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1 (PROBABILIDAD) (tema 15 del libro) 1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS Defiició: U feómeo o experiecia se dice aleatorio cuado al repetirlo e codicioes aálogas o se puede predecir el resultado. Si por el cotrario, se puede predecir el resultado de ua experiecia aú ates de realizarla, se dice que el experimeto es determiista. - So feómeos aleatorios: - Extracció de ua carta de la baraja. - Lazamieto de u dado. - Respuestas a ua ecuesta. Defiició: El cojuto de todos los posibles resultados de u experimeto se llama espacio muestral. El espacio muestral del experimeto que cosiste e lazar u dado es: { } El espacio muestral del experimeto que cosiste e lazar ua moeda al aire tres veces es: E c, c, c, c, c, x, c, x, c, x, c, c, x, x, c, x, c, x, c, x, x, x, x, x Defiició: Cada elemeto del espacio muestral E se llama suceso elemetal. Ua bolsa cotiee bolas blacas y egras. Se extrae sucesivamete tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral. E = {(b, b, b); (b, b, ); (b,, b); (, b, b); (b,, ); (, b, ); (,, b); (,, )} 2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b, b, b); (,, )} 3. El suceso B = {extraer al meos ua bola blaca}. B= {(b, b, b); (b, b, ); (b,, b); (, b, b); (b,, ); (, b, ); (,,b)} 4. El suceso C = {extraer ua sola bola egra}. C = {(b, b, ); (b,, b); (, b, b)} 1

2 Tipos de sucesos: - Sucesos elemetales, so los formados por u solo resultado del espacio muestral. - Sucesos compuestos, so los formados por varios sucesos elemetales. - Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Tirado u dado obteer ua putuació que sea meor que 7. - Suceso imposible,, es el que o tiee igú elemeto. Tirado u dado obteer ua putuació igual a 7. - Uió de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama uió de A y B, y se represeta por A B, al suceso que se realiza cuado se realiza alguo de ellos, A o B. Se el experimeto aleatorio de lazar u dado. Cosideramos el suceso A = {salir º par} = {2, 4, 6} y el suceso B = {salir u 5}. El suceso A B= {2, 4, 5, 6} - Itersecció de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama itersecció etre A y B y se represeta por, al suceso que se realiza si y sólo se realiza simultáeamete A y B Se el experimeto aleatorio de lazar u dado. Cosideramos el suceso A = {salir º par} = {2, 4, 6} y el suceso B = {salir u múltiplo de 3} = {3, 6}. El suceso A B = {6} A B - Suceso cotrario o complemetario de A. Se represeta por A o por, al suceso que se realiza cuado o se realiza A y recíprocamete. El suceso cotrario de E es y recíprocamete. Se el experimeto aleatorio de lazar u dado. Cosideramos el suceso A = {salir º par} = {2, 4, 6}. El c suceso A A= {salir º impar} = {1, 3, 5} c A - Sucesos icompatibles. Dados dos sucesos A y B se dice icompatibles si es imposible que ocurra a la vez, es decir, A B = Cosideramos el suceso A = {salir º par} = {2, 4, 6} y el suceso B = {salir u múltiplo de 5} = {5}. Los sucesos so icompatibles pues A B = - Diferecia de sucesos. La diferecia de dos sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elemetos de A que o so de B. Es decir, la diferecia de los sucesos A y B se verifica cuado lo hace A y o B. Por tato, A B se lee como "A meos B". Cosideramos el experimeto que cosiste e lazar u dado, si A = "sacar par" y B = "sacar c múltiplo de 3". Etoces A B A B = {2, 4} A B A B c 2

