Programación Entera (PE)

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Programación Entera (PE)"

Transcripción

1 Programació Etera (PE) E geeral, so problemas de programació lieal (PPL), e dode sus variables de decisió debe tomar valores eteros. Tipos de PE Cuado se requiere que todas las variables de decisió tome valores eteros, etoces se habla de programació etera pura. Cuado alguas variables so eteras, y otras cotíuas, etoces se habla de programació etera mixta (PEM). U caso especial de programació etera (PE) es cuado todas las variables so biarias (0 o ), etoces se habla de programació etera biaria (PEB). E geeral, los problemas de PE so más difíciles de resolver que los PPL co variables cotíuas. Por ello se ha desarrollado diversas técicas de solució. 2

2 a) Problema de la mochila (0-). Ua empresa está cosiderado ivertir e 4 proyectos diferetes. Cada proyecto se completa e a lo más 3 años, y los flujos de caja requeridos e cada año, juto co el valor presete eto de cada proyecto y las dispoibilidades de recursos fiacieros se resume e la siguiete tabla: Año Año 2 Año 3 V.P.N. Proy Proy Proy Proy Disp. de recursos Iteresa determiar e cuales proyectos ivertir, de modo de coseguir el mayor V.P.N. de la iversió. Variables de decisió: x i : si se ivierte e el proyecto i; 0 e caso cotrario. co i:..4 Fució objetivo: Max Z = 35x + 8x x 3 + 6x 4 4 2

3 Restriccioes del problema: Si se o puede ivertir el diero o utilizado: 0x + 8x 2 + 6x 3 + 2x 4 30 (Año ) 8x + 5x 2 + 4x 3 5 (Año 2) 8x + 6x 3 2 (Año 3) x i {0,} i:..4 5 Restriccioes del problema: Si se puede ivertir el diero o utilizado: 0x + 8x 2 + 6x 3 + 2x 4 + s = 30 (Año ) 8x + 5x 2 + 4x 3 + s 2 = 5 + s (Año 2) 8x + 6x s 2 (Año 3) x i {0,} i:

4 Si o puede ivertir el diero o utilizado, pero al fial de los proyectos se puede utilizar los retoros: 0x + 8x 2 + 6x 3 + 2x 4 30 (Año ) 8x + 5x 2 + 4x x 4 (Año 2) 8x + 6x x 2 (Año 3) x i {0,} i:..4 7 Si puede ivertir el diero o utilizado, y los retoros: 0x + 8x 2 + 6x 3 + 2x 4 + s = 30 (Año ) 8x + 5x 2 + 4x 3 + s 2 = 5 + s + 6x 4 (Año 2) 8x + 6x s 2 + 8x 2 (Año 3) x i {0,} i:

5 Supogamos adicioalmete que la iversió efectuada requiera uevas restriccioes: i. Se debe ivertir e al meos de los 3 primeros proyectos. x + x 2 + x 3 ii. El proyecto o puede ser tomado a meos que el proyecto 3 si sea tomado. x x 3 9 iii. Se puede tomar el proyecto 3 o el proyecto 4 pero o ambos. x 4 + x 3 iv. No se puede ivertir el total e más de 2 proyectos. x + x 2 + x 3 + x

6 b) Problema de Asigació. Supogamos que existe u cojuto de tareas, cada ua de las cuales debe ser realizadas por trabajador, de u total de. Se cooce el tiempo t ij que le toma al trabajador j realizar la tarea i, co i,j:... Se desea obteer la mejor asigació de las tareas de modo que miimice el tiempo total (como suma) de ejecució de las tareas, que todas quede hechas y que u trabajador sólo haga ua de ellas. Tareas 2 2 Trabajadores Variables de decisió: x ij : si el cliete i es asigado al sitio j; 0 e caso cotrario. co i,j:.. Fució objetivo: Mi Z = i= j= t ij x ij 2 6

7 Restriccioes para el problema: (tarea i) (trabajador j) j= i= x ij = x ij = i:.. j:.. X ij {0,} 3 E el problema, el úmero total de asigacioes factibles so!. Co >20 el total de asigacioes factibles se hace muy grade. Etoces se utiliza heurísiticas para resolverlo. Trabajador Tareas Tiempo total 9 4 7

