EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES

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1 EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado: a < 2 se x < se x < /2 ( ) (6 )π (6 + )π x,, Z, 6 6 que so los itervalos dode la serie es absolutamete covergete. E los extremos de cada itervalo, es decir cuado se x = /2, dode el criterio de la raíz o decide, queda las series ó ( ), que so claramete divergetes. 2. Hallar el campo de covergecia de la serie Descompoemos el problema e varios casos: = cos x e x. - Si x >, aplicamos el criterio de comparació; teemos por u lado que aplicado el criterio de la raíz a la serie /e x, resulta: cos x e x e x y, /e x = /e x < pues x >. Como la serie mayorate es covergete, tambié lo será la serie dada. - Si x =, teemos la serie que es divergete. - Si x <, como e x =, etoces o existe divergete. 3. Estudiar la covergecia y covergecia uiforme de la serie cos x e x, co lo que la serie es tambié x e R. ( + x)

2 x Cuado + x <, es decir 2 < x <, teemos que. Por el criterio del resto ( + x) se deduce que la serie o es covergete e R. E particular, tampoco coverge uiformemete. 4. Estudiar la covergecia y covergecia uiforme de la serie e x se x e R. Cuado x >, el térmio geeral e x se x o tiee ite. Por el criterio del resto se deduce que la serie o coverge e R. 5. Estudiar la covergecia y covergecia uiforme de la serie se x e R. Aplicaremos el criterio de Weierstrass. Como se x, y la serie = es covergete, se deduce que la serie propuesta coverge absoluta 3/2 y uiformemete e R. 6. Estudiar la covergecia y covergecia uiforme de la serie ( ) x e [ /2, /2]. La serie coverge absoluta y uiformemete debido al criterio de Weierstrass porque, si /2 x /2, ( ) x 2, y la serie geométrica /2 es covergete. 7. Estudiar la covergecia y covergecia uiforme de la serie arc tg 2x x 2 e R. + 3 Sea N ua costate positiva fija. Teiedo e cueta que arc tg x x, x R, obteemos las siguietes acotacioes: - Si x N, 2x arc tg x x x N 3,. - Si x > N, 2x arc tg x x x , > x. 2 Como las dos series 2N 3 y 2 so covergetes, del criterio de Weierstrass se deduce que 2 la serie propuesta es absoluta y uiformemete covergete. 2

3 8. Probar que la serie x se x p coverge uiformemete e [, ] si p >. E efecto, por el criterio de Weierstrass, si p > y x, teemos la acotació x se x p p y la serie mayorate es covergete. p 9. Probar que la serie coverge absolutamete. ( ) x2 + 2 coverge uiformemete e todo [a, b] pero uca Si llamamos f (x) = ( ) x2 + 2, por el criterio de comparació, como f (x) / y la serie / es divergete, la serie propuesta o es absolutamete covergete. Si embargo, aplicado el criterio de Leibitz, se prueba que coverge codicioalmete e R. Por otra parte, al ser ua serie alterada, si llamamos α = máx{ a, b }, teemos: S (x) S(x) f + (x) = x2 + ( + ) ( + ) 2 α2 + ( + ) ( + ) 2, x [a, b], lo que idica que la serie coverge uiformemete.. Dada la serie f (x), dode f (x) so cotiuas e [, ] para todo y verifica la = acotació f k (x) x , x [, ], calcular f (x) dx. k= Como 2 cuado idepedietemete de x [, ], la acotació dada idica + 5 que la serie f (x) coverge uiformemete a la fució y = x 2. E cosecuecia la serie se = puede itegrar térmio a térmio y resulta: = f (x) dx = f (x) dx = = = x 2 dx = 3.. Probar que la serie se x 2 f es cotiua e [, π] y que π f(x) dx = 2 (2 ) 3. es covergete e todo R. Si f(x) es su suma, probar que 3

4 se x Si llamamos f (x) = 2, como f (x) 2,, x R y la serie 2 es covergete, por el criterio de Weierstrass se deduce que la serie propuesta es uiformemete covergete e R. Como además las fucioes f (x) so cotiuas, tambié lo será su suma f(x). De la fórmula π f(x) dx = π f (x) dx, deducimos etoces que: π f(x) dx = = π se x 2 cos π 3 [ cos x dx = 3 = 2 (2 ) 3, ] π pues cos π = { si es par 2 si es impar. 2. Series de potecias. Itervalos de covergecia. Determiar el campo de covergecia de la serie x 2 2. Aplicado la fórmula de Hadamard, calculamos el radio de covergecia como: R = sup a = 2 = 2 2. Por tato, R = 2 y la serie coverge absolutamete cuado x ( 2, 2). E los extremos del itervalo teemos: - Si x = 2, resulta la serie que es covergete. 2 - Si x = 2, resulta la serie ( ) que es tambié absolutamete covergete. 2. Determiar el campo de covergecia de la serie Por la fórmula de Hadamard, 2! x. R = sup a =! 4 = e 2π = e,