3 2. PROBABILIDAD. PROPIEDADES La probabilidad mide la mayor o meor posibilidad de que se dé u determiado resultado (suceso) cuado se realiza u experimeto aleatorio. La probabilidad toma valores etre 0 y 1 (o expresados e tato por cieto, etre 0% y 100%) Defiició: La probabilidad de u suceso A es el límite al que tiede la frecuecia relativa de A de experiecias es muy grade, es decir, tiede a cuado el º Propiedades - La probabilidad del suceso seguro, E, es 1: PE ( ) 1 - Se cumple que para cualquier suceso 1 ( ) 0 - La probabilidad de la uió de dos sucesos, A y B, que sea icompatibles ( A B= ) es: P( A B) P( A) P( B) PA - La probabilidad del suceso imposible es 0: P( ) 0 - La probabilidad el suceso cotrario o complemetario es: - La probabilidad de la uió de dos sucesos, A y B, es: P( A B) P( A) P( B) P( A B) - Si A y B so sucesos tales que A B etoces P(A) P(B) 3. REGLA DE LAPLACE c P( A ) 1 P( A) U caso particular y simple de probabilidad e u espacio muestral fiito es aquel e el que se puede supoer que cada suceso elemetal tiee la misma probabilidad de ocurrir. Cuado esto ocurre se dice que los sucesos elemetales so equiprobables. E este caso, y sólo e este caso, podemos aplicar la llamada regla de Laplace para hallar la probabilidad de u suceso: Sea u suceso A compuesto por sucesos elemetales del espacio muestral E, etoces la probabilidad de A viee dada por: úmero de elemetos de A úmero de casos favorables PA ( ) úmero de elemetos de E úmero de casos posibles Si se laza u dado perfecto, la perfecció del dado os iduce a supoer que la probabilidad de cada suceso elemetales la misma. Como además la suma de estas probabilidades ha de ser 1, se asiga a cada suceso elemetal 1/6 de probabilidad. E este caso, la probabilidad del suceso A: Obteer úmero par es: P( A) P 2,4,6 3/ 6 0,5 Estas probabilidades que, como e este ejemplo, se asiga a los sucesos por cosideracioes teóricas, se llama probabilidades a priori, y siempre que o exista algua razó para pesar que u suceso elemetal puede aparecer más veces que otro, admitiremos que todos ellos tiee la misma probabilidad. E ua baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas). Casos posibles: Casos favorables de ases: 4 P( as) Casos favorables de copas: 10 P( copas)

4 4. PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES Las probabilidades codicioadas se calcula ua vez que se ha icorporado iformació adicioal a la situació de partida: Se tira u dado y sabemos que la probabilidad de que salga u 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si icorporamos ueva iformació (por ejemplo, alguie os dice que el resultado ha sido u úmero par) etoces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya o es 1/6. E este caso la probabilidad es 1/3 Defiició: Sea A y B dos sucesos de u mismo espacio muestral E. Se llama probabilidad del suceso B codicioado a A y se represeta por a la probabilidad del suceso B ua vez ha ocurrido el A. Las probabilidades codicioadas se calcula aplicado la siguiete fórmula: Dode: P( B A) PA ( ) P( B A) PA ( ) es la probabilidad de que se dé el suceso B codicioada a que se haya dado el suceso A. es la probabilidad del suceso simultáeo o itersecció de A y de B es la probabilidad a priori del suceso A E el ejemplo que hemos visto: es la probabilidad de que salga el úmero 2 (suceso B) codicioada a que haya salido u úmero par (suceso A). es la probabilidad de que salga el dos y úmero par. es la probabilidad a priori de que salga u úmero par. Por lo tato: 1 P( B A) 6 P( B A) PA ( ) Así, 3 1 PA ( ) P( B A) PA ( ) Luego, la probabilidad de que salga el úmero 2, si ya sabemos que ha salido u úmero par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6) E u estudio saitario se ha llegado a la coclusió de que la probabilidad de que ua persoa sufra problemas coroarios (suceso B) es el 0,10 (probabilidad a priori). Además, la probabilidad de que ua persoa sufra problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que ua persoa sufra a la vez problemas de obesidad y coroarios (suceso itersecció de A y B) es del 0,05. Calcular la probabilidad de que ua persoa sufra problemas coroarios si está obesa (probabilidad codicioada P(B/A)). P( B A) = 0,05 PA= ( ) 0,25 = 0,05 / 0,25 = 0,20 P( B A) Cosecuecia: De la fórmula podemos despejar la probabilidad de la itersecció y PA ( ) teemos, que se suele usar muy a meudo y que se cooce como probabilidad compuesta o del producto. P( B A) P( A) 4

