, -). Hallar de dos formas distitas las coordeadas del baricetro del triágulo. Ejercicio 8: Dadas las rectas: 46

49 Tema 4: La Recta r: 4x 3 y + = 0 s: x + y 7 = 0 Hallar la ecuació de la recta que pasa por el puto de itersecció de r y s y es paralela a la recta que corta a los ejes de coordeadas e los putos (8, 0) y (0, 5), respectivamete. Ejercicio 9: Cual es la ecuació de la recta cuyos putos tiee la propiedad de distar k del eje X? Razoa la respuesta. Ejercicio 0: Hallar las coordeadas del cuarto vértice D del paralelogramo coociedo A = (, 3), B = (5, ) y C = (4, 0). ABCD, Ejercicio : Cómo es la ecuació de ua recta que pasa por dos putos de abcisas iguales? Po u ejemplo. Ejercicio : La ecuació x + y = m ( x y + 6 ) represeta distitas rectas segú el valor de m. Por qué puto pasa todas esas rectas? Ejercicio 3: Cuál es la ecuació del haz de rectas paralelas a la bisectriz del primer y tercer cuadrate? Ejercicio 4: Determiar los valores de a y b para que las siguietes rectas sea coicidetes: ax + 3y + 5 = 0 x + 6y b = 0 47

50 Tema 4: La Recta Ejercicio 5: Tiee algua solució el sistema?: x + y = 3 x + y = 5 Ejercicio 6: Hallar la ecuació de la recta que pasa por el puto de itersecció de las rectas: x y + = 0 x y + = 0 y forma co los ejes de coordeadas u triágulo de área igual a 3/. 48

51 Tema 4: La Recta 49

52 Tema 5: La Ecuació de la Circuferecia TEMA 5: LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA 5. Defiició Sea la circuferecia de cetro C (a, b) y de radio r. Cosideremos el caso geeral e que el cetro C o coicida co el orige de coordeadas y tomemos u puto M (x, y) : Y M=(x,y) r C N O A B X De la figura se obtiee: CM = CN + NM o bie: r = ( x a ) + ( y b ) () Ésta ultima es realmete la ecuació de la circuferecia. Desarrollado los cuadrados de la ecuació () tedremos: x + y ax by + a + b r = 0 de la cual existe diversas variates. Ua de las formas mas usadas es: 50

53 Tema 5: La Ecuació de la Circuferecia x + y + Dx + Ey + C = 0 ( ) e la que D = -a; E = -b; C = a + b r La ecuació de la circuferecia es de segudo grado, carece de térmio e xy y los coeficietes de x e y so iguales a la uidad. Ejemplo: Hallar la ecuació de la circuferecia cuyo cetro tiee por coordeadas (, -4) y cuyo radio es 3. De la ecuació (): 3 = ( x ) + ( y + 4 ) Es decir: x + y 4x + 8y + = 0 Caso particular: El cetro de la circuferecia coicide co el orige de coordeadas C = (a, b) = (0, 0) a = 0, b = 0 Y la ecuació de la circuferecia: r = (x 0) + (y 0) x + y = r 5. Itersecció de ua circuferecia co ua recta Para hallar las coordeadas del puto o putos de itersecció de ua circuferecia co ua recta se resuelve el sistema formado por las ecuacioes de la circuferecia y de la recta. 5

54 Tema 5: La Ecuació de la Circuferecia Si el sistema da dos solucioes, la recta atraviesa y corta a la circuferecia e dos putos. Si el sistema da ua úica solució, la recta es tagete a la circuferecia Si el sistema o tiee solucioes reales, la recta o corta a la circuferecia. Ejemplo: Hallar las coordeadas de los putos comues de la circuferecia: co la recta: x + y 4x y + 4 = 0 y = x Deberemos resolver el sistema: x + y 4x y + 4 = 0 x + y = x ( x ) 4x ( x ) + 4 = 0 x + x 4x + 4 4x x + 4 = 0 0 ± x 0x + = 0, x = x = 3, x 4 = Para x = 3 y = (3, ) es puto de corte Para x = y = 0 (, 0) es puto de corte Segú esto la recta es secate a la circuferecia. 5.3 Itersecció de dos circuferecias Determiar los putos de itersecció de las circuferecias: x + y 4x 6y + 9 = 0 x + y 8x y + 3 = 0 5

