2 Concepto de Capital Financiero. 3 Comparación de capitales financieros. 3 Ley financiera. 8 Capitalización simple. 14 Capitalización compuesta

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2 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Ídice Coceptos básicos de la iversió Cocepto de Capital Fiaciero 3 Comparació de capitales fiacieros 3 Ley fiaciera Capitalizació 8 Capitalizació simple 4 Capitalizació compuesta Descueto Itroducció 3 Descueto comercial simple 4 Descueto racioal simple 6 Descueto racioal compuesto Tipos de iterés y 3 Tipos de iterés retabilidad 34 Retabilidad Coceptos estadísticos 44 Media y esperaza 46 Variaza y desviació típica 48 Covariaza y correlació 5 Regresió lieal míimo cuadrática Retabilidad y riesgo 6 Retabilidad 66 Riesgo 69 Supuestos de la hipótesis de ormalidad fikai AULA FINANCIERA

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4 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo. Coceptos básicos de la iversió. Feómeo fiaciero. Cocepto de Capital Fiaciero. Comparació de capitales fiacieros.3 Ley fiaciera.3. Operació fiaciera fikai AULA FINANCIERA

5 . Feómeo fiaciero. Cocepto de Capital Fiaciero Capítulo : Coceptos básicos de la iversió Cuado se dispoe de ua catidad de diero (capital) se puede destiar, o bie a gastarlo (satisfaciedo algua ecesidad), o bie a ivertirlo para recuperarlo e u futuro más o meos próximo, segú se acuerde. De la misma maera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer ua ecesidad, estaremos dispuestos a ivertir siempre y cuado la compesació ecoómica os resulte suficiete. E este setido el pricipio básico de la preferecia de liquidez establece que a igualdad de catidad los biees más cercaos e el tiempo so preferidos a los dispoibles e mometos más lejaos. La razó es el sacrificio del cosumo. Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de diero le asiga u valor objetivo fijado u precio por la fiaciació que se llama iterés. El iterés se puede defiir como la compesació por la reucia temporal del diero o coste de oportuidad de o dispoer del diero durate u tiempo. Esta compesació ecoómica se exige, etre otras, por tres razoes básicas: Por el riesgo que se asume. Por la falta de dispoibilidad que supoe desprederse del capital durate u tiempo. Por la depreciació del valor del diero e el tiempo. La cuatificació de esa compesació ecoómica, de los itereses, depede de tres variables, a saber: La cuatía del capital ivertido. El tiempo que dura la operació. El tato de iterés al que se acuerda la operació. Cuado se habla de capital fiaciero (C; t) os referimos a ua cuatía (C) de uidades moetarias asociada a u mometo determiado de tiempo (t). fikai AULA FINANCIERA

6 . Comparació de capitales fiacieros Capítulo : Coceptos básicos de la iversió E ua operació fiaciera o tiee setido hablar de capitales iguales (aquellos e los que coicide cuatías y vecimietos), sio que siempre estaremos refiriédoos a capitales equivaletes. Hay equivalecia etre dos capitales cuado a su propietario le resulta idiferete ua situació u otra. Es decir, si resulta idiferete cobrar hoy.000 euros a cobrar.050 euros detro de u año, etoces diremos que ambos capitales (.000; 0) y (.050; ) so equivaletes. De ua maera más geeral, dos capitales cualesquiera, C co vecimieto e t y C co vecimieto e t, so equivaletes cuado se está de acuerdo e itercambiar uo por otro. El cocepto de equivalecia o sigifica que o haya gaacia o coste e la operació. Todo lo cotrario, la equivalecia permite cuatificar ese beeficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir e ua operació cocreta..3 Ley fiaciera Capítulo : Coceptos básicos de la iversió Para que ua operació fiaciera se realice es ecesario que a los iterviietes las cuatías que da y recibe les resulte equivaletes. Es ecesario que deudor y acreedor se poga de acuerdo e cuatificar los capitales de los que se parte y a los que fialmete se llega. Esto implica elegir u método matemático que permita dicha sustitució: ua ley fiaciera. La ley fiaciera se defie como u modelo matemático (ua fórmula) para cuatificar los itereses por el aplazamieto y/o aticipació de u capital e el tiempo. Coociedo las diferetes leyes fiacieras que existe y cómo fucioa se podrá sustituir uos capitales por otros, pudiédose formalizar las diferetes operacioes fiacieras..3. OPERACIÓN FINANCIERA CONCEPTO: Se etiede por operació fiaciera la sustitució de uo o más capitales por otro u otros equivaletes e distitos mometos de tiempo, mediate la aplicació de ua ley fiaciera. E defiitiva, cualquier operació fiaciera se reduce a u cojuto de flujos de caja (cobros y pagos) de sigo opuesto y distitas cuatías que se sucede e el tiempo. Así, por ejemplo, la cocesió de u préstamo por parte de ua etidad bacaria a u cliete supoe para este último u cobro iicial (el importe del préstamo) y uos pagos periódicos (las cuotas) durate el tiempo que dure la operació. Por parte del baco, la operació implica u pago iicial úico y uos cobros periódicos. fikai AULA FINANCIERA 3

