NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA

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1 NÚMEROS COMPLEJOS: UNA PRESENTACIÓN GRÁFICA José Luis Soto Muguía Departameto de Matemáticas Uiversidad de Soora. INTRODUCCIÓN. Desde los primeros años de la escuela, el estudiate se efreta e matemáticas co los diferetes sistemas de úmeros, el primero de ellos, el sistema de úmeros aturales (N) le sirve pricipalmete para resolver problemas de coteo. Cuado aparece problemas que coduce a ecuacioes como x+5=, los úmeros aturales resulta isuficietes para resolverlas y etoces se ve la ecesidad de itroducir los úmeros egativos, ampliado co ellos el sistema N, para completar uo uevo: el de los úmeros eteros. (Z) Si embargo, ecuacioes ta secillas como 6x= o puede resolverse si sólo se cueta co los úmeros eteros, se requiere etoces otra ampliació del sistema de úmeros, que icluya todos los cocietes de úmeros eteros co deomiador distito de cero, se obtiee de esta maera u cojuto al que se deomia sistema de úmeros racioales. (Q) Las limitacioes de este cojuto Q queda de maifiesto cuado se trata de resolver problemas como el de calcular la logitud que tiee la diagoal de u cuadrado cuyo lado es la uidad. Aparece así, úmeros como que o puede expresarse como el cociete de dos eteros. A estos úmeros se les llama irracioales (~Q) y al agregarlos a Q se cueta ya co el sistema de úmeros reales. (R) Pues bie, existe problemas para cuya resolució el sistema de úmeros reales o es suficiete. Uo de estos problemas, es el de ecotrar las solucioes de la ecuació x =-. La ecesidad de resolver este tipo de problemas coduce a la ampliació del sistema de úmeros reales hacia u sistema que permita resolverlos, esta ampliació es el sistema de los úmeros complejos, a los que está dedicadas estas otas.

2 . REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES. E los cursos pre-uiversitarios de matemáticas, se ha veido adquiriedo ua cierta familiaridad co el cojuto de los úmeros reales, tato e lo que se refiere a sus operacioes y propiedades, como e lo referete a los sistemas de úmeros que los coforma y de los que hemos hablado e la itroducció. (N, Z, Q, ~Q) E esta secció se dará ua presetació gráfica de estos úmeros y de sus operacioes. Empearemos por repasar la represetació gráfica que aparece e la matemática del ivel básico y que geeralmete se da e los siguietes térmios: Los úmeros reales "llea" la recta umérica, lo cuál sigifica que a cada puto de la recta le correspode u úmero real y que a cada úmero real le correspode u puto e la recta. Para localiar u úmero real a e la recta se procede de la siguiete maera: i) Se traa ua recta horiotal dirigida de iquierda a derecha, a la que se llama usualmete eje X o eje de las x s. ii) Se escoge u puto P cualquiera sobre la recta, a este puto P se le llama orige y se le asocia el úmero cero. El orige P divide a la recta e dos partes; ua a la derecha de P, llamada parte positiva del eje de las x's y otra a la iquierda de P, llamada parte egativa del eje de las x's. iii) Se escoge, a la derecha de P, u puto Q cualquiera sobre la recta; el segmeto PQ se tomará como uidad para medir la magitud de a, al puto Q escogido se le asocia el úmero. El sigo de a tiee ua traducció gráfica muy simple: si el sigo es positivo, a se localia a la derecha de P, si el sigo es egativo, a se localia a la iquierda de P. Mietras que la distacia a la que se localia el úmero a se mide e térmios del segmeto PQ, cosiderado previamete como uidad; esta distacia se cooce como el valor absoluto de, y se deota usualmete como a. De esta maera el puto A correspodiete al úmero a, se ubica a ua distacia a del orige P. E la Figura se muestra u caso e el que a es positivo. Figura

3 Haremos aquí ua ligera modificació a la presetació aterior. E lugar de asociar al úmero a u puto A, le asociaremos el segmeto dirigido PA, etediedo como tal el segmeto de recta que ue el puto P co el puto A, e la direcció de P hacia A. E la gráfica esta direcció quedará idicada por ua flecha cuyo orige es P y cuyo puto fial o extremo es A. E lo sucesivo os referiremos a estos segmetos dirigidos simplemete como segmetos y de las dos letras mayúsculas usadas para deotarlos, la primera idicará el orige y la seguda el extremo del segmeto. A la magitud de PA, dada por el a, le llamaremos módulo de a y al águlo que PA forma co la parte positiva del eje de las x's, le llamaremos argumeto de a. El sigo de a determiará el valor que tome el argumeto de a; si el sigo de a es positivo, etoces PA tedrá u argumeto de 0 y si el sigo de a es egativo, etoces PA tedrá u argumeto de 80. Esta variate e la represetació gráfica permite visualiar más claramete las operacioes, como podrá verse a cotiuació. La suma a+b de dos úmeros reales puede verse ahora gráficamete como ua suma de dos segmetos dirigidos; para ello, localiamos el segmeto PA y el PB, correspodietes a los úmeros a y b respectivamete, trasladamos el segmeto PB de tal modo que el orige de PB coicida co el extremo de PA y llamamos C al uevo puto e el que se ha situado el extremo de PB. El uevo segmeto PC correspoderá a la suma a+b. (ver Figura ) Figura EJEMPLO.. Sea a=-5 y b=, ecuetre gráficamete la suma a+b. Graficamos el segmeto PA correspodiete al úmero a, de magitud a =5 y cuyo águlo co la parte positiva del eje x's (argumeto de a) es de 80, puesto que a<0. Similarmete, localiamos el segmeto PB asociado al úmero b, de magitud b = y que, al ser b>0, forma u águlo de 0 co la parte positiva del eje x's. (argumeto de b) Tomamos ahora el segmeto PB y hacemos que su orige coicida co el extremo de PA, llamamos C al uevo puto dode se ha

