11 Análisis en el dominio de la

Transcripción

1 Aálii e el domiio de la frecuecia Para el etudio de la repueta diámica de lo itema ate ua excitació extera e ha empleado, hata ahora, do método. El primero e realizaba e el domiio del tiempo a travé de la covolució etre la eñal de etrada y la repueta impulioal del equipo. Mietra el egudo método e baa e la traformada de Laplace y e trabaa e el domiio compleo. E lo tre iguiete capítulo e va a tratar ua ueva técica de aálii del comportamieto diámico: la repueta e frecuecia. Cuado a u itema e le omete a ua excitació de tipo eoidal e la etrada y e oberva la eñal de alida e el régime permaete, la relacioe que e etablece etre eta do eñale o coocida como la repueta e frecuecia de ee equipo. E lo método de repueta e frecuecia, la frecuecia de la eñal de etrada e la variable idepediete, haciédoe recorrer la frecuecia e u determiado rago o epectro frecuecial. Eta técica preeta grade vetaa. E primer lugar, la decripció del método muetra lo aequible e el terreo experimetal. Reulta relativamete fácil ometer u itema ate ua etrada de tipo eoidal y regitrar u alida co ua multitud de itrumeto exitete hoy e día. Aí, e geeral, ete procedimieto e aplica para la idetificació de la fució de traferecia de lo itema compleo. E egudo lugar y tal cual e va a expoer e el próximo capítulo, co eta teoría e poible cuatificar la etabilidad de ua etructura de realimetació egativa. Hata ahora, ólo e poible idicar i el itema e etable o o, pero todavía o e ha medido cuáto de etable e. Por Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 33

2 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática último y co el obeto de detacar ólo la propiedade má igificativa, tal cual e verá e la técica de dieño del temario de Regulació Automática II, lo reguladore de cotrol calculado a partir de criterio e la repueta e frecuecia tiee u comportamieto robuto. Quizá, el mayor icoveiete, auque de carácter meor, e la falta de relació directa etre la repueta e frecuecia y el comportamieto traitorio del itema e el tiempo, excepto para lo modelo de egudo orde. No obtate, o reulta difícil correlacioar la repueta frecuecial co el comportamieto temporal. De hecho, e u obetivo de eta aigatura que lo alumo madure e la relacioe exitete etre la repueta temporal y frecuecial. Au má, co lo iguiete capítulo, el futuro igeiero podrá iterpretar lo reultado de u aalizador de epectro.. Repueta e frecuecia e itema LTI Se cooce por repueta e frecuecia, a la repueta de u itema, e régime permaete, cuado e utiliza como eñal de etrada ua excitació eoidal de amplitud cotate y de frecuecia variable dede cero hata ifiito. Tal cual e va a demotrar, la repueta de u itema LTI ate ete tipo de excitació, e otra eoidal de la mima frecuecia que la etrada, pero que difiere e amplitud y fae (ver figura.). La do vetaa pricipale que preeta ete método o: la facilidad experimetal de realizació y que la FDT e el domiio frecuecia e obtiee reemplazado la del domiio compleo de la Traformada de Laplace por. La ueva fució, (), e ua fució de variable complea, cuya repreetació e módulo y argumeto expreará, la amplificació o ateuació del equipo y el defae itroducido a ua determiada frecuecia. Para llegar a eta cocluioe e partirá de u itema LTI al que e le excita co u armóico y cuya variable idepediete e u frecuecia: x ( t) X e( t) t max.5 x(t) X() y(t) () y(t) Y() Aplicado traformada de Laplace a cada ua de la parte de la igualdad erá: x(t) X ( ) X max La eñal de alida erá la covolució etre la excitació de etrada y la FDT del itema. Al coiderar que el equipo e lieal, u fució puede er expreada por do poliomio, uo e el umerador N() y otro e el Figura.. Repueta e frecuecia de itema LTI 34 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

3 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia deomiador D(); cumpliedo la codició de exitecia fíica que exige que el grado del deomiador ea mayor o igual al del umerador: Y ( ) ( ) X ( ) ( ) X max ( ) N D (. ) Al er u itema LTI, () puede ecribire como u poliomio e el umerador y otro e el deomiador y ambo de coeficiete cotate: Y ( ) X max ( ) ( ) N D grado ( D( ) ) m grado ( N( ) ) (. ) Para calcular la atitraformada e hace decompoició e fraccioe imple, eparado la compoete del permaete de la parte correpodiete del traitorio: Y ( ) a p i i i (. 3) iedo p i la raíce o polo de D(). Por la propia defiició de repueta e frecuecia, ólo iterea la repueta del régime permaete, eto e, la olució particular de la ecuació diferecial. E la traformada de Laplace, el traitorio depede de lo polo del poliomio caracterítico y el régime permaete coicide co lo polo de la eñal de etrada: y rp t t ( t) L e e (. 4) Reolviedo el cálculo de lo reiduo imple: [( ) Y ( ) ] ( ) X ( ) max X max ( ) (. 5) [( ) Y ( ) ] ( ) X ( ) max X max ( ) (. 6) Itroduciedo lo reiduo e la expreió del régime permaete de la alida y X max acado factor comú a : Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 35

