Sistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

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1 Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206

2 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales y los resolverá aplicado el método de Gauss. Coteido: 5. El sistema de ecuacioes lieales como modelo matemático de problemas 5.. Defiició de ecuació lieal y de su solució 5..2 Defiició de sistema de ecuacioes lieales y de su solució 5.. Clasificació de los sistemas de ecuacioes lieales e cuato a la existecia y úmero de solucioes Sistemas homogéeos, solucioes triviales y varias solucioes 5.2 Sistemas equivaletes y trasformacioes elemetales 5.2. Resolució de sistemas de ecuacioes lieales por el método de Gauss SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2

3 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL Y SU SOLUCIÓN 5. Defiició de ecuació lieal y su solució 5.. Defiició Ua ecuació lieal sobre C es ua expresió de la forma dode a, a 2,..., a, b ax a2 x2... ax b A los símbolos x, x2,..., x se les cooce como icógitas de la ecuació, a los úmeros a i como coeficietes de las x y a b como el térmio idepediete. i 5..2 Defiició Ua solució de la ecuació lieal a x a x... a x b 2 2 es u cojuto ordeado de valores k, k2,..., k tales que: Resolució de ua ecuació lieal ak a2k2... ak b E la búsqueda de solucioes para la ecuació: puede distiguirse tres casos: ax a2 x2... ax b i) Al meos uo de los coeficietes es diferete de cero. Si ak 0 la ecuació puede escribirse como: a x b a x a x... a x a x... a x O bie, como: k k 2 2 k k k k x b a x a x... a x a x... a x k 2 2 k k k k ak Podemos etoces asigar valores a las icógitas x,..., xk, xk,..., x (arbitrariamete), y de la expresió aterior se obtedré el valor de que co los valores asigados costituye ua solució de la ecuació. ii) Todos los coeficietes so ulos y el térmio idepediete tambié lo es. Etoces la ecuació es de la forma: 0x 0 x2... 0x 0 y es claro que cualquier cojuto de valores es ua solució de la ecuació. iii) Todos los coeficietes so ulos y el térmio idepediete o lo es. Etoces la ecuació es de la forma: 0x 0 x... 0 x b, co b 0 2 y es claro que igú cojuto de valores podrá ser ua solució de la ecuació, es decir, la ecuació o tiee solució. xk SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4 DEFINICIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEAL Y SU SOLUCIÓN 5.2 Sistemas de ecuacioes lieales E geeral, u sistema es u cojuto de ecuacioes lieales que tiee las mismas icógitas, como o establece la siguiete defiició 5.2. Defiició U sistema de m ecuacioes lieales co icógitas sobre C es ua expresió de la forma: Dode 2 m a, a,..., a, b,..., b m a x a x... a x b 2 2 a x a x... a x b a x a x... a x b m m2 2 m m Puesto que u sistema de ecuacioes lieales es u cojuto de ecuacioes co las mismas icógitas, resulta atural cosiderar como ua solució del sistema a u cojuto de valores que satisface a todas las ecuacioes del sistema, por lo que se establece la siguiete defiició: Defiició Ua solució del sistema de ecuacioes lieales co icógitas sobre C es ua expresió de la forma: a x a x... a x b 2 2 a x a x... a x b a x a x... a x b m m2 2 m m es u cojuto ordeado de valores k, k2,..., k tales que a k a k... a k b 2 2 a k a k... a k b a k a k... a k b m m2 2 m m La defiició aterior establece claramete lo que deberá etederse por solució de u sistema de ecuacioes lieales; si embargo, o os dice que cualquier sistema de ecuacioes lieales habrá que teer solució. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4

5 Clasificació de los sistemas de ecuacioes lieales SISTEMAS EQUIVALENTES Y TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Los sistemas de ecuacioes lieales puede clasificarse de la siguiete maera: Icompatibles (o tiee solució) Sistemas de ecuacioes lieales Determiados (ua sola solució) Compatibles(tiee solució) Idetermiados (más de ua solució) Sistemas homogéeos Se trata de u sistema de ecuacioes lieales e el que todos los térmios idepedietes so ulos, por ejemplo: Solucioes triviales 2x x x 0 2 x 2x 4x 0 2 x 2x x 0 2 U sistema homogéeo siempre es compatible puesto que admite la solució: la cual se deomia, solució trivial Varias solucioes x x... x 0 2 Trasformacioes elemetales Cuado dos sistemas de ecuacioes lieales tiee las mismas solucioes se dice que so equivaletes. El método que se empleará e este capítulo para obteer las solucioes de u sistema de ecuacioes lieales se base e el empleo de ciertas trasformacioes, llamadas trasformacioes elemetales, que o altera las solucioes del sistema, es decir, trasformacioes que al aplicarse a u sistema da como resultado u sistema equivalete. Las trasformacioes elemetales puede ser de tres tipos y cosiste e: I) Itercambiar dos ecuacioes. II) Multiplicar ua ecuació por u úmero diferete de cero. III) Multiplicar ua ecuació por u úmero y sumarla a otra ecuació, reemplazado esta última por el resultado obteido. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5