5 Estudiamos el suceso A (porcetaje de varoes mayores de 40 años casados) y el suceso B (varoes mayores de 40 años co más de 2 hijos) y obteemos la siguiete iformació: U 35% de los varoes mayores de 40 años está casados. De los varoes mayores de 40 años y casados, u 30% tiee más de 2 hijos (suceso B codicioado al suceso A). Calcular la probabilidad de que u varó mayor de 40 años esté casado y tega más de 2 hijos (suceso itersecció de A y B). Por lo tato: P (A) = 0,35 P (B/A) = 0,30 P (A B) = 0,35 * 0,30 = 0,105 Es decir, u 10,5% de los varoes mayores de 40 años está casados y tiee más de 2 hijos. Estudiamos el suceso A (alumos que habla iglés) y el suceso B (alumos que habla alemá) y obteemos la siguiete iformació: U 50% de los alumos habla iglés. De los alumos que habla iglés, u 20% habla tambié alemá (suceso B codicioado al suceso A). Calcular la probabilidad de que u alumo hable iglés y alemá (suceso itersecció de A y B). Por lo tato: P (A) = 0,50 P (B/A) = 0,20 P (A B) = 0,50 * 0,20 = 0,10 Es decir, u 10% de los alumos habla iglés y alemá. Defiició: Dos sucesos A y B so idepedietes si la ocurrecia de uo de ellos o modifica la probabilidad del otro, es decir, o lo que es lo mismo P( B A) P( B) P( A) P( A) Defiició: Dos sucesos A y B so depedietes si la ocurrecia de uo de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, P( B A) P( A) P( A) P( B) 5. TABLAS DE CONTINGENCIA U método útil para clasificar los datos obteidos e u recueto es mediate las tablas de cotigecia. Se trata de tablas e cuyas celdas figura probabilidades, y e la cual podemos determiar uas probabilidades coociedo otras de la tabla. La tabla de cotigecia es ua tabla de doble etrada, dode e cada casilla figurará el úmero de casos o idividuos que posee u ivel de uo de los factores o características aalizadas y otro ivel del otro factor aalizado. Se sortea u viaje a Roma etre los 120 mejores clietes de ua agecia de automóviles. De ellos, 65 so mujeres, 80 está casados y 45 so mujeres casadas. Se pide: a) Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a u hombre soltero? b) Si del afortuado se sabe que es casado, cuál será la probabilidad de que sea ua mujer? Costruimos la tabla de cotigecia co los datos aportados como sigue: 5

6 Mujeres Hombre Totales Casados Solteros Totales Ahora relleamos coveietemete las celdas que falta: Mujeres Hombre Totales Casados Solteros Totales a) Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a u hombre soltero? 20 1 P(hombre y soltero) b) Si del afortuado se sabe que es casado, cuál será la probabilidad de que sea ua mujer? 45 9 P( mujer / casada) 0, Tambié se puede hacer aplicado la fórmula de la probabilidad codicioada 45 P(mujer casado) P( mujer / casada) 0,5625 P(casado) E ua ciudad el 40% de los domicilios tiee coexió a Iteret, el 33% tiee coexió de tv por cable y el 20% disfruta de ambos servicios. a) Calcula la probabilidad de que al elegir al azar u hogar os ecotremos co al meos alguo de estos dos servicios. b) Se ha elegido u hogar e el que hay coexió a Iteret. Probabilidad de que o esté equipado co TV por cable. Costruimos la tabla de cotigecia co los datos aportados como sigue: Iteret (I) No Iteret (No I) TOTAL (C/No C) Cable TV (C) No cable TV (No C) 67 TOTAL (I/No I) No resulta difícil deducir los demás datos de la tabla a partir de los que se tiee cosiderado los totales por filas y columas. Iteret (I) No Iteret (No I) TOTAL (C/No C) Cable TV (C) No cable TV (No C) TOTAL (I/No I) a) Calcula la probabilidad de que al elegir al azar u hogar os ecotremos co al meos alguo de estos dos servicios. Método 1: Nos pide P( I C) Se hace uso de la regla de Laplace puesto que cualquier hogar tiee las mismas opcioes de ser elegido e u proceso aleatorio. 6

