Contraste de hipótesis

Transcripción

1 Capítulo 6 Cotrate de hipótei Termiamo eta itruió e la iferecia etadítica co ete tercer método. Co frecuecia, el problema plateado o e implemete la etimació de u parámetro, io el dieño de ua regla de deciió obre la aceptació o rechazo de cierta afirmació realizada obre la població etudiada. Etableceremo etoce u cotrate, prueba o tet de hipótei, cuyo objetivo erá decidir, co algua medida obre co qué eguridad, la veracidad de la afirmació, o hipótei marcada. De forma equemática, el problema e platea e la etapa iguiete: a) Se etablece ua hipótei, que llamaremo hipótei ula y deotaremo H 0, y frete a ella otra hipótei H, o hipótei alterativa. b) Se realiza u experimeto aleatorio para el que e abe que i H 0 e cierta, la probabilidad de que ocurra cierto uceo S e pequeña. ocurre S, e rechaza H0 ; c) Si al realizar el experimeto o ocurre S, e acepta H 0. La jutificació etá e el hecho de que abemo que de er cierta H 0, S e de probabilidad pequeña, luego i ha ocurrido S e ha dado u uceo batate improbable, o bie H 0 e fala. Lo cotrate de hipótei e claifica e paramétrico y o paramétrico. E lo primero ocurre que al determiar el valor de u parámetro, la ditribució poblacioal queda determiada. E otro cao, etaremo ate u cotrate de hipótei o paramétrico. E la primera eccioe o dedicaremo a lo cotrate paramétrico, auque parte del leguaje e comú a ambo.. Cocepto báico Supogamo que e cooce que cierta població X igue ua ditribució dada por ua fució de maa P θ (o fució de deidad f θ ), dode θ Θ. Sea (X... X N ) ua muetra aleatoria de X. Supogamo dada ua partició del epacio paramétrico: e do ubcojuto mutuamete excluyete. Θ Θ 0 Θ 99

2 00 CAPÍTULO 6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS Defiició.. U tet para cotratar la hipótei ula H 0 : θ Θ 0 frete a la hipótei alterativa H : θ Θ, coite e decidir, para cada poible muetra, i aceptamo o rechazamo H 0. Por lo tato, u tet coitirá e dividir el epacio muetral (cojuto de toda la poible muetra) e do regioe: ua regió crítica R, o de rechazo de H 0 ; y ua regió A, de aceptació de H 0. El problema etá e cómo tomar eta deciió de la maera meo erróea poible. Obérvee que co u tet e puede cometer, báicamete, do tipo de errore: Error de tipo I : rechazar H 0 cuado o e debe (H 0 e cierta) Error de tipo II: aceptar H 0 cuado o e debe (H 0 e fala). La iguiete fució o da ua medida de cada uo de eto errore: Defiició.2. La fució de potecia de u tet co regió crítica R, para cotratar H 0 : θ Θ 0 frete a H : θ Θ, e la fució que a cada θ Θ le hace correpoder el valor P θ (R) P θ ( rechazar H 0 ). Co ete uevo cocepto, e claro que o itereará que la fució de potecia tome valore: próximo a 0 iempre que θ Θ 0 : pequeña probabilidad de error tipo I; próximo a iempre que θ Θ : pequeña probabilidad de error tipo II. Lo que e uele hacer e exigir que la fució de potecia o upere cierto valor, pequeño, cuado θ Θ 0 ; y procurar, depué, que ea lo mayor poible cuado θ Θ. Defiició.3. El ivel de igificació (o tamaño) de u tet co regió crítica R, para cotratar H 0 : θ Θ 0 frete a H : θ Θ, e el valor α máx θ Θ 0 P θ (R). (E decir, la máxima probabilidad de cometer el error de tipo I). Aí, e fija cierto ivel de igificació α, pequeño, y e exige al tet que o lo upere. De eta maera, e etá acotado la máxima probabilidad de error tipo I. Co eta maera de proceder, vemo que lo papele de la hipótei ula y alterativa, o o imétrico. El hecho de que acotemo la máxima probabilidad de error tipo I, por u valor próximo a cero, hace que difícilmete rechacemo H 0 cuado o e debe. Como coecuecia, lo tet de hipótei que uamo habitualmete, tiede a er muy coervadore co la hipótei ula. Por upueto, la deciió e toma a partir de ua muetra, y por tato, ete tipo de tet eceita que la evidecia muetral e cotra de H 0 ea uficietemete fuerte para rechazarla.