5 co lo que R = e y la serie coverge absolutamete e ( e, e) y diverge cuado x (, e) (e, ). E los extremos teemos: - Si x = e, la serie es! e. Como la serie es divergete.! e = 2π =, - Si x = e, la serie es ( )! e que tambié es divergete, por la misma razó del caso aterior. 3. Determiar el campo de covergecia de la serie Por la fórmula de Hadamard, R = sup a = x. =, de dode R = y la serie coverge absolutamete e (, ) y diverge e (, ) (, ). - Si x =, la serie resulta que es divergete. - Si x =, teemos la serie ( ) que es codicioalmete covergete (basta aplicar el criterio de Leibitz). 4. Determiar el campo de covergecia de la serie x a, dode a, b >. + b Supodremos que a b pues, e caso cotrario, se procede de forma aáloga. Por la fórmula de Hadamard, R = sup a = a + b = a + (b/a) = a, co lo que R = a y la serie coverge absolutamete e ( a, a) y diverge e (, a) (a, ). - Cuado x = a, teemos la serie a la serie es divergete. a + b. Como a a + b = + (b/a) =, - Cuado x = a, aplicamos el mismo procedimieto aterior y la serie es tambié divergete. 5

6 5. Determiar el campo de covergecia de la serie ( ) x. + Por la fórmula de Hadamard, R = sup a = = = R =, + y la serie coverge absolutamete e (, ) y diverge e (, ) (, ). - Si x =, teemos la serie ( ) y si x =, ( ). E ambos casos, si + + llamamos a al térmio geeral, ( ) a = = e ( ) + = e + = e, + de modo que ambas series so divergetes. 6. Hallar el itervalo de covergecia de la serie (x ) 3(x )2 + ( + )(x ) ( ) Por la fórmula de Hadamard, R = sup a = + = = R = El itervalo de covergecia es etoces I = ( 2, + 2) = (, 3). - Para x =, teemos la serie divergete ( + ), y para x = 3, teemos tambié la serie divergete ( ) + ( + ). 7. Determiar el campo de covergecia de la serie + ( ) x4 4. Aplicaremos el criterio del cociete cosiderado la serie como serie umérica. a + a = x 4+3 /(4 + 4) x 4 /4 = x 4. La serie será covergete cuado x 4 <, es decir cuado x <, y divergete cuado x >. E los casos extremos teemos: - Si x =, la serie + ( ) 4 - Si x =, la serie es es codicioalmete covergete. ( ) 4 que es tambié codicioalmete covergete. 6

7 8. Determiar el campo de covergecia de la serie [cos(/)] x. Por la fórmula de Hadamard, R = sup a = [cos(/)] =, de modo que la serie coverge absolutamete e (, ) y diverge e (, ) (, ). E los extremos x = y x = las series so divergetes porque, aplicado el criterio del resto, [cos(/)] = e 2 +2 [cos(/) ] = e 2 +2 /2 2 =. 9. Determiar el campo de covergecia de la serie ( ) x. Aplicaremos el criterio de comparació, para lo que llamaremos a = ( ) x. Teemos la acotació a = ( ) x x. Además la serie x coverge si x < como se deduce aplicado el criterio del cociete: ( + ) x x = x. Lo aterior idica que la serie propuesta es tambié absolutamete covergete cuado x <. Ahora bie, si x =, a o existe; por tato la serie diverge. Por tratarse de ua serie de potecias, la serie debe ser tambié divergete cuado x >.. Determiar el campo de covergecia de la serie Aplicado el criterio de la raíz, (x ) 2 9. a = x 2 9 x 2 =. 9 Esto quiere decir que la serie coverge absolutamete cuado x 2 < 9, es decir cuado x ( 2, 4) y diverge cuado x (, 2) (4, ). Además, tato para x = 2 como para x = 4, queda la serie / que es divergete.. Determiar el campo de covergecia de la serie (2 ) (x + ) 2. 7

8 Por el criterio de la raíz teemos: a = (2 ) x + 2 ( )/ = x + de modo que la serie coverge absolutamete cuado x + <, es decir cuado x ( 2, ) y diverge cuado x (, 2) (, ). - Para x = queda la serie (2 ) 2. Esta serie es divergete porque el térmio geeral o tiede a cero: ( ) (2 ) 2 2 = 2 = 2e / Si x = 2, teemos la serie alterada ( ) misma razó que e el caso aterior. 2. Determiar el campo de covergecia de la serie Por el criterio del cociete, obteemos: a + a = Etoces la serie coverge absolutamete cuado diverge cuado x (, 7) ( 3, ). (2 ) 2 que tambié es divergete por la (x + 5) x (+) 4 + = x x ( + ) 2 4 x x =. 4 <, es decir cuado x ( 7, 3) y E los extremos del itervalo, x = 3 y x = 7, teemos la serie /4 que es divergete. 3. Determiar el campo de covergecia de la serie! (a + )... (a + ) x. Si aplicamos el criterio del cociete, teemos: a + a = (+)!x (a+)...(a+)(a++)!x (a+)...(a+) = ( + ) x a + + = x. Etoces la serie es absolutamete covergete cuado x < y divergete cuado x >. E los extremos del itervalo de covergecia teemos: - Si x =, la serie es!. Aplicado el criterio de Raabe, resulta: (a + )... (a + ) ( + ) a = a + + a + + = a, co lo que la serie es covergete si a > y divergete si a <. Por último, si a =, la serie es ahora, que es evidetemete divergete. + 8

