2. LEYES FINANCIERAS.

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1 TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales), quedado obligado el agete que recibe dicho capital a devolverlo, e el plazo acordado. El agete que etrega el capital reucia a dispoer de ese capital hasta ua fecha futura y a cambio va a recibir ua compesació. El agete que recibe el capital queda obligado a devolver, e el plazo acordado, el capital prestado más ua cuatía que represeta el precio por haber dispuesto del mismo durate dicho plazo. Ese precio o recompesa es lo que se deomia iterés y puede defiirse como la cuatía, expresada e uidades moetarias, que será ecesario pagar por dispoer de capitales ajeos durate u determiado período de tiempo. El iterés depederá del importe del capital dispuesto y del itervalo de tiempo durate el cual se dispoe de dicho capital. Se itroduce el cocepto de Capital fiaciero como ua magitud bidimesioal (C, t), dode C represeta la cuatía de dicho capital que se suele expresar e uidades moetarias (euros, dólares, etc.) y t el mometo del tiempo e el que es dispoible. 2. LEYES FINANCIERAS. Ua vez admitido que la reucia a dispoer de u capital C e el mometo actual t, esto es, (C, t), supoe la obteció de u capital de cuatía superior C+I e u mometo futuro t, la ley fiaciera se defie como la expresió matemática que permite obteer la cuatía del capital fial (C+I, t ). E la práctica se utiliza fudametalmete tres leyes fiacieras: la ley de capitalizació simple, la ley de capitalizació compuesta y la ley de descueto simple comercial. 2.1.) Ley de capitalizació simple. E este criterio, el iterés I que se pagará por dispoer de u capital de cuatía C durate u período de tiempo dado, =t -t, se determia de forma proporcioal a la cuatía dispuesta y a la amplitud del período. Esto es: I = C i = C i (t - t) [1.] Siedo i el tipo de iterés o precio a pagar al fial del período por uidad de capital y uidad de tiempo expresado e la misma uidad e que vega medido el tiempo. Ejemplo 1. Cuál sería el iterés, calculado e capitalizació simple, correspodiete a la disposició de u capital de euros durate dos años y utilizado u tipo de iterés aual del 4,00%? De esta forma, la cuatía que se recibirá al fial de período, C, tedrá la siguiete expresió: A partir de [2] la expresió de la ley de capitalizació simple será: C = C + I = C + C i = C (1 + i ) [2.] L (t, t )= ( i ), de forma que C = C ( i ) = C L (t, t ) [3.] E la práctica, el parámetro i suele expresarse e térmios auales, por lo que el tiempo,, deberá expresarse e años o fracció de años. Esto es: k k L(t, t ) = ( 1 + i ) = i, co = [4.] m m siedo: k = úmero de subperiodos compredidos etre t y t. m = fraccioamieto, es decir, el úmero atural que represeta los subperiodos de igual amplitud e que se ha dividido el año (m=12 meses, m=4 trimestres, m=365 días, etc.) 1

2 Ejemplo 2. Cuál sería el capital, calculado co capitalizació simple, que se recibiría al fial del periodo si se prestara u capital de 5000 euros durate 180 días a u tipo de iterés aual del 4,00%? y si el período fuera de 3 meses? Represetació gráfica de la ley de capitalizació simple 2.2.) Ley de capitalizació compuesta. Si se aplica la expresió aterior, la cuatía que se obtedría por pospoer la disposició del capital C durate períodos sería: C = C L(t, t ) = C ( 1 + i ) [5.] Si embargo, puede platearse ua alterativa a esta situació dividiedo la duració total e subperíodos y supoiedo que los capitales obteidos al fial de cada subperíodo so reivertidos durate u subperíodo más: 1º período (amplitud 1) C = C ( i 1) 1 2º período (amplitud 1) C = C ( = C ( ( = C ( + i) período (amplitud 1) C = C 1 ( = C ( (...( = C ( i) [6.] siedo i el tipo de iterés, expresado e la misma uidad e que vega medido el tiempo. A la ley fiaciera resultate se la deomia capitalizació compuesta y su expresió es: ( i) L (t, t ) = 1 + y, por tato, C = C ( 1 + i) = C L(t, t ) [7.] E la práctica, el parámetro i suele expresarse e térmios auales por lo que el tiempo,, se expresará e años o fracció de años: k / m k L (t, t ) = ( 1 + i) = ( i), co = [8.] m dode k = úmero de subperiodos compredidos etre t y t y m = fraccioamieto. Ejemplo 3: Cuál sería el capital, calculado co capitalizació compuesta, que se recibiría al fial del periodo si se prestara u capital de 5000 euros durate 180 días a u tipo de iterés aual del 4,00%? y si el período fuera de 3 meses? A su vez, los itereses geerados se obtedría de la expresió: k/m I = C C = C [( i) 1] y si k / m = 1 I = C i [9.] Ejemplo 4: Cuál sería el iterés, calculado e capitalizació compuesta, correspodiete a la disposició de u capital de euros durate 3 años utilizado u tipo de iterés aual del 4,00%? Y e el caso de u periodo de tres meses utilizado u tipo de iterés trimestral del 1%? 2