7 La realizació de ua operació fiaciera implica, por tato, que se cumpla tres putos:. Sustitució de capitales. Ha de existir u itercambio de u(os) capital(es) por otro(s).. Equivalecia. Los capitales ha de ser equivaletes, es decir, debe resultar de la aplicació de ua ley fiaciera. 3. Aplicació de ua ley fiaciera. Debe existir acuerdo sobre la forma de determiar el importe de todos y cada uo de los capitales que compoga la operació, resultado de la cosideració de los itereses geerados. ELEMENTOS - Persoales E ua operació fiaciera básica iterviee u sujeto (acreedor) que poe a disposició de otra (deudor) uo o más capitales y que posteriormete recuperará, icremetados e el importe de los itereses. La acció de etregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se cosiderará la prestació de la operació fiaciera. La operació cocluirá cuado el deudor termie de etregar al acreedor el capital (más los itereses); a esta actuació por ambas partes se le deomia la cotraprestació de la operació fiaciera. E toda operació fiaciera las catidades etregadas y recibidas por cada ua de las partes o coicide. El aplazamieto (o adelatamieto) de u capital e el tiempo supoe la producció de itereses que formará parte de la operació y que habrá que cosiderar y cuatificar. Por tato, prestació y cotraprestació uca so aritméticamete iguales. No obstate, habrá ua ley fiaciera que haga que resulte fiacieramete equivaletes, es decir, que si valorásemos prestació y cotraprestació e el mismo mometo, co la misma ley y co el mismo tato, etoces sí se produciría la igualdad umérica etre ambas. Tato la prestació como la cotraprestació puede estar formadas por más de u capital que icluso se puede solapar e el tiempo. - Temporales Al mometo de tiempo dode comieza la prestació de la operació fiaciera se le deomia orige de la operació fiaciera. Dode cocluye la cotraprestació de la operació fiaciera se le llama fial de la operació fiaciera. Al itervalo de tiempo que trascurre etre ambas fechas se le deomia duració de la operació fiaciera, durate el cual se geera los itereses. - Objetivos La realizació de la operació fiaciera exige u acuerdo sobre aspectos tales como: la cuatía del capital de partida, la ley fiaciera que se va a emplear y, fialmete, el tato de iterés (coste/gaacia) uitario acordado. 4 fikai AULA FINANCIERA

8 CLASIFICACIÓN Segú la duració: A corto plazo: la duració de la operació o supera el año. A largo plazo: aquéllas co ua duració superior al año. Segú la ley fiaciera que opera: Segú la geeració de itereses: ) E régime de simple: los itereses geerados e el pasado o se acumula y, por tato, o geera, a su vez, itereses e el futuro. ) E régime de compuesta: los itereses geerados e el pasado sí se acumula al capital de partida y geera, a su vez, itereses e el futuro. Segú el setido e el que se aplica la ley fiaciera: ) De capitalizació: sustituye u capital presete por otro capital futuro. ) De actualizació o descueto: sustituye u capital futuro por otro capital presete. Segú el úmero de capitales de que costa: Simples: costa de u solo capital e la prestació y e la cotraprestació. Complejas (o compuestas): cuado costa de más de u capital e la prestació y/o e la cotraprestació. Segú el iterés: A iterés explícito: cuado e la operació fiaciera se produce los itereses al aplicar el tipo de iterés. Por ejemplo, u boo a 5 años co pago aual de itereses. A iterés implícito: cuado los redimietos se calcula sobre el valor omial y se descueta de dicho valor omial. Por ejemplo, ua Letra del Tesoro a meses. fikai AULA FINANCIERA 5