9 - Si x =, queda la serie alterada ( )!. Como hemos visto ates, (a + )... (a + ) cuado a > es absolutamete covergete. Cuado a aplicamos el criterio de Leibitz,! para lo cual llamamos a = (a + )... (a + ) : Como a + = + a a + +, la sucesió {a } es decreciete si < a y creciete si a <. E el primer caso, < a, además a =. Veámoslo:! Si llamamos L = (a + )... (a + ) = ( + a)( + a/2)... ( + a/), al tomar logaritmos obteemos: l L = [l( + a) + l( + a/2) + + l( + a/)] = l( + a/). Esta última serie es divergete pues l( + a/) /, co lo que l L =, de dode L = e =, como queríamos probar. Por último, si a =, teemos la serie divergete ( ). E resume, e el caso x =, la serie dada es absolutamete covergete cuado a > ; codicioalmete covergete cuado < a y divergete cuado a. 4. Determiar el campo de covergecia de la serie ( x l + ). = Por el criterio del cociete, a + a = x l +2 + x l + = x. Teemos etoces que la serie coverge absolutamete cuado x < y diverge cuado x >. Además, - Si x =, teemos la serie l( + /) que es divergete como se comprueba al compararla co la serie armóica /. - Si x =, queda la serie alterada ( ) l( + /) que es codicioalmete covergete, pues la sucesió {l( + /)} es decreciete y tiee ite cero. 5. Determiar el campo de covergecia de la serie (2 + )! (4 3)(3) ( x/e)5. Si hacemos el cambio t = ( x/e) 5 y aplicamos el criterio del cociete, teemos: a + a = (2+3)! (4 3)(3)(4+)(3+3) (2+)! (4 3)(3) t = (2 + 3)(2 + 2) t t = (4 + )(3 + 3) 3. De aquí se deduce que la serie coverge absolutamete cuado t < 3, o bie cuado x < e 5 3, y diverge cuado x > e

10 - Cuado x = e 5 3, la serie queda ( ) 5 (2 + )! 3. Esta serie es divergete (4 3)(3) porque el térmio geeral o tiede a cero. E efecto, como a + (2 + 3)(2 + 2) 3 a = = (4 + )(3 + 3) >, etoces a + > a y a. - Cuado x = e 5 3, procedemos de maera aáloga al caso aterior. Así la serie es tambié divergete. 6. Si la serie a z tiee radio de covergecia 2, ecotrar los radios de covergecia de las series a k z, a z k, (k > ), a z 2. Por hipótesis sabemos que /2 = sup a. Aplicado tambié la fórmula de Hadamard e los demás casos, teemos: ( k sup a k = sup a ) = 2 k. De aquí se deduce que la serie a k z tiee radio de covergecia R = 2 k. Para el segudo caso, como sup k a = sup a k = (/2) =, el radio de covergecia de la serie a z k es R 2 =. Aálogamete, como sup 2 a = sup el radio de covergecia de a z 2 es R 3 =. [ a /] (/ 2 ) = (/2) =, 7. Se cosidera la serie de potecias a x, dode llamamos a = (2 + ). a) Probar que su radio de covergecia es 2. b) Probar que la serie origial o coverge e x = 2. c) Sea b = a 2 y p = l b. Probar que los térmios p so las sumas parciales de ua serie de térmios egativos que diverge hacia. d) Deducir de c) el carácter de la serie origial e x = 2. a) Por el criterio del cociete, a + a = 2... (+) (2+)(2+3) (2+) x + x = de modo que la serie coverge absolutamete cuado x < 2. x = x 2,

11 b) Para x = 2 aplicamos el criterio de Raabe: ( a ) ( + = + ) a = = 2 <, por lo que la serie es divergete. c) Si escribimos b = a 2 = (2 + ) = , etoces p = l b = l l l es ua catidad egativa por ser suma de úmeros egativos (logaritmos de úmeros meores que uo). Además p es la suma de los primeros térmios de la serie 2 l 2 +. Esta serie es divergete como se observa al aplicar el criterio de comparació co la serie /: l 2 ( ) 2+ 2 = l = e /2. / 2 + Esto quiere decir que p =, como queríamos probar. d) La serie origial e x = 2 es la serie alterada ( ) 2 a. Para estudiar su covergecia aplicamos el criterio de Leibitz. Por el apartado c), el térmio geeral e valor absoluto tiede a cero pues ( ) 2 a = b = e p e =. Además la sucesió {b } es decreciete pues b + + = 2 b = <. De lo aterior resulta que la serie es codicioalmete covergete (la covergecia o es absoluta pues vimos e el apartado b) que la serie de valores absolutos o es covergete). 3. Desarrollo de fucioes e series de potecias. Desarrollar e serie de McLauri la fució f(x) = ( + x)e x y determiar su itervalo de covergecia. Como e x = ( x), para todo x R, etoces! ( + x)e x = ( x) + x ( x) = + ( ) x + ( )!!!! = + ( ) x + ( ) m! (m )! xm m = + [ ] ( ) x! = + ( ) x, ( )!! y el desarrollo es tambié válido e todo R. x +

