E.U.I.T.I. Bilbao. Asignatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA

Transcripción

1 E.U.I.T.I. Bilbao Asigatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA

2 E.U.I.T.I. Bilbao Asigatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA TEMA 6: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCION

3 Datos, datos, datos! gritó impacietemete. No puedo hacer ladrillos si arcilla. Sherlock Holmes Las aveturas de los bombachos de cobre Arthur Coa Doyle Actor: Basil Rathboe

4 . RESUMEN Se describe las técicas más usuales para estimar la media, la variaza y otros parámetros poblacioales co valores aislados (estimació putual) o mediate itervalos de cofiaza. Palabras clave: estimador putual método de los mometos método de máxima verosimilitud itervalo de cofiaza ivel de cofiaza

5 . ÍNDICE DEL TEMA 6.. Itroducció 6.. Estimació putual 6.3. Obteció de estimadores putuales método de los mometos método de máxima verosimilitud 6.4. Estimació por itervalos 6.5. Itervalos de cofiaza 6.6. Nivel de cofiaza 6.7. Estimació de la media 6.8. Estimació de la diferecia de medias

6 . ÍNDICE DEL TEMA 6.9. Estimació de la variaza de ua població ormal 6.0. Estimació del cociete de variazas de dos poblacioes ormales 6.. Estimació de ua proporció 6.. Estimació de la diferecia de proporcioes

7 3. INTRODUCCIÓN e Estadística, ua estimació cosiste e la realizació de ua iferecia sobre el valor del parámetro de ua població usado la iformació obteida a través de ua muestra e Estadística hay tres formas de iferir u valor de u parámetro de ua població: estimació putual: regla ó fórmula que permite calcular u valor cocreto de ese parámetro basádose e la iformació coteida e ua muestra estimació por itervalos de cofiaza: regla ó fórmula que usa la iformació muestral para hallar u itervalo ó regió de cofiaza para el valor de dicho parámetro cotraste de hipótesis: tomado ua decisió sobre u valor hipotético del parámetro

8 3. INTRODUCCIÓN estimació

9 3. INTRODUCCIÓN ejemplo: el redimieto de u equipo de trabajo e ua cadea de producció puede estar represetado por el úmero medio de compoetes producidas. Supógase que u igeiero quiere proporcioar iformació acerca de este promedio e su equipo. Posibilidades: tratar de estimar el promedio de compoetes producidas a través de u úico valor estimado proporcioar u itervalo de valores e el que tega mucha cofiaza de que se ecuetre el valor promedio comparar el valor promedio de su equipo co u valor hipotético para, por ejemplo, demostrar que tiee u mejor redimieto que el promedio geeral de la empresa otació: parámetro de la població que se quiere estimar: estimador putual de dicho parámetro: θ θ

10 ESTIMACIÓN PUNTUAL

11 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Estimador putual: regla que idica cómo calcular ua estimació umérica de u parámetro poblacioal descoocido, θ, a partir de los datos de ua muestra otació: θ Estimació putual: úmero cocreto que resulta del cálculo de la regla para ua muestra dada ejemplo: si se desea obteer estimacioes de la media de ua v.a. parece lo más lógico utilizar como estimador la media muestral cada media muestral (ua por muestra) es ua estimació putual de la media poblacioal

12 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL etoces, u estimador putual usa la iformació aportada por ua muestra para calcular u úico valor que se utiliza para estimar el parámetro de ua població como se calcula a partir de ua muestra tiee ua distribució muestral que describe por completo sus propiedades Ejemplo. Segú el teorema cetral del límite, bajo ciertas hipótesis: µ: media de la població X N µ ; : desviació típica de la població : tamaño de la muestra

13 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Ejemplo. X N µ ; por la simetría de la gráfica de la distribució ormal, la media muestral tiee la misma probabilidad de quedar por ecima ó por debajo de la media poblacioal además: P X µ < Fució de desidad de X ~95%

14 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Propiedades Las características mostradas e la figura aterior idetifica las dos propiedades más deseables de los estimadores putuales Propiedad auque el estimador o proporcioe siempre el valor exacto del parámetro, al meos debe equivocarse e igual medida por exceso que por defecto lo ideal es que la distribució muestral de u estimador esté cetrada e el parámetro que se desea estimar este tipo de estimadores se deomia isesgados

15 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Propiedades Propiedad θ u estimador,, de u parámetro θ se dice isesgado si la media de la distribució muestral de dicho estimador putual es igual que el parámetro de la població que estima, θ E [ θ ] θ e caso cotrario, el estimador se dice sesgado: [ θ ] θ el sesgo B de u estimador putual,, se defie como la diferecia etre la media de la distribució muestral del estimador putual y el parámetro estimado, θ e valor absoluto ( θ ) [ E θ ] θ B E B ( θ ) [ θ ] θ θ E