3 . CONCEPTOS BÁSICOS 0.. Tet de razó de veroimilitude El método má utilizado para la cotrucció de tet razoable para cotratar H 0 frete a H e el método de razó de veroimilitude. Expoemo a cotiuació la idea, que e muy ecilla e ituitiva, e el cao dicreto (para el cotiuo, bata utituir la fució de maa por fució de deidad). Supogamo que X e ua població co fució de maa P θ. Para cada poible muetra, (x... x ), e coidera el iguiete cociete: máx P θ (x... x ) θ Θ 0 máx P (cociete de veroimilitude). θ(x... x ) θ Θ Si ete cociete e pequeño, e coidera poco plauible (a la vita de la muetra obteida) que el verdadero valor de θ eté e Θ 0. E ete cao, lo má razoable e rechazar H 0. Si, por el cotrario, el cociete e grade, lo má razoable e aceptar H 0. La elecció del puto crítico que epare la regió de rechazo de H 0 (cociete pequeño), de la de aceptació (cociete grade), e realiza fijado u determiado ivel de igificació α. Defiició.4. El tet de razó de veroimilitude para cotratar H 0 : θ Θ 0 frete a H : θ Θ, al ivel de igificació α, e el que tiee como regió crítica: máx P θ (x... x ) θ Θ R (x... x ) : 0 máx P θ(x... x ) c θ Θ dode c e obtiee de la codició: α máx θ Θ0 P θ (R). Ejercicio Ecribir la defiició correpodiete al cao de ua població cotiua. El uo extedido de eto tet e debe al hecho de que, para poblacioe ormale, queda reducido a regla muy ecilla (y muy relacioada co lo itervalo de cofiaza), como muetra el iguiete ejemplo. Ejemplo 42 Supogamo que (X... X N ) e ua muetra aleatoria de ua població co ditribució N(µ ; σ), dode lo do parámetro o decoocido. Se quiere realizar u cotrate de hipótei obre el poible valor de la media poblacioal, µ. Cocretamete, vamo a realizar el tet de razó de veroimilitude para cotratar: H 0 : µ µ 0 frete a H : µ µ 0 al ivel de igificació α. Primeramete, obérvee cómo e divide el epacio paramétrico al realizar eta hipótei: Θ {θ (µ σ) : µ σ > 0} Θ 0 {(µ σ) ; µ µ 0 } Θ {(µ σ) ; µ µ 0 } E egudo lugar queremo etudiar el cociete etre do veroimilitude máxima: co θ Θ 0, para el umerador; y e todo el epacio paramétrico, Θ, para el deomiador. La veroimilitud que cada muetra, (x... x ), tiee e eta població, X N(µ ; σ), e: f θ (x... x ) ( 2π ) (σ) exp 2σ 2 (xi µ) 2.

4 02 CAPÍTULO 6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS Ahora bie, lo máximo de eta veroimilitude e alcaza e lo valore correpodiete a lo etimadore de máxima veroimilitud. Cocretamete, teemo: el valor máx f θ(x... x ) e alcaza e el etimador de máxima veroimilitud θ Θ µ x σ 2 (x i x) 2 e decir: máx θ Θ f θ(x... x ) ( 2π ) [ (xi x) 2 ] exp /2 2 (xi x) 2 (x i x) 2 exp [ (xi x) 2 ] /2 2 2π el valor máx f θ (x... x ) e alcaza e el etimador de máxima veroimilitud θ Θ 0 σ 2 (x i µ 0 ) 2 y por tato: máx θ Θ 0 f θ (x... x ) ( 2π ) [ (xi µ 0 ) 2 ] exp /2 2 (xi µ (x i µ 0 ) 2 0 ) 2 exp [ (xi µ 0 ) 2 ] /2 2 2π Aí el cociete de máxima veroimilitude ería: (xi x) 2 /2 (xi µ 0 ) 2 máx f θ (x... x ) θ Θ 0 máx f θ(x... x ) θ Θ (xi x) 2 (xi x + x µ 0 ) 2 /2 (xi x) 2 /2 (xi x) 2 + ( x µ 0 ) 2 + x µ 0) 2 xi x) 2 Ua última maipulacioe a eta expreió o lleva a la igualdad: máx f θ (x... x ) /2 /2 θ Θ 0 máx f θ(x... x ) + x µ 0) 2 θ Θ + x µ 0 ) 2 xi x) 2 2 / + /2 x µ 0 / 2 /2 para el cociete de veroimilitude máxima, dode 2 e la cuai variaza muetral. De eta maera, la regió crítica ería de la forma: máx f θ (x... x ) /2 θ Θ R (x... x ) : 0 máx f θ(x... x ) c (x... x ) : 2 c θ Θ (x... x ) : x µ0 2 / c (x... x ) : + x µ 0 x µ 0 / / c 2

5 . CONCEPTOS BÁSICOS 03 El valor de c 2 e obtiee impoiedo que el tet tega ivel de igificació α: x µ 0 α máx P θ (R) máx P θ (R) máx P θ θ Θ 0 µµ 0 µµ 0 / c 2 Ahora bie, e ete cao abemo que x µ 0 / t y aí: c 2 t ; α/2 E defiitiva, hemo obteido que la regió crítica para cotratar la hipótei ula H 0 : µ µ 0 frete a la hipótei alterativa, H : µ µ 0, al ivel de igificació α e: R (x... x ) : x µ 0 t ; α/2 Obervacioe. U par de coideracioe repecto a ete tet. a) Etá muy ligado a la etimació por itervalo de cofiaza. E efecto, la regió de aceptació de ete tet e: A (x... x ) : x µ 0 < t ; α/2 (x... x ) : x t ; α/2 < µ 0 < x + t ; α/2. Podemo decir, etoce, que ete tet para cotratar H 0 : µ µ 0 frete a H : µ µ 0, al ivel de igificació α, acepta la hipótei ula iempre que, realizada ua muetra, µ 0 ea u valor e el itervalo x ± t ; α/2. Por otra parte, éte e u itervalo de cofiaza, a ivel α, para etimar la media poblacioal, µ, de ua població X N(µ ; σ), co σ decoocida. E defiitiva, uetro tet de razó de veroimilitude, co ivel de igificació α, rechaza la hipótei ula, H 0 : µ µ 0, iempre que µ 0 o eté e el correpodiete itervalo de cofiaza (al ivel de cofiaza α) para µ. b) El fucioamieto del tet e muy razoable. Se quiere etimar µ, y tomamo u etimador de máxima veroimilitud, la media muetral x. La hipótei ula afirma la igualdad µ µ 0, de maera que e razoable eperar que x eté próxima a µ 0. El alejamieto permitido para eguir aceptado la hipótei ula depederá del tamaño muetral y del ivel de igificació α. El tet de razó de veroimilitude o fija el máximo alejamieto permitido, y aí: rechazaremo H 0 i x µ 0 t ; α/2.