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10 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo. Capitalizació. Capitalizació simple.. Defiició y fórmula geeral.. Magitudes derivadas..3 Tatos equivaletes e capitalizació simple..4 Números comerciales: cocepto y cálculo..5 Iterés simple aticipado. Capitalizació compuesta.. Defiició y fórmula geeral.. Magitudes derivadas..3 Tatos equivaletes e capitalizació compuesta fikai AULA FINANCIERA 7

11 . Capitalizació simple Capítulo : Capitalizació.. DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operacioes e régime de capitalizació simple se caracteriza porque los itereses, a medida que se va geerado, o se acumula y o geera itereses e períodos siguietes (o so productivos). De esta forma los itereses que se produce e cada período se calcula siempre sobre el mismo capital el iicial, al tipo de iterés vigete e cada período. Este régime fiaciero es propio de operacioes a corto plazo (meos de u año), salvo que las codicioes de la operació idique lo cotrario. CONCEPTO: Operació fiaciera cuyo objeto es la sustitució de u capital presete por otro equivalete co vecimieto posterior, mediate la aplicació de la ley fiaciera e régime de simple. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN: Partiedo de u capital (C 0 ) del que se dispoe iicialmete capital iicial, se trata de determiar la cuatía fial (C ) que se recuperará e el futuro sabiedo las codicioes e las que la operació se cotrata (tiempo y tipo de iterés i ). CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN: Los itereses o so productivos, lo que sigifica que: A medida que se geera o se acumula al capital iicial para producir uevos itereses e el futuro y, por tato Los itereses de cualquier período siempre los geera el capital iicial (C 0 ), al tato de iterés vigete e dicho período. Así pues, la fórmula geeral del valor de los itereses e capitalizació simple, e el caso de que el tipo de iterés sea costate, es: I = C0 i dode: i = Tipo de iterés omial expresado e tato por uo y referido a u año. = Duració de la operació, expresada e años. 8 fikai AULA FINANCIERA

12 DESARROLLO DE LA OPERACIÓN: El capital al fial de cada período es el resultado de añadir al capital existete al iicio del mismo los itereses geerados durate dicho período. De esta forma, la evolució del motate coseguido es el siguiete: C = C o + I sustituyedo los itereses por la expresió = C i C = C o + (C o i ) I 0 Por tato: = C ( + i ) C 0 Siedo el factor de capitalizació = ( + i ) Expresió aplicable cuado el tipo de iterés de la operació se matiee costate todos los períodos. A partir de la expresió aterior (deomiada fórmula fudametal de la capitalizació simple) o solamete se puede calcular motates sio que, coocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restate. Fialmete, hay que teer e cueta que lo que idica es el úmero de veces que se ha geerado (y acumulado) itereses al capital iicial, por tato, esa variable siempre ha de estar e la misma uidad de tiempo que el tipo de iterés (o importado cuál sea). CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: Si el tipo de iterés es variable la expresió para obteer el capital fial o motate sería: C = C 0 ( + i + i + i i ) = C 0 ( + i j= j ) fikai AULA FINANCIERA 9

13 EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.S. i = cte Calcular el motate obteido al ivertir.000 euros al 8% aual durate 4 años e régime de capitalizació simple. C o =.000 C 4 =? 0 4 años i = 8% = 0,08 Para calcular el motate utilizamos la expresió: = C ( + i ) C 4 =.000 ( + 0,08 x 4 ) =.640 C 0 EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.S. i = vble Se quiere coocer qué capital podremos retirar detro de 3 años si hoy colocamos.000 euros al 5% de iterés aual simple para el primer año y cada año os sube el tipo de iterés simple u puto porcetual. E este caso al ser el tipo de iterés variable, para calcular el capital fial, aplicaremos la expresió: C = C 0 ( + i + i + i i ) = C 0 ( + i j= C 3 = C 0 ( + i + i + i 3 ) = 000 ( + 0,05 + 0,06 + 0,07 ) = 80 j ) 0 fikai AULA FINANCIERA