8 c) Iclusió de costos fijos (PEM). Supoga que se desea teer lotes de compra de u producto dado, para satisfacer demadas que fluctúa e el tiempo sobre u horizote de plaificació de T períodos. Se asume coocida ua estimació de la demada (d t ) co t:..t, los costos asociados a la compra de ua uidad (p t ), los costos asociados a la mateció de ua uidad e ivetario de cada período (h t ) y los costos (fijos) asociados a la gestió de compra e el período t (s t ). No se permite faltates (o demada isatisfecha). E este problema, los precios y las demadas varía e el tiempo. 5 Variables de decisió: x t : úmero de uidades compradas e el período t. I t : ivel de ivetario al fial del período t. y t : si se compra el producto e el período t; 0 e caso cotrario. co t:..t Fució objetivo: Mi Z = T t= s Costo de la orde de compra (fijo) t y t + p t x t + h t I t Costo asociado a la compra (variable) Costo de ivetario 6 8

9 Restriccioes para el problema: (relació etre ivetarios) x t + I t- -I t = d t t:..t; I 0 :Iv. Iicial (lote de compra) x t M t y t t:..t X t, I t 0, y t {0,} es la cota superior para el lote de compra del período t. 7 d) Problema de cobertura (o localizació simple). Dado u úmero de regioes o zoas e las cuales se ha subdividido ua comua, ciudad, país, etc, digamos u total de m, se desea istalar u cierto úmero dado de servidores (escuelas, cetros de ateció primaria, compaías de bomberos, etc.) de etre u cojuto de poteciales ubicacioes dadas. Se cooce la iformació relativa a qué zoas puede ser atedidas por cada uo de los poteciales servidores, es decir, se cooce la matriz de icidecia (a ij ) dode: a ij : si la zoa i puede ser atedida por el servidor j; 0 e caso cotrario. i:..m y j:.. 8 9

10 Se desea obter cuales so los servidores que debe ser istalados, de modo de dar cobertura a cada zoa, coocidos los costos de istalació c j del servidor j. La idea es buscar istalar el míimo de servidores, pero cubriedo todas las zoas. Variables de decisió: x j : si se istala el servidor j; 0 e caso cotrario. Co j:.. Fució objetivo: Mi Z = j= c j x j 9 Restriccioes para el problema: (Cubrir cada zoa) j= aijx i i:..m X j {0,} Si adicioalmete hay u límite e el úmero de servidores que se puede istalar, digamos k etoces: j= x i k puede que k o sea suficiete para cubrir todas las zoas 20 0

11 e) Problema de trasporte y localizació. Se tiee u cojuto de m clietes que demada d i uidades de u producto determiado. Ua compañía desea satisfacer esas demadas desde u cierto cojuto de platas elegidas de poteciales lugares dode se istalará. Sea c j los costos asociados a la istalació de la plata j, v j el costo uitario de producció de la plata j, y t ij el costo de trasporte de ua uidad desde la plata j al cliete i. Se desea decidir cuales platas abrir, y el tamaño de cada ua de modo de satisfacer las demadas estimadas. 2 Variables de decisió: y j : si se abre la plata j; 0 e caso cotrario. Co j:.. x ij : Nº de uidades elaboradas e la plata j para satisfacer al cliete i. Fució objetivo: Costo de producció Mi Z = j= c j y j + j= v j m i= x ij + m i= j= t ij x ij Costo de istalació Costo de trasporte 22

12 Restriccioes para el problema: (Cubrir cada demada) (Relació etre las uidades producidas y platas a istalar) j= m i= x ij d i x ij M j y j i:..m j:.. X ij 0 y j {0,} M j : Costate grade, de capacidad máx. de producció de la plata j. 23 f) Problema de corte de trocos. Dados trocos de u determiado tamaño, se tiee ciertas demadas d i por piezas de ciertos tamaños, la variedad de piezas es m (por ejemplo, 45 cm, 36 cm, 3 cm y 4 cm), y se desea obteer u pla de corte que miimice el úmero total de trocos cortados. Supogamos que se cooce u cojuto de patroes de corte para satisfacer estas demadas. Etoces a ij es el úmero de veces que aparece el tipo de pieza i e el patró de corte j. 24 2

