DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO MUESTRAL PARA LA SELECCIÓN DE POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL

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1 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO MUESTRAL PARA LA SELECCIÓN DE POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN WEIBULL Alejadro Quiroz Zárate & Erique Villa Diharce Comuicació Técica No I-06-3/ (CC/CIMAT)

2 Determiació del tamaño muetral para la elecció de poblacioe co ditribució Weibull. Alejadro Quiroz Zárate Erique Villa Diharce 2 aquiroz@cimat.mx, villadi@cimat.mx 2 Reume La eceidad de reducir coto y elevar la calidad de lo producto e la idutria, ha llevado a la emprea a la diámica de ahorrar y mejorar la calidad de u producto cotiuamete. U factor muy importate e eta tarea o lo proveedore de lo compoete que e utiliza como materia prima. Por eto e que co gra frecuecia e tiee el problema de eleccioar el mejor proveedor de etre vario que ofrece u compoete determiado. De acuerdo a la ueva iiciativa de calidad, el coto ha dejado de er el criterio úico para eta elecció, agregádoe ahora la co abilidad como u factor muy importate. E ete artículo e preeta u procedimieto de elecció para la ditribució Weibull. La elecció de eta ditribució fue de acuerdo a u criterio de co abilidad, por er eta ditribució ua de la ma comue e la modelació de tiempo a la falla. Itroducció El problema de elecció de poblacioe e ecuetra e diferete cotexto de aplicació, e dode cotamo co varia poblacioe y debemo elegir ua de ella, que ea la mejor de acuerdo a algú criterio de comparació. E la idutria e comú dipoer de vario proveedore de u determiado compoete y teer que elegir al proveedor cuyo producto ea el mejor, de acuerdo a algú criterio de comparació. Cuado la co abilidad del producto e la caracterítica determiate, etoce la comparació de lo proveedore debe llevare a cabo coiderado métrica de co abilidad, como por ejemplo, la vida media o la co abilidad a u cierto ivel determiado. Lo dato de lo compoete que o da iformació de u ivel de co abilidad, o lo tiempo de vida, razó por la requerimo coocer procedimieto de comparació de poblacioe, para poblacioe cuya ditribucioe correpoda a ditribucioe de tiempo de vida. Tomado e cueta que ua ditribució de tiempo de vida muy frecuete e la ditribució Weibull, e ete trabajo dearrollamo u procedimieto para determiar el tamaño muetral eceario de la diferete poblacioe que comparamo, cuado la ditribució e Weibull. E la ecció 2, e expoe el plateamieto geeral del problema de elecció de poblacioe. E eta ecció e da lo elemeto eceario para poder obteer el tamaño muetral eceario para lograr ua determiada probabilidad de elecció correcta. Preprit ubmitted to Elevier Sciece 25 March 2006

3 E la ecció 3, e dearrolla el procedimieto que o permite determiar el tamaño muetral requerido para eleccioar la mejore poblacioe de etre u grupo de k (k > ) poblacioe co ditribució Weibull. La comparació e hace e térmio del parámetro de ecala de la ditribucioe Weibull, coiderado que eta tiee el mimo parámetro de forma. Tambié e muetra el fucioamieto geeral del programa elaborado (T ama~o M uetral) para ete trabajo para el cálculo de lo tamaño muetrale. E la ecció 4, e muetra u ejemplo de elecció de proveedore de bola de aire para automóvile, aquí e compara ei proveedore y e elije a lo do mejore. E la ecció 5, e expoe la cocluioe del trabajo y e decribe el trabajo a dearrollar poteriormete como cotiuació del preete etudio. 2 Plateamieto geeral Supogamo que teemo k poblacioe, y que detro de eta exite ua que e la "mejor" població, dode "mejor" e de ido por el ivetigador de acuerdo al cotexto del problema. Nuetro objetivo e ideti car ea població, a la mejor població. Como cualquier procedimieto etadítico, la técica de elecció etá baada e lo reultado de muetra aleatoria tomada de la k poblacioe. Para poder ideti car a la mejor població eceitamo etablecer u procedimieto o regla. Ete procedimieto etará ujeto a la ditribució de la k poblacioe y al parámetro de iteré que tomamo como referecia para de ir y eleccioar a la mejor població. Para eto, etablecemo ua medida de dicrepacia etre lo parámetro de referecia de la poblacioe bajo comparació. Debido a que la dicrepacia etre la poblacioe e etima por la dicrepacia muetrale correpodiete y eta tiee ua variabilidad aleatoria atural, requerimo que la dicrepacia muetrale etre do poblacioe ea mayor que u valor umbral para ideti- car ua diferecia etre eta poblacioe. Ete valor umbral lo de irá el ivetigador de acuerdo al cotexto del problema o lo itrumeto. Aí, i la mejor població di ere de la demá cuado meo e u valor míimo preetablecido podremo ideti carla. Exite la poibilidad de que la població de la cual e obtuvo el mejor parámetro etimado (de acuerdo al procedimieto etablecido) o tega e realidad el mejor parámetro. Por ete motivo e que e eceita cuati car la poibilidad de cometer errore. Primero aalizaremo la aturaleza del error que e puede cometer e u procedimieto de elecció etadítico, depué etableceremo ua medida de dicrepacia y e bae a eta y a la aturaleza del error e baará uetra cuati cació de lo errore. 2