14 .. MAGNITUDES DERIVADAS CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL: Partiedo de la fórmula del capital fial o motate y coocidos éste, la duració de la operació y el tato de iterés (cte), bastará co despejar de la misma: despejado C 0 resulta: C = C o ( + i ) C 0 C = + i EJEMPLO RESUELTO Cálculo del capital iicial e C.S. i = cte Cuáto deberé ivertir hoy si quiero dispoer detro de años de.500 euros para comprarme u coche, si me asegura u 6% de iterés aual simple para ese plazo? C o =? C = años i = 6% = 0,06 C C = + i 0 = ,06 = 339,9 CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES: Bastará co calcular los itereses de cada período, que siempre los geera el capital iicial y sumarlos. Itereses totales = I + I + + I = C 0 i + C 0 i + + C 0 i Luego: Itereses totales = C Si i = i = = i = i = cte 0 ( i + i i ) = C0 i j j= Itereses totales = I + I + + I = C0 i + C0 i + + C0 i = C0 i Por último, si coocemos los capitales iicial y fial: I = C - C0 fikai AULA FINANCIERA

15 EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los itereses e C.S. i = cte Qué itereses producirá 300 euros ivertidos 4 años al 7% simple aual? Por suma de los itereses de cada período: Itereses totales = I + I + I 3 + I 4 = C 0 i + C 0 i + C 0 i + C 0 i = = C 0 x i x 4 = = 300 x 0,07 x 4 = 84 Tambié se puede obteer por diferecias etre el capital fial y el iicial: C 4 = 300 x ( + 0,07 x 4) = 384 I = = 84 EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los itereses e C.S. i = cte Qué iterés producirá euros ivertidos 8 meses al % simple mesual? I = C 0 i = x 0,0 x 8 = 480 CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS: Si se cooce el resto de elemetos de la operació: capital iicial, capital fial y duració, basta co teer e cueta la fórmula geeral de la capitalizació simple y despejar la variable descoocida. C = C 0 ( + i) C C 0 C = + i - = i C 0 i = C C 0 - EJEMPLO RESUELTO Cálculo del tipo de iterés e C.S. i = cte Determiar el tato de iterés aual a que debe ivertirse.000 euros para que e 5 años se obtega u motate de.500 euros. DATOS: C o = 000 C = 500 = 5 años Calculamos i : C C i = = = 5 0,0 = 0% CÁLCULO DE LA DURACIÓN: Por último, coociedo C 0, C y el tipo de iterés i, podemos calcular la duració mediate la expresió: C - C0 C - C0 I = = = i C i C i 0 0 fikai AULA FINANCIERA

16 ..3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE Dos tatos cualesquiera, expresados e distitas uidades de tiempo, so tatos equivaletes cuado aplicados a u mismo capital iicial y durate u mismo período de tiempo produce el mismo iterés o geera el mismo capital fial o motate. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA etre el tipo de iterés aual ( i ) y el tipo de iterés efectivo fraccioado ( i k ): El motate obteido utilizado i : C = C 0 ( + i) y utilizado i k : C = C 0 ( + k i k ) dode k es la frecuecia de capitalizació, que idica el úmero de partes iguales e las que se divide el período de referecia que se tome (habitualmete el año). Igualamos C 0 ( + i) = C 0 ( + k i k ) Y simplificado obteemos la relació de equivalecia: i = k i k Por tato, los tatos de iterés equivaletes e simple so proporcioales...4 NÚMEROS COMERCIALES: CONCEPTO Y CÁLCULO E el caso de ua cueta corriete bacaria es frecuete que, debido a los movimietos de diero, el capital (saldo) sea variable. Cuado se da esta circustacia, para calcular los itereses usamos los úmeros comerciales, siedo estos el producto del capital (saldo) por la duració de su periodo: N = C i i i De esta forma los itereses de ua cueta corriete, co saldos C i, podemos calcularlos de la siguiete maera: I = C i + C i C i = i (C + C C Luego: I = i (N + N +... N ) + )..5 INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO El tipo iterés simple es aticipado, y lo deotaremos i*, cuado los itereses so prepagables, es decir, al pricipio del periodo. La relació etre el tipo de iterés simple aticipado ( i*) y el tipo de iterés al vecimieto ( i ) es la siguiete: i * i = +, o bie, i i * = - i i * fikai AULA FINANCIERA 3