4 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática y rp X max [ ( ) ( ) ] e t e t (. 7) Al haber utituido por y er ua expreió e el domiio compleo, e empleará ua repreetació e módulo y argumeto: ϕ ( ) ϕ ( ) ( ) ( ) e ( ) e ( ) ( ) ( ) e ϕ (. 8) (. 9) Iertado eto reultado quedará: y rp ( t) X ( ) max ϕ ( ) t ϕ ( ) e e e e ( t) X ( ) e( t ϕ( )) y rp max t (. ) (. ) La eñal de alida e otro armóico de igual frecuecia que el de etrada, cuya amplitud e amplificada o ateuada egú el valor de (), y defaada repecto de la etrada depediedo de ϕ(). Eta cocluió e ólo válida para itema lieale. Si el itema hubiee ido o lieal, la alida ería ua combiació de -armóico, de frecuecia múltiplo del armóico fudametal, eto e, cuado el itema e o lieal e geerará ua ditorió armóica. Reumiedo, i el itema e lieal, la alida e otro armóico de igual frecuecia que la etrada, e cambio, i el itema e o lieal, o ólo hay ua compoete del igual frecuecia al armóico de etrada o fudametal io de armóico múltiple.. Diagrama de Bode Como e acaba de obervar, la repueta e frecuecia tracurre e el domiio compleo. Por eta razó, e puede hacer ua preetació viual de la repueta e do curva: módulo y argumeto. La primera idica la amplificació o ateuació del itema e el epectro de la frecuecia. Mietra el argumeto reflea cuáto adelata o retraa la eñal de alida repecto a la etrada. A eta repreetació gráfica e la llama el diagrama de Bode. Ua de la do curva e el módulo repecto a la frecuecia. A eta repreetació e le llamará el diagrama de amplitud. E ella la ecala erá logarítmica, de forma que e el ee de ordeada, la amplitud, e ecotrará la gaacia e decibelio y e abcia, la frecuecia, etará e década: 36 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

5 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia ( )[ db] log ( ) [ dec] log Diagrama de Bode Hay que detacar que trazado por ecima de lo db igificará que el itema a ea frecuecia tiee capacidad de amplificació, mietra por debao idicará que e ea parte del epectro de la frecuecia, el itema ateúa, eto e, la eñal de alida e má pequeña, e amplitud, que la etrada. Argumeto (deg); Módulo (db) AMPLIFICACIÓN ATENUACIÓN E cuato al argumeto e reflea e el diagrama de fae, dode el ee de abcia e igual que e el módulo, e decir, e década y el ee de ordeada e depoita el argumeto e ecala atural. - - (rad/ec) Reumiedo, la variable idepediete erá la frecuecia que erá expreada e década, log. E la curva del módulo de la FDT, (), erá cuatificada e decibelio, log ( [db]. La repreetació del defae, el argumeto, ϕ(), erá la variable depediete y e medirá e ecala atural. La vetaa de la repreetació logarítmica reide e que lo producto e covierte e uma y la diviioe e reta. Luego para itema LTI cotituido como u producto de polo y cero, u repreetació e el diagrama de Bode e covertirá e la uma y reta de compoete báico. Má cocretamete, la repueta e frecuecia de u itema LTI etará cotituida por la utitució e la FDT de por. Por tato, e cofigurará como la fracció de cero y polo de primer y egudo orde: ( ) Π i T ( T ) d p Π q z, i Π ξ,, ( ) T Π p, q ξ r r, r, r (. ) Al er repreetado e diagrama de Bode, e covertirá e u umatorio de térmio báico: Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 37

