LECTURA 04: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL. INTERVALOS DE CONFIANZA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES.

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1 ECTURA 4: INTERVAOS DE CONFIANZA PARA A MEDIA POBACIONA. INTERVAOS DE CONFIANZA ENTRE DOS MEDIAS POBACIONAES. TEMA 8: INTERVAOS DE CONFIANZA: INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN. INTRODUCCION: Actualmete e debe etar bie cociete de que la poblacioe o geeralmete muy grade como para er etudiada e u totalidad. Su tamaño requiere que e eleccioe muetra la cuale e puede utilizar para hacer iferecia obre poblacioe. Hay do tipo de etimadore que e utiliza má comúmete para ete propóito: u etimador putual y u etimador por itervalo. U etimador putual utiliza u etadítico para etimar el parámetro e u olo valor o puto. El etimador putual por er u olo umero, o proporcioa por i mimo iformació algua obre la preciió y cofiabilidad de la etimació. Debido a la variabilidad de la muetra, uca e tedrá que = µ. El etimado putual ada dice obre lo cercao que eta de µ. El Picologo puede eleccioar ua muetra de =5 paciete y hallar la edad promedio de = 36, ete valor irve como etimació putual para la media poblacioal. Ua alterativa para reportar u olo valor del parámetro que e eta etimado e calcular e iformar todo u itervalo de valore factible, u itervalo de cofiaza. Ua etimació por itervalo epecifica el rago detro del cual etá el parámetro poblacioal decoocido. El Picologo puede decidir que la media poblacioal eté etre 35 y 38. Tal itervalo co frecuecia va acompañado de ua afirmació obre el ivel de cofiaza que e da co eactitud. Por lo tato e llama itervalo de cofiaza. E realidad hay tre ivele relacioado comúmete co lo itervalo de cofiaza: 99%, 95% y 9%. El Picologo mecioado puede teer u 95% de cofiaza e que la media poblacioal etá etre 35 y 38. Fecha : Marzo Verió :

2 . DEFINICIÓN: E el rago detro del cual e ecuetra el parámetro decoocido θ co u ivel de cofiaza dado. E bae a ua muetra aleatoria y la correpodiete etadítica θˆ, e trata de ecotrar u itervalo [, ] llamado Itervalo de Cofiaza que debe coteer el parámetro θ co ua probabilidad dada (-α) llamado ivel de cofiaza. Si θˆ e ua etadítica f( θˆ ) - α α/ α/ θ. fig. El itervalo [, ] e u itervalo aleatorio ya que u etremo, llamado límite de cofiaza o variable cuyo valore varía de ua muetra a otra. a Etimació Iterválica coite e calcular, dada ua muetra aleatoria y u ivel de cofiaza (-α) y decir que e tiee cofiaza del (-α) % que el itervalo cotiee el valor decoocido θ. Por ejemplo: Si -α =.95, e dice que e tiee ua cofiaza del 95% que el itervalo cotega el valor decoocido θ; o bie, de itervalo aleatorio que e tome 95 de la vece cotedrá el parámetro y ólo 5 vece o lo cotedrá. Fecha : Marzo Verió :

3 TEMA 9: INTERVAO DE CONFIANZA PARA A MEDIA POBACIONA HACIENDO USO DE A ESTADISTICA Z Y T.. INTERVAO DE CONFIANZA PARA A MEDIA POBACIONA [ µ ] = α P - α α/ α/ μ Se preeta lo iguiete cao: fig... CASO I: Uo de la Etadítica Z. i) Muetra grade ( 3), variaza poblacioal coocida σ y població ormal o o. = Z σ = + Z σ ii) Muetra grade ( 3), variaza poblacioal decoocida ( ) ormal o o. = Z σ y població = + Z 3 Fecha : Marzo Verió :

4 iii) Muetra pequeña ( < 3), variaza poblacioal coocida σ y població ormal. = Z σ = + Z σ.. CASO II: Uo de la Etadítica t. Muetra pequeña ( < 3), variaza poblacioal decoocida ( ) població ormal. σ y = t = + t Dode: t = t α /, -. ERROR ESTÁNDAR DE A MEDIA El error etádar e ua medida de la diperió de la media de muetra alrededor de la media de la població. Si la diperió dimiuye (i σ e hace má pequeña), etoce lo valore tomado por la media de la muetra tiede a agrupare ma cercaamete alrededor de µ. Y a la ivera, i la diperió e icremeta (i σ e agrada), lo valore tomado por la media de la muetra tiede a agrupare meo cercaamete alrededor de µ. Al dimiuir el error etádar, el valor de cualquier media de muetra probablemete e acercara al valor de la població, lo que quiere decir que al dimiuir el error etádar, e icremeta la preciió co que e puede uar la media de la muetra para etimar la media de la població. Si el muetreo e co o i repoició e ua població ifiita (o co utitució e ua població fiita de tamaño N), el error etádar de la media muetral e: σ i) σ = ( σ coocida) ii) = ( σ decoocida) 4 Fecha : Marzo Verió :