17 . Capitalizació compuesta Capítulo : Capitalizació.. DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operacioes e régime de compuesta se caracteriza porque los itereses, a diferecia de lo que ocurre e régime de simple, a medida que se va geerado pasa a formar parte del capital de partida, se va acumulado, y produce a su vez itereses e períodos siguietes (so productivos). E defiitiva, lo que tiee lugar es ua capitalizació periódica de los itereses. De esta forma los itereses geerados e cada período se calcula sobre capitales distitos (cada vez mayores ya que icorpora los itereses de períodos ateriores). CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN: Los itereses so productivos, lo que sigifica que: A medida que se geera se acumula al capital iicial para producir uevos itereses e los períodos siguietes. Los itereses de cualquier período siempre los geera el capital existete al iicio de dicho período. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN: El capital al fial de cada período es el resultado de añadir al capital existete al iicio del mismo los itereses geerados durate dicho período. De esta forma, la evolució del motate coseguido e cada mometo es el siguiete: Mometo 0: C 0 Mometo : C = C 0 + I = C 0 + C 0 i = C 0 ( + i) Mometo : C = C + I = C + C i = C ( + i) = C 0 ( + i) ( + i) = C 0 ( + i) Mometo 3: C 3 = C + I 3 = C + C i = C ( + i) = C 0 ( + i) ( + i) = C 0 ( + i) 3 Geeralizado: = C0 ( i) siedo (+ i ) el factor de capitalizació C + Al igual que e capitalizació simple, la duració () siempre ha de estar e la misma uidad de tiempo que el tipo de iterés (i). Esta expresió: - Permite calcular el capital fial o motate (C ) e régime de compuesta, coocidos el capital iicial (C 0 ), el tipo de iterés (i) y la duració () de la operació. - Es aplicable cuado el tipo de iterés de la operació es costate. E caso cotrario habrá que trabajar co el tipo vigete e cada período. 4 fikai AULA FINANCIERA

18 CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: Si el tipo de iterés es variable la expresió para obteer el capital fial o motate sería: C = C0 ( + i) (+ i ) (+ i3 )...(+ i ) = C0 ( + ij ) j= EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.C. i = cte Calcular el motate obteido al ivertir 00 euros al 5% aual durate 0 años e régime de capitalizació compuesta. C o = 00 C 0 =? 0 0 años i = 5% = 0,05 C 0 = 00 ( + 0,05 ) 0 = 35,78 Si se hubiese calculado e simple: C 0 = 00 ( + 0,05 0) = 300 La diferecia etre los dos motates (5,78 ) so los itereses producidos por los itereses geerados y acumulados hasta el fial. EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.C. i = vble Se quiere coocer qué capital podremos retirar detro de 3 años si hoy colocamos.000 euros al 5% de iterés aual compuesto para el primer año y cada año os sube el tipo de iterés compuesto medio puto porcetual. E este caso al ser el tipo de iterés variable, para calcular el capital fial, aplicaremos la expresió: C = C0 ( + i) (+ i ) (+ i3 )...(+ i ) = C0 ( + ij ) j= C 3 3 = C0 (+ i) (+ i ) (+ i ) = 000 (+ 0,05) (+ 0,055) (+ 0,06) = 74, fikai AULA FINANCIERA 5

19 .. MAGNITUDES DERIVADAS CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL: Partiedo de la fórmula de cálculo del capital fial o motate y coocidos éste, la duració de la operació y el tato de iterés, bastará co despejar de la misma: C = C 0 ( + i) de dode se despeja C 0 : C 0 = C (+ i) EJEMPLO RESUELTO Cálculo del capital iicial e C.C. i = cte Cuáto deberé ivertir hoy si quiero dispoer detro de años de.500 euros para comprarme u coche, si me asegura u 6% de iterés aual compuesto para ese plazo? C o =? C = años i = 6% = 0,06 C 0 C 500 = = (+ i) ( + 0,06) = 334,99 CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES: Coocidos los capitales iicial y fial, se obtedrá por diferecia etre ambos: I = C - C 0 E el caso de i = cte: [ I = C ( + i) - C = C ( i) -) ] I = C0 ( + i j ) - C0 = C0 ( + i j ) - E el casi de i = vble [ ] j= j= EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los itereses e C.C. i = cte Qué itereses producirá 300 euros ivertidos 4 años al 7% compuesto aual? Calculamos primero el motate C 4 = 300 ( + 0,07) 4 = 393,4 Luego, los itereses geerados será I = 393,4 300 = 93,4 6 fikai AULA FINANCIERA

