OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Método del producto. Diagrama de árbol.

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1 8966 _ 6-.qxd 7/6/8 9: Págia 87 Combiatoria INTRODUCCIÓN La combiatoria estudia las distitas formas de agrupar y ordear los elemetos de u cojuto, segú uas ormas establecidas. E esta uidad se aprede a formar esas agrupacioes y a hacer su recueto por métodos de coteo. Se aprederá tambié a clasificar las agrupacioes e permutacioes o variacioes, co y si repetició de elemetos, y e combiacioes. Asimismo, se itroduce los úmeros combiatorios y el desarrollo del biomio de Newto. RESUMEN DE LA UNIDAD Métodos de coteo. Números combiatorios. Propiedades de los úmeros combiatorios. Biomio de Newto. Variacioes de elemetos, tomados de m e m, co y si repetició. Permutacioes de elemetos, co y si repetició. Combiacioes de elemetos, tomados de m e m. OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Utilizar distitos métodos de coteo. Método del producto. Diagrama de árbol. Realizació de coteos por el método del producto. Elaboració de diagramas de árbol.. Maejar úmeros combiatorios.! m Propiedades de los úmeros combiatorios. Desarrollo de!. Desarrollo de. m Aplicació de las propiedades de los úmeros combiatorios.. Utilizar el biomio de Newto. (a + b) Triágulo de Tartaglia. Desarrollo de distitas potecias de biomios.. Distiguir etre variacioes y permutacioes.. Idetificar combiacioes de elemetos tomados de m e m. V, m VR, m P C, m Aplicació directa de las fórmulas. Resolució de problemas. Aplicació directa de la fórmula. Resolució de problemas. ADAPTACIÓN CURRICULAR 6. Distiguir etre variacioes, permutacioes y combiacioes. Distició etre V, m, VR, m, P y C, m. Resolució de problemas. MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 87

2 8966 _ 6-.qxd 7/6/8 9: Págia 88 OBJETIVO UTILIZAR DISTINTOS MÉTODOS DE CONTEO MÉTODO DEL PRODUCTO El método del producto es u método de coteo que cosiste e descompoer el experimeto e otros experimetos más simples y multiplicar el úmero de posibilidades de cada uo de ellos. Sacamos cuatro cartas, si devolució, de ua baraja de cartas. Cuátos resultados diferetes podemos obteer? Primera carta F cualquiera de las cartas F posibilidades Seguda carta F cualquiera de las 9 cartas restates F 9 posibilidades Tercera carta F cualquiera de las 8 cartas restates F 8 posibilidades Cuarta carta F cualquiera de las 7 cartas restates F 7 posibilidades Podemos obteer: =.9.6 resultados. Jimea quiere llevarse de vacacioes dos libros y ua película, eligiedo etre cico libros y ocho películas. De cuátas formas distitas puede hacerlo? De cuátas formas diferetes puedes colocar las cifras del úmero 9.? E u restaurate podemos elegir etre tres primeros platos, tres segudos platos, dos postres y cuatro bebidas. De cuátas formas podemos hacerlo? 88 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

3 8966 _ 6-.qxd 7/6/8 9: Págia 89 DIAGRAMA DE ÁRBOL El diagrama de árbol es u método gráfico de coteo que cosiste e marcar, como si fuera las ramas e u árbol, las posibilidades que aparece e cada uo de los experimetos simples e los que se descompoe el experimeto. El úmero de posibilidades se obtiee cotado las ramas fiales. Olivia tiee cuatro bufadas: roja, azul, egra y verde. Nacho tiee tres gorros: gris, araja y blaco. De cuátas formas diferetes se podrá poer u gorro y ua bufada cada uo si decide compartir sus predas? Los experimetos simples so elegir ua bufada y elegir u gorro. Realizamos u diagrama de árbol. GG BR, GG BR GN BR, GN GB BR, GB GG BA, GG BA GN BA, GN GB BA, GB GG BN, GG BN GN BN, GN GB BN, GB GG BV, GG BV GN BV, GN GB BV, GB Olivia y Nacho puede elegir etre cojutos de gorro y bufada. Sabemos que Pedro, Alberto y Alejadro ha llegado primero, segudo y tercero e ua prueba de atació, pero se descooce e qué orde. Escribe los posibles resultados ayudádote de u diagrama de árbol. Co los dígitos, y formamos úmeros de dos cifras. a) Cuátos úmeros hay de dos cifras distitas? b) Si las cifras puede repetirse, cuátos úmeros podemos hacer? ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 89