4 2. La loofía de la elecció de poblacioe El etablecimieto de u procedimieto de elecció iduce la de ició de ua variable aleatoria X: Eta variable aleatoria depederá de la muetra que obtegamo de cada població y del parámetro de iteré co el cual efectuaremo la elecció. Vamo a upoer que eta variable aleatoria, para impli car el problema del procedimieto etadítico de elecció, tiee algua ditribució F (x; ): La diferecia que e regitre e la obteció de la k medicioe e X; re eja la diferecia etre lo k parámetro repectivo, ; 2 ; : : : ; k La obervacioe o tomada de maera idepediete y etá ditribuida de la iguiete maera: Població 2... k Ditribució F (x; ) F (x; 2 )... F (x; k ) Hay que teer e coideració que e etá cotruyedo toda ua metodología de elecció alrededor de u parámetro totalmete decoocido e cada ua de la poblacioe, lo i, para poder hacer iferecia obre u comportamieto. Para poder etablecer el error que e puede cometer e u proceo de elecció, upogamo que la mejor població tiee el parámetro (k). Eta otació eta ujeta a la de ició de mejor població y al procedimieto de elecció. Ahora, ituitivamete e razoable obteer el etimador e i para cada i de la obervacioe correpodiete y etablecer que la mejor població e la que tega e (k) : Ete procedimieto parece razoable pero la poibilidad de cometer u error iempre exite, pueto que podemo aber de que població proviee e (k) ; má o abemo i ea població e la "mejor": Co el de etablecer el tipo de error que e puede cometer e u procedimieto etadítico de elecció, aalicemo lo errore e el cao del paradigma de Neyma-Pearo e la teoría de prueba de hipótei. No e puede hacer ua comparació directa por la diferecia loó ca etre eto procedimieto. E teoría de prueba de hipótei, bajo el paradigma de Neyma- Pearo, la idea loó ca radica e que el ivetigador tiee ua hipótei acerca del feómeo e cuetió y utilizará la maquiaria de ete paradigma para corroborar o o la hipótei. E u procedimieto etadítico de elecció, la loofía e muy ditita, el ivetigador utiliza lo que ya abe de la poblacioe para iferir cual e la "mejor" població, má el uca etableció hipótei algua. E por eto, que lo má que e puede hacer e ua aalogía, y eo e lo que haremo. Lo errore que e puede cometer e ua prueba de hipótei aplicado el paradigma de Neyma-Pearo o: el de rechazar H 0 (la hipótei ula) cuado e cierta, llamado error Tipo I o el de o rechazar H 0 cuado eta e fala, llamado error Tipo II. 3

