LECTURA 05: INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO DE MUESTRA (PARTE I) TEMA 9: INTERVALOS DE CONFIANZA: INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN

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1 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote LECTURA 05: INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO DE MUESTRA (PARTE I) TEMA 9: INTERVALOS DE CONFIANZA: INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN. INTRODUCCION Actualmete e debe etar bie cociete de que la poblacioe o geeralmete muy grade como para er etudiada e u totalidad. Su tamaño requiere que e eleccioe muetra la cuale e puede utilizar para hacer iferecia obre poblacioe. Por ejemplo i u gerete de ua tieda miorita deea aber obre u veta diaria promedio por cliete durate el año aterior, podría ecotrar difícil calcular el promedio de la veta a cieto o quizá mile de cliete que paaro por la tieda. Seria mucho ma fácil etimar la media poblacioal co la media de ua muetra repreetativa. Hay do tipo de etimadore que e utiliza má comúmete para ete propóito: u etimador putual y u etimador por itervalo. U etimador putual utiliza u etadítico para etimar el parámetro e u olo valor o puto. El etimador putual por er u olo umero, o proporcioa por i mimo iformació algua obre la preciió y cofiabilidad de la etimació. Debido a la variabilidad de la muetra, uca e tedrá que. El etimado putual ada dice obre lo cercao que eta de. El gerete de la tieda puede eleccioar ua muetra de =500 cliete y halla el gato promedio de $0, ete valor irve como etimació putual para la media poblacioal. Ua alterativa para reportar u olo valor del parámetro que e eta etimado e calcular e iformar todo u itervalo de valore factible, u itervalo de cofiaza. El gerete puede decidir que la media poblacioal eté etre $6 y $4. Tal itervalo co frecuecia va acompañado de ua afirmació obre el ivel de cofiaza que e da co eactitud. Por lo tato e llama itervalo de cofiaza. E realidad hay tre ivele relacioado comúmete co lo itervalo de cofiaza: 99%, 95% y 90%. El gerete mecioado puede teer u 95% de cofiaza e que la media poblacioal etá etre $6 y $4. Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

2 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote. DEFINICION E el rago detro del cual e ecuetra el parámetro decoocido co u ivel de cofiaza dado. E bae a ua muetra aleatoria y la correpodiete etadítica ˆq, e trata de ecotrar u itervalo [L, L ] llamado Itervalo de Cofiaza que debe coteer el parámetro co ua probabilidad dada (-) llamado ivel de cofiaza. Si ˆ e ua etadítica f( ˆ ) - / / L θ fig. El itervalo [L, L ] e u itervalo aleatorio ya que u etremo L, L llamado límite de cofiaza o variable cuyo valore varía de ua muetra a otra. L ˆ La Etimació Iterválica coite e calcular L, L dada ua muetra aleatoria y u ivel de cofiaza (-) y decir que e tiee cofiaza del 00 (-) % que el itervalo cotiee el valor decoocido. Por ejemplo: Si - = 0.95, e dice que e tiee ua cofiaza del 95% que el itervalo cotega el valor decoocido ; o bie, de 00 itervalo aleatorio que e tome 95 de la vece cotedrá el parámetro y ólo 5 vece o lo cotedrá. Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

3 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote TEMA 0: INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL HACIENDO USO DE LA ESTADISTICA Z Y T.. INTRODUCCIÓN Uo de lo uo má comue de lo itervalo e etimar la media poblacioal. U fabricate puede querar etimar la producció meual promedio de u plata, u repreetate de veta puede etar itereado e etimar u comiió media aual gaada por captacioe, el jefe fiaciero de u baco puede etar itereado e etimar el ahorro meual promedio de u cliete e u año dado, etc. El úmero de circutacia que e ecuetra comumete e el mudo de lo egocio y que requiere de ua etimació de la media poblacioal e cai ilimitado.. DEFINICIÓN E el rago detro del cual e ecuetra la media poblacioal co u ivel de cofiaza dado. P L L - / / L μ L Se preeta lo iguiete cao: fig. CASO I: Uo de la Etadítica Z. i) Muetra grade ( 30), variaza poblacioal coocida y població ormal o o. L = - Z = - Z 0 0 L = + Z = + Z Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

4 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote ii) Muetra grade ( 30), variaza poblacioal decoocida ormal o o. L = - Z = - Z 0 0 y població L = + Z = + Z 0 0 iii) Muetra pequeña ( < 30), variaza poblacioal coocida y població ormal. L = - Z = - Z 0 0 L = + Z = + Z 0 0 CASO II: Uo de la Etadítica t. Muetra pequeña ( < 30), variaza poblacioal decoocida y població ormal. L = - t = - t 0 0 L = + t = + t 0 0 Dode: t 0 t /, -. ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA El error etádar e ua medida de la diperió de la media de muetra alrededor de la media de la població. Si la diperió dimiuye (i e hace má pequeña), etoce lo valore tomado por la media de la muetra tiede a agrupare ma cercaamete alrededor de. Y a la ivera, i la diperió e icremeta (i e agrada), lo valore tomado por la media de la muetra tiede a agrupare meo cercaamete alrededor de. Al dimiuir el error etádar, el valor de cualquier media de muetra probablemete e acercara al valor de la població, lo que quiere decir que al dimiuir el error etádar, e icremeta la preciió co que e puede uar la media de la muetra para etimar la media de la població. 4 Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