3 Represetació gráfica de la ley de capitalizació compuesta La idea fudametal de la capitalizació compuesta aputa a que los itereses se reivierte y geera, a su vez, uevos itereses. La utilizació de este criterio supodría el mismo resultado que la aplicació de la ley de capitalizació simple de forma sucesiva, reivirtiedo cada vez los capitales geerados e el periodo aterior. 2.3) Comparació de las leyes de capitalizació simple y capitalizació compuesta. Ejemplo 5: Obtégase los itereses por periodo y acumulados, co ua ley de capitalizació simple y co ua ley de capitalizació compuesta, cosiderado u capital de euros y u tipo de iterés aual del 6%. Itereses Itereses Itereses Itereses (años) acumulados por período acumulados por período Capitalizació simple Capitalizació compuesta Comparació capitalizació simple y compuesta Cuatía itereses Tiempo (años) Capitalizació compuesta Capitalizació simple Así, si se compara los itereses por periodo obteidos co la aplicació de la ley de capitalizació simple co los obteidos mediate la capitalizació compuesta, se comprueba como e el primer caso la cuatía es costate mietras que e el segudo dicha cuatía es creciete (efecto de la reiversió de itereses característica de la capitalizació compuesta). Además, la reiversió de los itereses tambié tiee u cosiderable efecto e la cuatía acumulada a medio y largo plazo. Si embargo, hay que señalar que, e el corto plazo, las dos leyes produce resultados similares y, más aú, para valores de etre cero y uo, los itereses geerados mediate la capitalizació simple so superiores a los obteidos co la capitalizació compuesta. 3

4 2.4) Ley de descueto simple. E ocasioes, el itercambio fiaciero se platea desde otro águlo, cocibiédose como el aboo e el mometo actual de ua catidad coocida que debería recibirse e u mometo futuro. El adelato de la fecha de dispoibilidad lleva aparejado que la catidad recibida hoy sea iferior a la que se recibiría e el mometo futuro. Dicho precio o recompesa se deomia descueto (e lugar de iterés) y la ley fiaciera más utilizada para su cálculo es la ley de descueto simple comercial. El descueto que se pagará por aticipar u período de tiempo la dispoibilidad de u capital C se calcula como: D = C d [10.] siedo d el tipo de descueto o precio a pagar al iicio del período por uidad de capital y uidad de tiempo, expresado e la misma uidad e que vega medido el tiempo. Ejemplo 6: Cuál sería el descueto que se produciría, utilizado la ley de descueto simple comercial, si se adelatase dos meses la dispoibilidad de la paga extra de Navidad, sabiedo que su importe es de euros y que el tipo de descueto es del 0,50% mesual? Por tato, la cuatía C 0 que se recibiría al iicio del período se obtedría de la siguiete expresió: [ d ] C0 = C D = C C d = C 1 [11.] La expresió de la ley de descueto simple comercial es: A(t0, t) = 1 d y, por tato: C0 = C A(t0, t) [12.] E la práctica, el parámetro d suele expresarse e térmios auales, por lo que el tiempo,, se expresará e años o fracció de años. Esto es: k k A(t0, t) = 1 d = 1 d, co = m m siedo: k = úmero de subperiodos compredidos etre t 0 y t y m= fraccioamieto. [13.] Ejemplo 7: Cuál sería el capital, calculado co descueto simple comercial, que se recibiría al iicio del período si se procede a descotar u capital de euros durate tres meses a u tipo de descueto aual del 6% durate 90 días? y si el período fuera de 6 meses? Represetació gráfica. 3. EQUIVALENCIA FINANCIERA. Si al comparar dos capitales fiacieros (C 1, t 1 ) y (C 2, t 2 ) ua o ambas variables so iguales, el criterio de elecció es secillo y totalmete ituitivo; pero, si t 1 < t 2 y C 1 < C 2? El pricipio de preferecia por la liquidez, tambié llamado pricipio de la subestimació de las ecesidades futuras, recoge el hecho de que los agetes ecoómicos prefiere los biees ecoómicos presetes a los biees ecoómicos futuros o, e otras palabras, que ua uidad moetaria dispoible hoy será más valiosa, esto es, será preferida a ua uidad moetaria dispoible e el futuro. 4