13 Variables de decisió: x j : Nº de trocos cortados bajo el patró j. Co j:.. Fució objetivo: Mi Z = Restriccioes : (Cubrir la demada de cada tipo de pieza) j= j= r j x j a ij x j d i i:..m X j etero 25 g) Se desea costruir 2 platas e ciudades distitas. Para localizar las platas se tiee 4 ciudades alterativas: A, B, C, y D. Además, se desea costruir u almacé que sirva como bodega a u costo de MUS$80. Se espera que el almacé geere utilidades por MUS$80. Pero ésta debe localizarse e ua ciudad e dode se haya costruido ua plata. A cotiuació se preseta las iversioes y gaacias esperadas para cada alterativa. Formule u modelo matemático que maximice la gaacia si se dispoe de u máximo de 400 milloes de US$ para ivertir. Ciudad Iversió A 00 B 50 C 240 D 90 Gaacia

14 Alterativas mútuamete excluyetes Decisioes cotigetes Sea x ij : si se localiza la plata o bodega i e la ciudad j. co i:p,b y j:a,b,c,d F.O. MAX z = 90X PA +20X PB +200X PC +50X PD +80(X BA +X BB +X BC +X BD ) s.a. 00X PA +50X PB +240X PC +90X PD +80(X BA +X BB +X BC +X BD ) 400 X BA +X BB +X BC +X BD X PA +X PB +X PC +X PD 2 X BA -X PA 0 X BB -X PB 0 X BC -X PC 0 X BD -X PD 0 X ij {0,} 27 Restriccioes mútuamete excluyetes Es el caso cuado se ecesita elegir etre 2 restriccioes, de maera que sólo ua de ellas se tiee que cumplir. Por ejemplo, puede existir la opció de usar uo de 2 tipos de recursos para cierto propósito, de maera que sólo es ecesario que se cumpla uo de las 2 restriccioes de capacidad que se muestra a cotiuació: 2 x + 6 x 2 2 o bie 4 x + 8 x 2 6 etoces, al meos ua de las dos debe cumplirse. 28 4

15 Restriccioes mútuamete excluyetes (cot.) Como e el formato de programació lieal todas las restriccioes debe cumplirse, se ecesita realizar u ajuste. Para ello, se agrega ua variable biaria y u valor M muy grade, como se muestra a cotiuació: 2 x + 6 x My 4 x + 8 x M( - y) Como y puede ser 0 o y M tiede a ifiito, esta formulació garatiza que ua de las restriccioes origiales se cumple. 29 Debe cumplirse K de N Restriccioes Este es u caso más geeral que el aterior. E esta situació el modelo preseta N restriccioes, de las cuales debe cumplirse al meos K de ellas. De esta maera las restriccioes so: f (x,x 2,...,x ) d f 2 (x,x 2,...,x ) d 2... f N (x,x 2,...,x ) d N 30 5

16 Debe cumplirse K de N Restriccioes (cot.) Se realiza u ajuste muy similar al caso aterior. Se agrega ua variable biaria co coeficiete M a cada restricció, y ua restricció que idique cuátas debe cumplirse: f (x,x 2,...,x ) d +My f 2 (x,x 2,...,x ) d 2 +My 2... f N (x,x 2,...,x ) d N +My N N i= y i = N - K co y i biaria para i:..n 3 Fucioes co N valores posibles E esta situació se requiere que ua fució dada tome cualquiera de valores posibles: f(x,x 2,...,x ) = d o d 2... o d N Realizado los ajustes ecesarios queda: f(x,x 2,...,x ) = d y + d 2 y d N y N N i= y i = co y i biaria para i:..n 32 6