6 04 CAPÍTULO 6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS Co dearrollo aálogo al del ejemplo, e obtiee lo tet de razó de veroimilitude para otro cotrate, que preetamo e la ecció 2. Su aplicació a ituacioe reale paa por decidir, e primer lugar, qué tet e ajutará mejor al problema, aí como el ivel de igificació a fijar para rechazar la hipótei ula. E importate, por tato, obervar cierta coideracioe obre cómo hacer eta eleccioe. Elecció de hipótei ula Como ya e ha idicado, lo tet o batate coervadore co la hipótei ula, iedo, e particular, aimétrico el papel de éta y la hipótei alterativa. E la ituacioe má frecuete, o ecotraremo ate uo de lo do iguiete problema: a) Se quiere cotratar θ θ 0 y θ θ 0. E ete cao, teemo ua clara aimetría e la partició del epacio paramétrico, y iempre e toma como hipótei ula H 0 : θ θ 0. b) Má problemática e la elecció de hipótei ula cuado e quiere cotratar θ < θ 0 frete a θ > θ 0. Debido a la tedecia coervadora del tet para la hipótei ula, tomaremo como hipótei alterativa aquella para la que eceitemo que la evidecia muetral ea uficiete como para aceptarla. E otra palabra, tomaremo como hipótei alterativa aquella que deeemo probar etadíticamete. Eto o reuelve toda la ituacioe poible, pue o iempre etará claro qué e lo que e quiere probar etadíticamete. Elecció del ivel de igificació El ivel e elige e bae a lo eria que e coidere la coecuecia de rechazar equivocadamete H 0 (o, lo que e lo mimo, de aceptar equivocadamete H ). Cuato má deatroa e coidere la coecuecia de eta poible equivocació, má pequeño e deberá tomar el ivel de igificació. Lo ivele de igificació má extedido o: 0.0 ; 0.05 ; ó 0.0. El p valor El p valor de ua muetra para cotratar H 0 frete a H e puede defiir como: la probabilidad evaluada bajo H 0 ) de obteer u reultado meo compatible co la hipótei ula que el proporcioado por la muetra obteida. De eta maera podemo iterpretar el p valor de ua muetra como el apoyo que lo dato aporta a H 0. Si ete p valor e ecuetra por debajo del ivel de igificació elegido, e tedrá u ecao apoyo a H 0, y deberemo rechazar la hipótei ula. Si, por el cotrario, el p valor de ua muetra etá por ecima del ivel de igificació elegido, hay uficiete apoyo a la hipótei ula y éta puede er aceptada. El cálculo del p valor de ua muetra o e ecillo, y e ale del cometido de ete curo. Hay programa iformático que lo realiza, pero aquí o limitaremo a aber iterpretarlo i, de algua maera, o lo hace aber.

7 2. TEST DE HIPÓTESIS MÁS FRECUENTES Tet de hipótei má frecuete α ivel de igificació del cotrate. H 0 hipótei ula. tamaño de la muetra. R regió crítica o de rechazo de H 0..- X N(µ σ) σ H 0 : µ µ 0 σ coocida) R x µ 0 > z α/2 H 0 : µ µ 0 σ decoocida) R x µ 0 > t ;α/2 H 0 : µ µ 0 σ coocida) R H 0 : µ µ 0 σ decoocida) R H 0 : µ µ 0 σ coocida) R H 0 : µ µ 0 σ decoocida) R H 0 : σ σ 0 R H 0 : σ σ 0 R H 0 : σ σ 0 R 2.- X B( p) (muetra grade) H 0 : p p 0 R x p 0 > z α/2 H 0 : p p 0 R x p 0 > z α H 0 : p p 0 R x p 0 < z α σ x µ 0 > z α x µ 0 > t ;α σ x µ 0 < z α x µ 0 < t ; α 2 / χ 2 σ0 2 ; α/2 χ2 ;α/2 2 > χ 2 σ0 2 ;α 2 < χ 2 σ0 2 ; α p 0 p 0 ) p 0 p 0 ) p 0 p 0 ) 3.- X P (λ) (muetra grade) H 0 : λ λ 0 R x λ 0 > z α/2 λ0 / H 0 : λ λ 0 R x λ 0 > z α λ0 / H 0 : λ λ 0 R x λ 0 < z α λ0 /

8 06 CAPÍTULO 6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 4.- Do poblacioe Normale idepediete 2 p y f calculado como e lo itervalo de cofiaza) σ H 0 : µ µ 2 σ σ 2 coocida) R x ȳ > z 2 α/2 + σ2 2 2 H 0 : µ µ 2 σ σ 2 ) R x ȳ > t +2 2;α/2 p + 2 H 0 : µ µ 2 σ σ 2 ) R x ȳ > t 2 f;α/ σ H 0 : µ µ 2 σ σ 2 coocida) R x ȳ > z 2 α + σ2 2 2 H 0 : µ µ 2 σ σ 2 ) R x ȳ > t +2 2;α p + 2 H 0 : µ µ 2 σ σ 2 ) R x ȳ > t 2 f;α σ H 0 : µ µ 2 σ σ 2 coocida) R x ȳ < z 2 α + σ2 2 2 H 0 : µ µ 2 σ σ 2 ) R x ȳ < t +2 2; α p + 2 H 0 : µ µ 2 σ σ 2 ) R x ȳ < t 2 f; α H 0 : σ σ 2 R 2 / 2 2 / F ; 2 ; α/2 F ; 2 ;α/2 H 0 : σ σ 2 H 0 : σ σ 2 R { 2 / 2 2 > F ; 2 ;α} R { 2 / 2 2 < F ; 2 ; α} 5.- Comparació de proporcioe (muetra grade e idepediete) X B( p ), (X... X ) m.a.. de X i p x i + i y i Y B( p 2 ), (Y... Y 2 ) m.a.. de Y + 2 H 0 : p p 2 R x ȳ > z α/2 p ( p) + 2 H 0 : p p 2 R x ȳ > z α p ( p) + 2 H 0 : p p 2 R x ȳ < z α p ( p) + 2 x + 2 ȳ + 2