6 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática 38 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial ( )[ ] ( ) q r r r q p p i i z r T T d T db,,,,,,, log log log log log log log ξ ξ (. 3) Tato para el módulo como para el argumeto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r q q p i i z T d T,,,,,, arg arg arg arg arg arg ξ π ξ Ete trazado permite coeguir ua repreetació de maera ecilla a partir de la decompoició del itema e u térmio imple (gaacia etática, polo y cero e el orige, polo y cero de primer y de egudo orde). U procedimieto itemático de repreetació e baa e la cougació de lo térmio o factore imple que cotituye cualquier FDT de tipo LTI... Diagrama de Bode e térmio imple. Lo térmio o factore báico de lo itema LTI o:. aacia etática o térmio ivariate e frecuecia.. Polo y cero e el orige, (T) ± 3. Polo y cero de primer orde, (T) ± 4. Polo y cero de egudo orde, ± ξ (. 4)

7 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia... Térmio ivariate e frecuecia Correpode a elemeto que o almacea eergía que carece de iercia, ólo la traforma de u tipo a otro o la amplifica o la ateúa. Por eemplo, u amplificador operacioal ideal co etructura de realimetació egativa. Tato e u cofiguració de iveror como de o iveror, la eñal de alida e amplificada o ateuada egú el valor de la reitecia R y R. A A v v ( ) ; A ( ) R R ( ) ; AV ( ) R R v R R R R E geeral, la repreetació e módulo y argumeto de lo itema ivariate co la frecuecia erá del tipo: ( ) ( )[ db] arg ( ( )) log π < (. 5) Idicado u comportamieto cotate e todo el epectro de la frecuecia. Modulo (db) Argumeto (deg) Polo y cero e el orige Lo polo e el orige correpode co almaceamieto eto de eergía y etá ligada a la accioe itegrale. Sea, por eemplo, el proceo de carga de u codeador, e codicioe iiciale ula, la relació caua-efecto de la carga e exprea como la Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 39

8 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática itegració de la catidad de carga por uidad de tiempo que e refleado por la variació de teió etre extremo del codeador: u C C t ( t) i ( τ ) dτ u i c c ( ) ( ) C c (. 6) (. 7) E el domiio de la frecuecia, ete eemplo, etará relacioado co la reactacia capacitiva: u i c ( ) ( ) c C correpode co la reactacia capacitiva (. 8) E geeral, la repueta e frecuecia de u polo e el orige, aociado a u cotate de tiempo T, para el cao de FDT adimeioale erá: T ( ) ( )[ db] arg log ( ( )) π / T (. 9) El lugar geométrico del módulo e ua recta, ya que la variable idepediete etá e década. La pediete erá de [db/dec] y cuado el módulo ea uidad, () [db], cortará al ee de la frecuecia e: p, ; f p, T πt (. ) Lo polo e el orige tiee el efecto itegrador. Se caracteriza por ua gaacia ifiita a frecuecia ula y decrece co la frecuecia. El defae itroducido e de 9º e todo el epectro de la frecuecia. 4 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

9 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Lo cero e el orige o duale a lo polo e el orige. Tiee ua gaacia ula a frecuecia cero y crece co la frecuecia co ua pediete de [db/dec] tediedo a ifiito. Aquí la caua e u proceo derivativo. U eemplo de ete comportamieto e la relació etre la teió e la bobia y u corriete: U i L ( ) ( ) L U ( ) ( ) L L dil dt U L L L i L ( t) reac ta cia iductiva (. ) (. ) Lo cero e el orige adimeioale, eto e, co cotate de tiempo aociada, tiee la iguiete repueta frecuecial: ( ) T ( )[ db] arg( ( )) π / logt...3 Polo y cero de primer orde. La repueta e frecuecia de lo polo de primer orde e comporta como filtro pao bao. Dea paar la compoete de baa frecuecia y ateúa la alta. Lo cuadripolo RC o fiel refleo de filtro pao bao de primer orde. A V ( ) C R C RC (. 3) Nótee la correpodecia etre la repueta e frecuecia y el cocepto de impedacia, empleado e el aálii de circuito. Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 4

10 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática El modelo matemático de u itema de primer orde báico etá cotituido por u polo de primer orde: ( ) T (. 4) Y u repueta e frecuecia e módulo y argumeto para el trazado de Bode quedará como: ( ) ( )[ db] log T log ( T ) arg ( ( )) arctg T (. 5) Tato el módulo como el argumeto o do curva cotiua co la frecuecia, pero amba etá limitada por u comportamieto aitótico. Véae qué ucede e la baa y e la alta frecuecia: Cuado T<<, etoce: arg ( ) [ db] ( ( )) radiae (. 6) (. 7) Y i T>>, luego: ( ) log T arg ( ( )) π (. 8) (. 9) Para valore itermedio de la frecuecia, la amplitud y la fae e obtedrá directamete de la ecuacioe (. 5). No obtate, uele er uficiete co ua repreetació aitótica. La mayor dicrepacia que hay etre la repueta real y la aitótica e da e la frecuecia del polo: T p T p ( ) [ db] 3 (. 3) (. 3) 4 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