16 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Propiedad Propiedades distribució muestral de u estimador isesgado de u parámetro θ θ A distribució muestral de u estimador sesgado de u parámetro θ θ B

17 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Propiedad Propiedades además de la falta de sesgo, es deseable que la distribució muestral de u estimador tega variaza míima es decir, que la dispersió de la distribució muestral sea lo más pequeña posible co lo que las estimacioes tieda a ser cercaas al valor del parámetro θ que se estima estimador isesgado de míima variaza de u parámetro θ es aquél estimador, θ, que tiee la variaza más pequeña de etre todos los estimadores isesgados error estádar de u estimador: desviació típica de dicho estimador

18 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Propiedad Propiedades o siempre es fácil ecotrar este estimador y, e ocasioes, se admite u ligero sesgo co tal de que la variaza del esti- mador sea míima e casos así, se elige el estimador que miimiza el error cuadrático medio sesgo

19 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Propiedades Propiedad error cuadrático medio de u estimador ( ): media del cuadrado de la desviacioes etre el estimador putual y el parámetro estimado, θ MSE [ ] ( θ ) E ( θ θ ) se puede demostrar que: MSE ( θ ) Var [ θ ] + ( B ( θ )) θ ( θ ) [ θ ] etoces, si es u estimador putual isesgado se tiee: MSE Var θ

20 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Propiedades Ejemplo. Para estimar la catidad media reclamada por icedio e pisos de tamaño medio se ha muestreado los ficheros de ua compañía de seguros y se ha obteido las siguietes catidades reclamadas e 0 icedios medidas e miles de euros: Solució., 5.5, 6.3,., 8.0, 4., 4., 5., 6.6, 0.3 estimador (isesgado) de la media de catidades reclamadas: X se estima que la catidad media reclamada por icedio es de 7340 ya que, como se ha visto: E [ X ] µ

21 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Propiedades Ejemplo. Para estimar la catidad media reclamada por icedio e pisos de tamaño medio se ha muestreado los ficheros de ua compañía de seguros y se ha obteido las siguietes catidades reclamadas e 0 icedios medidas e miles de euros:., 5.5, 6.3,., 8.0, 4., 4., 5., 6.6, 0.3 Solució error estádar: SD [ X ] X cómo puede reducirse el error estádar a la mitad? multiplicado por 4 el tamaño de la muestra

22 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Estimació de la media de ua v.a. sea X, X,, X ua muestraaleatoria deu v.a. X ormal co media µ y desviació típica como ya se ha visto: la media muestral es u estimador isesgado de la media de X X X + X + + X [ ] µ E X el error estádar es: SD [ X ] X

23 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Estimació de la variaza de ua v.a. sea X, X,, X ua muestraaleatoria simple deua v.a. X ormal co media µ y desviació típica se demuestra que: la cuasivariaza muestral es u estimador isesgado de la variaza de la v.a. X i s S ( X i X ) E [ S ] i s

24 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Estimació de la variaza de ua v.a. Ejemplo (ejercicio ). Sea X, X,, X ua muestra aleatoria simple de ua població ormal co media µ y variaza. demostrar que la cuasivariaza muestral es u estimador isesgado de la variaza de la població. es la variaza muestral u estimador isesgado de la variaza de la població? Solució e el tema Distribucioes muestrales se vio: ( ) s χ s s

25 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Estimació de la variaza de ua v.a. Ejemplo (ejercicio ).. Solució ( ) s χ. χ ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] s E s E E s E χ ( ) [ ] s E [ ] s E

26 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Estimació de la variaza de ua v.a. Ejemplo (ejercicio ).. Solució ( ) s χ s χ. s s χ [ ] [ ] s E s E E s E χ [ ] s E [ ] s E La variaza muestral NO es u estimador isesgado de

27 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Estimació de ua proporció poblacioal se desea estimar ua proporció descoocida, p, que represeta la probabilidad de u suceso detro de u espacio muestral sea X, X,, X ua muestrade resultados del experimeto asociado al espacio muestral deotado Xi el éxito del suceso e el i-ésimo experimeto y Xi0 el fracaso e este caso: estimador isesgado de p: error estádar: s.e. ( p ) SD[ p ] p i i p X i ( p )

28 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Estimació de ua proporció poblacioal error estádar: s.e. ( p ) SD[ p ] p ( p ) o puede evaluarse ya que p es descoocido si el tamaño de la muestra,, es grade se utiliza el valor del estimador e lugar de p e la expresió que da el error estádar cota superior: si 0 p : p( p ) 4 s.e. ( p ) 4