55 Tema 5: La Ecuació de la Circuferecia Restado la seguda de la primera, teemos: 4x 4y 4 = 0 y = x Y sustituyedo este valor e la primera de las ecuacioes dadas, tedremos: x + ( x ) 4x 6( x ) + 9 = 0 x + x x + 4x 6x = 0 x x + 6 = 0 ± 44 8 x = x = 4 ; x = y = 3 ; y = 4 Las circuferecias se corta e los putos: (4, 3) y (, ) 5.3 Ecuació de la circuferecia que pasa por tres putos Supogamos que las coordeadas de estos putos sea: (x, y ), (x, y ) y (x 3, y 3 ). Estas coordeadas ha de satisfacer la ecuació de la circuferecia. Ejemplo: Ecuetra la ecuació de la circuferecia que pasa por los putos: (, 0), (4, ) y (0, ) Sustituyedo e la ecuació: r = (x a) + (y b) r = ( a) + (0 b) r = 4 4a + a + b r = (4 a) + ( b) r = 6 8a + a + 4 4b + b r = (0 - a) + ( b) r = a + 4 4b + b 53

56 Tema 5: La Ecuació de la Circuferecia Sustituyedo r de la primera ecuació e la seguda y e la tercera: 4 4a + a + b = 6 8a + a + 4 4b + b 4 4a + a + b = a + 4 4b + b a + b = 4 b a = 0 a =, b =, r = Luego la ecuació de la circuferecia será: (x ) + (y ) = 4 x 4x y 4y + 4 = 4 x + y 4x 4y + 4 = 0 54

57 TEMA 6: LA ELIPSE Tema 6: La Elipse 6. Defiició La elipse es ua curva plaa tal que la suma de las distacias de cada uo de sus putos a dos putos fijos de su plao es costate. Los putos fijos F y F se llama focos de la elipse. La suma costate se represeta por a. Los segmetos que ue u puto M de la elipse co los focos so los radios vectores del puto M. El puto O, puto medio del segmeto FF, es el cetro de la elipse. El segmeto AA que cotiee a los focos, tal que AA = a y OA = OA = a, es el eje mayor de la elipse. El segmeto BB, perpedicular a FF e O y tal que BF = B F = a, es el eje meor de la elipse. La distacia OB = OB se represeta por b. La distacia FF se llama distacia focal y se represeta por c (OF = OF = c). Etre a, b y c existe la relació: a = b + c B M A F O b c a F A B 55

58 Tema 6: La Elipse F y F so los focos de la elipse AA se deomia eje mayor de la elipse, y su logitud es a BB es el eje meor de la elipse, de logitud b El segmeto FF es la distacia focal y su logitud es exactamete c Los radios vectores del puto M so los segmetos MF y MF o MF + MF = a La distacia del puto B a los focos F y F es a c Se llama excetricidad de la elipse a la razó. Se represeta por e a c o e = a o La excetricidad varía de 0 a. Si e = 0 c = 0 los focos se cofude y la elipse es la circuferecia de cetro O y radio a. Si e = c = a la distacia focal coicide co el eje mayor, y la elipse se reduce al eje mayor AA. Para valores de e etre 0 y, la elipse se aproxima más al eje mayor cuato más se aproxima a. La tagete a la elipse e uo de sus putos, es bisectriz del águlo formado por uo de los radios vectores del puto y la prologació del otro radio M F F 56

59 Tema 6: La Elipse 6..-Ecuació de la elipse.- x a + b y = Ecuació de la hipérbola.- x a b y = b a 57

60 TEMA 7: SUCESIONES Tema 7: Sucesioes 7. Desigualdad Dados dos úmeros reales a y b, se dice que a es meor o igual que b si la diferecia b a es 0. a b b a 0 Las propiedades de las desigualdades que mas frecuetemete utilizaremos so: a) Si a b y b a, etoces a = b b) Si a b y b c, etoces a c c) Si a b y c d, etoces a + c b + d d) a b y c > 0, etoces a c b c e) a b y c < 0, etoces a c b c f) Si 0 < a < b y 0 < c < d, etoces a c < b d 7. Itervalos e R E la recta real se defie los siguietes cojutos: Itervalo abierto de extremos a y b: ] a, b [ = { x R / a < x < b } Itervalo cerrado de extremos a y b: [ a, b ] = { x R / a x b } 58

