17 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

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1 7 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA El aálii e el domiio de la frecuecia e u herramieta cláica e la teoría de cotrol, i bie e geeral lo itema que varía co ua periodicidad defiida o uele er lo má comue e la igeiería de proceo. E la actualidad, co el dearrollo de herramieta computacioale la imulació e el domiio del tiempo e mucho má ecilla y e coecuecia ete tipo de aálii ha perdido algo de importacia práctica. No obtate igue teiedo u valor coceptual y ua ecillez e la compreió ituitiva muy importate. Veremo etoce alguo elemeto muy primario, como para teer u primera aproximació. Sea () la fució de traferecia de u itema lieal al que e le aplica ua eñal de etrada que varía iuoidalmete co el tiempo, x(t) = A i t. Por lo tato la repueta etará dada por Si la raíce de la ecuació caracterítica del itema o ditita e podrá realizar la iguiete expaió: 4 Y... Y por lo tato la repueta e el domiio del tiempo erá y dado que lo térmio expoeciale tiede a cero co el tiempo, i o tomamo e cueta la porció iicial de la repueta Eto e, la repueta a largo plazo del itema al que e le aplica ua eñal iuoidal e tambié iuoidal. El mimo reultado e obtiee i e coidera raíce repetida y e el cao de que tega ua raíz ula aparece ademá u térmio cotate. Volviedo uevamete a la expreió e el domiio de Laplace, multiplicado por A e ambo lado de la igualdad A... Expreió que evaluada e = reulta O bie y A Y t 4t t i t co t e e... y 4 t i t A A A Eta expreió e puede repreetar e el plao imagiario como u faor 4 ILM

2 y puede expreare el módulo y el águlo de defaae de la iguiete maera O bie A A A A arcta arcta A A E particular para proceo de primer orde La repueta e el domiio del tiempo a ua etrada iuoidal e A t y t e co t i t Pero el térmio expoecial decae co el tiempo y queda dode ta y A t i t y la amplitud de la alida e ˆ A A Mucha vece e habla de amplitud relativa: E icluo de amplitud relativa ormalizada: Aˆ AR A AR N ILM

3 Phae (deg) Magitude (db) E térmio geerale AR Re Im ta Im Re Si ua fució de traferecia e puede factorear egú Etoce e utituye por a a b c a b c... a b c b c Exite varia forma de repreetar la iformació de u proceo e forma gráfica e el domiio de la frecuecia. Ua de ella e mediate lo diagrama de Bode, dode e repreeta la amplitud y el águlo de defaae e fució de la frecuecia (ormalmete e ecala logarítmica). Por eemplo i repreetamo el itema de primer orde co =, recordado que A arcta La fució de Scilab e bode(l) Frequecy (rad/ec) ILM

4 Phae (deg) Magitude (db) Puede obervare que lo límite a ambo extremo del diagrama para la amplitud o Y para el águlo de fae lim lim log lim lim log log log log lim lim A medida que aumeta la curva coerva la mima forma pero e corre para la izquierda: lim arcta lim arcta 9º tau= tau= tau= Frequecy (rad/ec) U itema de egudo orde puede er cocebido como el producto de do de primer orde, por eemplo * 5 ILM 4

5 Phae (deg) Magitude (db) (tau=) (tau=5) =* Frequecy (rad/ec) Si e u itema de egudo orde ubamortiguado depede del factor de dumpig ILM 5

6 Phae (deg) Magitude (db) El diagrama de Bode de la fució retrao e horizotal para la amplitud y para el águlo de fae tiede a meo ifiito al aumetar la frecuecia. Por eemplo i e Frequecy (rad/ec) La fució itegradora A ILM 6

7 Phae (deg) Magitude (db) Phae (deg) Magitude (db) A = A = A = Frequecy (rad/ec) U cotrolador PI Reulta la iguiete expreioe Y el iguiete diagrama c i A c I arcta I Frequecy (rad/ec) ILM 7

8 ILM 8 U cotrolador PID Y por eemplo co lo iguiete valore Fucioe má complea como por eemplo Se puede decompoer e fucioe má imple d i c I D I D c A arcta e e

9 Imagiary Axi Phae (deg) Magitude (db) Frequecy (rad/ec) Otro tipo de diagrama para repreetar la mima iformació o lo diagrama de Nyquit, dode () e repreeta e forma polar. La fució e Scilab e yquit(l). Por eemplo para 5.5 Nyquit Diagram Real Axi ILM 9

10 Ope-Loop ai (db) Imagiary Axi Por eemplo para la fució aterior Nyquit Diagram e Real Axi Otra forma de repreetació o lo gráfico de Nichol dode e repreeta la amplitud cotra el águlo de defaae. La fució e Scilab e black(l). Por eemplo para la fució aterior: Nichol Chart Ope-Loop Phae (deg) Criterio de etabilidad gráfica Ua de la pricipale vetaa del aálii e el domiio de la frecuecia e que e puede viualizar gráficamete i el itema e etable o o. Recordemo que para u bucle de cotrol la ecuació caracterítica era + OL = ILM

11 ILM O bie OL = - que correpode a ua fució de traferecia co amplitud + y águlo de fae -8º. La frecuecia a la que e da ea codició e deomia frecuecia crítica c. Etoce i e la gráfica de Bode de OL la amplitud e mayor a para u águlo de fae de -8º el itema e bucle cerrado e etable. Otro aálii gráfico: coideremo la ecuació caracterítica Puede graficare e el plao compleo a a arcta... arcta arcta...

12 tau*+ +z*wo*+wo Im Im Re Re ^+^+6+5 Im Re E el cao de u bucle de cotrol la fució de traferecia para el bucle cerrado erá Expreemo OL N( ) Y etoce N N N Si el bucle abierto e etable etoce paa por cuadrate. Pero i tambié el bucle cerrado e etable etoce tambié paa por cuadrate. O ea que lo cuadrate eto que recorre cuado va de a ifiito e cero. O ea la curva o ecierra al orige. Como la gráfica de OL e el plao compleo e la mima que la de pero corrida hacia la izquierda ua uidad, etoce e puede etablecer el deomiado Criterio de Nyquit: o fiamo e el úmero de vece que la curva ecierra el puto (-, ) del plao compleo, moviédoe e etido horario y le retamo el úmero de polo de OL que etá e el emiplao de la derecha. El reultado e el úmero de raíce ietable del bucle cerrado. OL ILM

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