20 CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS: Si se cooce el resto de elemetos de la operació: capital iicial, capital fial y duració, basta co teer e cueta la fórmula geeral de la capitalizació compuesta y despejar la variable descoocida. C = C 0 ( + i) C C 0 = (+ i) C C = (+ i) i = - C C 0 0 EJEMPLO RESUELTO Cálculo del tipo de iterés e C.C. i = cte Determiar el tato de iterés aual a que debe ivertirse.000 euros para que e años se obtega u motate de.60,03 euros. DATOS: C o = 000 C = 60,03 = años C 60,03 Calculamos i: i = - = - = 0,04 = 4% C CÁLCULO DE LA DURACIÓN: Por último, coociedo C 0, C y el tipo de iterés i, podemos calcular la duració: C = C 0 ( + i) C C 0 = (+ i) C log = log(+ i) C 0 logc logc0 = log(+ i) logc logc = log(+ i) 0 EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la duració e C.C. i = cte U capital de.000 euros colocado a iterés compuesto al 4% aual asciede a 3.0 euros. Determiar el tiempo que estuvo impuesto. DATOS: C o = 000 C = 30 i = 4% Calculamos : logc logc0 = = log(+ i) log30 log000 log(+ 0,04) = años fikai AULA FINANCIERA 7

21 ..3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA La defiició de tatos equivaletes es la misma que la vista e régime de simple, esto es, dos tatos cualesquiera, expresados e distitas uidades de tiempo, so tatos equivaletes cuado aplicados a u mismo capital iicial y durate u mismo período de tiempo produce el mismo iterés o geera el mismo capital fial o motate. E capitalizació simple se comprobó que los tatos de iterés equivaletes so proporcioales, es decir, cumple la siguiete expresió: i = k i k Si embargo, esta relació de proporcioalidad o va a ser válida e régime de compuesta, ya que al irse acumulado los itereses geerados al capital de partida, el cálculo de itereses se hace sobre ua base cada vez más grade; por tato, cuato mayor sea la frecuecia de capitalizació ates se acumulará los itereses y ates geerará uevos itereses, por lo que existirá diferecias e fució de la frecuecia de acumulació de los mismos al capital para u tato de iterés dado. Este carácter acumulativo de los itereses se ha de compesar co ua aplicació de u tipo más pequeño que el proporcioal e fució de la frecuecia de cómputo de itereses. Todo esto se puede apreciar e el siguiete ejemplo, cosistete e determiar el motate resultate de ivertir.000 euros durate año e las siguietes codicioes: a) Iterés aual del % C =.000 x ( + 0,) =.0,00 b) Iterés semestral del 6% C =.000 x ( + 0,06) =.3,60 c) Iterés trimestral del 3% C =.000 x ( + 0,03) 4 =.5,5 Los resultados o so los mismos, debido a que la capitalizació de los itereses se está realizado co diferetes frecuecias mateiedo la proporcioalidad e los diferetes tipos aplicados. Para coseguir que, cualquiera que sea la frecuecia de capitalizació, el motate fial siga siedo el mismo es ecesario cambiar la ley de equivalecia de los tatos. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA etre el tipo de iterés aual ( i ) y el tipo de iterés efectivo fraccioado ( i k ): El motate obteido utilizado i : y utilizado i k : C = C 0 ( + i) C = C 0 ( + i k ) k dode k es la frecuecia de capitalizació, que idica el úmero de partes iguales e las que se divide el período de referecia que se tome (habitualmete el año). Igualamos C 0 ( + i) = C 0 ( + i k ) k 8 fikai AULA FINANCIERA