6 El método de Gauss EL MÉTODO DE GAUSS El procedimieto más cómodo para obteer las solucioes de u sistema de ecuacioes lieales es, tal vez, el coocido como método de Gauss. Este método cosiste e la elimiació cosecutiva de icógitas co el propósito de llegar a u sistema que tega ua forma escaloada. Para llevar a cabo dicha elimiació si alterar las solucioes del sistema, se recurre a las trasformacioes elemetales que se ha descrito. Para ilustrar la idea cetral del método, cosideremos el problema de resolver el siguiete sistema de ecuacioes lieales: x x 2x 2 x 4x x ( S ) 2 0 2x 4x x 0 2 éste, queda completamete defiido por el valor de sus coeficietes y térmios idepedietes, los cuales puede represetarse coveietemete e el siguiete arreglo tabular: 2 M A éste se le cooce co el ombre de matriz. Esta matriz e particular, cotiee doce elemetos dispuestos e tres regloes y cuatro columas por lo que se dice que es de orde x4. Para elimiar la icógita x de la seguda y la tercera ecuació, podemos emplear dos trasformacioes del tipo III. Así, multiplicado la primera ecuació por y sumado el resultado a la seguda se obtiee el sistema: 2 M Y multiplicado ahora la primera ecuació por 2 y sumado el resultado a la tercera se obtiee: 2 M co lo que se ha coseguido elimiar x de la seguda y tercera ecuacioes. Para elimiar 2 x de la tercera ecuació podemos emplear uevamete ua trasformació del tipo III, pero tomado ahora la seguda como pivote. Así, multiplicado la seguda ecuació por 2 y sumado el resultado a la tercera se obtiee el sistema SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 6

7 EL MÉTODO DE GAUSS 2 M de dode se observa de imediato que: x Para obteer el valor de x sustituimos el valor obteido de x 2 e la seguda ecuació de S x2 5(2) 0 Quedado así ua icógita cuyo valor es: x Por último, para obteer el valor de x sustituimos e la primera ecuació de S, los valores obteidos de x2 y x : x (0) 2(2) de dode: x 4 E cosecuecia, x ; x2 0 y x 2 es la solució del sistema S ; y como éste es equivalete a S 0, la tera,0,2 es la solució iicial, co lo que queda resuelto el problema. Cabe hacer otar que e el párrafo aterior se ha dicho que la solució del sistema S, lo cual lleva implícito que dicho sistema es determiado, esto se debe a que x 2 es el úico que satisface la tercera ecuació de S ; e cosecuecia, los úicos valores que satisface simultáeamete a la seguda y la tercera ecuació de S co x2 0 y x 2. De la misma maera, los sistemas S, S2 y S puede ser represetados respectivamete por las matrices: 2 M M M las cuales puede obteerse de M 0 efectuado, co los regloes, trasformacioes aálogas a las descritas e las ecuacioes. Estas trasformacioes, coocidas como trasformacioes elemetales por regló, cosiste e: I) Itercambiar dos ecuacioes. II) Multiplicar ua ecuació por u úmero diferete de cero. III) Multiplicar ua ecuació por u úmero y sumarla a otra ecuació, reemplazado esta última por el resultado obteido. La última de las matrices ateriores M se dice que está e forma escaloada o que es ua matriz escaloada. E geeral, se dice que ua matriz está escaloada si el úmero de ceros SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7

8 EL MÉTODO DE GAUSS ateriores al primer elemeto o ulo de cada regló aumeta al pasar de u regló al siguiete, hasta llegar evetualmete a regloes cuyos elemetos so todos ulos; por ejemplo: Regresado al método de Gauss, vemos que es coveiete represetar al sistema mediate ua matriz y efectuar e ella las trasformacioes ecesarias para llevarla a la forma escaloada. Por lo geeral, coviee que el primer elemeto o ulo de cada regló sea u uo (o u meos uo) para elimiar fácilmete los coeficietes que se ecuetra por ecima por debajo de él, multiplicado simplemete por sus simétricos respectivos. E resume, se puede decir lo siguiete: El método de Gauss cosiste e aplicar a u sistema de m ecuacioes co icógitas (o la matriz que lo represeta) ua sucesió de trasformacioes elemetales hasta llevarlo a la forma escaloada. Si durate el proceso se obtiee ua ecuació de la forma: x x2 x a la que se deomia ecuació ula, ésta se desecha puesto que cualquier cojuto de valores que ees ua solució de la misma. Si durate el proceso se obtiee ua ecuació de la forma: 0x 0 x... 0 x b co b 0 2 el sistema es icompatible, puesto que dicha ecuació o tiee solució; de otra maera es sistema es compatible. Si el sistema es compatible y al reducirlo a la forma escaloada se obtiee ecuacioes o ulas, etoces el sistema es determiado y su solució se obtiee por sustitució sucesiva de los valores de las icógitas, a partir de la última cuyo valor es imediato. Si el sistema es compatible y al reducirlo a la forma escaloada se obtiee r < ecuacioes o ulas; etoces el sistema es idetermiado y su solució geeral se obtiee dejado r icógitas libres (es decir, cómo parámetros) y expresado a las otras r icógitas e fució de éstas. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 8

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