5 Situació Real H 0 verdadera H 0 fala Deciió del No rechazar H 0 No hay error Error (T ipoii) Etadítico Rechazar H 0 Error (T ipoi) No hay error E ua prueba cláica co la hipótei ula de homogeeidad etre lo parámetro, el error de Tipo I olamete e puede cometer e el ubcojuto del epacio parametral e dode = 2 = : : : = k y el error de Tipo II olamete e puede cometer e el ubcojuto del epacio parametral e dode la igualdad o e matiee. E u procedimieto de elecció, la elecció e correcta i el valor de de la població eleccioada e el "mejor", eto e (k) : Hay que teer e cueta que uetro objetivo o e etimar (k) ; i tomar deciió algua obre el valor de (k) io olamete eleccioar a la població que tiee el valor de igual a (k) : Por lo que olamete e comete error i la elecció e icorrecta, eto e, a rmar que el valor de de la població eleccioada e el "mejor" cuado o lo e. E por eta razó que e lo procedimieto de elecció exite el aálogo del error de Tipo II pero o exite el aálogo del error de Tipo I. Supogamo que la població de la cual proviee (k) e la j éima: Situació Real Deciió del (k) = j (k) 6= j Etadítico A rmar que e (k) proviee de la j éima població X 2.2 Apecto aalítico del problema de elecció de la mejor població 2.2. Zoa de Idiferecia y Zoa de Preferecia Recordemo el plateamieto geeral. Supogamo que teemo k poblacioe y que uetro objetivo e eleccioar a la "mejor" detro de éta. (Etamo upoiedo que k 2). Dada eta upoicioe, el epacio parametral e R k dim() ; pue el parámetro o eceariamete e uidimeioal. Podemo teer vario procedimieto de elecció, h = ; 2; :::; m: Eto procedimieto de elecció etará e fució del o de lo parámetro obre lo que e hará la elecció. Para elegir el procedimieto que o de el meor error de elecció, cuati caremo lo procedimieto mediate ua probabilidad de elecció correcta. De amo a P h como la probabilidad de ua elecció correcta utilizado el procedimieto de elecció h: El procedimieto g erá el mejor procedimieto de elecció i atiface que: P g P h ; 8h 2 f; 2; :::; mg; Si embargo, como el epacio parametral cota de ua i idad de elemeto, habrá zoa de éte e dode g ea el mejor procedimieto y otra zoa e la que k ea el mejor 4

6 procedimieto, dode k 2 f; 2; :::; mg fgg. Eta maera de proceder o e del todo e ciete, pero o proporcioa ua maera de proceder. Para poder etablecer el mejor procedimieto aalizaremo el epacio parametral, dividiédolo e zoa de valore de 2 e dode podamo etablecer la preferecia de hacer ua elecció correcta y e otra e dode o podemo etablecer preferecia etre ditita eleccioe. Eta zoa etará e fució de la limitació y la exitecia de errore e la medició o e el umbral jado por el ivetigador. La regioe o: ) ua e la cual la ditacia etre lo parámetro de la poblacioe ea grade o ditiguible del umbral, llamada zoa de preferecia (ZP) y 2) otra e dode la ditacia etre lo parámetro de la poblacioe ea pequeña o iditiguible, llamada zoa de idiferecia (ZI). Para ejempli car como e particioa el epacio parametral veamo lo iguiete: Supogamo que teemo k poblacioe y que uetro objetivo e eleccioar a la "mejor" detro de éta, dode la mejor erá la població que tega el parámetro má grade (Etamo upoiedo que k 2). E decir, e otació de etadítica de orde: [] ; [2] ; :::; [k] tal que [i] [i+] y queremo eleccioar [k] : Bajo eta otació etamo coiderado a todo lo parámetro [] ; [2] ; :::; [k] : Ahora, como queremo eleccioar a la població que tega [k] ; e atural coiderar ada má la diferecia etre [k] y [k ] ; pue i la diferecia etre eta o permite difereciar a la mejor, tambié lo hará la diferecia etre la demá. Aí, por la propiedade de la etadítica de orde, hemo reducido la dimeió del epacio parametral. El epacio que ha reultado e = f( [k ] ; [k] )j [i] 2 Rg R 2 : Pero, cómo podremo dividir al epacio parametral e la zoa ZP y ZI? De amo como ( [k ] ; [k] ) = [k] [k ] ; la medida de dicrepacia que utilizaremo. Debido a uetra limitacioe e lo proceo de medició, errore e lo experimeto o la codicioe impueta por el cotexto del problema del ivetigador, e ja u umbral. A partir de ete umbral e de e la zoa de preferecia (ZP) y de idiferecia (ZI), de la iguiete maera: e dode e el umbral. ZP [k] [k ] ZI [k] [k ] < 5