22 Simplificamos: ( + i) = ( + i k ) k ( + i) = ( + i k ) k k Despejado: i (+ ik ) / k =, o bie, i = ( i) k + TANTO NOMINAL: El tato omial j k es u tipo de iterés aual proporcioal al tipo de iterés efectivo fraccioado i k e capitalizació compuesta. Cuado os de el valor del tato omial j k, calcularemos el efectivo fraccioado de la siguiete forma: i k = jk k EJEMPLO RESUELTO Tatos equivaletes e C.C. i = cte U capital de.000 euros se ivierte durate 0 años al 4% aual omial devegado los itereses mesualmete. Determiar: a) el tipo de iterés efectivo mesual b) el tipo de iterés efectivo aual. c) el motate al cabo de los 0 años. DATOS: C o = 000 = 0 años j = 4% j 0,04 a) i = = = 0,00333 = 0,33% 0,04 b) i = (+ i ) = ( + ) = 0,04074 = 4,074% K 0,04 0 c) C 0 = C0 (+ i) = C0 (+ ik ) = 000 ( + ) = 98,66 EJEMPLO RESUELTO Tatos equivaletes e C.C. i = cte U capital de euros se ivierte durate años y medio al 4% aual omial capitalizable trimestralmete. Determiar: a) el tipo de iterés efectivo trimestral. b) el motate al fial de la operació. DATOS: C o = 5000 =,5 años j 4 = 4% j4 0,04 a) i4 = = = 0,0 = % 4 4 K 0,04 0 b) C = C0 (+ i) = C0 (+ ik ) = 5000 ( + ) = 553, 4 fikai AULA FINANCIERA 9

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24 MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo 3. Descueto 3. Itroducció 3. Descueto comercial simple 3.3 Descueto racioal simple 3.3. Tipo de iterés e las letras del tesoro 3.4 Descueto racioal compuesto 3.4. Defiició y fórmula geeral 3.4. Actualizació periódica de los itereses fikai AULA FINANCIERA

25 3. Itroducció Capítulo 3: Descueto El descueto bacario es ua operació de activo para las etidades fiacieras y uo de los servicios bacarios de fiaciació a corto plazo más utilizados por las empresas. La operació cosiste e que la etidad fiaciera adelata el importe de u título de crédito o vecido (letra de cambio, pagaré, factura, recibo ), descotado los itereses que correspode por el tiempo que media etre la fecha del aticipo y la fecha de vecimieto del crédito, las comisioes y demás gastos. Las figuras que aparece e la operació so: librador es la persoa que emite el documeto, teedor o tomador es la persoa legitimada para cobrarlo y librado es la persoa obligada al pago. E térmios fiacieros, la etidad aticipa al cliete, el valor actual descotado de u efecto comercial, y a vecimieto, el baco obtedrá el omial. Se deomia geéricamete efecto comercial a todo tipo de documeto que evidecie que existe u crédito a favor de la persoa que lo posee, como cosecuecia de la práctica habitual de la empresa, cotra otra que ha cotraído dicha obligació o deuda. Por tato, las operacioes de descueto o de descapitalizació so operacioes fiacieras e las que se cambia u capital futuro por u capital presete, es decir, se aticipa u capital (C,t ) hasta (Co,t 0 ). Al capital que figura e el documeto (letra, factura, pagaré ) o capital futuro se le deomia valor omial (C ). El capital e el mometo presete, se le llama valor actual, valor efectivo o valor descotado (C 0 ). La diferecia etre el valor omial y el valor descotado es el descueto. D = C C 0 El descueto depede, además de la cuatía del valor omial, del tipo de iterés omial aplicado y del tiempo. Para el cálculo del descueto comercial e días se suele cosiderar el año comercial de 360 días. Si embargo, para operacioes de pasivo las etidades fiacieras utiliza el año atural de 365 días. Vamos a estudiar tres sistemas fiacieros de descueto:. Descueto comercial simple.. Descueto racioal simple. 3. Descueto racioal compuesto o actualizació compuesta. fikai AULA FINANCIERA