4 situado el extremo de PB. El extremo del segmeto PC correspode efectivamete al úmero a+b=-. (ver Figura ) Figura Por otra parte, la multiplicació de dos úmeros a y b puede represetarse de la siguiete maera: graficamos los segmetos PA y PB, que correspode a los úmeros a y b respectivamete y llamamos PC al segmeto cuya magitud es a b y cuyo argumeto es la suma de los argumetos de los segmetos PA y PB. Este segmeto PC será la represetació gráfica del úmero ab. EJEMPLO.. Sea a= y b=-.5, ecuetre gráficamete el producto ab. Sea PA y PB los segmetos que correspode a a y b respectivamete, llamemos al argumeto de PA y al de PB. Puesto que a>0 y b<0, etoces =0 y ß=80. Por esta raó el segmeto PC que represeta al producto ab, tedrá ua magitud a b =()(.5)=.75 y formará co la parte positiva del eje de las x's, u águlo a+ß = = 80. (ver Figura 4) Figura 4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Todos los segmetos que se ha utiliado hasta ahora para represetar gráficamete los úmeros reales se ecuetra sobre el eje de las x s, es decir está e ua sola dimesió. Trataremos ahora de resolver gráficamete el problema de ecotrar u úmero real x tal que x =-. El úmero real -, es gráficamete u segmeto de módulo y cuyo argumeto es u águlo de 80. (ver Figura 5) 4

5 Figura 5 Gráficamete el úmero - preseta dos características: a) Su módulo es la uidad, puesto que se localia a ua uidad de distacia del orige. b) Su argumeto es u águlo de 80, puesto que su sigo es egativo. El úmero real x que buscamos, debe ser tal que al elevarse al cuadrado, es decir al multiplicarse por sí mismo, se obtega como resultado el úmero -. Para que x tega la característica a) debe cumplir co que x = y por lo tato x= o x=-. Para cualquier otro valor real de x, el módulo de x será distito de. Para que alguo de los dos cadidatos que teemos satisfaga la ecuació x =-, requerimos que x satisfaga además la codició b). Si x= fuera ua solució de esta ecuació, como el segmeto que lo represeta tiee u argumeto de 0º, etoces el segmeto correspodiete a x sería = 0. Pero u segmeto co argumeto de 0 o tiee la característica b). La otra posible solució es x=-, pero u raoamieto aálogo os lleva a la coclusió de que el segmeto correspodiete a x tampoco tedría la característica b), pues su argumeto sería de =60. Podemos cocluir ahora que el segmeto que represeta al úmero real -, o puede ser obteido como resultado de multiplicar por sí mismo u segmeto que esté sobre el eje X y por lo tato o existe u úmero real que multiplicado por sí mismo arroje como resultado el úmero -. Los úmeros reales so etoces isuficietes para resolver la ecuació x = -. Trataremos ahora de rescatar ua parte de la discusió aterior. El segmeto que buscamos debe teer módulo y su argumeto debe ser tal que al sumarse cosigo mismo os dé 80. Luego, el segmeto buscado debe teer módulo y argumeto igual a 90. (ver Figura 6) 5

6 Figura 6 El segmeto ecotrado o puede correspoder a úmero real alguo y para su represetació ha resultado isuficiete el eje de las x's. Llamaremos i al uevo úmero cuya represetació gráfica hemos ecotrado. E tato que i satisface la codició de que al elevarlo al cuadrado os da -, diremos que i. Atediedo la forma gráfica como se ha defiido la multiplicació, el úmero i puede ser multiplicado por cualquier úmero real. Por ejemplo el producto de por i, que escribiremos como i, se traduce e u segmeto de módulo ()()= y argumeto =90. E la Figura 7 puede verse que el segmeto ecotrado tiee la misma direcció que i, pero su módulo es dos veces más grade. Figura 7 EJERCICIO.. Grafique los úmeros (/)i, i, -i y -i. 6

7 E geeral, si a es u úmero real cualquiera, la gráfica de ai, será u segmeto sobre el eje Y, de módulo a y cuya direcció será: la misma que i, si a es positivo y será cotraria a i si a es egativo. (ver Figura 8). Figura 8 Todos los segmetos graficados hasta ahora está sobre alguo de los ejes de coordeadas. Tomemos ahora u segmeto e cada eje, por ejemplo los correspodietes a los úmeros e i, y grafiquemos la suma +i, retomado el criterio gráfico co el que sumamos úmeros reales, localiamos primeramete el extremo del segmeto que represeta al úmero, trasladamos el correspodiete al úmero i hasta que su orige coicida co el extremo del primero, y etoces el segmeto correspodiete a +i irá del orige de coordeadas al extremo de la ueva posició gráfica de i, como lo muestra la Figura 9. Figura 9 7

8 La represetació gráfica de +i o está sobre iguo de los dos ejes y como puede verificarse fácilmete, su módulo es y su argumeto es 45. Si llamamos x al úmero +i, el producto de x por sí mismo, es decir x, quedará represetado gráficamete por u segmeto co argumeto de =90 y módulo ( )( )=, como ya se ha visto ates, se trata del úmero x =i. El producto de x por sí mismo, es decir x 4, se traducirá etoces e u segmeto de módulo ()()=4 y argumeto =80. Como puede verse e la Figura 0, x 4 = -4 Por raoes aálogas a las que se diero e el caso de la ecuació x =-, la ecuació x 4 =-4 o tiee solucioes reales, hemos ecotrado si embargo que el úmero +i, es ua de las solucioes de esta ecuació. E resume podemos decir que el úmero +i es ua solució de la ecuació x -i=0 y tambié de la ecuació x 4 +4=0. E el primer caso se trata de ua ecuació cuyos coeficietes o so todos úmeros reales. E la última ecuació, e cambio, todos los coeficietes so úmeros reales, se le llama por ello ecuació co coeficietes reales.. Figura 0 EJERCICIO.. Como se ha visto, el úmero +i es ua solució para la ecuació x 4 +4=0. Ecuetre otras dos ecuacioes co coeficietes reales, para las cuales úmero +i sea ua solució. Cuátas de estas ecuacioes existe?. EJERCICIO.. Grafique el úmero i. Calcule su módulo y su argumeto. Ecuetre ua ecuació co coeficietes reales para la cual este úmero sea ua solució. +4i. EJERCICIO.4. Repita el ejercicio aterior para los úmeros complejos i, + i y 8