11 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia arg ( ( )) π 4 (. 3) Lo cero de primer orde o térmio que dea paar la baa frecuecia y amplifica el apecto de alta frecuecia. No exite implemetació fíica de ólo u cero de primer orde, rompe el pricipio de caualidad: ( ) T ( ) ( )[ db] log T log ( T ) arg ( ( )) arctg T (. 33) (. 34) Al igual que lo polo de primer orde, la repreetació de lo cero e Bode correpode a curva cotiua co la frecuecia. Si embargo, e el trazado maual, geeralmete, la repueta aitótica e uficiete. La aítota a baa frecuecia, zt <<, vale: arg ( ) [ db] ( ( )) radiae (. 35) (. 36) Igual que lo polo de primer orde. La diferecia etá e frecuecia uperiore a la del cero, zt >> : ( ) log T arg ( ( )) π (. 37) (. 38) Obviamete, la mayor dicrepacia etre la repueta aitótica y la real etá e la frecuecia del cero. Se dea al lector que obtega imilare cocluioe a lo idicado e Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 43

12 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática lo polo de primero orde. E la figura aduta e muetra el trazado de Bode de u cero de primer orde....4 Polo y cero de egudo orde U polo de egudo orde tiee ua repueta frecuecial de u filtro pao bao de egudo orde. Etá caracterizado por la frecuecia atural,, y el factor de amortiguamieto, ξ. ( ) ξ (. 39) Eemplo. Obteer la repueta frecuecial del iguiete cuadripolo: E u divior de teió e el que e puede emplear el cocepto de impedacia. Nótee que la impedacia etá uida a la repueta e frecuecia. Aí e, la defiició de impedacia e liga a la relació etre teió y corriete ate la excitació de u armóico de frecuecia variable al que e ometido u elemeto eléctrico paivo. 44 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

13 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia U U e ( ) ( ) A ( ) R ( ) LC RC v C L C (. 4) La frecuecia atural,, y el factor de amortiguamieto, ξ, e coeguirá por aociació de coeficiete de la ec. (. 39). rad ξ ; RC ; LC ξ R C L (. 4) Tambié debe obervare que el itema tiee ua ecuació diferecial del egudo orde por que hay do elemeto de almaceamieto de eergía. Si el valor de la reitecia e de 33 ohmio, el codeador de F y la bobia e de mh, el diagrama de Bode queda como: Diagrama de Bode del circuito RLC Modulo (db) argumeto (deg) Frecuecia (rad/ec) 363 [ rad / ] ξ.5 r 3536[ rad / ] M r <> db El módulo y argumeto de la repueta frecuecial de u polo de egudo orde erá do curva cotiua depediete de la frecuecia. Aplicado la defiicioe de módulo y argumeto obre la ec.(. 39), la expreioe e decibelio y e ecala atural repectivamete queda como: Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 45

14 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática ( )[ db] log ξ (. 4) arg ξ ( ( )) arctg (. 43) Eta do fucioe cotiua de la frecuecia, cada ua de ella, etará limitada por do aítota repectivamete. Ua a la baa frecuecia, cuado la frecuecia ea mucho má pequeña a la frecuecia atural, <<, y la otra a la alta frecuecia repecto a la atural, >> : a) Baa frecuecia, << : ( )[ db] db ( ( )) radiae arctg (. 44) (. 45) b) Alta frecuecia, >> ( )[ db] arctg 4 log ( ( )) π (. 47) (. 46) La mayor dicrepacia etre la repueta real y la aitótica e da para cuado la frecuecia coicide co la frecuecia atural: c) ( )[ db] log ξ arctg ( ( )) π 46 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

15 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia La repueta e frecuecia de u itema de egudo orde etará parametrizada, para u valor de frecuecia atural dada, e fució de ξ. Diagrama de Bode ξ. ξ.3 ξ.7 Fae (deg); Magitud (db) To: Y() ξ ξ ξ ξ ξ. ξ.3 ξ.7 - (rad/ec) La aítota o idepediete del valor del factor de amortiguamieto, ξ. Para valore de ξ meore a.7 aparece u pico de reoacia, cuya amplitud e puede demotrar que vale: ( ) ( ) M < ξ <. 77 max r r ξ ξ (. 48) cuyo valor e deomia pico de reoacia, M r. Ete valor máximo e da e la frecuecia de reoacia, defiida por: r ξ (. 49) Para valore de ξ mayore de.77 o hay pico de reoacia. E la práctica, lo pico de reoacia idica ua amplificació de la eñal de alida que puede provocar u detrucció. Mucha vece e dieña filtro rechazo de bada alrededor de la frecuecia de reoacia del itema, para evitar u deetabilizació. Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 47