17 Técicas de solució Para problemas de PE, las pricipales técicas so 2: la técica de plaos de corte, y la técica de ramificació y acotamieto. La técica de plaos de corte cosiste e icorporar uevas restriccioes (plaos de corte) al problema. De esta maera, la regió de solucioes factibles es restrigida, de maera de obteer ua solució factible etera. La técica de ramificació y acotamieto cosiste e ir dividiedo el cojuto de solucioes factibles (ramificació) de maera de obteer subproblemas. Se va acotado la mejor solució del subcojuto y después descartado los subcojutos cuya cota idique que o es posible que cotega ua solució óptima para el problema origial. 33 Problemas Tipo Los problemas de PE so bastate más complejos de resolver que co sólo variables cotíuas. Por ello existe ua gra catidad de problemas tipo de programació etera (PE), para los cuales se ha desarrollado métodos de solució especiales (heurísticas). E muchos de estos casos se utiliza teoría de redes como efoque de solució. Alguos ejemplos de problemas tipos de PE so: el problema de trasporte, el problema de trasbordo, el problema de asigació, el problema de la ruta más corta, el problema de la mochila, el problema del arbol de expasió míima, etre otros. 34 7

18 Resume Variables Métodos de Solució PE Eteras Tec. Plaos de corte PE PEB Biarias (0,) Tec. Ramificació y acotamieto PEM Eteras y cotíuas Algoritmos específicos (Teoría de redes) 35 8

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida. UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida. Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació,

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS

CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS CRITERIOS DE DECISIÓN EN LA EVALUACION DE PROYECTOS Curso Preparació y Evaluació Social de Proyectos Sistema Nacioal de Iversioes Divisió de Evaluació Social de Iversioes MINISTERIO DE DESARROLLO SOCIAL

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) =

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) = Pruebas de Acceso a Eseñazas Uiversitarias Oficiales de Grado (0) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumo deberá cotestar a ua de las dos opcioes propuestas A o B. Se podrá utilizar

Más detalles

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES Las medidas de PML a ser implemetadas, se recomieda e base a las opcioes de PML calificadas como ecoómicamete factibles.

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

Planificación contra stock

Planificación contra stock Plaificar cotra stock 5 Plaificació cotra stock Puede parecer extraño dedicar u tema al estudio de métodos para plaificar la producció de empresas que trabaja cotra stock cuado, actualmete, sólo se predica

Más detalles

Capítulo 10 Transporte y Transbordo

Capítulo 10 Transporte y Transbordo Capítulo Trasporte y Trasbordo Fuetes Destios D I S P O N I B I L I D A a F C X D b R C JX J E C X Q U C i X i E F C i ij X ij R a i D j b J I M C i X i I E C m X m N C mj X mj T O a m F m C m X m D b

Más detalles

Tema III: La Elección de Inversiones. Economía de la Empresa: Financiación. Prof. Francisco Pérez Hernández

Tema III: La Elección de Inversiones. Economía de la Empresa: Financiación. Prof. Francisco Pérez Hernández Tema III: La Elecció de Iversioes Ecoomía de la Empresa: Fiaciació Prof. Fracisco Pérez Herádez La Elecció de Iversioes Para ayudar a la elecció de distitas operativas de iversió, se puede seguir distitos

Más detalles

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS MATEMÁTIAS FINANIERAS Secció: 1 Profesores: ristiá Bargsted Adrés Kettlu oteido Matemáticas Fiacieras: Iterés Simple vs Iterés ompuesto Valor Presete y Valor Futuro Plaificació estratégica Matemáticas

Más detalles

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN

Más detalles

Modulo IV. Inversiones y Criterios de Decisión. Inversión en la empresa. Análisis de Inversiones

Modulo IV. Inversiones y Criterios de Decisión. Inversión en la empresa. Análisis de Inversiones Modulo IV Iversioes y Criterios de Decisió Aálisis de Iversioes 1. Iversió e la empresa 2. Métodos aproximados de valoració y selecció de iversioes 3. Criterio del valor actualizado eto (VAN) 4. Criterio

Más detalles

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

Unidad 5. Anualidades vencidas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno: Uidad 5 Aualidades vecidas Objetivos Al fializar la uidad, el alumo: Calculará el valor de la reta de ua perpetuidad simple vecida. Calculará el valor actual de ua perpetuidad simple vecida. Calculará

Más detalles

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento. UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses

Más detalles

Este centro consta de 20 cuartos sencillos, 12 cuartos dobles, 7 corredores y 4 salas de sesiones.