7 Casos posibles: 100 (datos dados e porcetajes) Casos favorables: 20 (Tiee Iteret y cable)+13 (tiee solo cable)+20(tiee sólo Iteret) =53 Probabilidad: P( I C) = 53/100. Método 2: Se hace uso del suceso complemetario (o teer iguo de los dos servicios) y de la Regla de Laplace. Casos posibles: 100 (datos e porcetajes) Casos favorables: 47 (o tiee iguo de los dos servicios) Probabilidad del complemetario: = 47/100. P( oi oc) La probabilidad solicitada es igual a 1 meos la probabilidad obteida (Probabilidad del suceso complemetario): = 1 - P( oi oc) = 1-47/100 = 53/100 P( I C) Método 3: Se hace uso del suceso uió y de la Regla de Laplace P( I C) P( I) P( C) P( I C) b) Se ha elegido u hogar e el que hay coexió a Iteret. Probabilidad de que o esté equipado co TV por cable. Se trata de probabilidad codicioada, e este caso, que mirado la tabla se hace fácilmete: 6. DIAGRAMAS DE ÁRBOL P( C / I) 20 P( C / I) Para la costrucció de u diagrama e árbol se partirá poiedo ua rama para cada ua de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. E el fial de cada rama parcial se costituye a su vez, u udo del cual parte uevas ramas, segú las posibilidades del siguiete paso, salvo si el udo represeta u posible fial del experimeto (udo fial). Hay que teer e cueta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada udo ha de dar 1 Teemos dos uras: la primera tiee 3 bolas rojas, 3 blacas y 4 egras; la seguda tiee 4 bolas rojas, 3 blacas y 1 egra. Elegimos ua ura al azar y extraemos ua bola. a) Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blaca? b) Sabiedo que la bola extraída fue blaca, cuál es la probabilidad de que fuera de la primera ura? Hacemos u diagrama e árbol: 7

8 a) Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blaca? P( Blaca) b) Sabiedo que la bola extraída fue blaca, cuál es la probabilidad de que fuera de la primera ura? 3 P(Ura I Blaca) 20 4 P(Ura I / Blaca) P(Blaca) Ua clase costa de seis iñas y 10 iños. Si se escoge u comité de tres al azar, hallar la probabilidad de: a) Seleccioar tres iños. b) Seleccioar exactamete dos iños y ua iña. c) Seleccioar exactamete dos iñas y u iño. Costruimos u diagrama de árbol: Mirado el diagrama teemos: a) Seleccioar tres iños. b) Seleccioar exactamete dos iños y ua iña. c) Seleccioar exactamete dos iñas y u iño. 8