16 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática 48 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial Eemplo. Determiar la repueta e frecuecia del iguiete itema mecáico de rotació etre ( ) ( ) θ θ m. ( )... m m B J T θ θ θ θ ( ) ( ) ( ) ( ) B J m θ θ θ θ ( ) ( ) B J B J θ m θ ( ) ( ) J t e T t T m max J B J B ; ξ ξ ξ Lo cero de egudo orde etará caracterizado por la expreió: ( ) ξ E módulo y argumeto para u trazado e Bode valdrá: ( )[ ] log N db ξ (. 5) (. 5) (. 5) (. 53) (. 54) (. 55) B T m m θ θ B T m m θ θ J

17 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia arg ξ ( ( )) arc tg (. 56) Igualmete, la repueta e frecuecia de lo cero para determiada, etará parametrizada e fució del factor de amortiguamieto, ξ. Auque u aítota erá idepediete de ete valor. La mayor dicrepacia etre la repueta aitótica y la real etá e la frecuecia atural,. 8 6 Modulo (db) 4 ξ ξ ξ.7-8 ξ.3 ξ. 35 Fae (deg) 9 45 ξ ξ ξ.7 ξ.3 ξ Diagrama de Bode de ua FDT tipo LTI-SISO. La etapa que lleva al trazado de Bode de ua FDT-LTI cualquiera, etá baado e la uma de la repueta e frecuecia de lo térmio imple. Se procederá co lo iguiete pao:. Sutituir por e la FDT-LTI y dipoer la expreió e lo térmio báico, egú e ha idicado: térmio ivariate e frecuecia, polo y cero e el orige, polo y cero de primer y de egudo orde.. Determiar la frecuecia de ruptura de la aítota de lo polo y cero de la FDT, ordeádolo de meor a mayor. 3. Obteer el trazado aitótico del módulo y del argumeto. 4. Ubicar puto coocido de la curva e iterpolar. Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 49

18 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática Eemplo.3 Obteer la repueta e frecuecia, e diagrama de Bode, del equipo de práctica de la célula Peltier, abiedo que u FDT e: ( ).45 (.7)(.55) Siguiedo co lo pao marcado, e utituirá por y e procederá a operar hata obteer la FDT como ua combiació de térmio báico: ( ) (.7)(.55) ( 4.9)(.9) Al haber do polo e calculará la frecuecia de ambo y e ituará obre el ee rad rad de la frecuecia: p. 7 y p. 55. Hata la frecuecia del primer polo e tedrá el térmio ivariate e frecuecia, co u valor de.7db y º. Etre el primer y egudo polo, el comportamieto aitótico erá de ua pediete de [db/dec] y ua traició de º a 9º. A partir del egudo polo, la pediete cambiará a -4 [db/dec] y de 9º a -8º. La curva real e puede coeguir coiderado que lo polo etá eparado ua década y a u frecuecia cae 3dB e itroduce u defae de 45º...3 Térmio -T El módulo erá idético a u cero de primer orde. Si embargo, la fae erá ditita: 5 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

19 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia arg ( ( )) arc tg( T ) (. 57) Lo valore aitótico o: ( ( )) π i i,,,... lim arg π lim arg ( ( )) π i i,,,... arg π π i i,,,... T 4 (. 58) (. 59) (. 6) El trazado aitótico y de la propia curva erá: E lo itema de fae míima exite ua relació biuívoca etre la curva de magitud y fae. Eta caracterítica o ocurre i el itema e de fae o míima. El defae fial para itema de fae míima cuado la frecuecia tiede a ifiito π e ( m). Siedo el grado del deomiador de la FDT y m el grado del umerador. E cambio, eto o ucede e itema de fae o míima. Por el cotrario, e cualquier tipo de itema, de fae míima o o, la pediete de la curva del módulo e Bode e -(-m)[db/dec] para el epectro de alta frecuecia. Por tato, e poible determiar experimetalmete, co el diagrama de Bode, i el itema e de fae míima o o...4 Diagrama de Bode del retardo e la tramiió T ( ) e co T et T (. 6) La magitud del retardo e la uidad para todo valor de la frecuecia. E cuato a la fae e lieal co la frecuecia. El argumeto dará ua vuelta de π para cada múltiplo Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 5

