1. El teorema del binomio

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1 El teorema del biomio. El teorema del biomio.. Producto El producto de úmeros aparece e todas las situacioes e que queremos cotar cosas u opcioes. Imagiaquequeremoscotarel úmerode camiosdistitosque podemostomarparairde AaD pasado por B y C si teemos las opcioes que ilustra el gráfico: A B C D Por cada ua de las 4 opcioes AB podemos elegir opcioes BC y 3 opcioes CD. Llegamos fácilmete a la coclusió de que la solució a uestro problema es 4 3 Es siempre el producto el que resuelve este tipo de cuestioes. Auque a veces, como ilustra el siguiete ejercicio la suma etra e juego: Ejercicio:.. Cuátos posibles camios P Q hay e este caso? P Q.. De cuátas formas se pudiero repartir las medallas e la fial de los 00 m lisos de Lodres?.3. De cuátas formas se puede colocar 5 persoas e la mesa que preside u baquete?.4. A cuátos grupos distitos de 3 alumos puedo elegir de mi clase de 0 para que me acompañe a u viaje? E problemas como los ateriores surge productos como 8 7 6, o como Por la frecuecia co que aparece estos úmeros e uestros cálculos matemáticos se creó ua otació especial para ellos:.. Números factoriales Llamamos 6 factorial, o factorial de 6, al úmero 6! =

2 c rafaseleccioes E geeral, defiimos el factorial de como el producto! = 3 3 para cualquier etero positivo. Y se defie de modo especial 0! = Propiedad elemetal:! =! Productos parciales del tipo so muy frecuetes e problemas de coteo y se puede epresar usado factoriales: = = 7! = = 0! 4 3 4! ! basta multiplicar arriba y abajo coveietemete. Ejercicios:.5. Calcula, si calculadora: a 6! 5! b 6! 4! c 6! 8! d 00! 98! e 7! 5!!.6. Simplifica, si calculadora: a!! b +!! c +!! d!! e +! +!.7. Epresa usado úmeros factoriales: a b c 0 9 d 3 3 e Nota: Las sumas de factoriales podemos covertirlas e producto fácilmete: 8!+6! = 8 7 6!+6! = ! = 57 6!.8. Covierte e producto las siguietes epresioes: a 5!+4! b! 0! c 7! 6!+8! d!! e 3 9!+5 8!.9. Simplifica, si calculadora: a!! b 0! 8! 89 c 6!+5! 4! 4! d 0! 9! 9! e 7! 6! 6 f!+!! g!!! h +!++! Permutacioes P Ua permutació de u grupo de elemetos es cualquiera de las distitas ordeacioes que podemos hacer de esos elemetos. Por ejemplo, BAC es ua permutació de {A,B,C}. Usamos los tres elemetos.

3 El teorema del biomio 3 Las permutacioes completas de {A, B, C} so: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, y CBA Para el cálculo de las permutacioes de 3 elemetos podemos cosiderar tres vetaas Para la primera teemos tres opcioes, fijada ua, para la seguda vetaa teemos ; y para cada pareja fijada os queda sólo ua opció para la tercera vetaa. Así, para su cálculo aparece el producto, y las permutacioes de 3 será P 3 = 3 = 3! Y e geeral, las permutacioes de elemetos será P = 3 =!.4. Variacioes V m, Cuado cosideramos meos elemetos del total dispoible a las permutacioes les llamamos variacioes. Las variacioes de {A, B, C, D} tomadas e grupos de será: AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD y DC Sale variacioes, como es lógico si pesamos e las vetaas 4 3 V 4, = 4 3 = opcioes. E geeral V m, = mm m m usamos factores. Por ejemplo V 8,3 = so los medalleros de la fial de 00 m Propiedad elemetal: V, = P.5. Variacioes co repetició. VR m, Cuado e las variacioes cada elemeto puede repetirse las veces que se quiera, las llamamos variacioes co repetició. Su cálculo es elemetal, pues e cada vetaa siempre puede aparecer se permite la repetició el total de los elemetos. Teemos pues VR m, = m Ejercicio:.0. Co las cifras {,, 3, 4, 5}, cuátos úmeros distitos de tres cifras podemos formar? cuátos de ellos o repite igua cifra? cuátos de estos últimos termia e 5?.6. Combiacioes. C m, Ua combiació es cada ua de las seleccioes que podemos realizar si teer e cueta el orde. Si cosideramos los elemetos {A, B, C, D, E} y seleccioamos grupos de 3 elemetos: ABC y ACB so distita variació, pero so la misma combiació. Las combiacioes de los 5 elemetos tomados e grupos de 3 será: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BDE, BDE, CDE 0 combiacioes diferetes.

4 4 c rafaseleccioes Escribimos C 5,3 = 0, pero... cómo lo calculamos? Lógicamete cada combiació C 5,3 da lugar a P 3 = 3! variacioes, por lo tato: C 5,3 P 3 = V 5,3 C 5,3 = V 5,3 P 3 = = 5! 3!! E geeral C m, = V m, = mm m m y multiplicado arriba y abajo coveietemete: P 3 C m, = mm m m m m 3 m! = 3 m 3! m! Ejercicio:.. E mi clase hay 8 chicos y chicas de cuátas formas puedo seleccioar 5 estudiates para represetar a la clase e u cocurso televisivo? y si e la selecció quiero que haya eactamete 3 chicas?.. U comité de 5 es elegido etre 6 médicos, 3 efermeros y 7 auiliares. Determia el úmero de eleccioes que podemos hacer si debemos teer garatizada e el comité la presecia de: médicos y u efermero. médico, efermero y 3 auiliares. Propiedad: Observa como C 5,3 = C 5, e el problema aterior. Elegir 3 chicas o chicos es equivalete, y calculado C 5,3 = 5! 3! = 5!! 3! = C 5,.7. Potecia de u biomio Vamos a cosiderar las potecias de u biomio: a+b a+b = a+b a+b 3 = a+ba+b a+b = a +ab+b = a+ba +ab+b = a 3 +a b+ab +a b+ab +b 3 = a 3 +3a b+3ab +b 3 a+b 4 = a+ba+b 3 = a+ba 3 +3a b+3ab +b 3 = a 4 +3a 3 b+3a b +ab 3 +a 3 b+3a b +3ab 3 +b 4 = a 4 +4a 3 b+6a b +4ab 3 +b 4 Actividad: Busca tú ua epresió para a+b 5 Si observas los coeficietes de los desarrollos que hemos obteido y podemos ir obteiedo, mira lo que teemos:

5 El teorema del biomio 5 = 0 = = = = = = Este triágulo ilimitado recibe el ombre de triágulo de Pascal e hoor del ilustre filósofo y matemático fracés. Observa como cada úmero puede obteerse por la suma de los dos que tiee ecima. Refleioado sobre uestros ateriores cálculos y etediedo y usado el triágulo de Pascal teemos: a+b 6 = a 6 +6a 5 b+5a 4 b +0a 3 b 3 +5a b 4 +6ab 5 +a 6 a+b 7 = a 7 +7a 6 b+a 5 b +35a 4 b 3 +35a 3 b 4 +a b 5 +7a 6 b+a 7 a+b 8 = a 8 +8a 7 b+8a 6 b +56a 5 b 3 +70a 4 b 4 +56a 3 b 5 +8a b 6 +8ab 7 +a 8 Ejercicios:.3. Calcula y simplifica al máimo las potecias: a + 3 c + 3 e + 6 g + b + 3 d 3 4 f h 5.4. Calcula Número combiatorio m Al úmero de las combiacioes C m, tambié se le llama úmero combiatorio m sobre m m! = C m, =!m! Por ejemplo: 5 = 5 4 = 5!! 3! 7 = = 7! 3! 4! 3 = = 3! ! 8! Propiedades elemetales: m 0 = m = m m m = Es verdaderamete curioso que el triágulo de Pascal es e realidad u triágulo formado por los úmeros combiatorios como puedes ir comprobado:

6 6 c rafaseleccioes Más propiedades: m = m m m + m + = m+ Observa estas propiedades e el triágulo de Pascal. Prueba primero o multipliques que = Ahora comprueba que = y fialmete demuestra las propiedades e el caso geeral El teorema del biomio De todo lo aterior deducimos la fórmula para la potecia de u biomio: a+b = a + 0 a b+ y observamos que el térmio que ocupa el lugar r+ es a b + + ab + a r b r r b Ejercicios:.5. Escribe, dejado las operacioes idicadas, los primeros y últimos térmios de cada desarrollo: a + b 3+ 5 c.6. Ecuetra el séptimo térmio del desarrollo de d +y 00

7 El teorema del biomio 7.7. Ecuetra el seto térmio del desarrollo de Ecuetra el cuarto térmio del desarrollo de Ecuetra el décimo térmio del desarrollo de 7.0. Ecuetra el oveo térmio del desarrollo de.. Da el coeficiete de 6 y el térmio idepediete del poliomio.. Da el coeficiete de 0 e Da el coeficiete de 3 e.4. Prueba, e dos segudos, que Ecuetra el coeficiete de 5 e Ecuetra el coeficiete de 5 e Ecuetra el coeficiete de 6 e Si el tercer térmio de + es 36, ecuetra el cuarto térmio..9. Si +k = +60, halla los valores de k y..30. Halla a si el coeficiete de e + 0 es 5. a + 4 =.0. Refleió y prueba Observa el producto a+b = a+ba+ba+b a+ba+b y piesa que al multiplicar todos cotra todos: a sólo aparece ua vez. Ua úica b aparece = veces. b aparece veces, pues viee de las eleccioes que podemos hacer de elemetos de los letras b de lugares posibles, además aparece e la forma a b b 3 lo hará 3 veces, ya que correspode a las combiacioes de 3 elemetos de los, lo hace e la forma a 3 b 3 E geeral b k sale k veces, de modo a k b k Fialmete, b sólo hay = Sumado luego los térmiossemejates a+b = 0 a + a b+ a b + + ab + b Actividad: Demuestra el teorema del biomio usado el método de iducció.

8 8 c rafaseleccioes.. Selecció de problemas del Bachillerato iteracioal.3. Ecuetra el coeficiete de 7 e el desarrollo de 3 0 BI El coeficiete de e el desarrollo de + 7 a es 3 7.Ecuetralosposiblesvaloresdea.BI Halla el coeficiete de 3 e el desarrollo biomial de 8 BI a Halla el desarrollo de +5 5, epresado la respuesta e orde ascedete de potecias de b Tomado = 0,0 o de cualquier otro modo, halla el valor eacto de,0 5. BI Epresa 3 3 e la forma a 3+b, dode a, b Z BI Ecuetra el coeficiete de 3 e 3 6 BI Determia los primeros tres térmios del desarrollo de e orde creciete de potecias de. BI U sólido de volume V se ha obteido a partir de u cubo de arista a > al que le quitamos de ua esquia u cubo de arista a. Si = a a a Epresa V e fució de. b Prueba que el úico valor de a para el que V = 4 se da para a = + 5 BI Cuado hacemos el desarrollo de + obteemos 70 como coeficiete de 3. Halla y el coeficiete de BI-009* Simplifica la diferecia todo 3 BI-00*.4. Desarrolla y simplifica, dode 3. Resuelve la iecuació 4 BI-00 3 > 3, para