Programación Entera (PE)

Transcripción

1 Programació Etera (PE) E geeral, so problemas de programació lieal (PPL), e dode sus variables de decisió debe tomar valores eteros. Tipos de PE Cuado se requiere que todas las variables de decisió tome valores eteros, etoces se habla de programació etera pura. Cuado alguas variables so eteras, y otras cotíuas, etoces se habla de programació etera mixta (PEM). U caso especial de programació etera (PE) es cuado todas las variables so biarias (0 o ), etoces se habla de programació etera biaria (PEB). E geeral, los problemas de PE so más difíciles de resolver que los PPL co variables cotíuas. Por ello se ha desarrollado diversas técicas de solució. 2

2 a) Problema de la mochila (0-). Ua empresa está cosiderado ivertir e 4 proyectos diferetes. Cada proyecto se completa e a lo más 3 años, y los flujos de caja requeridos e cada año, juto co el valor presete eto de cada proyecto y las dispoibilidades de recursos fiacieros se resume e la siguiete tabla: Año Año 2 Año 3 V.P.N. Proy Proy Proy Proy Disp. de recursos Iteresa determiar e cuales proyectos ivertir, de modo de coseguir el mayor V.P.N. de la iversió. Variables de decisió: x i : si se ivierte e el proyecto i; 0 e caso cotrario. co i:..4 Fució objetivo: Max Z = 35x + 8x x 3 + 6x 4 4 2

3 Restriccioes del problema: Si se o puede ivertir el diero o utilizado: 0x + 8x 2 + 6x 3 + 2x 4 30 (Año ) 8x + 5x 2 + 4x 3 5 (Año 2) 8x + 6x 3 2 (Año 3) x i {0,} i:..4 5 Restriccioes del problema: Si se puede ivertir el diero o utilizado: 0x + 8x 2 + 6x 3 + 2x 4 + s = 30 (Año ) 8x + 5x 2 + 4x 3 + s 2 = 5 + s (Año 2) 8x + 6x s 2 (Año 3) x i {0,} i:

4 Si o puede ivertir el diero o utilizado, pero al fial de los proyectos se puede utilizar los retoros: 0x + 8x 2 + 6x 3 + 2x 4 30 (Año ) 8x + 5x 2 + 4x x 4 (Año 2) 8x + 6x x 2 (Año 3) x i {0,} i:..4 7 Si puede ivertir el diero o utilizado, y los retoros: 0x + 8x 2 + 6x 3 + 2x 4 + s = 30 (Año ) 8x + 5x 2 + 4x 3 + s 2 = 5 + s + 6x 4 (Año 2) 8x + 6x s 2 + 8x 2 (Año 3) x i {0,} i:

5 Supogamos adicioalmete que la iversió efectuada requiera uevas restriccioes: i. Se debe ivertir e al meos de los 3 primeros proyectos. x + x 2 + x 3 ii. El proyecto o puede ser tomado a meos que el proyecto 3 si sea tomado. x x 3 9 iii. Se puede tomar el proyecto 3 o el proyecto 4 pero o ambos. x 4 + x 3 iv. No se puede ivertir el total e más de 2 proyectos. x + x 2 + x 3 + x

6 b) Problema de Asigació. Supogamos que existe u cojuto de tareas, cada ua de las cuales debe ser realizadas por trabajador, de u total de. Se cooce el tiempo t ij que le toma al trabajador j realizar la tarea i, co i,j:... Se desea obteer la mejor asigació de las tareas de modo que miimice el tiempo total (como suma) de ejecució de las tareas, que todas quede hechas y que u trabajador sólo haga ua de ellas. Tareas 2 2 Trabajadores Variables de decisió: x ij : si el cliete i es asigado al sitio j; 0 e caso cotrario. co i,j:.. Fució objetivo: Mi Z = i= j= t ij x ij 2 6

7 Restriccioes para el problema: (tarea i) (trabajador j) j= i= x ij = x ij = i:.. j:.. X ij {0,} 3 E el problema, el úmero total de asigacioes factibles so!. Co >20 el total de asigacioes factibles se hace muy grade. Etoces se utiliza heurísiticas para resolverlo. Trabajador Tareas Tiempo total 9 4 7