9 E geeral, siempre podemos sumar u úmero real a, co otro de la forma bi; la suma a+bi, siempre puede ser graficada como el segmeto que va del orige de coordeadas al puto (a,b). E iversamete, todo segmeto cuyo orige coicide co el orige de coordeadas y cuyo extremo es el puto (a,b), correspode a la gráfica de u úmero de la forma a+bi. A estos úmeros de la forma a+bi dode a,br e i, se les cooce como úmeros complejos. La expresió a+bi, de u úmero complejo está ítimamete ligada a su represetació gráfica e el plao cartesiao, por ello le llamaremos la forma cartesiaa de este úmero, otra forma de expresar u úmero complejo se verá posteriormete. Si es u úmero complejo expresado e su forma cartesiaa, esto es si =a+bi, etoces al úmero real a se le cooce como la parte real de (y se simbolia como a=re ) y al úmero real b se le llama la parte imagiaria de. (y se simbolia como b=im ) 4. SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS. Se ha dado hasta aquí u procedimieto gráfico para sumar complejos, este procedimieto es muy secillo y está basado e la posibilidad de graficar los sumados como segmetos dirigidos y después trasladar uo de ellos para localiar el segmeto correspodiete a la suma. Como veremos ahora su traducció aritmética es igualmete secilla. Veamos u ejemplo: EJEMPLO 4.. Ecotrar la suma de los úmeros complejos +i y +i. Figura 9

10 El procedimieto gráfico para ecotrar la suma está ilustrado e la Figura. Lo que os iteresa ahora es ecotrar la expresió aritmética de esta suma. Como esta expresió depede de las coordeadas del extremo del segmeto que represeta la suma, determiaremos primeramete estas coordeadas. E la siguiete gráfica (Figura ), se ilustra la relació etre las coordeadas de los sumados y las coordeadas de la suma. Puesto que la gráfica del úmero +i solamete ha sido trasladada, sus coordeadas sumadas a las del úmero +i, os da las coordeadas de la suma. La suma tiee etoces coordeadas (4,), luego la suma es el úmero 4+i. Figura EJERCICIO 4.. Sea los úmeros complejos =6+i, =+i, =-+5i. a) Ecuetre la expresió gráfica de cada uo de los úmeros siguietes: +, + y +. b) Ecuetre la expresió aritmética de cada uo de los úmeros complejos siguietes: +, + y +. El ejemplo 4. ilustra la maera como puede sumarse complejos gráficamete y después ecotrar la traducció umérica de esta suma, pero la relació etre los sumados y la suma es ta secilla, que puede hacerse uméricamete e forma directa, sumado las partes reales y las partes imagiarias del complejo respectivamete, como lo establece la siguiete defiició. DEFINICIÓN 4.. Si y so dos úmeros complejos dados como =a+bi y =c+di; defiimos la suma de y como + = (a+c)+(b+d)i 0

11 5. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS. Hasta ahora hemos podido multiplicar alguos úmeros complejos utiliado criterios gráficos. Abordaremos ahora la geeraliació de estos criterios y su posible traducció umérica. Veamos el caso particular siguiete: EJEMPLO 5.. Sea = +i y = + i. Calcule. Tal como se ha defiido, la multiplicació de por depederá de los argumetos y los módulos de los factores. E la Figura se sugiere cómo calcular, para este ejemplo el módulo y el argumeto de cada factor utiliado el teorema de Pitágoras y la trigoometría elemetal. Los módulos so etoces. Figura ( ) () 6 4 ; ( ) ( ) 4 Si llamamos y a los argumetos de y respectivamete, etoces coociedo los tres lados de ambos triágulos rectágulos, ver Figura ) y puede ser calculados utiliado algua fució trigoométrica, por ejemplo la tagete: ta ; luego arcta 0 ta ; luego arcta() 45 Podemos asegurar ahora que el complejo es aquél cuyo módulo es =(4)()=8 y cuyo argumeto es + =0 +45 =75. E la Figura 4 puede verse la represetació gráfica del úmero, auque o se tiee hasta ahora su represetació aritmética.

12 Figura 4 Pero la iformació gráfica que teemos es suficiete para obteer su expresió aritmética; puesto que ésta última puede determiarse si calculamos los valores de Re( ) e Im( ), a los que hemos llamado x e y respectivamete. Este cálculo se logra fácilmete a partir de las siguietes relacioes trigoométricas. De las que de imediato se obtiee: 0 cos 75 0 y, se 75 8 x 8 x = 8cos75 = 8(0.59) =.07; y = 8se75 = 8(0.966)= 7.77 Luego, la expresió buscada es: ( i)( i) i Esta maera de multiplicar complejos parece muy poco práctica, porque la multiplicació gráfica co la que cotamos depede de dos parámetros (el módulo y el argumeto) que o está presetes de maera explícita e la expresió cartesiaa de los factores. Esto ocasioa que para cada multiplicació tegamos que calcular estos parámetros para cada factor, ejecutar la multiplicació y luego si es ecesario, expresar el resultado e forma cartesiaa. La dificultad pricipal estriba e que la defiició de multiplicació co la que cotamos o puede aplicarse directamete a úmeros complejos escritos e forma cartesiaa y al aplicarla a complejos expresados e forma polar, el resultado aparece e forma polar. EJERCICIO 5.. Dados los úmeros complejos = -+i, = +5i y =-6-i.

13 a) Represete, y graficamete. b) Calcule el módulo y el argumeto de, y. Necesitamos ecotrar etoces ua expresió aritmética para cualquier complejo que muestre el módulo y el argumeto por ua parte y por otra, establecer las reglas que permita traducir esta expresió a la forma cartesiaa. A esas dos tareas dedicaremos el resto de esta secció. Si teemos u complejo arbitrario escrito e forma cartesiaa, digamos =x+yi, tratemos primero de escribirlo e térmios de su módulo y su argumeto. (ver Figura 5) Figura 5 Llamemos r al módulo y al argumeto, etoces cosiderado la Figura 5 y aplicado las defiicioes de las fucioes seycosse tiee cos = rx ; se = r y Luego la parte real y la parte imagiaria de puede escribirse como: x = rcos y = rse () Y sustituyedo () e la forma cartesiaa de, se tiee: = x + yi = rcos + rise = r(cos + ise) () Como se ha visto e el caso particular del ejemplo 5. y como puede iferirse e geeral de la Figura 5, los valores de r y puede ser obteidos a partir de la parte real y la parte imagiaria de, mediate las relacioes: arcta( y x ) ; r x y ()