9 7. PROBABILIDAD TOTAL E ocasioes el espacio muestral E se puede dividir e varios sucesos B1, B2, B3,..., B que so icompatibles etre sí, de modo que siempre que se realice el experimeto saldrá uo de ellos. Esto sigifica que para cualquier i j y además. Esto se llama u sistema completo de sucesos. E esta situació, la probabilidad de u suceso cualquiera A puede calcularse empleado la fórmula o teorema de la probabilidad total, que os dice que: O de maera reducida B1 B2 B3... B E P( A) P( A/ B ) P( B ) P( A/ B ) P( B ) P( A/ B ) P( B )... P( A/ B ) P( B ) P( A) P( A / Bk) P( Bk) k1 E ua ecoomía hay 4 sectores productivos B, B, B y B Sea el suceso S estar e paro. La probabilidad de que ua persoa esté e paro e cada uo de los sectores será: P S B 0, 05 P S B 0, 01 P S B 0, 02 P S B 01, De los trabajadores de esa ecoomía la mitad perteece a B1 y el resto se reparte por igual etre los otros tres, es decir: P B P B P B P B 0, 5 016, 016, 016, a) Calcular la probabilidad de que ua persoa elegida al azar esté e paro La probabilidad de estar e paro de ua persoa escogida al azar será, aplicado el teorema de probabilidad total: P S ( ) ( ) 4 i1 P S B P B i i 0, 05 0, 5 0, 01 0, 16 0, 02 0, 16 0, 1 0, 16 0, 458 Va a cambiar a tu jefe y se baraja diversos cadidatos: a) Carlos, co ua probabilidad del 60% b) Jua, co ua probabilidad del 30% c) Luis, co ua probabilidad del 10% E fució de quie sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suba el sueldo es la siguiete: a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suba el sueldo es del 5%. b) Si sale Jua: la probabilidad de que te suba el sueldo es del 20%. c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suba el sueldo es del 60%. E defiitiva, cuál es la probabilidad de que te suba el sueldo? Teemos que los sucesos: C = {sale Carlos}, J = {sale Jua}, L = {sale Luis} cumple que la uió de ellos es el espacio muestral completo, E, y además so icompatibles etre sí, su itersecció es vacía. Cosideramos el suceso S = {me sube el sueldo}. Teemos aplicado probabilidad total que: P (S) = P(S/C) P(C) + P(S/J) P(J) + P(S/L) P(L) = (0,05 0,60) + (0,20 0,30) + (0,60 0,10) = 0,15 Por tato, la probabilidad de que te suba el sueldo es del 15%. Pita mal la cosa. 9 B i B j

10 8. TEOREMA DE BAYES Cosideremos como e la probabilidad total u sistema completo de sucesos B1, B2, B3,..., B que so icompatibles etre sí, de modo que siempre que se realice el experimeto saldrá uo de ellos. Esto sigifica que para cualquier i j y además. B B i j B B B B E Etoces el teorema de Bayes os dice que dado u suceso cualquiera A : P( Bi) P( A / Bi) P( Bi / A) P( A / B ) P( B ) P( A / B ) P( B )... P( A / B ) P( B ) E ua ecoomía hay 4 sectores productivos B, B, B y B Sea el suceso S estar e paro. La probabilidad de que ua persoa esté e paro e cada uo de los sectores será: P S B 0, 05 P S B 0, 01 P S B 0, 02 P S B 01, De los trabajadores de esa ecoomía la mitad perteece a B1 y el resto se reparte por igual etre los otros tres, es decir: P B 0, 5 P B 016, P B 016, P B 016, Cuál es la probabilidad de que ua persoa que esté e paro perteezca al sector 1, es decir, La solució la obteemos aplicado el teorema de Bayes P B S,, 0, 54 0, 05 0, 5 0, 01 0, 16 0, 02 0, 16 0, 1 0, P B S La probabilidad de que haya u accidete e ua fábrica que dispoe de alarma es 0.1. La probabilidad de que suee esta sí se ha producido algú icidete es de 0.97 y la probabilidad de que suee si o ha sucedido igú icidete es E el supuesto de que haya fucioado la alarma, cuál es la probabilidad de que o haya habido igú icidete? Sea los sucesos: I = Producirse icidete Usamos el diagrama de árbol A = Soar la alarma. 1? Aplicado Bayes co el sistema completo de sucesos formado por os pide: P( I) P( A / I) 0.90,02 P( I / A) 0,157 P( I) P( A / I) P( I) P( A / I) 0, ,02 I e I 10

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