29 4. ESTIMACIÓN PUNTUAL Estimació de ua proporció poblacioal Ejemplo. E ua muestra de 000 idividuos de ua població el úmero de varoes es de 50. estimació de la proporció de varoes e la població total: 50 p cota superior del error estádar: estimació del error estádar: p ( ) ( p ) s.e. p s.e. 000 ( p )

30 5. OBTENCIÓN DE ESTIMADORES PUNTUALES: MÉTODOS se ha estimado la media y la variaza de ua v.a. (població) co ua distribució ormal mediate la media muestral y la cuasivariaza muestral, respectivamete si embargo, hay distribucioes teóricas que o depede directamete de la media o la variaza: la biomial depede de p la gamma de k y λ existe varias maeras de estimar estos parámetros, se va a ver dos de los más secillos: método de los mometos método de máxima verosimilitud

31 6. MÉTODO DE LOS MOMENTOS se va a explicar el método sólo para distribucioes de uo o dos parámetros poblacioales, que so del tipo de las que se ha visto sea X, X,, X ua muestraaleatoria simple deua v.a. X. si la distribució de X depede de u parámetro, θ la media poblacioal de X es fució θ: E [ X ] µ f ( θ ) θ el estimador del parámetro θ,, propuesto por el método de los mometos se obtiee despejádolo (si es posible) de la ecuació: x f ( θ )

32 6. MÉTODO DE LOS MOMENTOS sea X, X,, X ua muestraaleatoria simple deua v.a. X. si la distribució de X depede de u solo parámetro θ ejemplo: sea X~B(;p) media de la població biomial: E [ X ] µ p f ( p ) estimador de p propuesto por el método: x p f p ( p ) ejemplo: sea X~ε(λ) media de la població expoecial: E λ estimador de λ propuesto por el método: x [ X ] µ f ( λ ) x ( λ ) f λ λ x

33 6. MÉTODO DE LOS MOMENTOS sea X, X,, X ua muestraaleatoria simple deua v.a. X. si la distribució de X depede de dos parámetros, θ y θ la media poblacioal de X es fució de ambos: [ X ] µ f (, ) E θ θ igualmete, la variaza poblacioal de X está expresada como fució de esos parámetros: [ X ] g ( θ, θ ) Var segú este método, los estimadores de θ y θ, y, se obtiee despejádolos (si es posible) del sistema de ecuacioes: x f ( θ, θ ) s g ( θ, θ ) θ θ

34 6. MÉTODO DE LOS MOMENTOS sea X, X,, X ua muestraaleatoria simple deua v.a. X. si la distribució de X depede de dos parámetros, θ y θ ejemplo: sea X~Gamma(k;λ) media de la població: E [ X ] µ f ( k, λ ) variaza de la població: Var [ X ] g ( k, λ ) estimadores de k y λ propuestos por el método: ( ) : x f ( k, λ ) ( ) : s g ( k, λ ) k λ k λ ( ) ( ) : k λ x λ s k λ ( ) a k s x

35 7.MÉTODODEMÁXIMAVEROSIMILITUD el método obedece a u pricipio muy lógico: dada ua muestra se escoge como estimadores aquellos valores de los parámetros que haga más creíbles (o más verosímiles) los datos de la muestra e el siguiete ejemplo se ve las ideas básicas del método de máxima verosimilitud que os llevará a la defiició geeral Ejemplo. Se sabe que e ua ura hay 4 bolas (que puede ser blacas o egras). La proporció de bolas blacas, θ, es descoocida y puede tomar los valores: θ { 3,,,, }

36 7.MÉTODODEMÁXIMAVEROSIMILITUD Ejemplo. Para obteer más iformació, se extrae de la ura bolas co reemplazamieto (co lo que se garatiza la idepedecia de las observacioes). Supógase que la primera bola es blaca y la seguda egra, deotádolo como BN. θ { 3,,,, } la probabilidad de obteer, precisamete, esa muestra depede de la proporció de bolas blacas e la ura, θ la idea del método de máxima verosimilitud es muy secilla y razoable; tomar como estimació de θ aquel valor que da la mayor probabilidad a la muestra obteida

37 7.MÉTODODEMÁXIMAVEROSIMILITUD Ejemplo. { 3 θ,,,, } se calcula la probabilidad de obteer la muestra BN 0 si θ 0 P ( BN θ ) si si si si θ θ θ θ Mayor probabilidad para la muestra obteida Si la muestra obteida es BN el estimador de máxima verosimilitud es θ