20 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática de frecuecia de π/t. No hay, coecuetemete, u valor aitótico para la alta frecuecia. Empleado la aproximació de Pade, efectivamete, el módulo del retardo e la la uidad, i embargo, la fae debido a la falta de correpodecia biuívoca del térmio de fae o míima del cero, etará dado vuelta de π. ( ) T T (. 6) Eemplo.4 Obteer el diagrama de Bode del equipo de práctica de la célula Peltier egú el modelo de Ziegler-Nichol. 5 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

21 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia p 4 e 3.66 ( )..73 ϕ [rad/] ϕ rad [rad/] ϕ rad-67º Véae la dicrepacia co la repueta aproximada del itema e fae míima P ( ) >>gptf(.,[3.66 ], Iput Delay, 4); >>gptf(.45,poly([ ]));.45 (.7)(.55).3 Diagrama polar o de Nyquit E lo diagrama polare o de Nyquit, la repueta e frecuecia de lo itema e repreeta a modo de faor cuado la frecuecia varía dede a ifiito (tambié puede hacere e el rago egativo de la frecuecia). Se emplea u trazado e el domiio compleo, cuya curva defie para cada valor de la frecuecia, el valor del módulo y el argumeto. Haciedo uo de u ee de coordeada, dode e abcia e coloca la parte real y e ordeada la compoete imagiaria, e repreeta la curva polar, de forma que la ecala empleada e la atural. Su utilidad etá e la determiació, co facilidad, de la etabilidad relativa. La curva polar e coigue a travé de la combiació de lo térmio báico, muy parecido a cómo e ha vito e el diagrama de Bode. No obtate, ua forma fácil de obteerla e apoyare previamete e la cotrucció del diagrama de Bode. Ete proceder facilita batate el trazado de la curva polar. Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 53

22 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática.3. Térmio ivariate e frecuecia Lo térmio ivariate e frecuecia o puto fio e el ee real. Para valore poitivo de gaacia etática, el puto etará e el ee real, e el lado derecho y i e egativo a la izquierda. Por eemplo, e la figura aduta e muetra la curva polar para valore de gaacia etática de y de -3. Figura.. Curva polar de térmio ivariate e frecuecia π 3.3. Polo y cero e el orige Lo cero y polo e el orige, al itroducir u defae cotate de ± π /, u curva correpode a líea recta obre el ee imagiario. La expreió de u polo e el orige y u límite a frecuecia ula y tediedo al ifiito o: ( ) lim lim T T ( ) ( ) π / Figura. 3. Curva polar de u polo e el orige El valor del polo e el orige para la frecuecia de éte erá: π T Por tato, el lugar geométrico e u emi-egmeto ubicado e la parte egativa del ee imagiario, que va dede el - hata, e el recorrido de la frecuecia poitiva. Para lo cero e el orige e ubicará e la parte poitiva del ee imagiario. Realizado u tedecia a la baa y alta frecuecia, e oberva que la curva polar e apoya e el ee imagiario: 54 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

23 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia ( ) T ( ) ( ) lim lim T π Nótee que la iformació de la curva del argumeto del diagrama de Bode idica e qué cuadrate e moverá la curva polar..3.3 Polo y cero de primer orde La curva polar de lo polo de primer orde correpode a ua emicircuferecia obre el cuarto cuadrate. E cambio, la curva del cero de primer orde e totalmete diferete. E u emi-egmeto paralelo al ee imagiario. No hay dualidad. La expreió e módulo y argumeto del polo de primer orde reflea la ecuació de ua cuadrática: ( ) T ( T ) arctg ( T ) (. 63) Haciedo el límite para la baa y alta frecuecia tederá a: lim ( ) lim ( ) π / (. 64) El lugar geométrico correpode a ua emicircuferecia, cuyo diámetro e la uidad y u orige e.5. Para la frecuecia agular del polo, /T, etará e la biectriz de cuarto cuadrate y u módulo erá de /. Figura. 4. Curva polar de u polo de primer orde Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 55

24 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática 56 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial La traza del cero de primer orde e ua recta paralela al ee imagiario que paa por el puto. Del diagrama de Bode e oberva que el trazado e dará excluivamete e el primer cuadrate: ( ) ( ) ( ) 4 9 lim lim π T T.3.4 Polo y cero de egudo orde La curva polar de lo polo de egudo orde e caracteriza por que e el epectro de la alta frecuecia debe de etrar co u defae de 8º y u módulo ulo. Por el defae itroducido, la curva polare de lo polo de egudo orde, e la frecuecia poitiva, etá e el cuarto y tercer cuadrate. Su curva etará parametrizada egú el valor del factor de amortiguamieto, ξ: ( ) ξ ξ ( ) ( ) ( ) 8 lim 9 lim ξ ξ (. 65) (. 66)