7 Fig.. Ejemplo de la repreetació grá ca de la zoa de preferecia (ZP) y de idiferecia (ZI) iducida por la medida de dicrepacia Probabilidad de ua elecció correcta De aquí e adelate deotaremo a la elecció correcta por SC. Etoce, la probabilidad de ua elecció correcta bajo cualquier co guració 2 e P (SCj): Eta probabilidad debe de er grade i 2 ZP y pequeña i 2 ZI: Siedo uetro objetivo eleccioar a la mejor població, cetraremo uetra ateció de SC e ZP. Auque puede uceder que e la ZP exita i ita co guracioe lo que complicaría e gra medida el problema de ecotrar P (SCj): Si embargo, puede exitir ua co guració e ZP e la cual P (SCj) ea míima. A eta co guració le llamaremo la co guració meo favorable (CMF) y e deotará MF = ( ;MF ; 2;MF ; ::: k;mf ): Cuado eta co guració exita cetraremo uetra ateció olamete a ella, pueto que o brida ua cota iferior a toda la probabilidade de ua elecció correcta. De eta maera habremo impli cado el problema. P (SCj) P (SCj MF ); 8 2 ZP: E importate aclarar que la MF puede o er u vector io tambié puede er u cojuto de vectore, lo que explica el porque de u ombre: co guració meo favorable, i 6

8 embargo, e importate otar que P (SCj) = P para 8 2 CMF. Hata aquí teemo todo lo elemeto eceario para poder implemetar u procedimieto de elecció etadítica. Vamo a ilutrarlo. Supogamo que teemo k poblacioe co cierta ditribució coocida, y detro de eta queremo eleccioar a la mejor de acuerdo al valor má grade de u cierto parámetro o cierto parámetro de u vector de parámetro. El primer pao e etablecer ua etadítica apropiada T. Eta etadítica deberá er apropiada de acuerdo al parámetro o parámetro de iteré, aí como tambié a la ditribució de la poblacioe y al objetivo del procedimieto. Deotemo a T i como el valor de la etadítica de la població i éima co i 2 f; 2; :::; kg: Deotemo a T [i] a lo etadítico de orde, etoce tedremo T [] T [2] ::: T [k] : Como uetro objetivo e eleccioar a la població que tega [k] ; etoce el procedimieto de elecció R e implemete ecoger a la població de la que provega T [k] : Eta maera de proceder e batate aceptable, auque urge de maera atural do puto cruciale que etá ligado. ) Etimació del tamaño de la k muetra, elegida de la poblacioe correpodiete. 2) Etimació de la verdadera probabilidad de ua elecció correcta. E ete trabajo cetraremo uetra ateció e la etimació del tamaño míimo muetral de la k poblacioe de tal maera que podamo teer ua co abilidad etablecida Determiació del tamaño de muetra Para determiar el tamaño de muetra aumimo que el experimeto etá e la etapa de dieño, dode requerimo determiar el tamaño de muetra de cada població para poder etablecer que el procedimieto de elecció que hemo decrito o lleve a ua elecció correcta co ua probabilidad determiada. Sea k el úmero de poblacioe co la que cotamo. Nuetro objetivo e el determiar lo tamaño de muetra, i ; i 2 f; 2; :::; kg de tal maera que la probabilidad de ua elecció correcta ea al meo u P epeci cado. Por lo que, para poder implemetar eta metodología el ivetigador eceita etablecer P y como e ve e la ecció aterior, e eceita tambié la epeci cació del umbral : Hay que otar que e debe teer P > ; pue i o lo e, podemo alcazar tal co abilidad i k iquiera teer la eceidad de obteer dato. Utilizado la otació de la ecció aterior teemo que uetro objetivo e obteer lo tamaño de muetra míimo para poder aegurar lo iguiete: P (SCj) P ; para 8 2 ZP. 7