8 c) Iclusió de costos fijos (PEM). Supoga que se desea teer lotes de compra de u producto dado, para satisfacer demadas que fluctúa e el tiempo sobre u horizote de plaificació de T períodos. Se asume coocida ua estimació de la demada (d t ) co t:..t, los costos asociados a la compra de ua uidad (p t ), los costos asociados a la mateció de ua uidad e ivetario de cada período (h t ) y los costos (fijos) asociados a la gestió de compra e el período t (s t ). No se permite faltates (o demada isatisfecha). E este problema, los precios y las demadas varía e el tiempo. 5 Variables de decisió: x t : úmero de uidades compradas e el período t. I t : ivel de ivetario al fial del período t. y t : si se compra el producto e el período t; 0 e caso cotrario. co t:..t Fució objetivo: Mi Z = T t= s Costo de la orde de compra (fijo) t y t + p t x t + h t I t Costo asociado a la compra (variable) Costo de ivetario 6 8

9 Restriccioes para el problema: (relació etre ivetarios) x t + I t- -I t = d t t:..t; I 0 :Iv. Iicial (lote de compra) x t M t y t t:..t X t, I t 0, y t {0,} es la cota superior para el lote de compra del período t. 7 d) Problema de cobertura (o localizació simple). Dado u úmero de regioes o zoas e las cuales se ha subdividido ua comua, ciudad, país, etc, digamos u total de m, se desea istalar u cierto úmero dado de servidores (escuelas, cetros de ateció primaria, compaías de bomberos, etc.) de etre u cojuto de poteciales ubicacioes dadas. Se cooce la iformació relativa a qué zoas puede ser atedidas por cada uo de los poteciales servidores, es decir, se cooce la matriz de icidecia (a ij ) dode: a ij : si la zoa i puede ser atedida por el servidor j; 0 e caso cotrario. i:..m y j:.. 8 9

10 Se desea obter cuales so los servidores que debe ser istalados, de modo de dar cobertura a cada zoa, coocidos los costos de istalació c j del servidor j. La idea es buscar istalar el míimo de servidores, pero cubriedo todas las zoas. Variables de decisió: x j : si se istala el servidor j; 0 e caso cotrario. Co j:.. Fució objetivo: Mi Z = j= c j x j 9 Restriccioes para el problema: (Cubrir cada zoa) j= aijx i i:..m X j {0,} Si adicioalmete hay u límite e el úmero de servidores que se puede istalar, digamos k etoces: j= x i k puede que k o sea suficiete para cubrir todas las zoas 20 0

11 e) Problema de trasporte y localizació. Se tiee u cojuto de m clietes que demada d i uidades de u producto determiado. Ua compañía desea satisfacer esas demadas desde u cierto cojuto de platas elegidas de poteciales lugares dode se istalará. Sea c j los costos asociados a la istalació de la plata j, v j el costo uitario de producció de la plata j, y t ij el costo de trasporte de ua uidad desde la plata j al cliete i. Se desea decidir cuales platas abrir, y el tamaño de cada ua de modo de satisfacer las demadas estimadas. 2 Variables de decisió: y j : si se abre la plata j; 0 e caso cotrario. Co j:.. x ij : Nº de uidades elaboradas e la plata j para satisfacer al cliete i. Fució objetivo: Costo de producció Mi Z = j= c j y j + j= v j m i= x ij + m i= j= t ij x ij Costo de istalació Costo de trasporte 22

12 Restriccioes para el problema: (Cubrir cada demada) (Relació etre las uidades producidas y platas a istalar) j= m i= x ij d i x ij M j y j i:..m j:.. X ij 0 y j {0,} M j : Costate grade, de capacidad máx. de producció de la plata j. 23 f) Problema de corte de trocos. Dados trocos de u determiado tamaño, se tiee ciertas demadas d i por piezas de ciertos tamaños, la variedad de piezas es m (por ejemplo, 45 cm, 36 cm, 3 cm y 4 cm), y se desea obteer u pla de corte que miimice el úmero total de trocos cortados. Supogamos que se cooce u cojuto de patroes de corte para satisfacer estas demadas. Etoces a ij es el úmero de veces que aparece el tipo de pieza i e el patró de corte j. 24 2

13 Variables de decisió: x j : Nº de trocos cortados bajo el patró j. Co j:.. Fució objetivo: Mi Z = Restriccioes : (Cubrir la demada de cada tipo de pieza) j= j= r j x j a ij x j d i i:..m X j etero 25 g) Se desea costruir 2 platas e ciudades distitas. Para localizar las platas se tiee 4 ciudades alterativas: A, B, C, y D. Además, se desea costruir u almacé que sirva como bodega a u costo de MUS$80. Se espera que el almacé geere utilidades por MUS$80. Pero ésta debe localizarse e ua ciudad e dode se haya costruido ua plata. A cotiuació se preseta las iversioes y gaacias esperadas para cada alterativa. Formule u modelo matemático que maximice la gaacia si se dispoe de u máximo de 400 milloes de US$ para ivertir. Ciudad Iversió A 00 B 50 C 240 D 90 Gaacia