9 3. CONTRASTES χ 2 07 Ejemplo 43 Ua fábrica viee utilizado u proceo A e la elaboració de u artículo a bae de caucho. Se acaba de decubrir u uevo proceo B de fabricació del mimo artículo que parece que requiere meo caucho. Para decidir i e cierto e eleccioa ua muetra de A 5 artículo fabricado por proceo A y otra de B 7 fabricado por el proceo B. La catidad de caucho utilizada para cada muetra, e gramo, dio como reultado x A 400, A 9, x B 385, B 0.5. Supógae que la catidad de caucho utilizada igue, e ambo cao, ua ditribució ormal co la mima variaza. A la vita de eta muetra, qué deciió e tomará co ivel de igificació α 0.05? Solució: Pueto que el iteré etá e probar que la catidad de caucho utilizada por el proceo B e meor que la utilizada por el A, e cotratará la iguiete hipótei: H 0 : µ A µ B ; H : µ A > µ B iedo X A N(µ A ; σ) y X B N(µ B ; σ), co σ decoocida. E ete cao la regió de rechazo e: R x A x B > t + B 2;α p + A B Cálculo: A + B t 30; t 30;0.05 p p ( A ) 2 A + ( B ) 2 B A + B p x A x B Podemo decir, etoce, que e tiee la uficiete evidecia muetral para aceptar que el uevo proceo B requiere meo caucho para la mima producció. 3. Cotrate χ 2 Hata ahora iempre hemo upueto que la muetra aleatoria, (X... X ), procedía de ua població X co cierto modelo de probabilidad, del que decoocíamo el valor del parámetro θ. No podemo, por cotra, ecotrar ate el problema de decoocer el tipo de modelo que igue la població. Cuado la hipótei e realiza obre el modelo, y o ólo obre algú parámetro, o ecotramo co lo cotrate de validació del modelo, que o cotrate o paramétrico. E lo 3 tipo de problema que vamo a aalizar, realizaremo cotrate de hipótei. E la decripció de la regió crítica aparecerá cierto etadítico que eguirá, aproximadamete, ua ditribució χ 2 de Pearo (de aquí el título de la ecció).

10 08 CAPÍTULO 6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 3.. Cotrate de la bodad del ajute Supogamo que X e ua variable aleatoria de la que upoemo igue cierta ditribució determiada por P. Dada ua muetra aleatoria, (X... X ), de la mima, queremo ver i, a la vita de la muetra, e razoable admitir que la ditribució de X e la euciada. Por tato, e quiere cotratar la hipótei: H 0 : el modelo de probabilidad de X e P H : el modelo de probabilidad de X o e P Para realizar el cotrate e toma ua partició (arbitraria) del epacio muetral de la població (poible valore de X) e k clae, A,..., A k. Para cada A i (i... k) e coidera la iguiete frecuecia (aboluta): O i frecuecia obervada e A i úmero de elemeto de la muetra que e ha ituado e A i e i frecuecia eperada e la clae A i i la hipótei ula e cierta De éta, la primera, al er frecuecia obervada, e obtiee de la muetra. Para la frecuecia eperada, e i, obérvee que cada A i ocurrirá co probabilidad P (A i ) i upoemo cierta la hipótei ula. Ahora bie, el uceo A i ólo puede ocurrir, o o ocurrir, de maera que P (A i ) la probabilidad de que ocurra A i, e cada obervació, i H 0 e cierta y aí, e la obervacioe, eta frecuecia eperada, e i, e la eperaza de ua B(; P (A i )): e i P (A i ). La idea de ete tipo de cotrate (debida a Pearo), e evaluar la diferecia exitete etre frecuecia obervada y eperada, y etablecer u valor a partir del cual e coidera que la mima o uficietemete igificativa para rechazar el modelo. El etadítico que e utiliza para realizar el cotrate e: k (O i e i ) 2 Si la hipótei ula e cierta (el modelo e el adecuado), ete etadítico (para uficietemete grade), igue ua χ 2 t de Pearo co t, igual a e i k grado de libertad i el modelo epecifica completamete la probabilidade de cada A i ate de elegir la muetra k r grado de libertad i e precio etimar r parámetro para obteer la probabilidade de cada A i. E cao de teer que realizare, e ua lo etimadore de máxima veroimilitud para lo parámetro. Deotaremo por χ 2 0 a ete etadítico. Fijado el ivel de igificació, α, e obtiee el valor χ 2 t; α (t k ó k r ) tal que P (χ 2 t > χ 2 t;α) α, y e adopta la iguiete regla de deciió: i χ 2 0 k (O i e i ) 2 e i > χ 2 t; α e rechaza el modelo.