26 3. Descueto comercial simple Capítulo 3: Descueto El descueto comercial simple es el más utilizado e la práctica bacaria y se lleva a cabo para periodos iferiores a u año. Fórmula geeral del valor descotado: C0 = C (- i) siedo (- i) el factor de actualizació. Fórmula geeral del descueto: D = C C0 = C C (- i) = C i Dode: i = tipo de iterés de descueto omial = tato de descueto omial = d C = valor omial C 0 = valor descotado = periodo de descueto EJEMPLO RESUELTO Descueto comercial simple Ua etidad fiaciera descueta ua letra de cambio de 800 euros de omial 80 días ates de su vecimieto. Sabiedo que el tipo de descueto omial aplicado es del 9% aual, se pide: a) Valor del descueto realizado. b) Valor descotado o efectivo que aboa la etidad. DATOS: C = 800 = 80 días d=i= 9% 80 a) D = C i = 800 0,09 = b) C 0 = C D = = 784 EJEMPLO RESUELTO Descueto comercial simple Ua etidad fiaciera descueta ua letra de cambio de 5000 euros de omial 00 días ates de su vecimieto. Sabiedo que valor descotado o efectivo que aboa la etidad es 4785, calcular el tipo de iterés omial utilizado. DATOS: C = 5000 = 00 días C 0 = 4785 D = C i i = D C = / 360 = 0,548 = 5,48% EJEMPLO PROPUESTO Descueto comercial simple Ua etidad fiaciera descueta ua letra de cambio de 500 euros de omial 90 días ates de su vecimieto. Sabiedo que el tato de descueto es del 8% aual, que la comisió del 0,5% y que los impuestos asciede a 30 euros, calcular el valor efectivo de la letra. fikai AULA FINANCIERA 3

27 3.3 Descueto racioal simple Capítulo 3: Descueto Fórmula geeral del valor descotado: Partimos de la capitalizació simple: C = C o ( + i ) y despejamos el valor de C 0, que sería el valor descotado: siedo el factor de actualizació. ( + i) C 0 C = ( + i) Fórmula geeral del descueto: D = C C 0 = C C C i = (+ i) (+ i) 3.3. TIPO DE INTERÉS EN LAS LETRAS DEL TESORO Las Letras del Tesoro so títulos de Deuda Pública emitidos por el Estado para su fiaciació. Su plazo de vecimieto suele ser iferior a 8 meses, su valor omial es de.000 euros y preseta la peculiaridad de que se emite al descueto. Es decir, el suscriptor al comprar paga meos que el valor omial del título, mietras que e el mometo del vecimieto recibe dicho valor omial. Este meor precio e el mometo de la compra es la retabilidad que ofrece el título. De esta maera, el capital ivertido será el precio pagado por la letra adquirida y los itereses que se obtiee será la diferecia etre ese precio de adquisició y el precio que se obtega por la letra cuado se veda o cuado se amortice (.000 euros). Para calcular la retabilidad que obtiee el iversor hay que distiguir etre Letras co vecimieto a meos de año y a más de año: a) Si se emite a plazos iferiores o iguales a los meses: Se calcula aplicado las fórmulas del descueto racioal simple. Las emitidas a meses (o 5 semaas) tiee ua vida exacta de 364 días. b) Si se emite a 8 meses: Se aplica las fórmulas del descueto racioal compuesto. 4 fikai AULA FINANCIERA

28 EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal simple Las Letras del Tesoro a meses se adjudicaro a u tipo de iterés margial del,975%. Cuál es el precio margial de la subasta o precio míimo aceptado? DATOS: Valor omial = C =.000 d = de días = 364 i =,975% Utilizamos la ley de descueto racioal simple: C 0 C = ( + i) C 0 =.000 P = = 970,79 euros , EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal simple El importe que se aboó por ua Letra del Tesoro a meses fue de 980,75 euros. Calcula el tipo de iterés de la subasta. DATOS: Valor omial = C =.000 d = de días = 364 P = C 0 = 980,75 Utilizamos la ley de descueto racioal simple: C 0 C = ( + i) Sustituimos: 980, = y despejamos i = 0,094 =,94% 364 ( + i) 360 EJEMPLO RESUELTO Descueto racioal simple U capital de 5000 euros se descueta 30 días ates de su vecimieto a u 7% aual. Calcular el descueto racioal simple y el descueto comercial simple. DATOS: Valor omial = C = 5000 d = de días = 30 i = 7% 30 C ,07 i 360 Descueto racioal simple: D = = = (+ i) 30 (+ 0,07) Descueto comercial simple: D = C i = ,07 = 9,7 360 fikai AULA FINANCIERA 5