Este centro consta de 20 cuartos sencillos, 12 cuartos dobles, 7 corredores y 4 salas de sesiones. reguta 6 utos Ua empresa de limpieza cotrata persoal e forma putual depediedo de las solicitudes de trabajo de sus clietes. ara el iicio de ua coferecia iteracioal, u cliete platea la limpieza a fodo del

Más detalles

Los sistemas operativos en red

Los sistemas operativos en red 1 Los sistemas operativos e red Objetivos del capítulo Coocer lo que es u sistema operativo de red. Ver los dos grupos e que se divide los sistemas oeprativos e red. Distiguir los compoetes de la arquitectura

Más detalles

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS PROFESORES: MARIN JAIMES CARLOS JAVIER SARMIENTO LUIS JAIME UNIDAD 3: EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EL VALOR PRESENTE NETO VPN Es ua

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 01 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -1-1 1 Sea las matrices A =

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS) Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO 009-010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B).

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p.

1. Demuestra que si p es un natural y p es compuesto, entonces existe un divisor m de p con 1 < m p. Divisibilidad Matemática discreta Dados dos úmeros aturales a y b, escribiremos a b y leeremos a divide a b si existe u c N tal que ac = b. E este caso, decimos que a es u divisor de b o que b es divisible

Más detalles

Tema 9 Teoría de la formación de carteras

Tema 9 Teoría de la formación de carteras Parte III Decisioes fiacieras y mercado de capitales Tema 9 Teoría de la formació de carteras 9.1 El problema de la selecció de carteras. 9. Redimieto y riesgo de ua cartera. 9.3 El modelo de la media-variaza.

Más detalles

PROGRAMACION LINEAL ENTERA CON GAMS. 1.- Problemas binarios 2.- Problemas enteros. Criterio de optimalidad 3.- Problema de localización de plantas

PROGRAMACION LINEAL ENTERA CON GAMS. 1.- Problemas binarios 2.- Problemas enteros. Criterio de optimalidad 3.- Problema de localización de plantas PROGRAMACION LINEAL ENTERA CON GAMS 1.- Problemas biarios 2.- Problemas eteros. Criterio de optimalidad 3.- Problema de localizació de platas Max F(X) = 4x 1 + 3x 2 s.a. 2x 1 + x 2 2 3x 1 + 4x 2 6 x 1

Más detalles

SOLUCIONARIO. Ing. Miguel Jiménez Carrión M.Sc mjimenezc@speedy.com.pe jim_car_miguel@hotmail.com

SOLUCIONARIO. Ing. Miguel Jiménez Carrión M.Sc mjimenezc@speedy.com.pe jim_car_miguel@hotmail.com Ig. Miguel Jiméez C. M.Sc. SOLUCIONARIO Sobre Programació Diámica por Ig. Miguel Jiméez Carrió M.Sc mjimeezc@speedy.com.pe jim_car_miguel@hotmail.com Modelo de la Diligecia Asigació de Recursos El modelo

Más detalles

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de

Más detalles

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 375 REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 376 Revisió de alguos idicadores para medir desigualdad Medidas de Desigualdad Para medir el grado de desigualdad e la

Más detalles

ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE FLUJO

ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE FLUJO ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE LUJO Elabore diagramas de flujo para expresar la solució de los problemas que se preseta a cotiuació. Auque sólo se pida explícitamete e alguos casos, es ecesario que Ud. siempre

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO 009-010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y,

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009

MC Fco. Javier Robles Mendoza Primavera 2009 1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN APUNTES CURSO: ALGEBRA SUPERIOR INGENIERIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Medoza Primavera 2009 2

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación)

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación) Aputes: Matemáticas Fiacieras 1. Lecció 11 - Operacioes Fiacieras a largo plazo - Préstamos (Cotiuació) 1.1. Préstamo: Método de cuotas de amortizació costates E este caso se verifica A 1 = A 2 = = A =

Más detalles

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal.