9 2.3 Geeralizació de lo apecto aalítico del problema de elecció de la mejore poblacioe La loofía del problema de elecció de la mejore poblacioe e aáloga al cotexto de la elecció de la "mejor "població. El cotexto e ete cao e el iguiete: queremo eleccioar al "mejor" grupo de poblacioe, e dode, ete grupo eta cotituido por poblacioe de u total de k: Dada eta ituació, el epacio parametral cambia, pue la zoa de preferecia (ZP) y la zoa de idiferecia (ZI) o modi cada, veamo porque: teemo k poblacioe y uetro objetivo e eleccioar a la "mejore" detro de éta, dode la mejore erá la que tega lo parámetro má grade (Etamo upoiedo que k 2). E decir, e otació de etadítica de orde, queremo eleccioar a [k] ; [k ] ; :::; [k +] :Bajo eta otació etamo coiderado a todo lo parámetro [] ; [2] ; :::; [k] : Como queremo eleccioar a la "mejore" e atural coiderar ada má la diferecia etre [k +] y [k ] ; pue i la diferecia etre eta o permite difereciar a la mejor, tambié lo hará la diferecia etre la demá. Aí, por la propiedade de la etadítica de orde, hemo reducido la dimeió del epacio parametral. El epacio que ha reultado e = f( [k +] ; [k ] )j [i] 2 R; i 2 fk + ; k gg R 2 : Al igual que e el cotexto de la elecció de la mejor població, de iremo como la medida de dicrepacia a: ( [k +] ; [k ] ) = [k +] [k ] ; Por lo ya ate mecioado, por uetra limitacioe e la metodología de medició y tambié por la codicioe impueta por el cotexto del problema del ivetigador, e ja u umbral, a partir del cual e de e la zoa de preferecia (ZP) y de idiferecia (ZI), de la iguiete maera: ZP [k +] [k ] ZI [k +] [k ] < e dode e el umbral de ido por el ivetigador de acuerdo al cotexto del problema. El etablecimieto de la probabilidad de elecció correcta erá aáloga al cao de la elecció de la "mejor" població, pueto que el epacio parametral e olamete ua proyecció ditita del epacio paramatral. 8

10 3 Selecció de la mejore poblacioe co ditribució Weibull, co lo parámetro de ecala má grade co parámetro de forma coocido E eta ecció dearrollaremo la idea geeral de la obteció del tamaño muetral que o permitirá eleccioar la poblacioe detro de u cojuto de k poblacioe, co ditribució Weibull, que tega el parámetro de ecala má grade. El dearrollo de ete procedimieto de elecció eta baado e lo trabajo para la elecció de la poblacioe, co ditribució ormal, que tega la media ma grade detro de u cojuto de k poblacioe. ( [], [2],[3] y [4]). E el cotexto de la poblacioe co ditribució ormal, e upodrá que la variaza o coocida. E ete cotexto, e que la poblacioe tiee ditribució Weibull, upoemo que lo parámetro de forma o coocido e iguale. La elecció de la mejor població detro de u cojuto de k poblacioe e u cao particular del cao geeral que aquí e muetra, ya que ete cao e tiee cuado = : 3. Plateamieto del problema Se tiee k poblacioe idepediete co ditribució Weibull. De eta e ha recolectado la obervacioe T i;j W eibull( i ; ) dode i k y j k :Aquí k e el tamaño de la muetra que elegimo de la k eima població. E ete cotexto, etamo aumiedo que el parámetro de ecala i e decoocido y que el parámetro de forma, ; e coocido. Caracterizaremo a cada població por u parámetro de ecala y de iremo como la mejore poblacioe a la que tega lo parámetro de ecala má grade. Eta elecció e deeará co ua probabilidad de al meo P y de acuerdo al cotexto del problema e geeral e deea que lo parámetro de ecala ma grade e diferecie de lo retate k e al meo u: Dado que la obervacioe tiee ditribució Weibull e tiee lo iguiete j X T j = T i;j j ; j ; () i= dode j k: A partir de lo aterior e tiee que E(T j ) = j = j j V ar(t j ) = 2 j = j 2 j Para la elecció de la mejore poblacioe, eceitamo ua maera de medir la dicrepacia. Ua maera de hacerlo e tomado la diferecia de lo valore eperado de la etadítica. Pero i procedemo de eta maera o efretaremo a ua complicació, que la ditacia etará depediedo, ademá del parámetro de ecala, del tamaño de la muetra; 9