5 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote Si el muetreo e co o i repoició e ua població ifiita (o co utitució e ua població fiita de tamaño N), el error etádar de la media muetral e: i) ( coocida) ii) ( decoocida) Si el muetreo e i repoició e ua població fiita de tamaño N, el error etádar de la media muetra e: N i) ( coocida) N N ii) ( decoocida) N Dode: N N e el factor de correcció para població fiita. NOTA: Geeralmete e utiliza el muetreo i repoició e poblacioe ifiita y fiita de tamaño N Ejemplo : Se deea etimar el ueldo meual promedio de lo trabajadore de ua Emprea X para ello e eleccioa ua muetra aleatoria de 40 trabajadore dode e obtiee que = 70 ole y = 9 ole. Obteer u itervalo de cofiaza para el ueldo promedio de todo lo trabajadore co u ivel de cofiaza del 95%. Solució: a) Se deea etimar: μ: El ueldo meual promedio poblacioal de lo trabajadore. b) Aálii: = 40 (>30) = 70 ole = 9 ole. 5 Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

6 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote Variaza poblacioal decoocida e etima a travé de la muetra. E decir i = 9 ole etoce = 8 ole Població o ormal Para u ivel de cofiaza α = 0.95 Z O. 96 Error etádar de la media muetral e: 9 = = =.4 40 c) Haremo uo de la etadítica Z decrita e el Cao I ii: d) Hallado el itervalo de cofiaza: 9 L = - Z0 = L = + Z0 = L = L = L = = 77. ole L = = 7.78 ole e) Iterpretació: El ueldo meual promedio de lo trabajadore varia etre 77. ole y 7.78 ole co ua cofiaza del 95%. Ejemplo : El gerete de ua cadea de tieda de ropa deea el úmero de cliete que realiza compra, para eto eleccioa ua muetra al azar etre toda la cadea de tieda dode obtuvo lo iguiete reultado repecto al úmero de cliete: 907, 96, 506, 74, 789, 889, 874, 50, 59, 40 Si e upoe que la variable úmero de cliete e ditribuye ormalmete co variaza cliete. Hallar el itervalo de cofiaza del 95% para el úmero de cliete promedio que realiza compra. 6 Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

7 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote Solució: a) Se deea etimar: μ: El úmero de cliete promedio de cliete que realiza compra. b) Aálii: =0 (<30) Variaza poblacioal coocida ( cliete ) etádar e Població ormal. = 00 cliete. = 709. cliete =, etoce la deviació Para el ivel de cofiaza α = 0.95 Z O. 96 Error etádar de la media muetral : 00 = = = 63.4 cliete 0 c) Haremo uo de la etadítica Z decrita e el Cao I - iii d) Hallado el itervalo de cofiaza: 63.4 L = - Z0 = L = + Z0 = L = L = L = = 67 cliete L = = 747 cliete e) Iterpretació: Co ua cofiaza del 95% el úmero de cliete promedio que realiza compra e la tieda varia etre 67 y 747 cliete. 7 Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

8 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote Ejemplo 3: Se deea etimar el gato medio meual de coumo de teléfoo para ello e elige ua muetra aleatoria de 8 cliete de Telefóica S.A., obteiédoe ua media 50 ole y ua deviació etádar Solució: 6 ole. Obteer u itervalo de cofiaza del 90% para µ. a) Se deea etimar: μ: El gato medio meual de coumo de teléfoo e ole. b) Aálii: = 8 (>30) = 50 ole = 6 ole. Variaza poblacioal decoocida ) e etima a travé de la muetra. E decir i = 6 ole etoce = 56 ole Població ormal. Para el ivel de cofiaza α = 0.90 El error etádar de la media muetral e: ZO = = = =.78 8 c) Haremo uo de la etadítica Z decrita e el Cao I ii d) Hallado el itervalo de cofiaza: 8 Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

9 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote 6 L = - Z0 = L = + Z0 = L = L = L = = ole L = = 5.93 ole e) Iterpretació: Co ua eguridad del 90% el gato medio meual de coumo meual varía etre ole y 5.93 ole. Ejemplo 4: Co el fi de medir el redimieto de ua máquia (N de uidade producida), e toma ua muetra y e obtiee lo iguiete reultado: 0, 4,,,, 7, 5. Si abe que el redimieto igue ua ditribució ormal. Ecotrar u itervalo de cofiaza del 99% para el redimieto medio. Solució: a) Se deea etimar: μ: Tiempo medio poblacioal de ejecució e miliegudo de u programa. b) Aálii: =7 (<30) = 3 uidade =.45 uidade Variaza poblacioal decoocida E decir =.45 uidade etoce = 6.00 uidade Població ormal. e etima a travé de la muetra. Para el ivel de cofiaza α = 0.99 to = t0.995,6 = El error etádar de la media muetral e: 9 Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