4 8966 _ 6-.qxd 7/6/8 9: Págia 9 OBJETIVO MANEJAR NÚMEROS COMBINATORIOS Dado u úmero atural, el factorial de se escribe!.! = ( ) ( )... Se cosidera que! =. Dados dos úmeros aturales m y, (m < ), el úmero combiatorio sobre m se escribe:. m! m = m! ( m)! Calcula. a) 7! = 7 6 =. b) 8 = 8! =! ( 8 )! 8! 8 = 7 6! 8 = 7 6!!! = 6 Calcula. a) 9! c) b)! 8! d) PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS m = = = m m + m + = + m + 9 Demuestra que se verifica la igualdad: = =!! 8 7 6! 9 + = + 8 7! 6!! 7!! 6! 7! =!! = = 7!! 7! = = Demuestra que se verifica las siguietes igualdades. a) b) c) = = 6 = 9 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

5 (x ) = x ( ) + x ( ) + x ( ) + x ( ) + x ( ) = = x + x ( ) + 6x + x ( 8) + x 6 = x 8x + x x MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO UTILIZAR EL BINOMIO DE NEWTON ADAPTACIÓN CURRICULAR Para calcular las potecias del biomio (a + b) se utiliza ua fórmula llamada del biomio de Newto. (a + b) = a b + a b + a b + + a b + a b Y para realizar el cálculo de los úmeros combiatorios se puede usar el triágulo de Tartaglia. Desarrolla y simplifica cuado sea posible. a) b) (x ) = c) d) Completa el siguiete desarrollo. (y + ) = y + + y + + y + y = = x x 6 = x = a + = _ 6-.qxd 7/6/8 9: Págia 9

6 8966 _ 6-.qxd 7/6/8 9: Págia 9 OBJETIVO DISTINGUIR ENTRE VARIACIONES Y PERMUTACIONES Las variacioes, V, m, cueta los diferetes grupos de m elemetos que se puede formar co los elemetos de u cojuto (m < ), siempre que los elemetos o se pueda repetir e ifluya el orde e que los coloquemos.! V, m = ( m)! Las variacioes co repetició de elemetos, tomados de m e m, VR, m, so variacioes e las que los elemetos se puede repetir. VR, m = m Calcula. a) Cuátos úmeros de tres cifras distitas se forma co los dígitos impares? b) Y si las cifras se puede repetir? a) Teemos = elemetos y los colocamos e grupos de m = elemetos. Ifluye el orde, por ejemplo,. Las cifras ha de ser distitas.! V, = = = úmeros! b) Teemos = elemetos y los colocamos e grupos de m = elemetos. Ifluye el orde, por ejemplo,. Las cifras puede repetirse. VR, = = 6 úmeros Se asiga a cada uo de los alumos de ua clase u úmero. Se itroduce e ua bolsa bolas umeradas, de las cuales sacamos tres. La primera bola que saquemos será para el delegado, la seguda para el subdelegado y la tercera para el secretario de la clase. Cuátos resultados distitos se puede obteer? Ua caja tiee ua bola de cada uo de estos colores: rojo, azul, verde y amarillo. Se extrae, de ua e ua, tres bolas y se coloca sobre ua mesa e el orde de extració. a) Cuátas colocacioes diferetes podemos teer si la bola extraída o se devuelve a la ura? b) Y si la bola se extrae co devolució? 9 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