5 Si el muetreo e i repoició e ua població fiita de tamaño N, el error etádar de la media muetra e: σ N i) σ = ( σ coocida) N N ii) = ( σ decoocida) N Dode: N N e el factor de correcció para població fiita. NOTA: Geeralmete e utiliza el muetreo i repoició e poblacioe ifiita y fiita de tamaño N Ejemplo : Se ha llevado acabo ua prueba para determiar el coeficiete itelectual medio de lo alumo, abiedo que el coeficiete itelectual igue ua ditribució ormal co deviació etádar 4. De ua muetra de alumo e obtiee u u coeficiete itlectual medio de 9 ole. Calcular u itervalo de cofiaza del 95% para el coeficiete itelectual medio poblacioal tomado e cueta que el coeficiete ormal varía de 8 a. Solució: a) Se deea etimar: μ: Coeficiete itelectual medio poblacioal b) Aálii: = = (>3) 4 σ = ole = 9 Variaza poblacioal coocida y població ormal. Para u ivel de cofiaza α =.95 ZO =. 96 Error etádar de la media muetral e: σ 4 σ = = =.4 5 Fecha : Marzo Verió :

6 c) Haremo uo de la etadítica Z decrita e el Cao I i: d) Hallado el itervalo de cofiaza: σ = Z = = 85.3 σ = + Z = = 94.7 e) Iterpretació: El coeficiete medio itelectual poblacioal de lo alumo varia etre 85.3y 94.7 co ua cofiaza del 95%. Ejemplo : U Picologo hace u etudio obre el úmero de comportamieto agreivo a la emaa e ua muetra aleatoria de 9 moo de ua determiada zoa obtiee ua media media muetral de agreioe, coiderado que la poblaciò e ormal co variaza. Obteer u itervalo de cofiaza del 9% para el úmero medio de comportamieto agreivo real. Solució: a) Se deea etimar: μ: Número medio de comportamieto agreivo. b) Aálii: =9 = =9 (<3) Variaza poblacioal coocida ( σ = ) Para el ivel de cofiaza α =.9 Error etádar de la media muetral : σ = = = Z =. 645 c) Haremo uo de la etadítica Z decrita e el Cao I - iii O d) Hallado el itervalo de cofiaza: 6 Fecha : Marzo Verió :

7 σ = Z = = σ = + Z = =.9 3 e) Iterpretació: Co ua cofiaza del 95% que el úmero medio de comportamieto agreivo real de lo moo varía etre 9 y 3. Ejemplo 3: U ivetigador deea etimar el coteido promedio de alquitrá de cierta marca de 4 cigarrillo para ello toma ua muetra de 5 cigarrillo obteiedo ua media de 7. mg. y ua deviació etádar de 5 mg.; etudio ateriore idica que el coteido de alquitra e ditribuye ormalmete. Etime u itervalo de cofiaza del 99% para el coteido promedio de alquitrá poblacioal. Solució: a) Se deea etimar: μ: Coteido promedio de alquitrá b) Aálii: =5 = 7. mg. = 5mg. =5 (<3) Variaza poblacioal decoocida ( ) muetra. Població ormal. Para el ivel de cofiaza α =.99 El error etádar de la media muetral e: σ e etima a travé de la to = t.995,4 = = = = 5 7 Fecha : Marzo Verió :

8 c) Haremo uo de la etadítica t: d) Hallado el itervalo de cofiaza: = t = = 4. mg. = + t = = 9. mg. e) Iterpretació: El cotedio promedio de icotia poblacioal varia ete 4. mg. Y 9. mg. Ejemplo 4: o iguiete dato o lo putaje obteido para para 45 peroa de ua ecala de depreió (mayor putaje igifica mayor depreió) Sabiedo que la població e ormal de tamaño N=5. Calcular u itervalo de cofiaza del 95% para la ecala promedio poblacioal Solució: a) Se deea etimar: μ: Ecala promedio de depreió poblacioal b) Aálii: =45 = = Variaza poblacioal decoocida ( ) Població ormal. σ. 8 Fecha : Marzo Verió :

9 Se tiee ua població fiita de tamaño N=5, etoce El error etádar de la media muetral e: N = = =.93 N 45 5 c) Haremo uo de la etadítica Z decrita e el Cao I - ii: d) Hallado el itervalo de cofiaza: N = Z N N = + Z N = = =. = 6.89 e) Iterpretació: a ecala de depreió promedio poblacioal varía etre. y 6.89 co u ivel de cofiaza del 95%. 9 Fecha : Marzo Verió :

10 TEMA : INTERVAO DE CONFIANZA PARA A DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBACIONAES HACIENDO USO DE A ESTADISTICA Z Y T.. INTERVAO DE CONFIANZA PARA A DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBACIONAES [ ] P µ µ = α - α α / α / µ µ Se preeta lo iguiete cao: fig. 3.. CASO I: Uo de la Etadítica Z. i) Muetra grade 3 y, 3 variaza poblacioale coocida σ y σ poblacióe ormal o o. = ( ) Z σ = ( ) + Z σ Dode: σ σ σ = + Fecha : Marzo Verió :