12 x 2. Desarrollar la fució f(x) = x + e serie de potecias alrededor del orige especificado su itervalo de + x 2 covergecia. Utilizaremos el desarrollo e serie biómica ( + x 2 ) /2 = ( ) /2 (x 2 ), válido cuado ( ) /2 x < ; teiedo e cueta que = ( ) 3... (2 )! 2, resulta: x + x( + x 2 ) /2 = x + ( ) = 2x + ( ) 3... (2 )! 2 x (2 )! 2 x 2+, y el desarrollo es igualmete válido cuado x < (observar tambié que la serie coverge codicioalmete cuado x = ± procediedo como se hizo e el problema 5.24). 3. Desarrollar la fució f(x) = A partir del desarrollo e x = { e x x si x si x = x!, obteemos: e x = e serie de McLauri. x! = ex = x x! y el desarrollo es válido e todo R por serlo el desarrollo de e x. 4. Obteer el desarrollo e serie de potecias de x de la fució f(x) = ( + x 2 ) arc tg x, especificado su itervalo de covergecia. Calculado la derivada de la fució y = arc tg x, teemos el desarrollo: y = + x 2 = ( ) (x 2 ) = ( ) x 2. Si itegramos ahora térmio a térmio, para x (, ): y = ( ) x2+ + C, co C = y() =. 2 + Multiplicado ahora por + x 2, obteemos e defiitiva: f(x) = ( ) x2+ ( ) x2+3 ( ) x = m x2m+ ( ) 2m = x + ( ( ) x ) 2 m = x + ( ) 2 (2 + )(2 ) x2+, 2

13 y el desarrollo es válido cuado x < pues correspode al itervalo dode es válido el desarrollo de ( + x 2 ) (e este caso se puede comprobar fácilmete que tambié es covergete cuado x = ±). 5. Desarrollar e serie de potecias alrededor de x = la fució f(x) = x + x 3 especificado su itervalo de covergecia. Escribir el desarrollo de la fució F (x) = A partir del desarrollo de ( + x 3 ) resulta: x( + x 3 ) = x ( ) x 3 = ( ) x 3+, y la serie coverge absolutamete a la fució cuado x (, ). Como e dicho itervalo la covergecia es absoluta y uiforme, etoces F (x) = x f(t)dt = = [ t ( ) x ] x ( ) t 3+ dt = ( ) x Ahora la serie obteida coverge tambié (auque sólo codicioalmete) cuado x =. x f(t)dt. 6. Desarrollar la fució f(x) = se 2 x e serie de McLauri. Debido a la fórmula se 2 x = fució dada es: cos 2x 2 y a partir del desarrollo del coseo, el desarrollo de la f(x) = 2 ( ) (2x)2 = ( ) 22 x 2. 2 (2)! (2)! El itervalo de covergecia coicide pues co el de la serie correspodiete a cos 2x, es decir todo R. 7. Desarrollar la fució f(x) = l( + x) + x e serie de McLauri. Debemos multiplicar las series correspodietes a las fucioes y = l( + x), y = ( + x). Teemos pues: f(x) = ( ) x ( ) x. Para calcular el coeficiete del térmio geeral de la serie producto hacemos: p = a k b k = k= ( ) k ( ) k k = ( ) k= 3 k=,. k

14 E defiitiva, teemos: f(x) = ( ) ( ) /k x, y el desarrollo es válido e (, ) que correspode a la itersecció de los itervalos de covergecia de las series factores. k= 8. Desarrollar alrededor de x = la fució f(x) = x. Haciedo el cambio de variable t = x, podemos escribir la fució como f(t) = t +. Al desarrollar ésta última como serie biómica, obteemos: f(t) = (t + ) /2 = ( ) /2 t = f(x) = ( ) /2 (x ), y el desarrollo es válido cuado < x <, es decir cuado < x < Desarrollar la fució f(x) = 2 5x e serie de McLauri. 6 5x x2 E primer lugar descompoemos la fució e fraccioes simples. Así: f(x) = 5x 2 x 2 + 5x 6 = A x + B (A + B)x + 6A B = x + 6 (x )(x + 6) = A =, B = 6. ( ) m x, x (, ), Teiedo e cueta ahora el desarrollo e serie biómica, ( + x) m = escribimos los desarrollos correspodietes a cada sumado como: = [ + ( x)] = ( ) ( x) = x, x (, ); x 6 = [ + (x/6)] = ( ) (x/6) = ( ) x, x/6 (, ). x Sumado las series e el itervalo (, ), que es la itersecció de los itervalos de covergecia de ambas series, obteemos: f(x) = x + ( ) x 6 = ) ( + ( ) 6 x.. Desarrollar la fució f(x) = arc se x e serie de McLauri. Como la derivada de la fució es f (x) = de esta última fució como: f (x) = ( /2 ) ( x 2 ) = x 2 = ( x2 ) /2, podemos escribir el desarrollo 3... (2 ) 2 x 2, x (, ).! 4