14 EJERCICIO 5.. Utilice su calculadora y las relacioes ateriores () para ecotrar el módulo y el argumeto de los complejos = +4i y =--4i, luego coteste las pregutas siguietes: a) So iguales los complejos y?. b) Grafique y. Qué relació existe etre y? c) Cómo está relacioados los argumetos de y? La ambigüedad plateada e el ejercicio 5. tiee su orige e el hecho siguiete: Si y so los argumetos respectivos de los complejos =x+iy y =-x-iy etoces tg tg y y x x y y y segú la calculadora arctg ( ) arctg ( ). Esta ambigüedad siempre puede ser elimiada graficado y para establecer cuáles so los verdaderos valores de y. Al calcular el argumeto del complejo =x+iy co ua calculadora, o se sabrá si la calculadora os está dado el argumeto de =x+iy o el de =-x-iy, pero siempre es posible averiguarlo simplemete graficado. La forma () de escribir el úmero, se cooce como la forma polar del complejo. Las reglas gráficas que hemos seguido hasta aquí para multiplicar complejos puede aplicarse directamete si los factores está dados e forma polar. Esto es, si = r (cos + ise ) y =r (cos + ise ) etoces el producto será u complejo de módulo r r y argumeto +, que podría ser escrito directamete e su forma polar como: = r r (cos( + )+ise( + )) Esta forma polar del producto o resuelve de maera directa el problema de multiplicar complejos e forma cartesiaa y expresar el resultado e forma cartesiaa, pero ayuda a resolverlo. E otras palabras, si =x +iy y =x +iy, os iteresa ahora obteer el producto =(x +iy )(x +iy ), pero e forma cartesiaa. Como se ha visto, los complejos que os iteresa multiplicar puede ser escritos e su forma polar, adquiriedo la forma: = r (cos + ise ); = r (cos + ise ) cuyo producto está dado como: = r r (cos( + )+ise( + )) (4) Como se recordará, las idetidades trigoométricas para el coseo y el seo de la suma de dos águlos, está dadas como: cos( + ) = cos( )cos( ) - se( )se( ) x x 4

15 se( + ) = cos( )se( ) + se( )cos( ) Sustituyedo estas expresioes e (4), teemos, = r r [cos( )cos( ) - se( )se( ) + i(cos( )se( ) + se( ) cos( ))] Reordeado y aplicado las ecuacioes (), se tiee, =r cos( )r cos( )-r se( )r se( )+ i(r cos( )r se( ) + r se( )r cos( )) =x x - y y + (x y + y x )i (5) Obteiedo así ua maera directa de multiplicar complejos e forma cartesiaa. EJERCICIO 5.. Dados los úmeros complejos =4(cos+ise), =(cos+ise) y =0(cos+ ise). a) Grafique, y. b) Escriba, y e forma cartesiaa. EJERCICIO 5.4. Dados los úmeros complejos = --i, =+7i, =-+5i y 4 =9-i. c) Grafique,, y 4. d) Escriba,, y 4 e forma polar. EJERCICIO 5.5. Multiplique los complejos =(cos+ise) y =(cos+ise) y exprese el resultado e forma polar. EJERCICIO 5.6. Multiplique los complejos =(cos5+ise) y =5(cos+ise) y exprese el resultado e forma cartesiaa. EJERCICIO 5.7. Multiplique los complejos =-+6i y =5-i y exprese el resultado e forma cartesiaa. EJERCICIO 5.8. Ecuetre dos úmeros complejos cuya suma sea igual a dos y cuyo producto sea tambié igual a dos. Explique gráficamete el resultado ecotrado. EJERCICIO 5.9. Sea y dos úmeros complejos cualquiera diferetes de cero y sea y sus argumetos respectivos. Ecuetre la relació que debe existir etre y para que el producto sea u úmero real. Explique gráficamete el resultado ecotrado. 5

16 6. DIVISIÓN DE COMPLEJOS Al igual que e el caso de los úmeros reales, la divisió de dos úmeros complejos puede reducirse a ua multiplicació. Si y so dos úmeros complejos, la divisió de etre se defie como la multiplicació de por el iverso de, es decir: ( ) Si podemos calcular la multiplicació etre dos úmeros complejos y si dado u complejo podemos calcular su iverso, etoces o tedremos dificultad para efectuar la divisió. Como la multiplicació ya se ha discutido ates, veremos ahora cómo calcular el iverso de u complejo dado. Abordemos primero el caso dode el complejo está expresado e forma polar. Sea =r(cos+ise) u complejo cualquiera, su iverso será etoces otro úmero que llamaremos - y co la propiedad de que - =. Si - se escribe e su forma polar como - =R(cos+ise) etoces - = [r(cos+ise)][r(cos +ise)]=(cos0º+ise0º) dode R y so respectivamete el módulo y el argumeto de -. Segú la maera que teemos de multiplicar complejos, para que esta ecuació se satisfaga, debe cumplirse que: rr= y +=0º De estas dos igualdades se sigue de imediato que R= r y = y por lo tato - = r (cos(-+ise(-)) Volvamos ahora al problema de la divisió. Si teemos dos complejos cualquiera = r (cos +ise ) = r (cos +ise ) Etoces, calculado el iverso de y aplicado la defiició de multiplicació, teemos: =[r (cos +ise )][ r (cos(- ise(- ))] 6

17 = r r (cos( - ) + ise( - )) (6) E resume, el úmero que resulta de dividir dos complejos tiee por módulo el cociete de los módulos y por argumeto la diferecia de los argumetos, como se ilustra e la Figura siguiete: Figura 6 Si =x +iy y = x +iy fuera la forma cartesiaa de y, el resultado de la divisió puede trasformarse tambié a la forma cartesiaa empleado las idetidades trigoométricas cos( - ) = cos( )cos( ) + se( )se( ) (7) se( - ) = se( )cos( ) - cos( )se( ) (8) y las ecuacioes () de la secció 5, que tomaría para estos casos la forma: x = r cos y = r se ; x = r cos y = r se (9) Teemos etoces, de (6): = x iy x iy = = r r r r (cos( - )+ ise( - )) y de (7) y (8): [cos( )cos( )+se( )se( )+i(se( )cos( )-cos( )se( ))] Para aplicar directamete las fórmulas (9), multiplicamos por obteiedo: r r y distribuimos el producto, = r = r [r cos( )r cos( )+r se( )r se( )+i(r se( )r cos( )- r cos( )r se( ))] [x x +y y +i(y x -x y )] 7