11 ii) Muetra grade, variaza poblacioale decoocida 3 y 3 ( σ y σ ) y poblacióe ormale o o. = ( ) Z = ( ) + Z Dode: = + iii) Muetra pequeña < 3 y < 3 coiderado que ( + <3), variaza σ y σ poblacioale coocida y poblacióe ormale. = ( ) Z σ = ( ) + Z σ Dode: σ σ σ = + NOTA: E cao de que la poblacioe N y N fuera fiita e debe corregir el itervalo a travé del error etádar de la diferecia de media muetrale tal como e preeta a cotiuaciò: Fecha : Marzo Verió :

12 σ N σ N σ = + N N N N = + N N.. CASO II: Uo de la Etadítica t. i) Muetra pequeña < 3 y < 3 codierado que ( + <3), variaza poblacioale decoocida pero iguale σ = σ ( σ y σ ) y poblacióe ormale. = ( ) t C + = ( ) + t C + Dode: = + C c = ( ) + ( ) + Ademá: t = t α /, + - Fecha : Marzo Verió :

13 ii) Muetra pequeña < 3 y < 3 coidirado que ( + <3), variaza poblacioale decoocida pero diferete σ σ ( σ y σ ) y poblacióe ormale. = ( ) t + = ( ) + t + Dode: t = t α /, r r = + + Ejercicio : a taa de coumo de oígeo e ua medida de la actividad fiiológica de lo corredore. Se deea comparar la taa de coumo de oigeo e ml./miuto e corredore de etreamieto por do método ditito: u etreamieto cotiuo durate cierto lapao de tiempo cada dìa, y u etreamieto itermitete co la mima duració total. Se ha tomado dato del coumo de oígeo de varoe uiveritario etreado por ambo método y e ha obteido lo iguiete decriptivo: 3 Fecha : Marzo Verió :

14 Etreamieto cotiuo Etreamieto itermitete =9 =7 = 43.7 = = 5.88 = 7.68 Si e upoe que la medicioe proviee de poblacioe ormale idepediete co igual variaza, etime la diferecia real de taa media de coumo de oígeo co u ivel de cofiaza del 95%. Solució: a) Se deea etimar: µ µ : a diferecia real de taa media de coumo de oígeo. b) Aálii: =9 = 43.7ml./ mi uto =.4 ml./ mi uto =7 = 39.63ml./ mi uto =.77 ml./ mi uto = 9 < 3 y = 7 < 3 Variaza poblacioe iguale pero decoocida σ σ y poblacioe ormale. 4 Fecha : Marzo Verió :

15 Hacemo uo de la etadítica t Cao II i) co u ivel de cofiaza del 95%, etoce t = t α /, + - = t.975, 4 =.45 Error etádar de la diferecia de media e: = + C c = (9 ) (7 ) c =.58 = =.3 Etoce: = ( ) t C + = ( ).45.3 = = 4.89 ml./ mi uto 5 Fecha : Marzo Verió :

16 = ( ) + t C + = ( ).45.3 = =.47ml./ mi uto Se tiee ua cofiaza del 95% de que la diferecia media de la taa Ejemplo : media de coumo de oigeo varía etre 4.89ml./miuto y.47 ml./ miuto. El ivel de coleterol e u factor de alto riego e el dearrollo de la efermedad de artereoecleroi cardiaca y de la efermedad de arteria coroaria, por tato, e importate determiar lo ivele que eperamo e lo diferete grupo de edad y eo. Para comparar el ivel de coleterol de lo varoe de a 9 año de edad frete a la mujere del mimo grupo, e realizó u etudio cuyo reultado e epoe a cotiuació: Hombre Mujere =96 =85 = 8.8mg./ dl = 8.8 mg./ dl = 3.55 mg./ dl = 3.59mg./ dl Obteer u itervalo de cofiaza para la diferecia de media del ivel de coleterol de hombre y mujere al 9%. So lo ivele de coleterol diferete? Quié tiee u ivel má alto de coleterol lo hombre o la mujere? 6 Fecha : Marzo Verió :

17 Solució: a) Se deea etimar: µ µ : a diferecia media poblacioal del ivel de coleterol de hombre y mujere. b) Aálii: =9 6 = 8.8 = 3.55 =85 = 8.8 = 3.59 = 96 > 3 y = 85 > 3 Variaza poblacioe decoocida ( = y = ) y poblacioe ormale por el Teorema de imite Cetral 3 y 3 Hacemo uo de la etadítica Z Cao I ii) co u ivel de cofiaza del 9%, etoce z =.645 Error etádar de la diferecia de media e: = + 7 Fecha : Marzo Verió :

18 = = Etoce: = ( ) Z = ( ) + Z = ( ) Z = ( ) = = 7.76 = ( ) + Z = ( ) = = 7. Se tiee ua cofiaza del 9% de que la diferecia media poblacioal del ivel de coleterol varía etre mg./dl y 7. mg./dl. 8 Fecha : Marzo Verió :

19 E el reultado obervamo que el valor cero e ecuetra detro del itervalo, etoce lo ivele de coleterol de lo hombre y de la mujere o iguale. 9 Fecha : Marzo Verió :