15 Itegrado ahora térmio a térmio e el itervalo de covergecia absoluta, resulta: f(x) = 3... (2 ) 2! x2+, x (, ) Desarrollar la fució f(x) = + x e serie de McLauri. x3 Si descompoemos la fució e dos fraccioes y aplicamos el desarrollo de la serie geométrica ( x 3 ) = ( ) ( x 3 ), teemos: f(x) = x 3 + x x 3 = = x 3 + ( ) ( x 3 ) + x x 3+ = (x 3 + x 3+ ) ( ) ( x 3 ) y el desarrollo es válido e el itervalo (, ), que correspode al itervalo dode coverge ambas series. 2. Desarrollar la fució f(x) = ex + x e serie de McLauri. Multiplicado las series correspodietes a las fucioes y = e x e y = ( + x), teemos: x f(x) =! ( ) x. El coeficiete del térmio geeral e la serie producto es p = a k b k = k= ( ) k k= y la serie p x coverge absolutamete e el itervalo (, ) que correspode a la itersecció de los itervalos de covergecia de las dos series factores. k! 3. Desarrollar la fució f(x) = l + x x e serie de McLauri. Aplicado las propiedades usuales de los logaritmos, escribimos la fució como f(x) = [l( + x) l( x)]. 2 5

16 Recordado que el desarrollo de l( + x) e serie de McLauri es ( ) x, y el radio de covergecia es, escribimos los desarrollos correspodietes a cada uo de los sumados y obteemos: f(x) = ( ) x ( ) ( x) 2 = ( ) [ ( ) ]x = x y la serie coverge absolutamete e (, ). 4. Es posible desarrollar e serie de potecias alrededor del orige la fució { e x + e /x2 si x, f(x) = si x =? La fució y = e /x2 tiee todas sus derivadas e el orige ulas (esto se puede probar por iducció), de modo que f () () = y podemos escribir el desarrollo f(x) + x + x2 2! + + x! + R (x). Si embargo, como ( + x + x2 2! + + x! + R (x) ) = e x + R (x), si la serie coverge a la fució, debe ser R (x) = e /x2 salvo para x =. Esto idica que la fució o es desarrollable e serie de McLauri. 4. Aplicacioes al cálculo ifiitesimal. Calcular, mediate series de fucioes, x se 2 x x 2 (e x ) 4. Teiedo e cueta el desarrollo e serie de las fucioes ivolucradas, podemos escribir las siguietes relacioes: se x = x x3 3! +... = se2 x = x 2 2x = se 2 x x 2 = 2x4 + R 4 (x), 3! 3! R 4 (x) dode x x 4 =, lo cual da lugar a la equivalecia se 2 x x 2 2x4 3!. 6

17 Procediedo aálogamete, resulta: e x = + x + R (x) = e x = x + R (x) = (e x ) 4 x 4. Aplicado las equivalecias obteidas, teemos: se 2 x x 2 2x 4 /6 x (e x ) 4 = x x 4 = Calcular, mediate series de fucioes, x se 2 x 3 ( cos x 2 ) 3. Aálogamete al problema aterior, teemos: se x 3 = x 3 + R 3 (x) = se 2 x 3 = x 6 + R 6 (x) = se 2 x 3 x 6 ; cos x 2 = x4 2! + R 4(x) = cos x 2 = x4 2 + R 4(x) = ( cos x 2 ) 3 x2 8. Aplicado las equivalecias ateriores, obteemos: x se 2 x 3 ( cos x 2 ) 3 = x x 6 x 2 /8 = x 8 x 6 =. 3. Calcular, { mediate series de fucioes, la derivada de orde k e el orige de la fució se x f(x) = x si x si x =. Debido al desarrollo se x x = x2 3! + + ( ) x 2 (2 + )! +..., y recordado que el térmio geeral del desarrollo verifica la fórmula a k = f (k) (), se obtiee k! e defiitiva que { si k = 2 + (k es impar) f (k) () = a k k! = ( ) ( ) (2+)! (2)! = 2+ si k = 2(k es par). 4. Calcular, mediate series de fucioes, se x 2 dx. Como se x 2 = ( ) (x2 ) 2+ y la covergecia es uiforme e R, podemos itegrar térmio (2 + )! a térmio: se x 2 dx = ( ) (2 + )! x 4+2 dx = ( ) (2 + )!

18 x dt 5. Calcular, mediate series de fucioes, + t 3. A partir del desarrollo e serie (, ), resulta: x + t 3 = dt + t 3 = x ( ) t 3 dt = ( ) (t 3 ), que es uiformemete covergete e ( ) x3+, x (, ) Calcular l x dx. Aplicaremos e este caso el desarrollo de la fució logaritmo. Como l x = l( x) = x, x (, ), y la covergecia es uiforme e dicho itervalo, la itegral impropia vale β l dx = l x β x dx β = β x dx = ( + ) =. Para calcular la suma de la última serie, se descompoe el térmio geeral e fraccioes simples y se obtiee e forma simplificada el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales (ver capítulo 9). 7. Probar que x + x 3 dx = = ( ) 3. Si escribimos el desarrollo e serie de la fució itegrado, obteemos: x + x 3 = x ( ) x 3 = ( ) x 3+, x (, ). Como la covergecia de la serie de potecias es uiforme, itegramos térmio a térmio, co lo que: x + x 3 dx = ( ) x 3+ dx = ( ) = ( ) m 3m. m 8