18 = x y [x x +y y +i(y x -x y )] (0) EJERCICIO 6.. Sea =6(cos50º+ise50º) y =(cos0º+ise0º). a) Ecuetre la forma polar de y grafique, y e ua misma Figura. b) Cambie, y de su forma polar a su forma cartesiaa. c) Utilice la expresió (0) y la forma cartesiaa de y para calcular directamete e forma cartesiaa. EJERCICIO 6.. Repita el ejercicio aterior para los complejos =(cos5º+ise5º) y =4(cos45º+ise45º). EJERCICIO 6.. Sea el complejo =5(cos0º+ise0º). Ecuetre tres úmeros complejos w tales que w sea u úmero real. Explique gráficamete el resultado ecotrado. EJERCICIO 6.4. Sea y dos úmeros complejos cualquiera diferetes de cero, sea y sus argumetos y r, r sus módulos respectivamete. Ecuetre la relació que debe existir etre y y etre r y r para que el cociete explicació gráfica de sus resultados. sea igual al producto. Ofreca ua 7. COMPLEJOS CONJUGADOS Al resolver ecuacioes cuadráticas ecotramos que alguas de ellas tiee dos solucioes complejas. Como puede verse e el ejemplo siguiete, estas solucioes o so completamete idepedietes etre sí, es más resulta siempre iguales excepto por el sigo de la parte imagiaria. EJEMPLO. 7.. Resuelva la ecuació x -x+=0 y grafique las solucioes ecotradas. Aplicado directamete la fórmula geeral para resolver ecuacioes de segudo grado, se obtiee como solucioes los dos úmeros complejos siguietes: x = cuya gráfica se muestra e la Figura 7 i ; x = i 8

19 . Figura 7 E la gráfica se observa que las solucioes complejas ecotradas so simétricas co respecto al eje X, sus módulos so iguales y sus argumetos difiere sólo e el sigo. La pareja de úmeros ecotrada e el ejemplo tiee alguas propiedades iteresates. Si sumamos los úmeros que la coforma, por ejemplo, el resultado siempre es u úmero real. Numéricamete esta propiedad se puede observar directamete, puesto que al efectuar la suma, las partes imagiarias de los complejos se elimia etre sí: i i Y gráficamete puede verse que el resultado de la suma estará siempre sobre el eje X, puesto que la diagoal del paralelogramo formado por los segmetos dirigidos correspodietes, permaecerá sobre el eje X, como lo muestra la Figura 8. El resultado de multiplicarlos tambié es u úmero real. Esto puede verse más claramete si covertimos x y x a su forma polar. Puesto que: etoces x =, x = y arg(x ) =60º, arg(x )=-60º x =cos60º+ise60º x =cos(-60º)+ise(-60º) Luego, al multiplicar los módulos y sumar los argumetos, teemos: x x =cos(60º-60º)+ise(60º-60º) 9

20 =cos(0º)+ise(0º) = La Figura 9 muestra este resultado. Figura 8 Figura 9 Cuado e álgebra elemetal se platea el problema de factoriar ua expresió como x -x+, el problema se resuelve ecotrado los úmeros a y b tales que a+b=- y ab= y sustituyédolos e la expresió (x+a)(x+b). E casos como éste los úmeros a y b o existe etre los úmeros reales, se dice etoces que la expresió x -x+ o es factoriable e los úmeros reales, pero los úmeros a=-x y b=-x so dos úmeros cuya suma es igual a y cuyo producto es igual a. Se dice etoces que la expresió x -x+ es factoriable e los complejos y su factoriació es: x x i x x i Si teemos dos complejos iguales excepto por el sigo de la parte imagiaria, sabemos ahora que su producto es siempre u úmero real. Este resultado proporcioa ua maera equivalete, pero más práctica de dividir complejos escritos es forma cartesiaa, como se describe e el ejemplo siguiete: EJEMPLO 7.. Sea =7+i y =+4i. Calcule. 0

21 Tomamos u tercer complejo que difiera de sólo e el sigo de la parte imagiaria, e este caso =-4i y aprovechado que es u úmero real, multiplicamos el cociete por, obteiedo: (7 i 7 i)( 4 ) Covirtiedo así la divisió e u problema de multiplicació, luego aplicado la expresió (5) de la secció 5, teemos: 5 (7 8i( 8 )) 7 La pareja de complejos a la que os hemos referido a partir del ejemplo 7. es u caso particular de lo que se cooce como úmeros complejos cojugados, que e geeral puede defiirse como sigue. DEFINICIÓN 7. Sea =a+bi u úmero complejo cualquiera, etoces decimos que su cojugado es el úmero a-bi y lo deotamos como. Decimos etoces que y so cojugados etre sí y que uo es el cojugado del otro. Se desprede directamete de la defiició que si x es u úmero real, etoces x =x, puesto que x=x+0i=x-0i= x. Se dice etoces que todo úmero real es el cojugado de sí mismo. EJERCICIO 7.. Factorice e los complejos la expresió x +x+. EJERCICIO 7.. Factorice e los complejos la expresió x +6x+0. EJERCICIO 7.. Verifique gráfica y algebraicamete que e geeral para cualquier complejo =a+bi, se cumple que + =a y que =a +b. EJERCICIO 7.4. Demuestre gráficamete que el área del cuadrilátero cuyos vértices so los extremos de los complejos 0,, y +, está dada por + -. EJERCICIO 7.5. Cuál es el lugar geométrico descrito por todos los complejos que satisface la ecuació =6?. EJERCICIO 7.6. Sea y dos úmeros complejos. Es suficiete que la suma de ellos sea u úmero real para que y sea cojugados etre sí?. Justifique gráficamete su coclusió. Discutiremos ahora alguas propiedades adicioales iteresates de los complejos cojugados. Sea y dos úmeros complejos cualquiera, etoces: i