61 Tema 7: Sucesioes Itervalo semiabierto por la derecha: [ a, b [ = { x R / a x < b } a b Itervalo semiabierto por la izquierda: a b ] a, b ] = { x R / a < x b } 7.3 Valor absoluto Se llama valor absoluto del úmero real a, y se escribe a, al úmero a si a 0 y al opuesto de a si a < 0. Se verifica las siguietes propiedades: a a a = 0 a = 0 a + b a + b a b = a b a b = b a Se llama distacia etre dos putos del eje de abcisas A y B de abcisas a y b, respectivamete, al úmero real b a d(a, B) = b a 59

62 7.4 Semirrectas o itervalos de extremos ifiitos Tema 7: Sucesioes Al cojuto de los úmeros reales x que so mayores que a se expresa por: ] a, + [ ] a, + [ = { x R / a < x < + } Si este cojuto icluye el úmero a, se expresa por [, + [ [ a, + [ = { x R / a x < + } a : Al cojuto de los úmeros reales x que so meores que a se expresa por: ], a[ ], a [ = { x R / < x < a} Si este cojuto icluye el úmero a, se expresa por ], a] ], a] = { x R / < x a} : Estos itervalos se llama itervalos de extremos ifiitos o semirrectas. Para todo úmero real a se verifica: < a < + cualquiera que sea a. El cojuto R y los dos símbolos ( + ) y ( ) forma la recta real ampliada. 7.5 Etoros Se llama etoro de cetro a y radio r, y se deota por E(a, r) al itervalo abierto ] a - r, a + r [. La distacia etre los extremos de este itervalo es r y se llama amplitud del itervalo. E particular, el cetro del etoro puede ser el orige; e este caso, el etoro de radio r sería: E(0, r) = ] r, r [. Estos etoros se expresa co frecuecia co ayuda del valor absoluto. 60

63 Tema 7: Sucesioes, o bie r < x < r El etoro ] r r[ = x < r, o r < x a < r, tambié a r < x < a + r El etoro ] a r a + r[ = x a < r, y tambié: a r x a + r El itervalo [ a r a + r] = x a r Ejemplo: El itervalo: ], 7[ es u etoro del puto 4 y radio 3 y se expresa mediate el valor absoluto, por: x 4 3. EJERCICIOS RESUELTOS: ) Ordear de meor a mayor los úmeros (a + b ), (a b), (a + b) si se sabe que 0 < b < a. Solució: (a + b) = a + b + ab (a - b) = a + b - ab, y ab > 0, etoces: (a - b) < a + b < (a + b) ) Expresar mediate el valor absoluto, los itervalos: a) x 4 b) [, 6] Solució: a) 4 = [ 3,3 + ] x, es decir x 3 b) [,6] [ 4, 4 + ] =, es decir x 4 3) Hallar la distacia etre los putos a = (r + s), b = (r s), r, s R. 6

64 Tema 7: Sucesioes Solució: ( a, b) = b a = ( r s) ( r + s) = r rs + s r rs s = 4rs = rs d 4 EJERCICIO PROPUESTO Represetar los itervalos [, [, ], 4[ y [5,7] y expresarlos mediate desigualdades. 7.6 Sucesioes de úmeros reales Ua sucesió de úmeros reales es u cojuto ordeado de ifiitos úmeros reales de modo que cada uo ocupa u lugar: hay u primero, u segudo, etc. E la sucesió (a ) = (a, a, a 3, a,... ) los úmeros reales a, a, a 3,... a se llama térmios de la sucesió y el subídice idica el lugar que el térmio ocupa e la sucesió. Co frecuecia ua sucesió viee dada por ua expresió co ua variable atural que al tomar los valores,, 3,... determia los térmios de la sucesió. A esta expresió se le llama térmio geeral de la sucesió. EJEMPLOS: La sucesió de los úmeros pares: a = = (, 4, 6,...) La sucesió de los úmeros impares: b = = (, 3, 5, 7,...) La sucesió de los cuadrados perfectos: c = = (, 4, 9,...) E la sucesió de térmio geeral d = + 5 = (7, 9,, 3,...), cada térmio es igual al aterior más. Esta sucesió es ua progresió aritmética e la que el térmio geeral se expresa: a = a + ( )d. E la sucesió e = 3 = (, 6, 8, 54,...), cada térmio es igual al aterior multiplicado por 3. Esta sucesió es ua progresió geométrica e la que el térmio geeral se expresa por a = a r. 6