11 3. CONTRASTES χ 2 09 Fórmula para el cálculo del etadítico. Para el cálculo de χ 2 0 e uele utilizar la iguiete idetidad: k χ 2 (O i e i ) 2 k Oi 2 0. e i e i Ejercicio 2 Demotrar la fórmula aterior. Solució: k χ 2 (O i e i ) 2 k Oi 2 2O i e i + e 2 i 0 e i e i k O 2 i e i 2 + pue e evidete que k O i, y que k P (A i ). k k P (A i ) O 2 i e i 2 k k O i + O 2 i e i Ejemplo 44 Cao ) Para etudiar i u dado e imétrico e ha lazado 20 vece, obteiedo el, 20 vece; el 2, 30 vece; el 3, 5 vece; el 4, 25 vece; el 5, 22 vece y el 6, 8 vece. Cotrátee la hipótei de imetría al ivel de igificació α Solució: La hipótei de imetría afirmaría que el modelo de probabilidad que igue la variable X reultado al lazar el dado, viee dado por la fució de maa P co P (X ) P (X 2) P (X 3) P (X 4) P (X 5) P (X 6) 6. Cotrataremo, pue, la iguiete hipótei: H 0 : el dado e imétrico (P () P (2) P (3) P (4) P (5) P (6) /6) H : el dado o e imétrico. Utilizamo el cotrate χ 2, calculado el valor del etadítico χ (O i e i ) 2 que eguirá ua ditribució χ 2 co 6 5 grado de libertad. La iguiete tabla o ayuda a evaluar el etadítico: x i O i e i O i e i (O i e i ) 2 O i e i ) 2 e i χ Obérvee que e i P (X x i ) para todo lo reultado. 6 Por otra parte, χ 2 5; , y como 4.9 >.070, la muetra obteida o permite cocluir que el dado o e imétrico, al ivel de igificació e i k e i

12 0 CAPÍTULO 6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS Ejemplo 45 Cao 2) El úmero X de llamada telefóica recibida por miuto e ua cetralita e ua variable aleatoria cuya ditribució puede er ua Poio. Se realiza 80 experiecia de u miuto, obteiédoe lo iguiete reultado: x i úmero de llamada i frecuecia Calcúlee la media muetral x y utilícee u cotrate χ 2 para etudiar al ivel 0.05 i e aceptable la hipótei de que la variable X igue ua ditribució de Poio de parámetro λ x. Solució: x (i x i ) Se quiere, ahora, realizar u cotrate co hipótei ula de maera que la frecuecia eperada erá: H 0 : X Poio (.4625) e i 80 e.4625 (.4625) x i x i E la iguiete tabla recogemo, co do decimale, lo dato que o lleva al cálculo del etadítico χ 2 0 O i e i ) 2 e i. x i O i e i O i e i (O i e i ) 2 O i e i ) 2 e i χ Para determiar la regla de deciió, e coidera ua χ 2 co 6 4 grado de libertad, pue e ha etimado parámetro. Al ivel de igificació marcado, α 0.05, e tiee χ 2 4; Pueto que 2.2 < e acepta la hipótei de que el modelo de Poio e apropiado para decribir la variable X, al ivel 0.05 de igificació Cotrate de homogeeidad de poblacioe Supogamo que etamo itereado e etudiar i cierta caracterítica X, e comporta de igual maera e r poblacioe. Tomaríamo muetra de la mima, de maera idepediete, e la r poblacioe. Tedríamo, pue, r muetra idepediete, co u correpodiete tamaño muetrale, digamo 2... r, que podemo preetar como: (X... X )... (X r... X rr ). Para decidir obre eta cuetió e cotrata la hipótei: H 0 : X e ditribuye homogéeamete e la r poblacioe: X P H : X o e ditribuye homogéeamete e la r poblacioe..

13 3. CONTRASTES χ 2 E la realizació de ete cotrate, tomamo ua partició (arbitraria) del epacio muetral comú a la r poblacioe e k clae A... A k. Para cada clae A i (i... k) e coidera O ij frecuecia obervada e A i e la muetra j éima e ij frecuecia eperada e la clae A i co la muetra j éima, i la hipótei ula e cierta j P (A j ). Aí la coa, para la muetra j éima k χ 2 (O ij e ij ) 2 0j χ 2 k e ij aproximadamete para j grade, como vimo e el cotrate aterior. Si umamo lo r etadítico, χ χ 2 0r, obteido de la r muetra idepediete, teemo: r r k χ 2 00 χ 2 (O ij e ij ) 2 0j χ 2 rk ). e ij j j Si embargo, o queda u problema por reolver: o coocemo la ditribució P que igue X. Normalmete, ólo e quiere cotratar i el comportamieto de X e homogéeo e toda la poblacioe, pero o cuál e ee comportamieto (qué ditribució cocreta igue). Por tato, teemo que etimar P (A i ) (i... k), y lo hacemo a partir de la obervacioe mediate: r j P (A i ) O ij (i... k) + + r Deotemo por la uma de todo lo tamaño muetrale: + + r. Co la etimació adoptada para cada P (A i ), la frecuecia eperada erá: e ij j P (Ai ) j r j O ij Ua fórmula má imétrica, y quizá má fácil de recordar, para el cálculo de la frecuecia e ij, e obtiee obervado que: la uma de toda la frecuecia obervada e ua mima població, k O ij, debe coicidir co el tamaño muetral de ea població, j. Aí, podemo calcular e ij co la expreió: r j e ij O ij j E defiitiva, el etadítico utilizado e: ( k O ij)( r j O ij) χ 2 00 r k (O ij e ij ) 2 e j ij que igue, cuado H 0 e cierta, aproximadamete (para grade) ua ditribució χ 2 rk ) k ) χ 2 r )k ). Obérvee que, auque e ha etimado la k probabilidade P (A i ), i... k, o hace falta etimar ua de ella, pue etre toda ha de umar. De aquí que el úmero de grado de libertad de la χ 2 baje ólo k uidade.