10 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote 3 = = = c) Haremo uo de la etadítica t: d) Hallado el itervalo de cofiaza:.45 L = - t0 = L = + t0 = L = L =@ L = = 0 uidade L = = 6uidade e) Iterpretació: El redimieto medio de la máquia varía etre 0 y 6 uidade co ua cofiaza del 99%. Ejemplo 5: E ua emprea ditribuidora de producto iformático trabaja 500 peroa. U etudio realizado obre u tamaño de muetra de 30 trabajadore demotró que el ueldo aual promedio era $450, co ua deviació etádar de $50. Etime el ueldo aual promedio de todo lo trabajadore de la emprea co u ivel de cofiaza del 95%. Solució: a) Se deea etimar: μ: Sueldo aual promedio de todo lo trabajadore. 0 Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

11 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote b) Aálii: =30 $450 Variaza poblacioal decoocida e etima a travé de la muetra. E decir = 50 $ etoce = 50$ Població ormal. Se tiee ua població fiita de tamaño N=500, etoce El error etádar de la media muetral e: $50 N N c) Haremo uo de la etadítica Z decrita e el Cao I - ii: d) Hallado el itervalo de cofiaza: N L = - Z0 = N N L = + Z0 = N L = L = L = = $43.63 ole L = = $ ole e) Iterpretació: El ueldo aual promedio de todo lo trabajadore varía etre $43.63 y $ co ua cofiaza del 95%. Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

12 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote TEMA : TAMAÑO DE MUESTRA CUANDO EL PARAMETRO ES LA MEDIA POBLACIONAL USANDO EL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE. CALCULO DEL TAMAÑO MUESTRAL USANDO EL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Caracterítica de la Població Tamaño de la muetra Tamaño de la població ifiita o decoocido. Z e Tamaño de la població fiita. Z N Z e (N ) Dode: N Z -/ e Tamaño de la muetra. Tamaño de la població. Valor correpodiete a la ditribució de Gau Z =.96 para = 0.05 y Z =.576 para = 0.0. (Utilizar Tabla II). Valor de la variaza poblacioal. E cao de o coocere e etima por la variaza muetral ( ) a travé de ua muetra piloto Error que e prevé cometer. e L m L fig. 3 Ejemplo 6: Ua muetra de 5 familia reveló u gato emaal de promedio de 50 ole y ua deviació etádar de 30 ole. Cuál deberá er el tamaño míimo de la muetra para u error máimo emaal de 4 ole, para u ivel de cofiaza del 99%? Solució: La deviació etádar e ha obteido a travé de ua muetra etoce: Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

13 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote =30 ole. Para el ivel de cofiaza α = 0.99 Z0.975 =.576 e = 4 ole. La població e ifiita o decoocida. La formula a utilizar erá la iguiete: = Z e (.5.76) (30) = (4) = 373 familia Ejemplo 7: Ua muetra aleatoria de lo alario e ole por hora para ueve trabajadore e: 0.5,, 9.5,, 0,.5, 3, 9, 8.5. El muetro e realizó obre ua població ditribuida ormalmete y e deea calcular u itervalo de cofiaza para el alario promedio de lo trabajadore. Hallar el tamaño míimo que debe teer la muetrea para que co u ivel de cofiaza del 95%, el error de etimació o upere a lo 0.3 ole, e ua població de 600 trabajadore. Solució: La deviació etádar e decoocida y e ha obtiee a travé de la muetra: =.47 ole hora Para el ivel de cofiaza α = 0.95 t0.95,8 =.86. Se utiliza la etadítica t por teer ua muetra meor que 30 dato. e = 0.3 ole. La població e fiita de tamaño N=600 trabajadore. La formula a utilizar erá la iguiete: t -a N = t + e (N -) -a 3 Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :

14 Uiveridad Lo Ágele de Chimbote = (.86) (.47) 600 (.86) (.47) + (0.3) (600 -) = 76 trabajadore. Ejemplo 8: Se quiere hacer ua ecueta para etimar el tiempo promedio por emaa que lo iño utiliza la Iteret. Por etudio ateriore e abe que la deviació etádar de dicho tiempo e de.5 hora, co u ivel de cofiaza del 95% Qué tamaño de muetra e debería elegir i el error de etimació putual o e uperior a media hora, i e població de 500 iño de u colegio X? Solució: La deviació etádar e coocida e ha obteido a travé de la població..5 hora. Para el ivel de cofiaza α = e 0.5hora. La població e ifiita o decoocida. La formula a utilizar erá la iguiete: Z Z Z e N (N ) (500 ) 8 iño. 4 Elaborado por : Mg. Carme Barreto R. Fecha : Setiembre 00 Verió :