11 y eo e algo que o e deea. Evitamo eta complicació, tomado el cociete de lo valore eperado e itroduciedo la retricció de que e toda la poblacioe tomaremo el mimo tamaño de muetra. Procediedo de eta maera y teiedo e cueta el aálii hecho e la ecció.3, tedremo lo iguiete: [k ] [k +] ; [k ] = = [k ] [k +] [k +] = [k ] [k +] Notemo que : R 2 +! (0; ]: Teiedo e cueta de que el objetivo e eleccioar a la "mejore" poblacioe que di era, e cociete, u cierto valor u co repecto a lo parámetro de ecala de la ditribució Weibull de la k poblacioe retate, el umbral elegido fue: ( u) : Ate de eguir, itroduciremo ua retricció ma, que coite e que la variaza muetrale ea toda iguale: V ar (T j ) = c; para j k: 3.2 Obteció del tamaño de muetra bajo la probabilidad de ua elecció correcta El objetivo e determiar el tamaño muetral de la poblacioe para eleccioar a la "mejore" poblacioe, que di era de la demá e u cierto umbral. Eta elecció e hará tomado e coideració el error que e pueda cometer, etablecido e la ecció.. Ete error e cuati cará co la probabilidad co la que e quiera hacer la elecció correcta. Por eta razó la probabilidad de elecció correcta erá fució del tamaño muetral () y depederá del umbral que e je ( u ) y de la probabilidad co la que e quiera hacer la elecció correcta (P ): La maera de ideti car la "mejore" poblacioe erá mediate la etadítica T j dada e (). Deotaremo por T (j) a la etadítica de orde, que atiface E T (j) = [j] ; co i k: Como e quiere eleccioar a la "mejore" poblacioe que di era e u umbral dado, queremo calcular la probabilidad de que max T () ; T (2) ; :::; T (k ) < T(k +) < mi T (k +2) ; T (k +3) ; :::; T (k) ; pueto que lo úico que o importa e eleccioar a la "mejore" poblacioe i importar el orde de éta iempre y cuado di era de la k retate e u cierto umbral que e jará co repecto a la població k + : A partir de eto e tiee la expreió iguiete: P h max T () ; T (2) ; :::; T (k ) < T(k +) < mi T (k +2) ; T (k +3) ; :::; T (k) i = P (2) E fácil ver que (2) e equivalete a P [ T () ; T (2) ; :::; T (k ) ; T (k) 2 C] = P (3) 0

12 e dode C = f T () ; T (2) ; :::; T (k ) ; T (k) 2 R k j0 < T (i) < T (k +) ^ T (k +) < T (j) < ^ ::: :::0 < T (k +) < g; co i k y k + 2 j k: Dearrollado (3) teemo lo iguiete: P [ T () ; T (2) ; :::; T (k ) ; T (k) 2 C] = t (j) Z Z 0 t (k +) : : : Z t (k +) Z t(k 0 +) Z t(k : : : 0 +) ky j= t (j) e [j] (j) ( (j) ) [j] (j) dt (j) dt (k +) = Z t 0 () Z 0 (k +) e [k t (k [k +] +) +] ky j= Y ; (t (k +) ) [k +] [j] ; (t (k +) ) k j= ky j=k +2 [j] ; (t (k +) ) 2 4 [j] ; (t (k +) ) 5 dt (k +) = ky j=k [j] ; (t (k +) ) 5 dt (k +) = P ; dode e la fució de deidad de la ditribució Gama y e la fució de ditribució. Ahora por la retricció de que la variaza muetrale o toda iguale a ua cotate c teemo que: 2 j = c, j = r c : Por el etablecimieto de u y por el etablecimieto de la medida de dicrepacia, teemo que el dearrollo aterior e reduce a: Z P = 0 Z = p 0 ( c ;)(t (k Z = p 0 ( c ;)(t (k Y ; (t (k +) ) [k +] ky +)) j= +)) k j= (( u )p c ;)(t (k (( u )p c ;)(t (k [j] ; (t (k +) ) ky j=k +2 ky +)) j=k +2 k +)) [j] ; (t (k +) ) 5 dt (k +) (4) ;)(t (k ;)(t (k +)) dt (k 3 +) +)) dt(k +): El tamaño muetral que deeamo coocer, e la olució a eta ecuació, la cual o tiee forma cerrada y por lo tato debemo obteerla e forma umérica. Para eto, de amo a la iguiete fució: Z G() = p 0 ( c ;)(t (k +)) (( u )p c ;)(t (k k +)) ;)(t (k +)) dt(k +): (5) Reparametrizamo éta fució de la iguiete maera: ea t (k +) = ( p c (k +)): Por la regla de la cadea abemo que (f (x)) 0 = : Aplicado ete cambio de variable dx f 0 (f (x))