38 7.MÉTODODEMÁXIMAVEROSIMILITUD sea x, x,, x ua muestraaleatoria simple co observacioes de ua v.a. X si X es discreta: fució de masa de probabilidad: p(x) fució de probabilidad de la muestra: p si X es cotiua: ( x, x,,x ) p ( x ) p ( x ) p ( ) x fució de desidad de probabilidad: f(x) fució de desidad de la muestra: f ( x, x,,x ) f ( x ) f ( x ) f ( ) x

39 7.MÉTODODEMÁXIMAVEROSIMILITUD sea x, x,, x ua muestraaleatoria simple co observacioes de ua v.a. X la fució de probabilidad (masa ó desidad) depede de k parámetros deotados: θ ( θ, θ,, θ ) estimador de máxima verosimilitud de θ es el formado por los valores: θ ( θ, θ,, θ ) ese estimador maximiza la fució de verosimilitud k k

40 7.MÉTODODEMÁXIMAVEROSIMILITUD fució de verosimilitud, L(θ): fució de probabilidad de la muestra (masa ó desidad) si X es discreta: L si X es cotiua: L ( θ ) p ( x ) p ( x ) p ( ) x ( θ ) f ( x ) f ( x ) f ( ) Nota. Como la estimació de θ es el valor que da la mayor probabilidad a la muestra, será aquel valor que maximice la fució de verosimilitud. x

41 7.MÉTODODEMÁXIMAVEROSIMILITUD Procedimieto. escribir la fució de verosimilitud, L(θ) si X es discreta: i ( ) p ( ) L θ i x i si X es cotiua: L i ( θ ) f ( ) i x i

42 7.MÉTODODEMÁXIMAVEROSIMILITUD Procedimieto. maximizar la fució de verosimilitud, L(θ) Nota. Dado que el máximo de ua fució coicide co el de su logaritmo para el mismo valor de la variable resulta muy útil, e geeral, maximizar el logaritmo de la fució L(θ) e lugar de la propia fució de verosimilitud si X es discreta: si X es cotiua: l l i ( ) ( L ( θ )) l p ( ) i i x i ( ) ( L ( θ )) l f ( ) i x i

43 7.MÉTODODEMÁXIMAVEROSIMILITUD Ejemplo Obteer el estimador de máxima verosimilitud del parámetro λ de ua distribució de Poisso Solució X es discreta: X~P(λ) fució de masa de probabilidad: P e λ λ! ( X i ) ( i 0,,,... ) i i sea x, x,, x ua muestra aleatoria simple de la v.a. X co observacioes

44 7.MÉTODODEMÁXIMAVEROSIMILITUD Ejemplo Obteer el estimador de máxima verosimilitud del parámetro λ de ua distribució de Poisso Solució ( ) ( ) ( ),...,, i! x e x p x X P i x i i i λ λ fució de verosimilitud, L(λ): ( ) ( ) ( ) i i i x i i i! x e x p L i i i λ λ λ

45 7.MÉTODODEMÁXIMAVEROSIMILITUD Solució logaritmo eperiao de la fució de verosimilitud, l[l(λ)]: l i i [ L ( λ ) ] λ + x l λ l ( x ) i! i i i! maximizació de la fució, l[l(λ)]: d dλ i λ i { l [ L ( λ )]} + 0 estimador de máxima verosimilitud:! x i λ i i! x i x

46 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

47 8.ESTIMACIÓN POR INTERVALOS cuado se estima u parámetro mediate u estimador putual o se puede esperar que el estimador sea exactamete igual al parámetro sio que esté próximo e la práctica, además de dar ua estimació putual de u parámetro, iteresa facilitar u itervalo que permita precisar la icertidumbre existete e la estimació u estimador por itervalo es ua regla ó fórmula que, usado la iformació muestral, permite hallar dos valores que defie u itervalo utilizado como estimació del parámetro poblacioal (se predice que el parámetro está coteido e él) co cierto grado de cofiaza

48 9. INTERVALOS DE CONFIANZA sea x, x,, x ua muestraaleatoria simple co observacioes de ua v.a. X cuya distribució depede de u parámetro descoocido θ U itervalo de cofiaza para θ co u ivel de sigificació α, I(x,x,, x), es u itervalo real que depede de la muestra, pero que o depede de θ, tal que: P θ I x, x,, x [ ( )] α ivel (o coeficiete) de cofiaza: -α para cada muestra particular se tiee u itervalo de cofiaza: I ( x, x,, x ) ( T ( x, x,, x ),T ( x, x,, x ))

49 9. INTERVALOS DE CONFIANZA Observació: el objetivo de u itervalo de cofiaza es proporcioar, e base a los datos de la muestra, ua regió e la que se tega u determiado ivel de cofiaza de que se ecuetre el parámetro como e el caso de los estimadores putuales, el itervalo de cofiaza es aleatorio ya que depede de los valores de la muestra además, se da por hecho que existe la posibilidad de que el verdadero parámetro θ o quede situado detro del itervalo de cofiaza, algo que ocurre co probabilidad α