14 2 CAPÍTULO 6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS Aí, rechazaremo la hipótei ula H 0 : X e ditribuye homogéeamete e la r poblacioe, al ivel de igificació α, i: χ 2 00 r k (O ij e ij ) 2 > χ 2 r )k );α. e ij j Fórmula para el cálculo del etadítico. Como e el cao aterior, e uele utilizar la iguiete idetidad para el cálculo del etadítico: χ 2 00 r j k (O ij e ij ) 2 e ij r j k O 2 ij e ij. Ejercicio 3 Demotrar la fórmula aterior. Ejemplo 46 Se ha dividido ua població e do grupo, oltero y caado, y e ha eleccioado muetra de 40 oltero y 50 caado. Se le ha pedido opiió obre determiada ley, reultado lo dato de la tabla A favor E cotra Abteció Totale Soltero Caado Totale: Cotrátee al ivel 0.05 i lo reultado o homogéeo para lo do grupo. Solució: La hipótei de homogeeidad e: H 0 : la opiió obre ea ley e ditribuye homogéeamete etre oltero y caado. Adoptamo la iguiete otació: O 5; O 2 0; O 3 5; O 2 2; O 22 20; O O j O + O 2 + O úmero de oltero ecuetado 2 j 3 O 2j O 2 + O 22 + O úmero de caado ecuetado j total de ecuetado F a favor, C e cotra, A abteció P (F ) 2 O i P (C) 2 O i2 2 P (A) O i3 O + O 2 90 O 2 + O O 3 + O ó tambié: P (A) P (F ) P (C)

15 3. CONTRASTES χ 2 3 Aí, e obtiee la iguiete frecuecia eperada: e P (F ) e 2 2 P (F ) e 2 P (C) e 3 P (A) e 22 2 P (C) e 23 2 P (A) Podemo ahora calcular el valor del etadítico, y uaremo la fórmula r k O χ 2 ij 2 00 dode k 2 (hay 2 tipo de poblacioe), y r 3 (tre opiioe). E defiitiva: χ j 2 O 2 ij e ij 3 O 2 j j e j j e ij + O2 2j e 2j 90 O2 + O2 2 + O2 2 + O O2 3 + O e e 2 e 2 e 22 e 3 e Ahora bie, para ua χ 2 co (3 )(2 ) 2 grado de libertad y α 0.05 reulta que χ 2 2; Como el valor del etadítico, , e meor que 5.99 χ 2 2;0.05, aceptamo (al ivel 0.05) la hipótei ula, e decir, que la opiió obre la ley citada e ditribuye homogéeamete etre oltero y caado Cotrate de idepedecia Supogamo ahora que e quiere etudiar i do caracterítica, X e Y, de ua població etá o o relacioada. Para ete etudio, e recoge dato muetrale de amba caracterítica cojutamete, obteiedo ua muetra de dato agrupado: (X Y )... (X Y ). Lo que e pretede e ver i, a la vita de la muetra, tiee etido admitir que X e Y o idepediete. Cotrataremo, pue, la hipótei: H 0 : H : X e Y o idepediete X e Y o o idepediete. Como e cao ateriore, e toma ua partició (arbitraria) del epacio muetral, e ete cao, para la variable (X Y ). Para ello, partimo el epacio muetral de X (poible valore de X) e k clae, A... A k ; y el de Y e r clae B... B r. Eta particioe o da ua partició del epacio muetral de (X Y ) e k r clae: A B... A B r A 2 B... A 2 B r A k B... A k B r.

16 4 CAPÍTULO 6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS Sea, ahora: O ij frecuecia obervada e la clae A i B j e ij frecuecia eperada e la clae A i B j, i e upoe idepedecia (H 0 cierta) P (A i )P (B j ) La primera e obtiee de la muetra, y para la eguda e ua la etimacioe: r j P (A i ) O k ij ; P (Bj ) O ij de maera que, la frecuecia eperada i H 0 fuera cierta, tomado eta etimacioe, ería: r e ij P (A i ) P j (B j ) O k ij O r ij j O k ij O ij. Se toma el etadítico: χ 2 00 r j k (O ij e ij ) 2 que igue, cuado H 0 e cierta, aproximadamete (para grade) ua ditribució χ 2 co rk (k ) (r ) (r )(k ) grado de libertad. Como e puede obervar, el etadítico aterior coicide co el utilizado para el cotrate de homogeeidad, auque tiee u orige ditito. E ete cao, e ha etimado k de la k probabilidade P (A i ), para i... k, y r de la r probabilidade P (B j ), para j... r. Fialmete, e rechazará la hipótei de idepedecia (H 0 ), al ivel de igificació α i: χ 2 00 r j e ij k (O ij e ij ) 2 > χ 2 r )k );α. e ij Ejemplo 47 Para etudiar la depedecia etre el hábito de fumar y la hiperteió, e tomaro lo iguiete dato obre 200 idividuo No fumadore Fumadore Totale Hiperteo No hiperteo Totale: Realícee el cotrate adecuado al 5 de igificació. Solució: Se trata de u cotrate de idepedecia obre la caracterítica X er fumador, e Y ufrir hiperteió. Tomamo como hipótei ula: H 0 : ufrir hiperteió o depede de er fumador. Lo dato aportado o dice que e ha dividido lo epacio muetrale e la iguiete clae: A NF o fumador, A 2 F fumador, para la caracterítica X; B H hiperteo, B 2 NH o hiperteo, para la caracterítica Y. La muetra, para (X Y ), e de 200 idividuo.