13 a la fució de ditribució Gama, teemo que: ;)(x) 0 = 0 ;) por lo que (5) e reduce a lo iguiete: dx ;)(x) = dx ( p c ;) ;)(x) ; Z G() = p 0 ( c ;)(t (k Z ;) 0 ::: " ;) +)) ; ) (z (k +) )!" (( u) p c ;)(t (k (( u) p c ;) ; ) ; ) (z (k +) ) ;) (z (k +))!# ; ) ; ) (z (k +) )! dz (k +) k +))!# k ;)(t (k ( p (z c (k +) ) ; )! ::: +)) dt(k +) = Z 0 (( u) p c ;) ;)(z (k k h i +)) z(k +) dz(k +) = P : A partir del comportamieto de la fució G(); el cálculo umérico de e obtiee mediate algoritmo de itegració y biecció, etableciedo iicialmete lo valore de el umbral de eparació de la poblacioe ( u ); el úmero de poblacioe de iteré (k y ), la probabilidad co la que e deea hacer la elecció correcta (P ) y el coocimieto de lo parámetro de forma de la poblacioe (). Eto algoritmo fuero implemetado el programa T ama~o M uetral; codi cado e C El programa T ama~o M uetral El dearrollo de la ubecció aterior deja e claro que o exite ua expreió cerrada para el cálculo del tamaño muetral para la elecció de la poblacioe co ditribucioe Weibull co el parámetro de ecala ma grade, detro de u cojuto de k poblacioe. E por eta razó que e implemetó el dearrollo de la ecció aterior e u programa llamado T ama~o Muetral; e el cual lo cálculo e dearrolla de maera umérica. Se preeta ua gura de la vetaa del programa para la obteció del tamaño muetral para ditribucioe Weibull co el mimo parámetro de forma. Para la determiació del tamaño muetral, al igual que e motró e la ubecció aterior, el programa eceita como etrada lo iguiete: ) La probablidad P, co la cual e requiere realizar la elecció correcta de la poblacioe 2

14 Fig. 2. Ejemplo del comportamieto de la fució G(): co el parámetro de ecala ma grade. E la vetaa del programa ete parámetro etará repreetado mediate P : 2) Parámetro de forma de la poblacioe Weibull, ; que e ete cao puede er ua etimació de ete. E la vetaa del programa ete parámetro e repreetará como: P arametro de forma: 3) El parámetro de dicrepacia, u; el cual e la vetaa del programa erá repreetado como Delta: 4) El úmero total de poblacioe co el cual e cueta, K; que tiee la mima repreetació e la vetaa del programa. 5) El úmero de poblacioe que e quiere eleccioar, S; que tiee la mima repreetació e la vetaa del programa. Ua vez que e ha etablecido lo parámetro de etrada e la vetaa del programa, e procede a calcular el tamaño muetral requerido. El programa, ua vez que calcula ete tamaño muetral da como reultado ua grá ca de la variació de la probabilidad e fució 3