19 8. Probar que la serie x( x) coverge o uiformemete e [, 2). Si embargo, se puede itegrar térmio a térmio e [, ]. Como se trata de ua serie geométrica de razó x, será covergete si x <, es decir si < x < 2. Además, si x =, resulta la serie que coverge a la fució cero, pero si x = 2, resulta la serie ( ) 2 que es divergete. De lo aterior se deduce que el itervalo de covergecia es [, 2). Para ver que la covergecia o es uiforme, llamamos {S (x)} a la sucesió de sumas parciales, es decir { S (x) = x( x) k ( x)+ ( x) + si < x < 2 = x = ( x) si x =. k= Etoces S(x) = S (x) = { si x = si < x < 2. Como dicho ite o es ua fució cotiua, o puede ser ite uiforme de fucioes cotiuas. Por otra parte, para ver que se puede itegrar térmio a térmio e [, ], teemos: S(x) dx = ; f (x) dx = [ ] x( x) = S (x) dx = = = ( x) + dx = ( + )( + 2) =. ( + )( + 2) Como se observa e este problema, la covergecia uiforme o es ecesaria para que se pueda itegrar térmio a térmio ua serie auque, como sabemos, sí es ua codició suficiete. 9. Calcular las itegrales de las siguietes fucioes e el itervalo [, ]: ( a) f(x) = sigo se π ). x b) f(x) = sigo (se l x). a) Teiedo e cueta que se π x < cuado x ( 2k, k= f(x) = 2k { si 2k < x < 2k si 2k+ < x < 2k. Por tato la itegral buscada se descompoe como la suma de las series ( f(x) dx = 2k ) ( 2k + 2k ) 2k k= k= ( = k 2k + ) = 2k 9 k= ), dode k Z \ {}, etoces ( 2k + 2 2k 2k + ).

20 Para calcular la suma de esta serie observamos, por u lado, que la sucesió de sumas parciales tiee por térmio geeral S = 2 [ ] +..., y por otro que ( ) = l 2, de modo que l = ( ). Reuiedo todos estos datos, obteemos que 3 [ ] f(x) dx = 2 2 l 2. b) Aálogamete al apartado aterior, determiamos primero el sigo de la fució se l x. Se obtiee así que f(x) = cuado se l x >, es decir cuado e 2kπ < x < e ( 2k+)π, co k N. La itegral se descompoe e suma como f(x) dx = k= [ e ( 2k+)π e 2kπ] k= [ e 2kπ e ( 2k )π]. Como las series ivolucradas so geométricas, sus sumas so, respectivamete, e ( 2k+)π = k= e π e 2π, k= e 2kπ = e 2π e 2π, k= e ( 2k )π = e π e 2π. E defiitiva, obteemos: f(x) dx = e π e 2π + e π e 2π = (e π ) 2 e 2π.. Probar que la serie e x es uiformemete covergete e [a, ) co a >, pero o e [, ). Calcular la suma de la serie para x >. Si llamamos f (x) = e x, cuado x [a, ), etoces f (x) e a,. Además la serie umérica e a es covergete cuado e a < (lo que se prueba aplicado el criterio del cociete), es decir cuado a >. El criterio de Weierstrass idica que la serie propuesta coverge uiformemete e [a, ). Haciedo x =, os queda la serie divergete, por lo que la serie de fucioes o es uiformemete covergete e [, ). Para calcular la suma de la serie, basta teer e cueta que f (x) = D( e x ). Como la serie e x coverge uiformemete si x > y e x = e x, etoces e x ( ) e e x x = D e x = e x (e x ) 2. 2

21 . Qué fució represeta la serie x + +? Si recordamos la fórmula = Sabiedo además que l( x) = De aquí resulta: f(x) = ( + ), etoces 2 x + + = 2x ( + ) = 2x 2x, x (, ). + x, etoces x + = x + x + = [ l( x) x]. x x [ + + = 2 l( x) ] l( x) + x, x (, ). x 2. Demostrar que para x < se verifica lo siguiete: a) ( ) x = + x. b) ( ) x 2 = + x 2. a) Si escribimos el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales, teemos: S = x + x 2 + ( ) x ; xs = x x 2 + x 3 + ( ) x +. Sumado miembro a miembro, ( + x)s = + ( ) x + = S = + ( ) x + = S = + x S = + x, cuado x <, pues x+ =. b) Aálogamete al aterior, tambié cuado x <. S = x 2 + x 4 + ( ) x 2 ; x 2 S = x 2 x 4 + x 6 + ( ) x 2+2 ; ( + x 2 )S = + ( ) x 2+2 = S = + ( ) x x 2 = S = S = + x 2, 2

22 3. Dada la serie de potecias (3 2)(3 + ) 8 ( x)3, determiar su campo de covergecia y calcular su suma cuado x =. Aplicado el criterio del cociete, a + a = x 3+3 (3+)(3+4)8 + x 3 (3 2)(3+) = x (3 + 4) x 3 =. 8 De aquí se deduce que la serie coverge absolutamete cuado x 3 < 8, o bie cuado x (, 3). E los extremos del itervalo teemos: - Si x = 3, la serie ( ) (3 2)(3 + ) - Si x =, la serie (3 2)(3 + ) es absolutamete covergete. es tambié absolutamete covergete. Para calcular la suma de esta última serie, escribimos el térmio geeral como a = (3 2)(3 + ) = /3 3 2 / Así, la suma de los primeros térmios vale: S = [ ] = La suma será etoces S = S =. 4. Determiar el itervalo de covergecia de la serie Calcular la suma de la serie para x = (2 ) ( x/2) 3. ( + )! [ ]. 3 + Por el criterio del cociete, 3...(2 )(2+) a + a = (+2)! 3...(2 ) (+)! ( x/2) 3+3 ( x/2) 3 = x 3 8 = x 3 4, de modo que la serie es absolutamete covergete cuado x < 3 4. E los extremos del itervalo teemos las series 3... (2 ) ( + )! 2 y 3... (2 ) ( ) ( + )! 2. Ambas so absolutamete covergetes como se deduce al aplicar el criterio de Raabe: ( ) ( a + a = 2 + ) = 3 2( + 2) 2 >. 22