50 9. INTERVALOS DE CONFIANZA Procedimieto: idetificar u estadístico pivotal, es decir, u estadístico que depede de los valores muestrales y del parámetro que se está estimado seleccioar u coeficiete de cofiaza (deotado -α) ormalmete: α0.05 ó α0.0 suele cosiderarse e tato por cieto: (-α) 00% costruir el itervalo de cofiaza

51 Nota: 0. NIVEL DE CONFIANZA adoptado ua iterpretació frecuetista de la probabilidad, u itervalo de cofiaza al 95%, por ejemplo, garatiza que si se toma 00 muestras el parámetro poblacioal estará e el iterior del itervalo e, aproximadamete, 95 de itervalos costruidos e la práctica, esto resulta absurdo porque o se tiee 00 muestras sio solamete ua etoces, a partir de los datos de ua muestra se costruye u itervalo de cofiaza; cabe dos posibilidades: el parámetro está detro del itervalo o o lo está el parámetro es costate y el itervalo tambié (o se repite el experimeto); por ello, se habla de itervalos de cofiaza iterpretado que se tiee ua cofiaza del 95% e que el parámetro estará detro del itervalo

52 0. NIVEL DE CONFIANZA EJEMPLO: itervalo de cofiaza para ua media ivel de cofiaza α 00% 68 ( ) % ivel de cofiaza α 00% 90 ( ) % ivel de cofiaza α 00% 99 ( ) %

53 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Hipótesis adicioales població ormal media, µ, descoocida desviació típica,, coocida X µ ; ivel de cofiaza: -α Sea X, X,, X ua muestra de tamaño de la població Tipificado: Z N ( 0; ) X µ

54 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal [ ] se verifica 0, (ver figura): z α α ( ) α P Z Ross, M.S.; Itroducció a la Estadística; Ed. Reverté S.A. (005)

55 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal multiplicado ambos miembros de la desigualdad por P ( ) Z z α α P X µ z α α por tato, co probabilidad -α la media poblacioal µ está e el itervalo: X ± z α

56 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal se deomia estimador por itervalo al 00(-α)% de cofiaza al itervalo: + z X, z X α α si el valor observado de la media muestral es el itervalo de cofiaza para la media poblacioal, µ, es, co ua cofiaza del 00(-α)%: + z X, z X α α x + z x, z x α α

57 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Ejemplo. Si se quiere obteer u estimador por itervalo co 95% de cofiaza ( ) Z z P α? Excel: DISTR.NORM.ESTAND.INV( 0,975 ) ~.96 P Z z α P z Z z α α P X µ

58 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Ejemplo. Si se quiere obteer u estimador por itervalo co 95% de cofiaza -α0.95 Ross, M.S.; Itroducció a la Estadística; Ed. Reverté S.A. (005)

59 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Ejemplo. Si se quiere obteer u estimador por itervalo co 95% de cofiaza P X µ P X. 96 µ X etoces, co u 95% de cofiaza, la media poblacioal, µ, se ecuetra e el itervalo: X. 96, X +. 96

60 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Ejemplo. Ua señal de itesidad µ emitida desde u puto A se registra e u puto B co ua itesidad que se distribuye segú ua ormal de media µ y 3 (esto es, debido al ruido la itesidad registrada difiere de la real e ua catidad que sigue la distribució ormal idicada). Para reducir el error, la misma señal se registra, idepedietemete, 0 veces tal que los valores registrados so: 7,, 0, 8, 9,, 0,, 6, 9 Costruir itervalos al 90%, 95% y 99% de cofiaza para la itesidad real µ

61 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Ejemplo. Solució media muestral : x 9. 3 cofiaza del 95%: , cofiaza del 90%: ( , ) ( 7. 44,. 6 ) Excel: DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,95) ~ , ( 7. 74, )

62 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Ejemplo. Solució cofiaza del 99%: Excel: DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,995) ~ , ( 6. 86,. 74 ) Ross, M.S.; Itroducció a la Estadística; Ed. Reverté S.A. (005)

63 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Hipótesis adicioales població ormal media, µ, descoocida desviació típica,, descoocida X µ ; tamaño muestral pequeño: 30 ivel de cofiaza: -α e la práctica es poco probable que se descoozca µ y se coozca co lo que la aplicació del teorema es limitada el siguiete resultado respode a la ecesidad de exteder el resultado aterior cuado o se cooce

