Análisis de sistemas en el dominio de la frecuencia

Transcripción

1 5 Aálii de itema e el domiio de la frecuecia PALABRAS CLAVE Y TEMAS Repueta e frecuecia Diagrama de Bode Pico y frecuecia de reoacia Acho de bada OBJETIVOS Defiir y graficar la repueta e frecuecia Aalizar el comportamieto diámico de u itema dede el puto de vita de la frecuecia

2 Qué e el aálii de repueta e frecuecia? La repueta e frecuecia de u itema e defie como la repueta de u itema e el etado etacioario a ua eñal iuoidal de etrada. La repueta e frecuecia correpode a etrada iuoidale: e imple y muy útil como eñal de prueba. La forma e la que el itema repode da mucha iformació para aálii y dieño.

3 Repueta e frecuecia U Y ut A i t y t A i t φ Amplitud de la alida: Y A Águlo de fae: φ arg La repueta del itema ocila co la mima frecuecia que la iuoide de etrada pero poderada por u factor y defaada u águlo φ arg que depede de 3

4 4 Eemplo Para ua etrada t A i t u dode rad A / 5 ] [ Re Im rad arctg arctg A Y φ Traitorio Permaete yt ut Defae [] 0 φ t

5 Diagrama de Bode Cota de trazado repreetado e fució de la frecuecia e ecala logarítmica. Diagrama del logaritmo del módulo de ua fució iuoidal. Diagrama del águlo de fae Matlab: bodey Bode Diagram 0log [db] e decibelio 0 0 From: U db 0log 0. arg [º] e grado Phae deg; Magitude db To: Y e ecala logarítmica Frequecy rad/ec 5

6 Diagrama de Bode Trabaar e decibelio Mag [db] 0log 0 Mag ut A i U t y Y t A i t φ Amplitud de la alida: Y A Si, e decibelio e 0 Si > la amplitud Y de la alida e amplifica, etoce el valor de e decibelio erá poitiva Si < la amplitud Y de la alida e ateúa, e decibelio erá egativa 6

7 Diagrama de Bode Uamo la ecala logarítmica ya que trabaado co ete tipo de ecala e itetiza y e implifica el aálii de la repueta e frecuecia. Multiplicar o dividir por 0 a upoe 0log [db] umar o retar 0 db a 0 la multiplicació de amplitude e covierte e adició La repreetació logarítmica preeta la caracterítica de alta y baa frecuecia de la fució de traferecia e u olo diagrama Multiplicar por 0 la frecuecia upoe ubir ua década Se puede realizar ua mima gráfica e u itervalo de frecuecia mayor que e la gráfica lieale década rad/ 7

8 Ecala logarítmica Lo logaritmo crece mucho má depacio que lo úmero a lo que e aplica 8

9 9 Ecala logarítmica Coiderado la iguiete fució de traferecia: m k d p p p z z z Ke La magitud de la repueta e frecuecia e el producto de la magitud de la repueta e frecuecia de cada térmio: m k d p p p z z z K e Uado el logaritmo de la magitud, e implifica la etimació de la magitud, pueto que la magitud de la repueta de lo térmio de cero e umaría y la magitud de la repueta de lo térmio de polo e retaría.

10 Ecala logarítmica 0 log 0 log K 0 log e d 0 log z log m 0 log p... E decibelio, el diagrama de puede obteere por uperpoició de lo diagrama de térmio elemetale correpodiete a cada polo, cero, gaacia y retardo. arg arg K arg e d arg/ arg/ arg z p

11 Factore báico Lo factore báico que e produce frecuetemete e ua fució arbitraria o:. aacia K. Factore itegrale y derivativo 3. Factore de primer orde 4. Factore cuadrático 5. Retardo m ± T e d ± La repueta e frecuecia del itema puede obteere por uperpoició de lo diagrama de lo térmio elemetale que compoe la fució de traferecia.

12 K Bode: repueta de u térmio cotate K 0 log 0log K 0 0º φ arctg K 80º K K > 0 < 0 Al variar K, la líea ube o baa La curva o líea recta horizotale o varía co la frecuecia

13 Bode: repueta de u polo e el orige itegrador Pediete -0 db/década 0log 0log 0log 0log 0log [db] 0. 0 db 0 db 0 0 db φ 90º La curva de la magitud logarítmica e ua recta co ua pediete de 0 db/década que paa por cero db e. La gráfica de fae e igual a ua cotate de 90º. 3

14 Bode: repueta de u polo imple /3 T 0log 0log T 0log T T 0 baa frecuecia 0log T << /T φ 0º alta frecuecia 0log T >> /T φ 90º [db] 0 0logT φ arctg T Cuado /T la aproximació de alta frecuecia e igual a la aproximació de baa frecuecia y tambié φ45º /T frecuecia de corte de traició Cuado 0/T, el log de la amplitud e de 0 db Eemplo para T 4