23 Escribimos la serie e x = 3 4 como S = 3... (2 ) ( + )! 2 = ( /2)( 3/2)... [ (2 )/2] ( )! ( + ) = ( ) /2 ( ) +. A partir del desarrollo de la serie biómica de la igualdad, resulta: ( ) m x x dx = x ( + x) m dx = Haciedo ahora m = /2 y x =, teemos: ( ) m x = ( + x) m, al itegrar los dos miembros ( ) m x + ( + x)m+ = + m + m +. ( ) /2 ( ) + + = 2 = S = Calcular la suma de la serie de la misma. Por el criterio de la raíz, (x 3) 3 especificado el itervalo de covergecia (3 ) 8 x 3 3 / a = 8 3 x 3 3 =, 8 y la serie coverge absolutamete cuado x 3 3 < 8, o bie x (, 5). - Cuado x =, la serie es ( ) 3 que coverge codicioalmete (basta aplicar el criterio 2(3 ) de Leibitz). - Cuado x = 5, la serie 2(3 ) es divergete. Para calcular la suma de la serie, si llamamos f(x) = f (x) = = (x 3) 2 = 2 3 (x 3) = (x 3) 2 [ (x 3) 3 8 (x 3) 3, al derivar obteemos: (3 ) 8 ] (x 3) 3 /8 (x 3) 3 /8 = x 3 8 (x 3) 3 = f(x) = ( ) π x 2 l(5 x) arc tg x + l(7 4x + x2 ). 2 3 x 3 8 (x 3) 3 dx 23

24 6. Demostrar que ch = (2)!. Recordado la fórmula 2 ch x = e x + e x y el desarrollo e serie de cada uo de los sumados, obteemos: 2 ch x = = ch x = x! + ( ) x! = [ + ( ) ] x! = 2 x 2 (2)! x 2 (2)!. 7. Sabiedo que a) b) =2 =2.! = ( )( + ).! x! = ex, hallar las sumas de las siguietes series: a) Al descompoer la serie e suma, teemos: 2! = ( )! 2 2! = m m! 2!. Ahora bie, como e =! = +! = + + 2!, resulta e defiitiva que S = (e ) (e 2) =. b) Procediedo aálogamete al apartado aterior, S = =2 = m = k 2! m + m! k! + m = 2 2!! = 2 2! = m 2 m! 2 ( )! 2!! (m )! + m! m 2 = e + (e ) (e 2) = e +.! 8. Sabiedo que, para x <, se tiee a) x + +. = x =, calcular cuado sea posible: x 24

25 b) x +2 ( + )( + 2). c) x. d) 2 ( )x 2. e) 2 x. f) e +2 ( + )( + 2) + 2 π. a) Itegrado miembro a miembro, resulta: x x dx = x x dx = b) Itegrado uevamete el resultado de a), x x x + = l x, x (, ). + x + + dx = l x dx = x +2 ( + )( + 2) = x l x + x + l x, x (, ). c) Derivamos ahora térmio a térmio la serie origial. Así: ( ) D = D(x ) = x ( x) 2 = x, x (, ). d) Derivado uevamete, ( ) D ( x) 2 = D(x ) = 2 ( x) 3 = ( ) x 2, x (, ). 2 2 e) Teiedo e cueta los resultados de los apartados ateriores, ( )x 2 + x 2 x = ( )x + x = x 2 2 = x 2 2 ( x) 3 + x ( x) 2 = x2 + x ( x) 3. f) Haciedo e b) x = /e y e e) x = /π, resulta: e +2 ( + )( + 2) + 2 π = e l ( e x ) + e ( + l ) + /π2 + /π e ( /π) 3. 25

26 9. Dada la serie (x ), determiar su itervalo de covergecia y calcular su suma cuado x =. Por el criterio del cociete, a + a (+)2 x + 2 = 2+2 ( + )2 = x 2 x = 2 y la serie coverge absolutamete cuado x < 4, es decir x ( 3, 5). E los extremos, teemos: x, 4 Para x = 5, la serie 2 es divergete; para x = 3, la serie ( ) 2 es tambié divergete. Para x = resulta la serie ( ) 2 4 = 2. Para calcular su suma aplicaremos el ( 4) apartado e) del problema aterior haciedo x = /4. Queda así 2 ( 4) = ( /4)2 + ( /4) ( + /4) 3 = Sabiedo que, para x <, se tiee a) x + +. x = = x, calcular cuado sea posible: ( x) 2 b) 2 x. c) 2 ( )x 2. d) 2 ( ) e. a) Itegrado miembro a miembro, obteemos: x + + = x x dx = b) Si derivamos ahora la fórmula dada, 2 x = x x ( x) 2 dx = + l x. x ( ) D(x x ) = D ( x) 2 = + x ( x) 3. 26