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal. Departameto de Estadística Uiversidad Carlos III de Madrid BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalecia (trasversales) CONCEPTOS CLAVE 1) Características del diseño e u estudio de prevalecia, o trasversal

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central EYP14 Estadística para Costrucció Civil 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los

Más detalles

Cuadernos de Administración ISSN: 0120-3592 revistascientificasjaveriana@gmail.com Pontificia Universidad Javeriana Colombia

Cuadernos de Administración ISSN: 0120-3592 revistascientificasjaveriana@gmail.com Pontificia Universidad Javeriana Colombia Cuaderos de Admiistració ISSN: 0120-3592 revistascietificasjaveriaa@gmail.com Potificia Uiversidad Javeriaa Colombia Varela, Rodrigo La decisió de iversió y sus complejidades. Ua crítica al artículo ``Metodología

Más detalles

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO.-.3 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe

Más detalles

Teoría de colas. Andrés Ramos Universidad Pontificia Comillas http://www.iit.comillas.edu/aramos/ Andres.Ramos@comillas.edu TEORÍA DE COLAS 1

Teoría de colas. Andrés Ramos Universidad Pontificia Comillas http://www.iit.comillas.edu/aramos/ Andres.Ramos@comillas.edu TEORÍA DE COLAS 1 Teoría de colas Adrés Ramos Uiversidad Potificia Comillas http://www.iit.comillas.edu/aramos/ Adres.Ramos@comillas.edu TEORÍA DE COLAS 1 Ua cola se produce cuado la demada de u servicio por parte de los

Más detalles

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco MEDIDAS DE RESUMEN Jorge Galbiati Riesco Las medidas de resume sirve para describir e forma resumida u cojuto de datos que costituye ua muestra tomada de algua població. Podemos distiguir cuatro grupos

Más detalles

ANEXO 2 INTERES COMPUESTO

ANEXO 2 INTERES COMPUESTO ANEXO 2 INTERES COMPUESTO EJERCICIOS VARIOS: 1. Adrés y Silvaa acaba de teer a su primer hijo. Es ua iña llamada Luciaa. Adrés ese mismo día abre ua cueta para Luciaa co la catidad de $3 000,000.00. Qué

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

PRUEBA A ( ) ( ) p z p z 0.4988 1 0.4988 0.4988 1 0.4988 0.4988 1.96,0.4988 + 1.96 = 0.4521, 0.5455 441 441

PRUEBA A ( ) ( ) p z p z 0.4988 1 0.4988 0.4988 1 0.4988 0.4988 1.96,0.4988 + 1.96 = 0.4521, 0.5455 441 441 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD LOGSE CURSO 007-008 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC SS - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

Ejercicio 1. Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6.

Ejercicio 1. Sea el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: y + 2x 2; 2y 3x 3; 3y x 6. Materiales producidos e el curso: Curso realizado e colaboració etre la Editorial Bruño y el IUCE de la UAM de Madrid del 1 de marzo al 30 de abril de 013 Título: Curso Moodle para matemáticas de la ESO

Más detalles

EXAMEN DE TÉCNICAS PARA EL ANÁLISIS DEL MERCADO. 11-Septiembre-2014.

EXAMEN DE TÉCNICAS PARA EL ANÁLISIS DEL MERCADO. 11-Septiembre-2014. EXAMEN DE TÉCNICAS PARA EL ANÁLISIS DEL MERCADO. -Septiembre-04. APELLIDOS: DNI: NOMBRE:. Se quiere hacer u estudio sobre las persoas que usa iteret e ua regió dode el 40% de los habitates so mujeres.

Más detalles

CURSO 2.004-2.005 - CONVOCATORIA:

CURSO 2.004-2.005 - CONVOCATORIA: PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD LOGSE / LOCE CURSO 4-5 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro)

(PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) (PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS Defiició: U feómeo o experiecia se dice aleatorio cuado al repetirlo e codicioes aálogas o se puede predecir el

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las

Más detalles

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1 RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA Tema 3- Parte I Etapas del Modelo de Markowitz I. DETERMINACIÓN DEL CONJUNTO DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN - Se

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

A N U A L I D A D E S

A N U A L I D A D E S A N U A L I D A D E S INTRODUCCION Y TERMINOLOGIA Se deomia aualidad a u cojuto de pagos iguales realizados a itervalos iguales de tiempo. Se coserva el ombre de aualidad por estar ya muy arraigado e el

Más detalles

UNIVERSIDAD DE ATACAMA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES PAUTA DE CORRECCIÓN PRUEBA PARCIAL N o 3 Profesor: Hugo S. Salias. Primer Semestre 2012 1. El ivel