22 i) El cojugado de la suma de dos úmeros complejos es la suma de los cojugados, es decir. ii) El cojugado del producto dos úmeros complejos es el producto de los cojugados, es decir. E la Figura siguiete se puede ver gráficamete la valide de la propiedad i). Figura 0 De la misma maera la propiedad ii) puede visualiarse e la Figura. Figura Esta propiedad puede geeraliarse si problemas a u úmero mayor de factores, e particular sigue siedo válida si el complejo se multiplica veces por sí mismo, obteemos así ua tercera propiedad, que podemos euciar como sigue:

23 iii) El cojugado de la potecia -ésima de u complejo, es igual a la potecia -ésima del cojugado de, esto es ( ) ( ). EJERCICIO 7.7. Ilustre gráficamete la valide de esta propiedad para el caso particular e el que =5. EJERCICIO 7.8. Verifique gráficamete que si y so dos complejos diferetes de cero, etoces. Regresemos ahora al problema de resolver ua ecuació cuadrática. Como se sabe, si teemos ua ecuació cualquiera de grado dos e ua variable, digamos ax +bx+c=0, sus solucioes está completamete determiadas por la fórmula b b ac x 4 a a. Si b -4ac<0 etoces ambas solucioes de la ecuació so complejas y está dadas como: b b ac x 4 a a b b ac x 4 a a Por la forma que adquiere, es claro que los úmeros x y x so cojugados etre sí. Podemos decir etoces que si u complejo es ua solució de ua ecuació de segudo grado, etoces su cojugado tambié es ua solució. Co la ayuda de las tres propiedades discutidas ates, trataremos de geeraliar este resultado a ecuacioes de cualquier grado e ua variable. Sea a x +a - x a x+a 0 =0 ua ecuació de grado cuyos coeficietes so úmeros reales. Si el complejo 0 es ua solució de esta ecuació, etoces a 0 +a a 0 +a 0 toma el valor cero, es decir: a 0 +a a 0 +a 0 = 0 Como e ambos lados del sigo igual aparece el úmero cero, la igualdad o se altera si tomamos los cojugados, puesto que el cojugado del úmero cero es él mismo a 0 a 0... a 0 a0 0 Visto el lado iquierdo como ua suma de complejos, por la propiedad i) y puesto que 0 0, se tiee: Aplicado la propiedad ii) teemos a 0 a 0... a 0 a0 0

24 0 ( a )( ) ( a )( 0 )... ( a)( 0 ) a0 Y como todo úmero real es cojugado de sí mismo. Ahora por la propiedad iii): 0 a ( ) a ( 0 )... a ( 0 ) a0 a ( ) a ( 0)... a( 0) a0 0 Pero esto sigifica que 0 tambié es ua solució de la ecuació origial. Podemos resumir este resultado diciedo que si u úmero complejo es solució de ua ecuació de cualquier grado co coeficietes reales, etoces el cojugado de este úmero, tambié es ua solució de esta ecuació. O dicho de otro modo, las solucioes complejas de ua ecuació como la aterior, uca aparece solas, se hace acompañar siempre de su respectivo cojugado. EJERCICIO 7.9. Segú el resultado establecido ates, si 0 es ua solució de la ecuació a x +a - x a x+a 0 =0 co coeficietes reales, etoces 0 tambié es ua solució de la ecuació. Sigifica esto que la ecuació mecioada tiee siempre u úmero par de solucioes, idepedietemete del valor de?. Justifique su respuesta POTENCIAS DE NÚMEROS COMPLEJOS Aú cuado ya hemos resuelto el problema de multiplicar dos complejos dados e forma cartesiaa, el uso de la expresió (5) ecotrada e la secció 5, podría resultar muy laborioso cuado se iteta aplicar e multiplicacioes ligeramete más complicadas, veamos u ejemplo: EJEMPLO 8.. Calcule ( i) 5 Este problema es equivalete a realiar la multiplicació del úmero mismo, es decir a calcular: i cico veces por sí ( i)( i)( i)( i)( i) Co la herramieta que teemos hasta ahora, el úico camio pareciera ser el de ir realiado de dos e dos los productos idicados, esto es: ( i 5 ) = ( i)( i)( i)( i)( i) = ( i)( i)( i)( i) 4

25 = ( i)( i)(8i) = ( i)( 8 8 i) = ( 6 6i) Auque o se ha escrito los detalles de los cálculos, el camio ha resultado laborioso y es de esperarse que lo sea más cuado la potecia que se requiere calcular sea mayor. Veamos cómo puede abordarse este problema co uestro criterio gráfico. Como se ha visto, la multiplicació desde el puto de vista gráfico es más fácil de visualiar si los factores ha sido expresados e forma polar, como e este caso se trata de la multiplicació repetida del mismo factor, traducámoslo a su forma polar. puesto que i =(cos0 +ise0 ) r y arcta 0 0 Elevar el complejo e cuestió a la quita potecia, sigifica multiplicarlo cico veces por sí mismo; si empeamos elevádolo al cuadrado, obteemos u complejo cuyo módulo es ()()=4 y cuyo argumeto es 0 +0 = 60 ; al elevarlo al cubo, obteemos otro úmero, de módulo ()(4) = 8 y argumeto = 90 y así sucesivamete, este proceso puede ser cotiuado hasta llegar a la quita potecia. La Figura ilustra cada uo de los pasos de este proceso Figura 5

26 Mietras que el desarrollo umérico se puede escribir como sigue: ( i ( i ( i ( i ) = ( i)( i) =[(cos0º + ise0º)][(cos0º + ise0º)] =4(cos60º + ise60º) ) = ( i) ( i) =[4(cos60º + ise60º)][(cos0º + ise0º)] =8(cos90º + ise90º) 4 ) = ( i) ( i) =[8(cos90º + ise90º)][(cos0º + ise0º)] =6(cos0º + ise0º) 5 4 ) = ( i) ( i) =[6(cos0º + ise0º)][(cos0º + ise0º)] =(cos50º + ise50º) = ( ( i ( )) = 6 6i Este procedimieto pareciera más laborioso que el aterior, pero es posible observar ua cierta regularidad e el comportamieto de los resultados, que permite predecir ua potecia cualquiera a partir de la aterior. Más aú, permite ecotrar la potecia directamete del expoete, observe el siguiete resume del desarrollo aterior. ( i) =(cos0º + ise0º) ( i ( i ( i ( i ) = (cos60º + ise60º) ) = (cos90º + ise60º) 4 ) = 4 (cos0º + ise0º) 5 ) = 5 (cos50º + ise50º) E este resume destaca la relació existete etre el expoete al que se está elevado cada complejo, el expoete del módulo y el úmero de veces que se está cosiderado el argumeto 6