5 Esto implica que dos capitales fiacieros co distito vecimieto será fiacieramete equivaletes (o idiferetes desde el puto de vista fiaciero) siempre y cuado el de vecimieto más alejado e el tiempo sea de mayor cuatía, y, como se ha visto e los epígrafes ateriores, la diferecia etre ambos capitales coicida co lo que se ha deomiado iterés, obteido, a su vez, mediate la aplicació de la ley fiaciera. Matemáticamete: (C 1, t 1 ) (C 2, t 2 ) C 2 C 1 = I, co t 1 < t 2 [14.] sabiedo que: C 2 = C 1 L(t 1, t 2 ) [15.] La equivalecia fiaciera de capitales es u cocepto relativo, que depederá de la ley utilizada. Ejemplo 8: Utilizado la ley de capitalizació compuesta y la ley de capitalizació simple, ambas co u tipo de iterés del 3,75% aual, obtégase el capital equivalete el 15/05/03 de los siguietes capitales fiacieros: (47.500, 15/12/2001), (48.013, 15/03/2003). 4. SUMA FINANCIERA. E muchas ocasioes, el objetivo es ecotrar el capital equivalete a u cojuto de capitales fiacieros. E este cotexto, el capital suma fiaciera se defie como el capital fiaciero (S,τ), cuya cuatía S es la suma aritmética de las cuatías equivaletes e τ a las cuatías de los capitales sumados. Dados los capitales fiacieros (C 1, t 1 ) y (C 2, t 2 ) y supoiedo que τ > t 2 > t 1, el capital fiaciero se determia, para el caso de ua ley de capitalizació, como: S τ = C 1 L(t 1, τ) + C 2 L(t 2, τ) [16.] Represetació gráfica Si existe m capitales sumados, (C 1, t 1 ), (C 2, t 2 ),...,(C m, t m ) y supoiedo que τ > t m > >t 2 >t 1, el capital fiaciero se determia, para el caso de ua ley de capitalizació, como: Sτ = C1 L ( t1, τ ) + C2 L ( t2, τ ) Cm L ( tm, τ ) [17.] El capital suma fiaciera permite exteder el cocepto de equivalecia fiaciera etre capitales a equivalecia fiaciera etre cojutos de capitales. Así, se dice que dos cojutos de capitales so equivaletes, e base a ua ley fiaciera, cuado e u mismo mometo tiee el mismo capital suma fiaciera. Ejemplo 9: A) Dado el siguiete cojuto de capitales: {( , t1)( , )}, obtégase su suma fiaciera e t 4 co la ley fiaciera: L(t, t ) = ( 1 + 0, 05). B)Determíese cuáto debe valer X para que el cojuto de capitales del apartado A sea equivalete al cojuto: {( , t 2 ) ( , ) (X, t 4 )}, co la ley L(t, t 0 ) = ( +, ). 5

6 Cómo se puede sumar capitales si e el caso de ua ley de capitalizació el vecimieto del capital suma τ o cumple que τ > t m > >t 2 >t 1? Hay dos formas de resolver este problema: 1) Utilizado el factor fiaciero, que se estudiará e el tema siguiete. 2) Plateado la ecuació e el mometo dode veza el último capital y a cotiuació se despeja la cuatía del capital suma. Represetació gráfica. Ejemplo 10: A) Dado el siguiete cojuto de capitales: {( , t1)( , )}, obtégase su suma fiaciera e t 2 co la ley fiaciera: L(t, t ) = ( 1 + 0, 05). B) Determíese cuáto debe valer X para que el cojuto de capitales del apartado A sea equivalete al cojuto: {( , t2 ) (X, t2 )( , ) }, co la ley, L(t, t 0 ) = ( +, ). 5. OPERACIÓN FINANCIERA La operació fiaciera se puede defiir como el itercambio o simultáeo de capitales fiacieros pactado ete dos agetes ecoómicos de forma que se verifique la equivalecia e base a ua ley fiaciera etre los capitales etregados por uo y otro. La parte que etrega el primer capital de la operació se deomia prestamista y la parte que lo recibe prestatario. Asimismo, el cojuto de capitales que etrega el prestamista se llama prestació y el cojuto que etrega el prestatario cotraprestació. Dado que, e la mayoría de los casos, la prestació y/o la cotraprestació está formadas por u cojuto de capitales, la equivalecia fiaciera se cocretará e la exigecia de que, e cualquier puto, la suma fiaciera de los capitales de la prestació debe coicidir co la suma fiaciera de los capitales de la cotraprestació. 6

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