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 1) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Más detalles

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010)

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferecial Parcial 3 (27/10/2010) 1. Cosidere la fució f (x) = 3(x 1) 2/3 (x 1) 2 a) Halle el domiio b) Ecuetre los putos críticos,

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

7.2. Métodos para encontrar estimadores

7.2. Métodos para encontrar estimadores Capítulo 7 Estimació putual 7.1. Itroducció Defiició 7.1.1 U estimador putual es cualquier fució W (X 1,, X ) de la muestra. Es decir, cualquier estadística es ua estimador putual. Se debe teer clara la

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)

Más detalles

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,

Más detalles

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante,

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante, 883 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Métodos uméricos de u paso El objetivo de este capítulo es itroducir los métodos uméricos de resolució

Más detalles

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción CAPÍTULO SEIS LA TRANSFORMADA Z 6. Itroducció E el Capítulo 5 se itrodujo la trasformada de Laplace. E este capítulo presetamos la trasformada Z, que es la cotraparte e tiempo discreto de la trasformada

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS.

CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 8º. PRESTAMOS. 1.- Coceptos básicos de préstamos. CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. Coceptos básicos de prestamos. Préstamo. U préstamo es la operació fiaciera que cosiste e la etrega,

Más detalles

Comercialización de productos financieros óptimos para cada inversor: el ejemplo de los unit-linked

Comercialización de productos financieros óptimos para cada inversor: el ejemplo de los unit-linked Comercializació de productos fiacieros óptimos para cada iversor: el ejemplo de los uit-liked Tiee los iversores-familias los coocimietos fiacieros suficietes como para ivertir de forma adecuada e productos

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA El campo de la estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Motgomery

Más detalles

UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES

UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD 1.- INTRODUCCIÓN.... 1 2.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES... 2 3.- CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS.... 2 4.- EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA... 2 5.- RESOLUCIÓN

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los

Más detalles

Soluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I

Soluciones Hoja de Ejercicios 2. Econometría I Ecoometría I. Solucioes Hoja 2 Carlos Velasco. MEI UC3M. 2007/08 Solucioes Hoja de Ejercicios 2 Ecoometría I 1. Al pregutar el saldo Z (e miles de euros) de su cueta de ahorro cojuta a u matrimoio madrileño

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía

Más detalles

1.1. Campos Vectoriales.

1.1. Campos Vectoriales. 1.1. Campos Vectoriales. Las fucioes, ampliamete empleadas e la igeiería, para modelar matemáticamete y caracterizar magitudes físicas, y cuyo domiio podría ser multidimesioal, puede teer u rago uidimesioal

Más detalles

4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES

4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES 4. CONCEPTO BASICOS DE PROBABILIDADES Dr. http://math.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ 41 4.1 Espacio Muestral y Evetos 4.1.1 1 Experimetos Aleatorios y Espacios

Más detalles

VALORACIÓN DE EMPRESAS

VALORACIÓN DE EMPRESAS VALORACIÓN DE EMPRESAS Alfoso A. Rojo Ramírez Catedrático de Ecoomía Fiaciera y Cotabilidad (Uiversidad de Almería) Presidete de Auditor Valoració de empresas Justificació Alguos coceptos básicos de valoració.

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 03 MODELO (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO (A) ( 5 putos) U fabricate elabora

Más detalles

Teoría Combinatoria. Capítulo 2. 2.1. Dos Principios Básicos.

Teoría Combinatoria. Capítulo 2. 2.1. Dos Principios Básicos. Capítulo 2 Teoría Combiatoria La Teoría Combiatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las formas de cotar Aparte del iterés que tiee e sí misma, la combiatoria tiee aplicacioes

Más detalles

8 Funciones, límites y continuidad

8 Funciones, límites y continuidad Solucioario 8 Fucioes, límites y cotiuidad ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Copia y completa la siguiete tabla, epresado de varias formas los cojutos uméricos propuestos. Gráfica Itervalo Desigualdad Valor absoluto

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios

Más detalles

Contabilidad y finanzas Aplíquelas en su pyme

Contabilidad y finanzas Aplíquelas en su pyme Cotabilidad y fiazas Aplíquelas e su pyme Sepa qué so Costos y precios. Registros de cotrol. Estados fiacieros. El flujo de caja Para qué sirve? Cómo se prepara? Qué datos icluye? Claves para el éxito

