Intervalos de Confianza basados en una muestra. Instituto de Cálculo

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1 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky Hay dos razoes por las cuales el itervalo (6.63,.37) tiee mayor logitud que el obteido ateriormete (7.69, 0.3). la variaza estimada 9.5, es mayor que el valor coocido 4 cosiderado previamete. aú cuado la variaza estimada hubiese sido 4, el itervalo estimado tedría mayor logitud debido a que el valor crítico de la t 8 es.306 mietras que el de la Normal es.96 para -α = El itervalo hubiese sido (9-.306*/3, */3) = (7.46, 0.54) OBSERVACIÓN La logitud de u itervalo de cofiaza para µ o siempre es mayor cuado la variaza es descoocida ya que puede ocurrir que el desvío estádar s resulte mucho meor que σ. Si embargo e promedio la logitud del itervalo es mayor cuado σ es descoocida: se puede demostrar que tα E( ) z α σ, S. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL Si X,...,X es ua muestra aleatoria de ua distribució Normal de parámetros µ y σ, etoces podemos costruir u itervalo de cofiaza para σ utilizado el hecho que S ( ) ~ ( ji-cuadrado co - grados de libertad ) σ Luego P, α /, α / S ( ) σ = α

2 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 3 ó equivaletemete ( ) S P, α / σ ( ) S, α / = α Por lo tato, cuado S = s, u itervalo del 00*(-α)% de cofiaza para σ está dado por ( ) s ( ) s,, α /, α / Ejemplo. Se espera que u procedimieto estadarizado produzca aradelas co muy pequeña desviació e su espesor. Supoga que se elige al azar 0 de tales aradelas y se mide su espesor obteiédose e pulgadas: 0.3, 0.4, 0.6, 0.0, 0.30, 0.33, 0.5, 0.8, 0.4, 0.6. Iteresa calcular u itervalo del 90% de cofiaza para el desvío del grosor de las aradelas producidas por este procedimieto. Solució. s =.366 x 0-6 9,0.05 = 6.97; 9,0.95 = x.366 x = 7.67 x 0 ; -5 9 x.366 x = x 0 Luego, co ua cofiaza del 90% σ 6 6 ( 7.67 x 0 ; x 0 ) Tomado raíz cuadrada, co ua cofiaza del 90%, (.686 x 0 3 ; 6.07 x 3 ) σ 0

3 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 4 3. INTERVALOS CON NIVEL DE CONFIANZA APROXIMADOS PARA LA MEDIA DE UNA VARIABLE BINOMIAL. Muestras Grades. Cosideremos ua població de artículos que puede o cumplir co ciertas ormas e proporcioes p y -p, descoocidas. Si elegimos ua muestra de artículos al azar y registramos X i = 0 si el artículo cumple co las ormas si el artículo o cumple co las ormas Etoces X = X i es la catidad de artículos de la muestra que cumple co las ormas. Si podemos supoer que cada artículo cumple o o co las ormas e forma idepediete, resulta que X ~ Bi(, p) siedo p la proporció de artículos e la població que cumple co las ormas. Para costruir u itervalo de cofiaza para p os basaremos e la aproximació de la distribució Biomial por la distribució Normal cuado es suficietemete grade. X p p( p) ~ aprox N(0,) Por lo tato, para cualquier α e el itervalo (0,) X p P zα / < < zα / α p( p) ó equivaletemete dode X p ˆ =. pˆ p P zα / < < zα / α (4) p( p) / Para despejar u itervalo de cofiaza para p de la expresió (4) se reemplaza los meores (<) por iguales (=). Se obtiee así ua ecuació cuadrática e p cuyas solucioes so los extremos del itervalo de cofiaza buscado