17 3. CONTRASTES χ 2 5 Para realizar el cotrate utilizaremo el etadítico: χ (O ij e ij ) 2 e j ij iedo: O 23 ; O 2 74 ; O 2 54 ; O P (NF ) 77 P (F ) P (H) 97 P (NH) e P (NF ) P (H) e 2 P 200 (F ) P (H) e 2 P (NF ) P (NH) e 22 P 200 (F ) P (NH) Utilizado la fórmula de la ecció precedete para el etadítico, e obtiee: χ O 2 ij e j ij O2 e + O2 2 e 2 + O2 2 e 2 + O2 22 e Para decidir, a ivel de igificació 0.05, comparamo ete valor co χ 2 t; 0.05 para ua χ 2 co t(2 )(2 ) grado de libertad: χ 2 ; Como el etadítico toma u valor uperior, hemo de rechazar H 0, y e cocluye (al 0.05 de igificació) que hay depedecia etre la hiperteió y el hábito de fumar. Problema Cotrate paramétrico. Se abe que ua vacua e efectiva cotra cierta efermedad e el 25 % de lo cao. Para decidir i ua ueva vacua e má efectiva, e admiitra a 0 peroa y e adopta la iguiete regla de deciió: i el úmero de peroa protegida e mayor que 4 e admite la ueva vacua. a) Qué tipo de cotrate e debe utilizar? Idíquee la hipótei apropiada. b) Decribir la regioe de aceptació y de rechazo. c) Calcúlee la probabilidade de error tipo I y tipo II para el cao e que la ueva vacua ea efectiva e u 50 % de lo cao. 2. Dada ua muetra aleatoria de tamaño 5 de ua població N(µ ; ), e decide que µ < 5 iempre que x c (para cierta cotate c).

18 6 CAPÍTULO 6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS a) Epecificar qué cotrate de hipótei realizaríamo. b) Para u ivel de igificació α 0.05: b. Obtégae c. b.2 Determíee la potecia del tet para µ 4. b.3 Calcular P aceptar H 0 µ Ua emprea fabrica cuerda cuya reitecia media a la rotura e de 300 kg., co deviació típica 24 kg. Ua muetra de 64 cuerda fabricada mediate u uevo proceo dio ua reitecia media de 30 kg. La compañía deea etudiar i, efectivamete, el uevo proceo da mejore reultado que el atiguo. Realizar dicho etudio, co ivele de igificació 0.0, 0.05 y La logitud media de lo eje fabricado por ua compañía e 7.05 mm co deviació típica 0.5 mm. Ua muetra de tamaño 36, eleccioada como cotrol del proceo, dio ua media de 6.95 mm. Cabe eperar, a partir de ete dato, que hay algú fallo e el proceo de producció? (Tómee ivel de igificació α 0.05.) 5. Se ha aplicado u tet de memoria a u gra úmero de etudiate, ecotrádoe deviacioe típica de 33.5 para lo alumo y de 38.2 para la aluma. Aplicado el tet a 38 alumo y 45 aluma e obtuviero putuacioe media de 65.4 y 76.6 repectivamete. Se puede aegurar, al ivel de cofiaza α 0.05, que el reultado del tet de memoria e idepediete del exo? 6. Ua muetra de 200 bombilla de la marca A dio ua vida media de fucioamieto de 2280 hora co deviació típica de 80 hora. Otra muetra de 80 bombilla de la marca B dio vida media 2320 hora co deviació típica 00 hora. Se puede afirmar, al ivel 0.0, que e mayor la vida media para la marca B? 7. U laboratorio de farmacia afirma que u producto que elabora e efectivo para aliviar cierta moletia e o meo del 90 % de lo cao e 2 hora. Ee medicameto recetado a ua muetra aleatoria de 300 peroa eferma dio bue reultado, al cabo de 2 hora, e 240 cao. Se puede aceptar al ivel de igificació 0.0 que la afirmació del laboratorio e correcta? 8. Se abe que cierto medicameto e efectivo e el alivio de cierta dolecia e el 60 % de lo cao. Lo reultado experimetale obre u medicameto uevo admiitrado a ua muetra de 44 peroa que ufría ea dolecia, muetra 00 cao co alivio. Se puede cocluir, al ivel 0.05, que el uevo medicameto e má efectivo que el atiguo. 9. U fabricate de cierto artículo produce do marca del mimo. E ua muetra de 200 coumidore, 64 había coumido la primera marca, y e otra muetra de 20, 22 había coumido la eguda. Se puede afirmar que exite preferecia igificativa por la primer marca? Nivel Ua fábrica dipoe de ua ecció dedicada a empaquetar lo artículo producido, trabajado e turo de mañaa y tarde. La experiecia ha demotrado que la ditribució del tiempo de empaquetado de u artículo e aproximadamete ormal e lo do turo. Ua muetra de 20 tiempo de empaquetado del turo de mañaa (M) dio cuaivariaza 5.2 miuto y otra de