25 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Figura. 5. Curva polar de lo polo de egudo orde e fució de ξ El radio de curvatura máximo, e lo itema ubamortiguado, e dará e la frecuecia de reoacia: r ξ M r ξ ξ ( Valor máximo) (. 67) Lo cero de egudo orde e caracterizará por curva que e acerca al ifiito e módulo y co u defae de 8º. El puto de partida erá, a frecuecia ula, e. La curva, para frecuecia poitiva, e moverá e el primero y egudo cuadrate. Obviamete, tambié etará parametrizada depediedo del valor del factor de amortiguamieto, ξ: ( ) ξ lim lim ( ) ( ) ( ) ξ π (. 68) (. 69) Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 57

26 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática Figura. 6. Curva polare de cero de egudo orde.3.5 Retardo e la tramiió T ( ) ( ) e cot et T (. 7) El lugar geométrico e ua circuferecia de radio uidad y el águlo de fae varía liealmete co la frecuecia. El icremeto de la frecuecia hace variar la poició de la curva e el etido de la maecilla del relo, SMR. Figura. 7. Curva polar del retardo 58 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

27 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Eemplo.5 Obteer la curva polar del equipo Peltier. Apoyádoe e el diagrama de Bode y e la FDT del equipo, e coigue la curva polar: p ( ) 4 e ϕ rad 6.67 ϕ E código MATLAB: >> g >> bodeg >> yquit tf(., [ 3.66, ] IputDelay, 4) ( ) ( g ).4 Problema Problema.8 Tre de impulo E el circuito de la figura e coidera que el amplificador operacioal e ideal. Éte e atacado por el tre de impulo idicado. Se pide:. Serie de Fourier de la eñal de etrada.. Repueta e frecuecia de la gaacia de teió del circuito. [V] [] Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 59

28 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática 3. Diagrama de Bode y curva polar del apartado aterior. 4. Expreió aalítica del armóico fudametal de la eñal de alida. Dato: R Ω, R 9Ω, 5 C F, R Ω π. La eñal de etrada e ua fució impar y de ivel de cotiua cero: u e b e π ( π t) b [ co( π )]. ( ) π A v 3. Bode Modulo (db) Nyquit - argumeto (deg) (rad/ec) El primer armóico coicide co la frecuecia de corte del filtro pao bao: u ( erarm ) 4 π eπ t π 4 6 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

29 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Problema U altavoz e u traductor que traforma la eñal eléctrica e ua oda oora. Etá cotituido por ua pieza de tela, co arruga cocétrica, llamada araña, la cual e ecarga de mateer cetrado el coo, uto a u itema de upeió. El imá crea u circuito magético. Al hacer circular la corriete por la bobia de voz, detro del campo magético, produce ua Figura Altavoz de coo covecioal fuerza que deplaza horizotalmete al coo, x, hacia izquierda y derecha. Eta fluctuacioe de la preió del aire e traforma e oido audible. El modelo de la bobia de voz etá cotituido por ua reitecia equivalete, R, ua iductacia de diperió, L, y ua fuerza cotraelectromotiz, e b. Éta ultima e proporcioal a la velocidad de deplazamieto del coo, co ua cotate b. La fuerza que empua al coo, modelado por u maa, M, y por u rozamieto vicoo, B, e proporcioal a la corriete que circula por la bobia, p. Por último, la preió del aire e proporcioal a la aceleració del deplazamieto,. Se pide:. Diagrama a bloque del altavoz. Demotrar que la FDT del altavoz e: ( ).35 5 ( ) P U c Figura Equema eléctrico equivalete 3. Diagrama de Bode y curva polar de la repueta frecuecial del altavoz. 4. Señal de alida del altavoz al dar e la etrada u armóico de Hz y voltio de amplitud. 5. A lo altavoce e le icorpora u pequeño micrófoo, como eor para la realimetació, formado ua etructura de cotrol de cadea cerrada. Supoiedo que la FDT del micrófoo e uitaria, repreetar el uevo diagrama de bloque, teiedo e cueta que la eñal de error e amplificada por ua gaacia geérica. 6. Determiar el trazado directo e ivero del lugar de la raíce. Cuádo el itema e etable? 7. Calcular la ueva FDT total para y dibuar el uevo diagrama de Bode. 8. Co lo trazado del lugar de la raíce y la ueva repueta e frecuecia, Cuál e la cocluió co la ueva arquitectura de cotrol del altavoz, para >?. Dato: R 8 Ω, L 5mH, M 5 gr, B.8 N /m, b p.63 N/A,.5 P /m Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 6