64 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal cuado el valor de es descoocido, e la aterior fórmula de u itervalo de cofiaza para la media, puede utilizarse para aproximarlo la cuasidesviació típica muestral, ŝ esa aproximació es bastate buea siempre que sea suficietemete grade; si el tamaño muestral es pequeño la aproximació de la desviació típica poblacioal por la cuasidesviació típica muestral o es buea para compesar esa mala aproximació se tipifica para utilizar la distribució t de Studet: X µ t ŝ

65 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal sea X, X,, X ua muestra de tamaño de la població idicada etoces: x : media muestral : tamaño muestral P µ ŝ ŝ x t α + α α, x t ; ; ŝ : cuasidesviació típica muestral t : es el valor de ua variable aleatoria t, co distribució ; α de Studet co - grados de libertad, que deja a su derecha u área igual a α/; es decir: α P t t α ( ) > ;

66 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal los dos resultados que se ha euciado se basa e que es coocida la distribució de la muestra (ormal, lo que permite deducir que la media muestral sigue ua distribució ormal de media µ y variaza /) teorema cetral del límite: sea cual sea la distribució de las variables de la muestra aleatoria simple, la media muestral sigue, aproximadamete, ua distribució ormal de media µ y variaza / por tato, se puede obteer u itervalo de cofiaza aproximado para cualquier media de cualquier distribució

67 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal sea X, X,, X ua muestra de tamaño de ua v.a. X que sigue ua distribució cualquiera co ua media, µ, descoocida y co ua desviació típica x siedo la media muestral, si es suficietemete grade (>30) etoces: P x z α, x + z α µ α si es descoocida puede sustituirse por la cuasidesviació típica muestral, ŝ

68 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal tabla resume població ormal x Estimador Itervalo de cofiaza: (-α)00% Hipótesis adicioales + z x, z x α α població ormal coocida x població ormal descoocida + ŝ t x, ŝ t x ; ; α α x + z x, z x α α >30 coocida x >00 descoocida x + ŝ z x, ŝ z x α α

69 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Ejemplo. El tiempo de fallo de ua compoete electróica sigue ua distribució expoecial de parámetro λ descoocido. Se toma ua muestra de 50 tiempos de fallo y su media muestral es de 7,5 siedo la cuasidesviació típica muestral de 9,. Calcular u itervalo de cofiaza para λ co u ivel de sigificacia α0, Solució ivel de cofiaza del 90%: α0.0.9 α/0.05 media muestral: x 7. 5 cuasidesviació típica muestral: ŝ 9. tamaño muestral: 50

70 . ESTIMACIÓN DE LA MEDIA Itervalo de cofiaza para la media poblacioal Ejemplo. Solució α z z. 645 z x z α ŝ, x + z α ŝ etoces: µ E [ X ] ( ,. 967 ) por otra parte: µ E [ X ] λ itervalo de cofiaza al 90% de λ: 9. 50, λ ( ) ( , ),

71 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: muestras idepedietes se cosidera dos poblacioes: població : media µ y desviació típica població : media µ µ y desviació típica se seleccioa dos muestras aleatorias simples de forma idepediete: població : tamaño muestral població : tamaño muestral X X N µ ; N µ ;

72 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: muestras idepedietes se va a utilizar la iformació sumiistrada por las dos muestras (seleccioadas idepedietemete) para estimar la diferecia de las medias poblacioales se sabe que: E [ X X ] µ µ µ µ Var [ X X ] +

73 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: muestras idepedietes tabla resume. Itervalo de cofiaza para µ µ Estimador Itervalo de cofiaza: (-α)00% Hipótesis adicioales x x ( x x ) ± z α + poblacioes ormales ó, >5, coocidas x x ( x ) ŝ x ± z + α ŝ, >30, descoocidas

74 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: muestras idepedietes tabla resume. Itervalo de cofiaza para µ µ Estimador Itervalo de cofiaza: (-α)00% Hipótesis adicioales poblacioes ormales x x ( x x ) ± t α + ; S P +, descoocidas, pequeños S P ( ) ŝ + ( ) + ŝ

75 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: muestras idepedietes tabla resume. Itervalo de cofiaza para µ µ e el último caso, como se supoe que las variazas de ambas poblacioes so iguales auque descoocidas, se utiliza la iformació proporcioada por las dos muestras para costruir u estimador de ese estimador se deota como: S P S P : media poderada de las dos cuasivariazas muestrales co pesos proporcioales a sus respectivos tamaños muestrales ( y )

76 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) muestras depedietes e idepedietes si la selecció de los datos de ua població o está relacioada co la de los datos de la otra se trata de muestras idepedietes si las muestras se seleccioa de maera que cada medida e ua de ellas pueda asociarse aturalmete co ua medida e la otra muestra se llama muestras depedietes diferecia de medias e muestras idepedietes se estudia la diferecia de medias de dos muestras idepetes extraídas aleatoriamete de poblacioes ormales