7 8966 _ 6-.qxd 7/6/8 9: Págia 9 De cuátas formas distitas puede setarse ocho persoas e ua fila de butacas del cie? E las distitas ordeacioes importa el orde. Y como dos persoas o se sieta e la misma butaca, o hay elemetos repetidos. Además, teemos 8 elemetos y los ordeamos. P 8 = 8! = =. formas Daiel, Viviaa y Nicolás quiere repartirse tres libros distitos. De cuátas formas diferetes puede hacer el reparto? Patricia tiee seis postales distitas que quiere eviar a seis amigos. De cuatas maeras diferetes las puede eviar? Co las cifras del úmero.: a) Cuátos úmeros de tres cifras distitas puedo formar? b) Y si se repite las cifras, cuátos úmeros de tres cifras se obtiee? c) Calcula los úmeros que se puede formar co las cico cifras. 6 Realiza las siguietes operacioes. a) P 9 P 7 b) V 6, + VR, c) P V, ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 9

8 8966 _ 6-.qxd 7/6/8 9: Págia 9 OBJETIVO IDENTIFICAR COMBINACIONES DE ELEMENTOS TOMADOS DE m EN m Las combiacioes de elemetos, tomados de m e m, C, m, se utiliza para cotar el úmero de grupos diferetes, e los que o importa el orde, que se puede formar co m elemetos distitos, elegidos de u cojuto de elemetos. C, m! m = m! ( m)! Cuátos putos de itersecció produce 7 rectas coplaarias sabiedo que o hay dos rectas paralelas i más de tres rectas que se corte e el mismo puto? Teemos = 7 elemetos y los colocamos e grupos de m = elemetos. No importa el orde, y el puto de itersecció de las rectas r y s es el mismo que el de las rectas s y r. 7 C, m = = putos =! =!!!! Cuátas sumas diferetes, de cuatro sumados distitos de ua sola cifra, se puede formar? Cuátas multiplicacioes diferetes, de cuatro factores distitos de ua sola cifra, se puede formar co la codició de que el producto o sea cero? Aa, Borja, Isabel, María, Diego y Beatriz hace u toreo de teis. Si todos juega etre sí, cuátos partidos idividuales tedrá el toreo? 9 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

9 8966 _ 6-.qxd 7/6/8 9: Págia 9 OBJETIVO 6 DISTINGUIR ENTRE VARIACIONES, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES Para distiguir etre variacioes, variacioes co repetició, permutacioes y combiacioes hay que cotestar a tres pregutas. Ifluye el orde? No Sí Se trabaja co todos los elemetos? Combiacioes Sí No Se puede repetir los elemetos? Permutacioes Sí Variacioes co repetició No Variacioes Halla cuátas palabras de tres letras distitas, tega o o setido, puede formarse co las letras de la palabra CAMINO si todas debe empezar por c y o puede coteer la letra o. Ifluye el orde? Sí. Se trabaja co todos los elemetos? No. Se puede repetir los elemetos? No. So variacioes, pues todas las palabras ha de empezar por c y o puede icluir la letra o, siedo = elemetos, tomados e grupos de m =. V, = = palabras De cuátas formas distitas podemos colocar ueve discos e ua caja? Ifluye el orde? Se trabaja co todos los elemetos? Se puede repetir los elemetos? Pilar cofeccioa jerseys de dos colores. Si tiee laa de colores diferetes, cuátos tipos de jerseys puede hacer? Ifluye el orde? Se trabaja co todos los elemetos? Se puede repetir los elemetos? ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 9

10 8966 _ 6-.qxd 7/6/8 9: Págia 96 Co los úmeros,,, y, cuátos múltiplos de de tres cifras se puede formar? a) Las cifras ha de ser distitas. b) Las cifras se puede repetir. U alumo tiee 9 asigaturas e u curso. La ota de cada asigatura puede ser suspeso, aprobado, bie, otable o sobresaliete. Cuátos boleties de otas distitos puede obteer? E ua oposició, el temario costa de 7 temas. El día del exame se elige dos temas al azar. Cuátos exámees se puede hacer? 6 U bar prepara bocadillos de tres igredietes. Si dispoe de igredietes distitos, cuátas clases de bocadillos puede preparar? 7 Co los úmeros,,,, y 6, cuátos úmeros pares de seis cifras distitas se puede formar? 96 MATEMÁTICAS. B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.