27 del complejo que sirve como base a la potecia. Utilice esta relació para realiar el ejercicio siguiete: EJERCICIO 8.. Calcule ( i 9 ) y ( i 6 ) y exprese el resultado e forma cartesiaa. EJERCICIO 8.. Complete la tabla siguiete: arg() Forma polar de la potecia de =+i 45 (cos45 +ise45 ) =(+i) =(+i) 4 =(+i) 4 5 =(+i) 5 6 =(+i) 6 =(+i) Observe el último regló de la tabla aterior para cotestar las pregutas siguietes: Qué relació guarda co el módulo de? y Qué relació guarda co el argumeto de? EJERCICIO 8.. Complete la tabla siguiete: arg() Forma polar de la potecia de =a+ib r r(cos +ise) =(a+ib) =(a+ib) 4 =(a+ib) 4 5 =(a+ib) 5 6 =(a+ib) 6 =(a+ib) Observe el último regló de la tabla aterior para cotestar las pregutas siguietes: Qué relació guarda co el módulo de? y Qué relació guarda co el argumeto de? EJERCICIO 8.. Calcule ( i) 5 y exprese el resultado e forma cartesiaa. 7

28 9. RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS Como se ha visto e aritmética elemetal, la radicació o extracció de raíces es, de algua maera, ua operació iversa de la poteciació. Se tiee así, por ejemplo, que la raí cúbica de 64 es 4, porque el 4 es u úmero que al elevarlo al cubo arroja como resultado 64. Trataremos ahora de aplicar esta idea de radicació a los úmeros complejos. Iiciemos co u ejemplo secillo. EJEMPLO 9.. Extraer raí cúbica a i. Resolver este problema cosistirá etoces e ecotrar u úmero tal que al elevarlo al cubo, se obtega i. Puesto que para este úmero r 64 y arcta( ) 5 etoces i =64(cos5º + ise5º) Nuestro problema se reduce ahora a ecotrar u complejo tal, que su módulo al cubo sea 64 y su argumeto multiplicado por sea u águlo de 5. Fácilmete ecotramos que el úmero buscado debe teer módulo 4 y argumeto igual a 45. (ver Figura ) Figura 8

29 Hemos ecotrado así que la raí cúbica de i es el úmero 4(cos45 +ise45 ) o e forma cartesiaa i. Para verificar que esta raí es correcta, basta co elevarla al cubo y cerciorse que el resultado es 9 i. Veamos ahora si la raí cúbica ecotrada es la úica o existe otras. La preguta acerca de la posible existecia de otras raíces cúbicas puede hacerse e dos partes: E primer lugar podemos pregutaros co respecto al módulo, si la raí cúbica de i puede teer u módulo distito al ecotrado, es decir si existe otro úmero positivo, cuyo cubo sea 64. La respuesta a esta preguta es egativa, el 4 es el úico úmero real positivo que al elevarlo al cubo os da 64; Si existiera otras raíces cúbicas del úmero i tambié tedría etoces módulo 4. E segudo lugar, co respecto al argumeto os podemos pregutar si existe otros águlos que al multiplicarlos por os de 5. La respuesta pareciera ser egativa uevamete, esto es, o pareciera existir otro águlo positivo distito de 45 que al multiplicarlo por, os dé 5. Si embargo ates de dar ua respuesta categórica a esta preguta, veamos al resolver el ejercicio siguiete alguos detalles relacioados co ella. EJERCICIO 9.. Grafique los siguietes úmeros complejos: 64(cos5 + ise5 ) 64(cos495 + ise495 ) 64(cos855 + ise855 ) 64(cos5 + ise5 ) 64(cos575 + ise575 ) 64(cos95 + ise95 ) Cuátas formas polares existe para represetar u úmero complejo?. Justifique su respuesta. Algo e lo que o habíamos reparado hasta ahora, era la posibilidad de que u complejo escrito e forma cartesiaa pudiera teer más de ua forma polar de escribirse. E la búsqueda del argumeto de la raí cúbica, hemos ecotrado que el águlo de 45 es el úico águlo positivo que multiplicado por o da 5, pero el águlo de 5 es sólo el argumeto de ua de las represetacioes polares, la existecia de muchas otras represetacioes pareciera

30 complicar u poco el problema; porque ahora para cada represetació podemos ecotrar u águlo positivo que multiplicado por, os dé el argumeto de la represetació polar correspodiete. E base a los resultados del ejercicio 9., hemos costruido la siguiete tabla, e la que hemos llamado al argumeto del complejo de la raí cúbica. i y al posible argumeto Posible raí cúbica (cos45 + ise45 ) (cos65 + ise65 ) (cos85 + ise85 ) (cos405 + ise405 ) (cos55 + ise55 ) (cos645 + ise645 ) Como se debió cocluir e el ejercicio 9., la lista puede cotiuarse idefiidamete y para cada águlo que se cosidere, es posible obteer ua raí cúbica de argumeto y módulo 4, lo cual pareciera coduciros a la coclusió de que el úmero de raíces cúbicas ecotradas es ifiito. EJERCICIO 9.. De la tabla aterior se ha tomado la lista de las posibles raíces cúbicas. Complete la tabla siguiete traduciedo cada ua de ellas a su forma cartesiaa. Posible raí cúbica e forma Posible raí cúbica e forma polar cartesiaa 4(cos45 O + ise45 O ) i 4(cos65 O + ise65 O ) 4(cos85 O + ise85 O ) 4(cos405 O +ise405 O ) 4(cos55 O + ise55 O ) 4(cos645 O + ise645 O ) Cuátas raíces cúbicas diferetes tiee el úmero i?. Justifique su respuesta. EJERCICIO 9.. Grafique las raíces cúbicas diferetes ecotradas e el ejercicio aterior. Qué águlo tedría que rotar ua para hacerla coicidir co la siguiete?. EJERCICIO Los tres úmeros ecotrados, so raíces de la ecuació x ( i) 0. Explique por qué iguo de ellos es cojugado de otro Esto cotradice el resultado fial de la secció 7? 0