15 Bode: repueta de u polo imple /3 c /T frecuecia de corte la frecuecia a la que e ecuetra la do aítota Error max. 3dB real 0./T aitótico Curva exacta c Pediete -0 db/década Pediete -45º/dec La frecuecia de corte epara do regioe: a ua recta e 0 db para la baa frecuecia 0< </T b ua líea recta co pediete 0 db/década para alta frecuecia /T< <. 0/T Eto e aproximado: hay u pequeña diferecia obre la frecuecia de corte. 5

16 3/3 Bode: repueta de u polo imple La fució de traferecia /τ tiee la caracterítica de u filtro de paa baa: la alida puede eguir a ua etrada iuoidal a baa frecuecia pero la amplitud dimiuye rápidamete a partir de la frecuecia de corte. Al variar la cotate de tiempo τ la frecuecia de corte e deplaza y co ella la curva.: e db 0 db -0 db /τ Frecuecia de corte 0/τ log Sitema leto τ grade tiee frecuecia de corte pequeña y ateúa lo cambio rápido. Sitema rápido repode a u rago mayor de velocidade de cambio. arg e º 0º /τ -45º log -90º 6

17 0log 0 log c moótoamete decreciete para para c 0 0log 0 log c 0 0 log c 0log c 0log recta de pediete 0dB y que paa por / τ, 0 db Bode: cero imple c 0 φ 0 arg c arctg c φ 90º moótoamete creciete, φ 45º para / c e db 0 db -0 db arg e º 45º 0º /c /c Frecuecia de corte 0/τ log 90º log La frecuecia alta e amplifica 7

18 Bode: polo doble 0log τ moótoamete decreciete para 0 para 0log que paa por / τ, 0 db τ 0log τ 0 0log τ 40logτ 40log recta de pediete- 40dB y 0 φ 0 arg τ τ arctg φ 80º moótoamete decreciete, φ 90º para / τ e db 0 db -40 db arg e º 0º /τ /τ -90º Frecuecia de corte 0/τ log log -80º 8

19 /7 Bode: polo compleo cougado Cao < cao co reoacia Aítota Real r frecuecia de reoacia Pico de reoacia -40dB/dec frecuecia de corte º/dec 0

20 0 Bode: polo compleo cougado 0 < < Si > el factor cuadrático e puede exprear como u producto de do de primer orde co polo reale dode 0 log 0 log 0 log /7

21 3/7 Bode: polo compleo cougado 0 log Para baa frecuecia tale que << 0 log Para frecuecia elevada tale que >> La aítota o idepediete del valor de 0 log 0 log 0 log 0 db La aítota de baa frecuecia e ua líea horizotal a 0 db. 0 log 0 log -40log 40log La aítota de alta frecuecia e ua líea recta co pediete de 40 db/década que paa por 0 db cuado Frecuecia de corte para el factor cuadrático db

22 Bode: polo compleo cougado Preeta u máximo la magitud 0log? 0 log 0 log 0 d d 0 0 Cuado / 0 < exitirá u máximo e coocido como pico de reoacia M r cuado r frecuecia de reoacia max r r M 4/7

23 3 Bode: polo compleo cougado El águlo de fae de : arctg φ El águlo de fae depede tato de como de 80º 90º 0º 0 φ φ φ E la frecuecia de traició el águlo e 90º idepedietemete de E la frecuecia e que e produce el pico de reoacia r : φ arctg 5/7

24 6/7 Bode: polo compleo cougado Cao < cao co reoacia Aítota Real 0logM r r frecuecia de reoacia Pico de reoacia -40dB/dec La amplitud de la alida e ve amplificada a cierta frecuecia y e máxima para r,, creciedo iveramete co 0 M r frecuecia de corte Eemplo para y r -90º/dec 0 M r

25 Bode: polo compleo cougado 7/7 Cao > cao i reoacia frecuecia de corte -40dB/dec Si reoacia, la ateuació e moótoamete decreciete, co pediete -40dB por década para frecuecia uperiore a Eemplo para y º/dec M r 0 Aítota Real 5

26 Bode: retardo e d e db 0 log e d 0 log 0 0 db arg e d d log El retardo o modifica la curva del módulo pero el defae aumeta a medida que crece. 0º arg e º Dificultad para cotrolar u itema co retardo log 6

27 Acho de bada Frecuecia a la cual cae 3 db por debao de u valor e la frecuecia cero Da ua idicació de la propiedade de la repueta traitoria e el domiio del tiempo de u itema: ua acho de bada grade correpode a u tiempo de ubida corto; e cambio, u acho de bada pequeño tedrá ua repueta e el tiempo má leta Da ua medida del rago de frecuecia de la eñal de etrada a la que el itema repode i ateuació otable. -3 db Phae deg; Magitude db To: Y Bode Diagram From: U B Frequecy rad/ec 7

28 Diagrama de Nyquit Para cada valor de, e dibua el módulo y argumeto de arg Matlab: yquity 8