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos OpeStax-CNX module: m12830 1 Aálisis e el Domiio del Tiempo para Sistemas Discretos Do Johso Traslated By: Erika Jackso Fara Meza Based o Discrete-Time Systems i the Time-Domai by Do Johso This work is

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la regió defiida por las siguietes iecuacioes: x/2 + y/3 1 ; - x + 2y 0; y 2. (2 putos) Represete

Más detalles

PROGRAMACIÓN POR RESTRICCIONES PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE PLANIFICACIÓN

PROGRAMACIÓN POR RESTRICCIONES PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE PLANIFICACIÓN PROGRAMACIÓN POR RESTRICCIONES PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DE PLANIFICACIÓN Daiel Díaz Araya, Fracisco S. Ibáñez y Raymudo Q. Forradellas Departameto e Istituto de Iformática Uiversidad Nacioal de Sa Jua,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió

Más detalles

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA MATERIA: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA CUADERNO DE PRÁCTICAS DE INGENIERÍA MECÁNICA CURSO 009/0. (Segudo cuatrimestre) Prof. Pedro Luís Gómez Sáchez Prof.

Más detalles

UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA

UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA UD 9. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA 1. LA FUNCIÓN FINANCIERA DE LA EMPRESA La empresa, tato para iiciar su actividad como para realizarla co eficiecia, ecesita recursos fiacieros. Para su fucioamieto, la

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA: SELECCIÓN DE INVERSIONES. Mercedes Fernández mercedes@upucomillas.es

CONCEPTOS BÁSICOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA: SELECCIÓN DE INVERSIONES. Mercedes Fernández mercedes@upucomillas.es CONCEPTOS BÁSICOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA: SELECCIÓN DE INVERSIONES Mercedes Ferádez mercedes@upucomillas.es CONTENIDO El valor temporal del diero. Selecció de iversioes CONTENIDO El valor temporal del

Más detalles

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros

Más detalles

MATEMÁTICAS FINANCERAS

MATEMÁTICAS FINANCERAS MATEMÁTICAS FINANCERAS -Apoyadas co Microsoft Excel- (Versió prelimiar) Julio A. Sarmieto Sabogal Edgardo Cayó Fallo Bogotá D.C., Juio de 2005 Potificia Uiversidad Javeriaa Facultad de Ciecias Ecoómicas

Más detalles

TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I)

TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I) TEMA 6 SELECCIÓN DE INVERSIONES PRODUCTIVAS CON RIESGO (Parte I) Tema 6- Parte 1 1 EL MÉTODO de la TASA de DESCUENTO AJUSTADA al RIESGO : a = k + p E presecia de iflació a = k + p ( 1 + a ) = ( 1 + a )(

Más detalles

INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN

INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN INFERENCIA ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Págia 98 Cuátas caras cabe esperar? El itervalo característico correspodiete a ua probabilidad del 95% (cosideramos casas raros al 5% de los casos extremos)

Más detalles

TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIERA

TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIERA TEMA4: MATEMÁTICA FINANCIEA 1. AUMENTOS Y DISMINUCIONES POCENTUALES Si expresamos u porcetaje % como u úmero decimal: tato por uo: r = 23 23% = 0, 23 obteemos el Para calcular el porcetaje % de ua catidad

Más detalles

Abel Martín LAS FRACCIONES. - Las fracciones como parte de un todo - Egipto les espera

Abel Martín LAS FRACCIONES. - Las fracciones como parte de un todo - Egipto les espera LAS FRACCIONES - Las fraccioes como parte de u todo - Nuestros amigos prueba su máquia del tiempo. Egipto les espera Despegamos! E la evolució del pesamieto humao, 000 años a. C., los egipcios comieza

Más detalles

ANEXO I ANEXO I CONCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS

ANEXO I ANEXO I CONCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS AEXO I COCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS E este aeo se compila alguos de los coceptos sísmicos básicos pero ecesarios. Se itroduce los tipos de movimietos vibratorios, así como su descripció y otació matemática.

Más detalles