77 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) diferecia de medias co datos pareados se estudia la diferecia de medias ates y después de cierto tratamieto al que so sometidos los mismos sujetos que costituye ua muestra extraída aleatoriamete de ua població ormal si dos medidas se obtiee de la misma fuete se puede pesar que las medidas está pareadas; por tato, dos medidas que se obtiee de la misma fuete so depedietes si dos muestras so depedietes etoces, ecesariamete, tiee el mismo tamaño

78 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) ejemplo se quiere estudiar el efecto de ua dieta al cabo de 6 meses; para ello, se mide el peso de los sujetos ates de iiciar la dieta y después de realizarla durate los 6 meses e este caso ambos pesos o so variables idepedietes ya que es claro que el peso al cabo de los 6 meses de dieta depederá del peso que se teía ateriormete

79 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) ejemplo se quiere comparar la velocidad de ejecució computacioal de dos algoritmos se podría hacer ejecutado los algoritmos sobre dos cojutos aleatorios de problemas idepedietes pero, e este caso, el experimeto podría verse afectado por la aturaleza de los problemas escogidos para cada algoritmo este problema puede evitarse si a cada tipo de problema se le aplica u algoritmo y después el otro midiedo los tiempos de ejecució correspodietes

80 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) procedimieto se estudia el caso e el que X e Y so dos variables aleatorias que represeta características diferetes de la misma població y tales que: X N ( µ ; ) Y N ( µ ; ) X X para aalizar sus diferecias se toma muestras pareadas: se obtiee los valores de X e Y sobre los mismos sujetos de la població el tamaño de la muestra,, es igual para X e Y Y Y

81 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) procedimieto se defie la variable aleatoria diferecia, D XY, que sigue u modelo de distribució ormal: ( µ D D ) dode µ D µ X Y D N ; µ el problema se covierte e ua estimació por itervalo para la variable D: ( ) D i X i Y i i,,, : es ua muestra aleatoria simple de la variable diferecia D D D X s ˆ S Y D : es la media muestral de la variable diferecia D : es la cuasivariaza muestral de la variable D

82 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) procedimieto estimació por itervalo para la variable D: estimador: D X Y tamaño muestral grade ( 30), coocida D µ D D Z N ( 0;) tamaño muestral pequeño (<30), descoocida D µ D T t sˆ D

83 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) Ejercicio (Juio 0). Para cotrastar la efectividad de ua herramieta ueva e la realizació de ua tarea se ha pedido a 9 operarios que realice la tarea co la herramieta ueva y la atigua. Se ha medido los tiempos de realizació e miutos y el resultado es le siguiete Operario Herramieta Atigua Nueva

84 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) Ejercicio (Juio 0). (º) Ecuetre u itervalo de cofiaza de 95 % (º) Ecuetre u itervalo de cofiaza de 95 % para la diferecia media de tiempos de realizació de la tarea co ambas herramietas,supoiedo que las diferecias de tiempos se distribuye aproximadamete de forma ormal. (º) Cuál tedría que ser el úmero de operarios si se desea que la desviació típica del estimador sea como máximo de 0.5 miutos?

85 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) Ejercicio (Juio 0). (3º) Es el resultado de la prueba evidecia suficiete de que la herramieta ueva reduce al meos e u miuto el tiempo medio de realizació de la tarea co u ivel de sigificació α5%? NOTA. Este apartado se podrá resolver cuado se estudie el tema relativo a los Cotrastes de hipótesis

86 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) Ejercicio (Juio 0). estadísticos muestrales: Excel: x D D PROMEDIO(B5:J5).6 ŝ D DESVEST(B5:J5).6398

87 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) Ejercicio (Juio 0). Apartado º. se trata de u problema de muestras pequeñas (<30) y pares coicidetes ya que la herramieta se mide para cada operario estimació por itervalo para la variable D: estimador isesgado de variaza míima: D x A x B.6 error probable: D ˆ s D

88 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) Ejercicio (Juio 0). Apartado º. como se ha de estimar ua media poblacioal se utiliza la distribució de probabilidad t de Studet ivel de cofiaza: α % grados de libertad: gl ν 8 valor de la variable (dos colas): t α t Excel: DISTR.T.INV(0,05;8).3060 ; 8;0,975 ν.3060 Itervalo de cofiaza: IC D ± t.6± ;0,975 D IC ( 0.480, )

89 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) Ejercicio (Juio 0). Apartado º. la desviació típica del estimador viee dada por: t ν ; α D t ν ; α sˆ D e max 0.5 por lo tato: t ν sˆ D α mi 49 ; e max operarios