19 3. CONTRASTES χ tiempo del turo de tarde (T) dio cuaivariaza 6.4 miuto. Cotrátee la hipótei ula σm 2 σ2 T frete a la alterativa σ2 M > σ2 T, al ivel U fabricate de pila eléctrica afirma que la vida de la pila que fabrica etá ditribuida de forma ormal co deviació típica 0.8 mee. Se eleccioa ua muetra de 6 pila reultado ua deviació típica muetral de a) Se puede aegurar al ivel 0.05 que σ > 0.8? b) Ua muetra de 0 pila de otro fabricate dio cuaivariaza Se puede cocluir al ivel 0.02 que la variaza para la do marca e la mima? 2. Se coidera buea la edició de u libro i el úmero medio de errata por págia o upera el 0. (H 0 ). Dada la prueba de impreta, e elige 0 págia al azar, y e rechaza la prueba i e oberva 2 ó má errata. Se upoe que el úmero de errata por págia igue ua Poio. Qué ivel de igificació tiee el cotrate? Co qué probabilidad aceptaremo u libro i realmete tiee ua media de 0.2 errata por págia? 3. E ua picifactoría e deea cotratar la hipótei (H 0 ) de que el porcetaje de pece adulto que mide meo de 20 cm. e, como máximo, del 0 %. Para ello, e va a tomar ua muetra de 6 pece, y rechazaremo H 0 i ecotramo má de u pez co logitud iferior a 20 cm. a) Cuál e el ivel de igificació de ete cotrate? b) Calcular la potecia del cotrate i e realidad hay u 20 % de pece que mide meo de 20 cm. 4. La cocetració media de dióxido de carboo e el aire e ua cierta zoa o e habitualmete mayor que 355 p.p.m.v. (parte por milló e volume). Se opecha que eta cocetració e mayor e la capa de aire má próxima a la uperficie. Para cotratar eta hipótei e aaliza el aire e 20 puto elegido aleatoriamete a ua mima altura cerca del uelo. Reultó ua media muetral de 580 p.p.m.v y ua cuai deviació típica muetral de 80. Supoiedo ormalidad para la medicioe, proporcioa eto dato uficiete evidecia etadítica, al ivel 0.0, a favor de la hipótei de que la cocetració e mayor cerca del uelo? Idicar razoadamete i el p valor e mayor o meor que Se va a probar do medicameto, A y B, cotra ua efermedad. Para eto, tratamo 00 ratoe efermo co A y otro 00 co B. El úmero medio de hora que obrevive co A e x 200, y el úmero medio co B e ȳ 400. Supoiedo ormalidad e ambo cao, e pide: a) Para α 0.0, e puede aceptar igualdad de variaza i abemo que (x i x) y (y i ȳ) ? b) E má efectivo el medicameto B? Platear el cotrate adecuado para etudiar eto co u ivel de cofiaza del 95 %.

20 8 CAPÍTULO 6. CONTRASTE DE HIPÓTESIS 6. Co objeto de etudiar i la pulacioe e lo hombre puede coiderare meore que e la mujere, e tomaro muetra de 6 hombre y 6 mujere, obteiédoe lo iguiete dato: Hombre (X): Mujere (Y): Qué e puede decir al repecto? 7. Se tiee alguo idicio de que el coumo de tabaco tiede a provocar problema de tromboi debido a u aumeto e la capacidad de coagulació. Para etudiar eta hipótei, Levie (973) extrajo muetra de agre de idividuo ate y depué de que fumae u cigarrillo y midió la capacidad de agregació de la plaqueta, obteiedo lo dato iguiete (correpodiete al máximo porcetaje de plaqueta que e agregaro depué de haber ido ometida a u etímulo adecuado): Ate: Depué: Hay uficiete evidecia etadítica (al ivel de igificació 0.0) a favor de la hipótei de que lo fumadore preeta mayor tedecia a la formació de coágulo? Idicar la codicioe que e requiere para que el tet utilizado ea válido. Cotrate χ 8. Se abe que e cierta provicia durate u año dado ha acido 7423 iño y 7043 iña. E aceptable la hipótei de igualdad de probabilidad de acimieto de iño y iña e ea provicia? Utilícee el ivel de igificació Ua muetra aleatoria de 3839 obervacioe de ua població e la que e ha claificado a lo idividuo e cuatro tipo A, B, C y D ha dado la iguiete compoició: Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D Cotrátee i e aceptable, al ivel del %, la hipótei: H 0 : P (A) 9/6 P (B) P (C) 3/6 P (D) / Lo dato iguiete correpode al úmero de libro etregado e prétamo por ua biblioteca durate lo ditito día de ua cierta emaa. Utilizado el ivel de igificació 0.05, cotrátee la hipótei de que el úmero de libro pretado o depede del día de la emaa. Lue Marte Miércole Jueve Viere Libro pretado Co objeto de cotratar la hipótei de igual probabilidad de acimieto de hijo que de hija, e etudiaro 200 familia de cuatro hijo co lo iguiete reultado: úmero de hijo varoe úmero de familia Cotrátee la hipótei al ivel de igificació α 0.05.

21 3. CONTRASTES χ Ajútee a lo dato iguiete ua ditribució ormal y etúdiee la bodad del ajute (al 5 %). Clae Frecuecia E Epaña, lo tato por cieto de peroa de lo grupo aguíeo O, A, B y AB o, repectivamete, 39, 44, 3 y 4. Se eleccioa ua muetra de 200 idividuo de ua població ituada e ua zoa motañoa co malo acceo, reultado 7 peroa del grupo O, 69 del A, 4 del B y 9 del AB. Cotrátee, al ivel 0.0, i eto reultado cocuerda co lo dado para Epaña. 24. Se ha aplicado a tre grupo de paciete tratamieto ditito A, B y C, obteiédoe lo reultado de la tabla para el úmero de paciete co recaída. Co recaída (R) Si recaída (NR) A B C Cotrátee al ivel del 5 % i puede coiderare homogéeo lo reultado obteido para lo tre tratamieto. 25. Depué de lazar u dado 500 vece, e ha obteido la iguiete tabla de frecuecia: x i i Al ivel e igificació 0.05, e puede afirmar que el dado e regular? 26. Se claificaro 000 idividuo de ua població egú el exo y egú fuera daltóico o o. La tabla de frecuecia obteida fue: Maculio Femeio Daltóico 38 6 No daltóico Segú u modelo geético, la probabilidade debería er: q 2 2 q2 p 2 2 p2 + pq iedo q p la proporció e la població de gee que provoca el daltoimo. A partir de la muetra, e ha etimado que q Cocuerda lo dato co el modelo? 27. Ua fábrica de automóvile quiere averiguar i la preferecia de modelo tiee relació co el exo de lo cliete. Se toma do muetra aleatoria de 000 hombre y 000 mujere, obervádoe la iguiete preferecia: Modelo Sexo A B C Mujer Hombre So homogéea la preferecia etre hombre y mujere, al ivel de igificació 0.0?