15 Fig. 3. Ejemplo de la vetaa del programa para la determiació del tamaño muetral para la elecció de la poblacioe Weibull co mayor parámetro de ecala detro de k poblacioe. E el ejemplo la etrada del programa o del ejemplo preetado del tamaño de muetra. El uuario epeci ca lo límite de la grá ca, etableciedo el límite uperior de la probabilidad hata dode uo quiere ver la grá ca al igual que etablece el límite iferior de la probabilidad. Tambié el programa da como reultado el tamaño muetral como fució de lo parámetro de etrada. Se aexa ua gura e dode e preeta e fucioamieto el programa T ama~o M uetral co lo parámetro del ejemplo que e preetará a cotiuació. 4 Ejemplo Supogamo que el departameto de auto legale de ua compañía automovilítica e la que trabajamo, o pide eleccioar a lo 2 activadore de la bola de aire que dure el mayor tiempo poible e buea codicioe, para depué, haciedo u etudio de mercado e eleccioe al activador de bola de aire que ma covega para poder depue, determiar el tiempo de garatia del automóvil al cliete. E el laboratorio, teemo 6 itema de activació de bola de aire y lo tiempo de vida de lo activadore tiee ditribució Weibull. Se aume, por la aturaleza del experimeto y por lo itema de activació que 4

16 hay e el mercado, que lo parámetro de forma de lo 6 activadore que e tiee o iguale a 3. Como el departameto legal juto co el departameto aciero ha determiado que i e tiee ua diferecia e tiempo de vida de u activador o a otro de a lo má e me y medio, le dará igual eleccioar a uo u a otro, etoce elegimo u valor umbral igual a :5 mee. Como o e quiere teer pérdida de diero iecearia y tampoco e quiere u depretigio a la marca del automóvil, ha jado que e requiere ua elecció correcta co ua probabilidad del 98:5%: Cuato activadore e eceita de cada modelo de activadore de bola de aire dieñado, para poder hacer ua elecció correcta?, teiedo e cueta que para realizar ete experimeto el coto de todo el imobiliario del chai e de $2000 USD: Lo valore de etrada e el programa T ama~o Muetral o e ete ejemplo lo iguiete: ) La probabilidad de elecció correcta: P = 0:985: 2) P arametro de forma = 3 ( = 3): 3) Como la diferecia que queremo obervar e de :5 mee, teemo que u = Delta = :6666 (que e el ivero de :5): 4) El úmero total de poblacioe co la que e cueta e K = 6: 5) El úmero de poblacioe que e quiere eleccioar e S = 2: La olució arrojada por el programa e :59375; lo cual fue redodeado a 2 activadore para cada població. Aí, deberá ometere a ua prueba de vida 2 activadore de cada proveedor y e elige como lo 2 mejore activadore, a lo activadore co mayor tiempo de vida caracterítica. 5 Cocluioe El objetivo de ete trabajo e determiar el tamaño muetral eceario para la elecció de la mejore poblacioe, cuado eta tiee ditribució Weibull. Se coidera procedimieto de elecció para la ditribució Weibull y e obtiee u procedimieto umérico para determiar el tamaño muetral eceario. Debido a que e el cao coiderado o hay expreioe cerrada para obteer el tamaño muetral, e dearrolló u oftware (T ama~om uetral) para obteer el tamaño muetral eceario para la elecció correcta de poblacioe. Como trabajo a futuro e deprede de aquí el etudio de la determiació del tamaño muetral para la elecció correcta de la de k poblacioe ditribuida como Weibull, co mayor vida caracterítica para parámetro de forma tato ditito. Ua tarea a futuro de iteré e ivetigar la obteció del tamaño muetral para la elecció correcta de la mejore poblacioe, e dode la comparació e haga o a travé de la vida caracterítica, io a 5

17 travé de lo cuatile o a travé de la co abilidad a u tiempo de referecia determiado, que puede er u tiempo de garatía o u tiempo de vida útil del producto. 6 Bibliografía []. Bechhofer, R. E. (954). A igle-ample multiple deciio procedure for rakig mea of ormal populatio with kow variace. A. Math. Stat. 25, [2]. Bechhofer, R. E., Hayter, A. J. y Tamhae, A. C. (99). Deigig experimet for electig the larget ormal mea whe the variace are kow ad uequal: Optimal ample ize allocatio. J. Stat. Pla. Ifer. 28, [3]. Bechhofer, R. E., Sater, T. J. y Goldma, D. M. (995). Deig ad Aalyi of Experimet for Statitical Selectio, Screeig, ad Multiple Compario. Wiley Serie i Probability ad Statitic. [4]. Gibbo, J. D., Olki, I y Sobel, M. (977). Selectig ad Orderig Populatio: A New Statitical Methodology. New York: Joh Wiley & So. 6