30 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática u c () i() F() P() p M B R L - b Repueta e frecuecia del altavoz - Modulo (db) - Nyquit argumeto (deg) Frecuecia (rad/ec) P rp ( t) ( π ) e( πt arg( ( π ))).94 e( πt.9) [P].8 LDR- Trazado directo 6 LDR- Trazado ivero Bode - Modulo (db) argumeto (deg) Frecuecia (rad/ec) 6 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

31 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia racia a la etructura de realimetació co el micro, al aumetar el valor de hace aumetar el acho de bada del altavoz. Problema 3 Sabiedo que la gaacia de teió del filtro e: A ( ) u u ( ) R7 R8 C ( ) R7 R8 C C( R7 R8 R8 ) V, e dode e la gaacia de la etructura de amplificador o iveror, co AO ideal, y habiedo defiido como C el valor de C3 y C4. Determiar u repueta frecuecial e diagrama de Bode y e curva polar. Problema 4 E ua pequeña grúa de cotrucció e deea meorar el comportamieto del deplazamieto de V grua la carga de maa M cuado éta e deplazada radialmete. Para ello e ha L itroducido u ecoder que permite aber e todo mometo la logitud del cable del que cuelga la carga (L). Co la V carga Mg ayuda de dato experimetale que relacioa la velocidad de deplazamieto del carrito de la grúa (V grua ) co la velocidad radial de deplazamieto de la carga (V carga ) y la ecuacioe fíica que rige el itema, e ha llegado al iguiete modelo del itema: Vc ( ) ( ) V ( ) g g L B g M L Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 63

32 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática.- Dibuar el diagrama de bode del itema obteiedo uméricamete lo valore má caracterítico..- Co que periodo ocilará la carga i e ometida a u ecaló e la velocidad de etrada?. Mediate el método de Truxal y el correpodiete dieño de u filtro Notch e procede a itetar cacelar e cadea abierta el efecto de la ocilacioe. Se obtiee la fució de traferecia de u filtro que e erie co la plata modifica la acció de cotrol obre la velocidad de la grúa egú la iguiete FDT: Vg c ( ) V deeada ( ) ( ) B g M L g g L L 3.- Dibúee aproximadamete el diagrama de bode del filtro. 4.- Caracterizar la repueta temporal del itema completo ate ua etrada e ecaló 5.- Jutifique dede el puto de vita frecuecial el efecto del filtrado. Dato: g 9.8 L 3.5m M 4Kg B 35 m N m Problema 5 El diagrama de Bode de la figura repreeta la repueta e frecuecia del itema (). Se pide: a) Obteer la expreió aalítica de () y u curva polar. b) Repreetar la evolució temporal de la alida, y(t), i la etrada A e excitada co ua eñal e ecaló de amplitud 3 uidade y B e ula. Magitude (db) Bode Diagram c) Repreetar la evolució temporal de la alida e el régime permaete, y rp (t), i la etrada B e excitada co Phae (deg) Frequecy (rad/ec) 64 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial

33 Apute de Regulació Automática Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia ua oda armóica de frecuecia [rad/] y co ua amplitud de 3 uidade y A e ula. d) Evolució temporal de la alida e el régime permaete, y rp (t), i la etrada A y B o la defiida e lo apartado ateriore, ecaló y armóico repectivamete..78 T a) ( ) ( ).5 Curva polar Ee imagiario Ee real b) y ( t) 3.78 e t 6 Evolucio de la alida co la etrada A 5 4 y(t) (ec).78 π y t 3 e t 4 c) ( ) Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial 65

34 Capítulo : Aálii e el domiio de la frecuecia Apute de Regulació Automática 4 Evolució temporal de la alida co la etrada B Evolució temporal de la alida co la etrada A B y(t) y(t) [] [] Derecho de Autor 9 Carlo Platero Dueña. Permio para copiar, ditribuir y/o modificar ete documeto bao lo térmio de la Licecia de Documetació Libre NU, Verió. o cualquier otra verió poterior publicada por la Free Software Foudatio; i eccioe ivariate, i texto de la Cubierta Frotal, aí como el texto de la Cubierta Poterior. Ua copia de la licecia e icluida e la ecció titulada "Licecia de Documetació Libre NU". La Licecia de documetació libre NU (NU Free Documetatio Licee) e ua licecia co copyleft para coteido abierto. Todo lo coteido de eto apute etá cubierto por eta licecia. La verio. e ecuetra e La traducció (o oficial) al catellao de la verió. e ecuetra e 66 Dpto. Electróica, Automática e Iformática Idutrial