27 c) Derivamos uevamete el resultado de b). Así: 2 ( )x 2 = D( 2 x ) = D d) Si, e el apartado aterior, hacemos x = /e, resulta: ( ) + x ( x) 3 = 2x + 4 ( x) 4. 2 ( ) e = 2/e + 4 ( /e) 4 = e3 (2 + 4e) (e ) Ejercicios propuestos. Cotestar razoadamete si cada uo de los siguietes apartados es verdadero o falso: a) Si la serie a 6 es covergete, etoces la serie a ( 6) es covergete. Resp.: Falso (cosiderar el cotraejemplo: a = ( ) 6 ). b) Si la serie a 6 es covergete, etoces la serie a ( 5) es covergete. Resp.: Verdadero, pues el radio de covergecia es R 6. c) Si la serie a x es covergete para todo x >, etoces la serie coverge para todo x <. Resp.: Verdadero, pues el radio de covergecia es R =. d) Si f(x) = a x es ua fució cotiua par, etoces a 2+ =, para todo. Resp.: Verdadero, pues f( x) = f(x) = a = ( ) a,. e) Si la serie a x tiee radio de covergecia R >, R es tambié el radio de = covergecia de la serie a ( )x 2. =2 Resp.: Verdadero pues la seguda serie es derivada de orde dos de la primera. 27

28 2. Estudiar la covergecia uiforme de la serie = Resp.: Por el criterio de Weierstrass, f (x) 2/ 2,. + cos x 2 e R. 3. Se cosidera la serie f dode las fucioes f so cotiuas e [, ] y se tiee = además que f k (x) x 2 l 2, x [, ]. Calcular, si es posible, f (x) dx. + 5 Resp.: /3. k= = 4. Existe ua sucesió {f } de fucioes itegrables e [, ] que coverja uiformemete a f(x) = x 2 e [, ] y tal que f (x) dx = 5 + 3? Resp.: No; si existiera, debería cumplirse que f (x) dx = 5. Sea {f } ua sucesió de fucioes derivables e [, ] tal que i) f f e [, ]; ii) f () = ( + /), N; iii) f (x) x 7/(3 + ), x [, ], N. Calcular f(/2). Resp.: Como f(x) = x 6. Estudiar la covergecia de la serie ( ) x. ( + 2) f (x) dx + f () = f(/2) = e + /8. Resp.: Coverge absolutamete e [, ]; diverge e el resto. f (x) dx. 7. Determiar el itervalo de covergecia de la serie de potecias (2 + ) 4 + x+. = Resp.: Coverge absolutamete e ( 4, 4); coverge codicioalmete e x = 4; diverge e el resto. 8. Obteer el campo de covergecia de la serie ( ) x. = Resp.: Coverge absolutamete e [, ]; diverge e el resto. 28

29 9. Estudiar el carácter de la serie = ( ) (x ) 2 (3 ) co x R. Resp.: Coverge absolutamete cuado x ( 5, 7); diverge e el resto.. Obteer el campo de covergecia de la serie (x 2) (2 ) 2. Resp.: Coverge absolutamete cuado x (, 4); coverge codicioalmete cuado x = ; diverge e el resto.. Determiar el campo de covergecia de la serie ( ) x (!) 2. Resp.: Coverge absolutamete e R. 2. Determiar el campo de covergecia de la serie ( ) 2 (!) 2 (2 + )! x. Resp.: Coverge absolutamete e ( 2, 2); coverge codicioalmete e x = 2; diverge e el resto. 3. Determiar el campo de covergecia de la serie (3 2)(3 + ) ( x/5)3. Resp.: [ 5, 5]. 4. Desarrollar e serie de potecias alrededor del puto idicado y ecotrar el campo de covergecia de la misma: a) f(x) = l x, x =. Resp.: f(x) = ( ) (x ), x (, 2]. b) f(x) = /x 2, x =. Resp.: f(x) = ( + )(x + ), x ( 2, ). c) f(x) = x ( x) 2, x =. Resp.: f(x) = ( + )x +, x (, ). 5. Desarrollar e serie de McLauri la fució y = sh x y hallar Resp.: sh x = (2 + )! ; (2 + )! = sh = e2. 2e x 2+ (2 + )!. 29

30 6. Escribir los primeros térmios del desarrollo alrededor de x = de la fució f(x) = l( + x 2 x) x + l( + x y aplicarlo al cálculo de 2 x) x x 3. Resp.: f(x) x + x3 3! + R 3(x); L = /6. 7. Hallar la suma de las series a) x. Resp.: S = l x. b) x 2 2. Resp.: S = l + x x. c) x. Resp.: S = x ( x) Calcular la suma de la serie Resp.: e 7. = ! 9. Probar que x se t dt = t k= Sugerecia: Utilizar el desarrollo se t t ( ) k x 2k+ (2k + )(2k + )!. = k= ( ) k t 2k (2k + )!. 2. Estudiar la covergecia de la serie 3x/2 + 7x 2 /4 + x 3 /8 + 5x 4 / y sumarla cuado sea posible. Resp.: Coverge absolutamete cuado x ( 2, 2); diverge e el resto. S = x2 + 6x (2 x) 2. 3

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