4 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 5 p = z pˆ + α / pˆ( pˆ ) z ± z α / α / ( zα / ) / Como es grade los térmios e z so despreciables y el itervalo resultate es el mismo que se obtiee al reemplazar p por pˆ e el deomiador de la expresió (4). Luego u itervalo de cofiaza co ivel de cofiaza aproximado -α para p está dado por p p p p p ˆ ˆ( ˆ ) ˆ( ˆ ) zα /, pˆ + zα / (5) Este itervalo puede utilizarse siempre que pˆ 5 y ( pˆ ) 5. Ejemplo. Se elige al azar, de u lote grade, ua muestra de 00 trasistores. Mediate ua prueba, se determia que 80 de ellos satisface las ormas vigetes. U itervalo de cofiaza del 95% para p, la verdadera proporció de trasistores que cumple co los requerimietos, está dado por ( (0.) /00; (0.) /00) = ( 0.76; ) Esto es, co u aprox. 95% de cofiaza, etre 7.6% y 87.84% de los trasistores cumple co los requerimietos. 3. PROCEDIMIENTO EN DOS PASOS: TAMAÑO DE MUESTRA NECESARIO PARA LA OBTENCIÓN DE UN INTERVALO DE CONFIANZA CON LONGITUD PREFIJADA PARA UNA PROPORCIÓN La logitud del itervalo de cofiaza dado por la ecuació (5) pˆ( pˆ ) zα / depede del parámetro que os iteresa estimar. Para hallar u tamaño de muestra de maera que la logitud del itervalo resultate sea aproximadamete L se procede e dos pasos: Paso : se toma ua muestra iicial de tamaño y se obtiee u estimador iicial ~ p Paso : se utiliza la proporció estimada e el paso para determiar el tamaño total resolviedo la siguiete ecuació:

5 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 6 ~ p ( ~ p) z α / = L elevado ambos miembros de la igualdad al cuadrado ó ( z ) ~ p ( ~ p ) = L α / / ( z ) ~ p ( ~ p ) L = α / / Ejemplo. U laboratorio itroduce u procedimieto, que le resulta más ecoómico, para la obteció de u reactivo que luego evasa e frascos. La probabilidad que el reactivo del u frasco elegido al azar cumpla las ormas de calidad es descoocida ( p ). Iteresa obteer u itervalo de 99% de cofiaza cuya logitud sea aproximadamete Paso. E ua muestra iicial de 30 frascos, 6 de ellos resultaro aceptables por lo que el estimador iicial es p~ =6/30 = Paso. El tamaño muestral requerido es ( ) z 4(.58) 6 4 = (6/ 30)( 6/30) = 3 (0.05) (0.05) = Deberíamos tomar ua muestra adicioal de 0 frascos. Si, por ejemplo, 040 de ellos resulta aceptables (mateiedo aprox. la proporció iicial) el itervalo de 99% de cofiaza para la verdadera proporció de compoetes aceptables es: z z ; (0.8409; 0.890) OBSERVACIÓN Hemos visto que la logitud del itervalo de cofiaza para p es L si está dado por = ( z / ) ~ ( ~ α p p ) / L Es fácil ver que la fució g(p) = p(-p) defiida e el itervalo [0,] toma su valor máximo /4 cuado p = /. Luego ua cota superior para es: ( zα / ) / L

6 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 7 ( ) De esta maera, si se elige ua muestra de tamaño mayor o igual a z α / / L, garatizamos la obteció de u itervalo de cofiaza para p de logitud o mayor a L si teer que realizar u muestreo adicioal. 4. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL La distribució expoecial es utilizada e estudios sobre cofiabilidad como modelo del tiempo hasta la falla de u dispositivo. Por ejemplo el tiempo de vida de u compoete semicoductor podría estar modelado como ua variable aleatoria co media horas. Recíprocamete, supoiedo que u modelo expoecial es el adecuado para modelar el tiempo de vida de u compoete, podríamos estar iteresados e estimar su vida media mediate u itervalo de cofiaza. Supogamos que X,...,X es ua muestra aleatoria de ua distribució expoecial de parámetro λ, Xi ~ ε(λ). Sabemos que E(Xi)=/λ, luego la media muestral Xi / es u estimador isesgado y cosistete de /λ. Para obteer u itervalo de cofiaza para /λ es ecesario recordar que Luego, para cualquier α (0,) ó equivaletemete, P λ X i ~, α / λ X i, α / X i X P λ, α /, i α / = α = α Luego, u itervalo de 00(-α)% de cofiaza para /λ es

7 Itervalos de Cofiaza basados e ua muestra. Istituto de Cálculo Dra. Diaa Kelmasky 8 X i X i,, α /, α / Ejemplo. Ua fábrica produce artículos cuyos tiempos de vida (e horas) se supoe idepedietes co fució de desidad expoecial comú a todos: λx f ( x) = λ e, 0 < x < Si la suma los tiempos de vida de los primeros 0 artículos es 740 cuál es u itervalo de cofiaza del 95% para /λ? Como 0,0.05= ,0.975= 9.66, luego el itervalo es x 740 x 740, Es decir que co u ivel de cofiaza del 95% el tiempo de vida medio se ecuetra e el itervalo (0.847, 360.).

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