65 Tema 7: Sucesioes 7.7 Sucesioes defiidas por recurrecia So aquellas sucesioes e las que cada térmio se obtiee del aterior o de los ateriores. Ua de estas sucesioes es la sucesió de Fiboacci, e la que los dos primeros térmios so y los restates se obtiee sumado los dos ateriores: a = a = a 3 = a + a = + = a 4 = a + a 3 = + = 3 a 5 = a 3 + a 4 = + 3 = a = a - + a de modo que la sucesió queda: a = (,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,...) Otra sucesió defiida por recurrecia: b = 3b - b ; b = 0, b = b = (0,, 3, 8,, 55,...) 7.8 Determiació de ua sucesió Ua sucesió a queda determiada cuado se puede coocer todos sus térmios y las dos formas mas frecuetes de determiar ua sucesió: - Por su térmio geeral - Por ua Ley de recurrecia Ua sucesió o queda determiada cuado se cooce solo uos térmios: 63

66 La sucesió: a = 5,7,9, 8 para =,,3,4 para 5 Colegio La Magdalea Tema 7: Sucesioes La sucesió: b + 3 para =,,3,4 = + para Operacioes co sucesioes Suma Dadas las sucesioes: (a ) = (a, a, a 3,... a ) (b ) = (b, b, b 3,... b ) Se llama sucesió suma (a + b ) a aquella cuyos térmios se obtiee sumado los correspodietes térmios de a y b, es decir: (a + b ) = (a + b, a + b,..., a + b ) Diferecia Se obtiee: (a - b ) = (a - b, a - b,..., a - b ) Producto Se obtiee: (a ) (b ) = (a b, a b,..., a b ) Ua sucesió se dice que es ivertible o iversible o que tiee iversa, si todos sus térmios so distitos de cero. Si (b ) es ivertible: 64

67 =,,,... b b b b3 b Tema 7: Sucesioes y e este caso se puede defiir el cociete: 7.0 Sucesioes moótoas a = a b b Ua sucesió (a ) = (a, a, a 3,... a,...) es moótoa creciete cuado cada térmio es meor o igual que el siguiete: a a a 3 a 4... a a Si se cumple: a < a < a 3 < a 4 <..... < a < a + <.... Etoces se dice que la sucesió es estrictamete creciete. Aálogamete si: a a a 3 a 4... a a +... Etoces se dice que la sucesió es moótoa decreciete Y si se cumple: a > a > a 3 > a 4 >..... > a > a + >.... se dice que la sucesió es estrictamete decreciete. 65

68 Tema 7: Sucesioes 66 EJEMPLOS: ) La sucesió ( ) = + =..., 6 5, 5 4, 4 3, 3, a es estrictamete creciete ya que observado los primeros térmios: < < < < Si lo que deseamos es demostrarlo:, + + = + = + a a Hay que demostrar que: a + - a > 0 : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) + + = = Y esta última expresió es mayor que cero ya que el umerador es siempre positivo y el deomiador tambié. ) La sucesió = =..., 6, 8, 4,, a es ua sucesió decreciete como vemos segú los primeros térmios y vamos a demostrar para los térmios -esimo y (+)-esimo. a y a = = > = = + a a Luego a es estrictamete creciete y, por tato, creciete.

69 7. Sucesioes acotadas Tema 7: Sucesioes Se dice que el úmero real k es ua cota superior de la sucesió (a ) si todos los térmios de la sucesió so iguales o meores que k, es decir, a k para todo N. E este caso se dice que la sucesió (a ) esta acotada superiormete. Se dice que el úmero real k es ua cota iferior de la sucesió (a ) si todos los térmios de la sucesió so iguales o mayores que k, es decir, a k para todo N. E este caso se dice que la sucesió (a ) está acotada iferiormete. Se dice que el úmero positivo k es ua cota de la sucesió (a ) si para todo N es -k a k. Se dice que la sucesió (a ) esta acotada por teer cota superior e iferior. EJEMPLOS: ) La sucesió (a ) = () = (,, 3, 4,...,,...) de los úmeros aturales es ua sucesió acotada iferiormete y o acotada superiormete. Los úmeros:, 0, -, -,... so cotas iferiores. ) La sucesió de los úmeros eteros egativos : (-, -, -3, -4,...) está acotada superiormete y o esta acotada iferiormete. Los úmeros: -, 0,,, 3,... so cotas superiores ) La sucesió c = =,,,,... está acotada superiormete e 3 4 iferiormete, los úmeros, 3, 4,... so cotas superiores y los úmeros, 0, -,... so cotas iferiores. 67