14 Alterativas mútuamete excluyetes Decisioes cotigetes Sea x ij : si se localiza la plata o bodega i e la ciudad j. co i:p,b y j:a,b,c,d F.O. MAX z = 90X PA +20X PB +200X PC +50X PD +80(X BA +X BB +X BC +X BD ) s.a. 00X PA +50X PB +240X PC +90X PD +80(X BA +X BB +X BC +X BD ) 400 X BA +X BB +X BC +X BD X PA +X PB +X PC +X PD 2 X BA -X PA 0 X BB -X PB 0 X BC -X PC 0 X BD -X PD 0 X ij {0,} 27 Restriccioes mútuamete excluyetes Es el caso cuado se ecesita elegir etre 2 restriccioes, de maera que sólo ua de ellas se tiee que cumplir. Por ejemplo, puede existir la opció de usar uo de 2 tipos de recursos para cierto propósito, de maera que sólo es ecesario que se cumpla uo de las 2 restriccioes de capacidad que se muestra a cotiuació: 2 x + 6 x 2 2 o bie 4 x + 8 x 2 6 etoces, al meos ua de las dos debe cumplirse. 28 4

15 Restriccioes mútuamete excluyetes (cot.) Como e el formato de programació lieal todas las restriccioes debe cumplirse, se ecesita realizar u ajuste. Para ello, se agrega ua variable biaria y u valor M muy grade, como se muestra a cotiuació: 2 x + 6 x My 4 x + 8 x M( - y) Como y puede ser 0 o y M tiede a ifiito, esta formulació garatiza que ua de las restriccioes origiales se cumple. 29 Debe cumplirse K de N Restriccioes Este es u caso más geeral que el aterior. E esta situació el modelo preseta N restriccioes, de las cuales debe cumplirse al meos K de ellas. De esta maera las restriccioes so: f (x,x 2,...,x ) d f 2 (x,x 2,...,x ) d 2... f N (x,x 2,...,x ) d N 30 5

16 Debe cumplirse K de N Restriccioes (cot.) Se realiza u ajuste muy similar al caso aterior. Se agrega ua variable biaria co coeficiete M a cada restricció, y ua restricció que idique cuátas debe cumplirse: f (x,x 2,...,x ) d +My f 2 (x,x 2,...,x ) d 2 +My 2... f N (x,x 2,...,x ) d N +My N N i= y i = N - K co y i biaria para i:..n 3 Fucioes co N valores posibles E esta situació se requiere que ua fució dada tome cualquiera de valores posibles: f(x,x 2,...,x ) = d o d 2... o d N Realizado los ajustes ecesarios queda: f(x,x 2,...,x ) = d y + d 2 y d N y N N i= y i = co y i biaria para i:..n 32 6

17 Técicas de solució Para problemas de PE, las pricipales técicas so 2: la técica de plaos de corte, y la técica de ramificació y acotamieto. La técica de plaos de corte cosiste e icorporar uevas restriccioes (plaos de corte) al problema. De esta maera, la regió de solucioes factibles es restrigida, de maera de obteer ua solució factible etera. La técica de ramificació y acotamieto cosiste e ir dividiedo el cojuto de solucioes factibles (ramificació) de maera de obteer subproblemas. Se va acotado la mejor solució del subcojuto y después descartado los subcojutos cuya cota idique que o es posible que cotega ua solució óptima para el problema origial. 33 Problemas Tipo Los problemas de PE so bastate más complejos de resolver que co sólo variables cotíuas. Por ello existe ua gra catidad de problemas tipo de programació etera (PE), para los cuales se ha desarrollado métodos de solució especiales (heurísticas). E muchos de estos casos se utiliza teoría de redes como efoque de solució. Alguos ejemplos de problemas tipos de PE so: el problema de trasporte, el problema de trasbordo, el problema de asigació, el problema de la ruta más corta, el problema de la mochila, el problema del arbol de expasió míima, etre otros. 34 7

18 Resume Variables Métodos de Solució PE Eteras Tec. Plaos de corte PE PEB Biarias (0,) Tec. Ramificació y acotamieto PEM Eteras y cotíuas Algoritmos específicos (Teoría de redes) 35 8