90 . DIFERENCIA DE MEDIAS Estimació de la diferecia de medias: datos pareados (ó pares coicidetes) Ejercicio (Juio 0). Apartado 3º. se propoe como ejercicio para el alumo cuado se estudie el tema relativo a Cotrates de hipótesis

91 3. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA Itervalo de cofiaza para la variaza poblacioal aálogamete a lo ya estudiado, puede obteerse itervalos de cofiaza para la variaza, co la media coocida ó descoocida, pero sólo cuado la variable aleatoria observada sigue ua distribució gaussiaa e el capítulo aterior se vio que: : tamaño muestral ( ) ŝ χ : variaza de la població ormal que se desea estimar ŝ : cuasivariaza muestral

92 3. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA Itervalo de cofiaza para la variaza poblacioal la distribució χ o es simétrica respecto al 0 χ P ( ) χ > χ α ; α P ( ) χ α χ > α ;

93 3. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA Itervalo de cofiaza para la variaza poblacioal se tiee que: sustitució: ( ) ŝ χ ( ) α χ χ χ α α ; ; P operado: ( ) ( ) α χ χ α α ; ; ŝ ŝ P

94 3. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA Itervalo de cofiaza para la variaza poblacioal tabla resume. Itervalo de cofiaza para Estimador Itervalo de cofiaza: (-α)00% Hipótesis adicioales població ormal µ descoocida ŝ ( ) ( ) α α χ χ ; ; ŝ, ŝ població ormal µ coocida ( ) x i i i µ ( ) ( ) α α χ µ χ µ ; i i i ; i i i x, x

95 3. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA Itervalo de cofiaza para el cociete de dos variazas poblacioales se cosidera dos poblacioes: població : variaza població : variaza para comparar las variazas de las dos poblacioes realiza iferecias sobre su cociete: la distribució muestral del aterior estimador es muy coocida cuado las muestras so aleatorias simples y extraídas de dos poblacioes ormales idepedietes

96 3. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA Itervalo de cofiaza para el cociete de dos variazas poblacioales bajo las hipótesis idicadas, se utiliza la distribució F de Fisher-Sedecor para obteer u itervalo de cofiaza para el estimador: ŝ ŝ F, α ;

97 3. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA Itervalo de cofiaza para el cociete de dos variazas poblacioales para establecer los límites del itervalo de cofiaza del estimador debe recordarse que: F, F, ; α F, ; α

98 3. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA Itervalo de cofiaza para el cociete de dos variazas poblacioales se tiee que: ( ) α α α ;,, ;, F F F P ŝ sustitució: operado: α ;, F ŝ α α α ;, ;, F ŝ ŝ F ŝ ŝ P

99 3. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA Itervalo de cofiaza para el cociete de dos variazas poblacioales tabla resume. Itervalo de cofiaza para Estimador Itervalo de cofiaza: (-α)00% Hipótesis adicioales poblacioes ormales µ, µ descoocidas ŝ ŝ α α ;, ;, F ŝ ŝ, F ŝ ŝ

100 4.ESTIMACIÓNDEUNAPROPORCIÓN Itervalo de cofiaza para ua proporció estimació de la proporció p de éxitos, es decir, la proporció p de idividuos de ua població que preseta ua determiada característica sea p la probabilidad descoocida de u determiado suceso, deomiado éxito, que puede ocurrir e u experimeto biomial sea cierta muestra {x, x,, x} de realizacioes idepedietes del experimeto, dode si se da el éxito: x i proporció de éxitos de la muestra: pˆ i x i

101 4.ESTIMACIÓNDEUNAPROPORCIÓN Itervalo de cofiaza para ua proporció tabla resume. Itervalo de cofiaza para p Estimador Itervalo de cofiaza: (-α)00% Hipótesis adicioales pˆ i i pˆ ( pˆ ) x i pˆ ± z α pˆ 4 ( pˆ ) 4

102 4.ESTIMACIÓNDEUNAPROPORCIÓN Itervalo de cofiaza para la diferecia de proporcioes de dos poblacioes sea dos experimetos biomiales idepedietes sea cosidera ua muestra de cada uo : muestra : tamaño muestra : tamaño proporció de éxitos de la muestra : proporció de éxitos de la muestra : pˆ i pˆ i i i x i x i

103 4.ESTIMACIÓNDEUNAPROPORCIÓN Itervalo de cofiaza para la diferecia de proporcioes de dos poblacioes tabla resume. Itervalo de cofiaza para p Estimador Itervalo de cofiaza: (-α)00% Hipótesis adicioales pˆ pˆ ( pˆ pˆ ) ± z pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) α + ( pˆ ) 4 ( pˆ ) 4 4, pˆ 4, pˆ