31 Recapitulado lo visto hasta ahora sobre raíces de complejos, teemos que el úmero i tiee tres raíces cúbicas diferetes, a saber: ( i) = [ 64(cos5 i se5)] =4(cos45 +ise45 ) ( i) = [ 64(cos 495 i se 495)] =4(cos65 +ise65 ) ( i) = [ 64(cos855 i se 855)] =4(cos85 +ise85 ) Al calcular el módulo de la raí o se ha teido igú problema, puesto que siedo el módulo de cualquier complejo u úmero positivo, simplemete hemos calculado la úica raí cúbica real de 64, es decir (64) 4. Dode pudiera haber algua dificultad, es a la hora de establecer cuáles so los argumetos de las diferetes raíces. A este respecto, ua ve covecidos que el úmero i tiee u úmero ifiito de represetacioes polares, hemos tomado primeramete aquella cuyo argumeto es mayor que 0 y meor o igual que 60, que e este caso ha resultado ser de 5. Este argumeto co el que hemos iiciado el trabajo y el úico que cumple co la desigualdad 0 < 60 lo llamaremos el argumeto pricipal del complejo i. A partir de este argumeto pricipal, hemos obteido (dividiédolo etre ) u águlo de 45, que se ha usado para calcular la raí 4(cos45 +ise45 ), llamaremos a esta raí, la raí pricipal del úmero i. Para calcular ua seguda raí hemos cosiderado el argumeto pricipal más ua "vuelta etera", esto es = 495 y dividiédolo etre, hemos obteido u águlo de 65, usádolo para ecotrar la raí 4(cos65 +ise65 ). La tercera raí se ha ecotrado, tomado el argumeto pricipal más dos "vueltas eteras", esto es 5 +()(60 )=5 +70 = 855. Dividiedo este águlo etre, se ha obteido la raí 4(cos85 + ise85 ). La siguiete raí podría buscarse tomado el argumeto pricipal y sumádole tres "vueltas eteras" esto es 5 +()(60 ), pero al dividir este águlo etre, se obtiee: [ 5 ()(60 )] 5 ()(60 ) =

32 y como = (cos45 +ise45 ) = 4[cos( )+ise( )]. Ecotramos así ua raí que ya teíamos, por raoes similares, al cotiuar el proceso las raíces se sigue repitiedo y por lo tato ya o tiee setido cotiuarlo. Abordemos por último el caso geeral de calcular la raí -ésima de u úmero complejo cualquiera. Sea u complejo dado e su forma polar (si o estuviera e su forma polar, ya hemos visto como traducirlo a ella) de módulo r y argumeto pricipal, esto es, =r(cos+ise). Calculemos sus raíces -ésimas, es decir los posibles valores de de estas raíces, o preseta mayor problema y será r. El módulo para todas ellas. Iiciamos el cálculo de los argumetos, cosiderado el argumeto pricipal y dividiédolo etre ; obteemos de esta maera la raí pricipal, que puede escribirse de la siguiete maera: (ver Figura 4). 0 = r [cos ise ] Figura 4 Luego sumamos al argumeto de la raí pricipal ua "vuelta etera" (60 ), y dividimos el resultado etre, obteiedo como: 60, que es el argumeto de otra raí, ésta puede expresarse = r [cos ise ]

33 La siguiete raí puede ser ecotrada, sumado al argumeto pricipal dos "vueltas eteras", es decir ()(60 ) = 70 y luego dividiedo el resultado etre. Se obtiee de este modo el 60 águlo, que correspode a la raí siguiete: ()(60 ) ()(60 ) = r [cos ise ] Cotiuado así, podemos ecotrar el resto de las raíces -ésimas de. ()(60 ) ()(60 ) = r [cos ise ] (4)(60 ) (4)(60 ) 4 = r [cos ise ] (5)(60 ) (5)(60 ) 5 = r [cos ise ] Cuádo habremos ecotrado todas las raíces distitas? Depede desde luego del valor de. Llegará u mometo e que sumemos "vueltas eteras" al argumeto pricipal y al dividir etre (5)(60 ), tegamos como resultado 60, que correspode a la raí: ( )(60 ) ( )(60 ) = r [cos ise ] = r [cos( 60) ise( 60)] = r [cos ise ] Esta raí es igual a la primera ecotrada y a partir de ésta las raíces empiea a repetirse. Todas las raíces obteidas ates de este paso so por lo tato distitas etre sí. Esto sigifica que todas las raíces diferetes puede ser calculadas, sumado al argumeto pricipal 0,,,,..., - "vueltas eteras" y dividiedo los resultados etre el úmero fijo ; como se ha visto, sumar la -ésima "vuelta etera" resulta iecesario. EJERCICIO 9.5 Calcule todas las raíces cuartas del úmero complejo =8(cos60 +ise60 ) y expréselas e forma cartesiaa. EJERCICIO 9.6. Calcule todas las raíces sextas del úmero complejo =-- EJERCICIO 9.7. Si es u úmero impar y p es u úmero real positivo, demuestre que las raíces -esimas de p so: u úmero positivo y parejas de complejos cojugados. EJERCICIO 9.8. Si es u úmero par y p es u úmero real positivo, demuestre que las raíces -esimas de p so: u úmero positivo, u úmero egativo y parejas de complejos cojugados. i

34 BIBLIOGRAFÍA. Duham, W. (990). Jourey Through Geius: the great theorems of mathematics. New York: Wiley. Kurosh, A. G. (977). Curso de álgebra superior (tercera edició). Moscú: Mir. Markushévich, A. I. (984). Curvas maravillosas. Números complejos y represetacioes coformes. Fucioes maravillosas. ( a ed.). Moscú: MIR. Polya, G. y Latta, G. (976). Variable compleja. México: LIMUSA 4

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