Tema 1. Introducción a las Señales en Tiempo Contínuo y Discreto

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Mariano Muñoz Cuenca
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1 Idice: 6. Señales Discretas 7. Operacioes sobre Señales Discretas Suma de Señales Producto de Señales Escalamieto e Tiempo Escalamieto e Magitud Trasposició ó Reflexió 8. Señales Sigulares Fució Escaló Uitario Fució Pulso Rectagular Fució Rampa Fució Sigo Fució Impulso

6. Señales Discretas So señales que está defiidas para u itervalo de valores discretos de su variable idepediete, se usa " (etero) para deotar la variable de

2 6. Señales Discretas So señales que está defiidas para u itervalo de valores discretos de su variable idepediete, se usa " (etero) para deotar la variable de tiempo discreto. Represetació Gráfica Señal Discreta x[] Ejemplo: f () = 2 < f () 2.5 Como Secuecia Fiita 0.5 f () = 2, 2, 2,, /2, /4, /8, /

3 7. Operacioes sobre Señales Discretas Suma de Señales La suma de dos señales f () y f 2 () es ua señal f() cuyo valor e cualquier istate es igual a la suma de los dos valores e ese istate de las dos señales. Ejemplo: Sumar f () co f 2 () f () = 3 para 0 5 f 2 () = para f() = f () + f 2 () f () f 2 () 6 3 f ()

4 7. Operacioes sobre Señales Discretas Producto de Señales El producto de dos señales f () y f 2 () es ua señal f() cuyo valor e cualquier istate es igual a el producto de los dos valores e ese istate de las dos señales. Ejemplo: Realizar el producto de f () co f 2 () f () = 3 para 0 5 f 2 () = para f() = f (). f 2 () f () f 2 () 6 3 f ()

7. Operacioes sobre Señales Discretas Desplazamieto de ua Señal Equivale

la señal hacia la izquierda (adelato) o hacia la derecha (atraso).

Desplazamieto 0 X 2 () 0 > 0 : Adelato. 0 < 0 : Retardo.

5 7. Operacioes sobre Señales Discretas Desplazamieto de ua Señal Equivale físicamete a adelatar o atrasar la señal, gráficamete equivale a desplazar la señal hacia la izquierda (adelato) o hacia la derecha (atraso). E la práctica se puede presetar dos casos: x 2 () = x ( 0 ) X () Desplazamieto 0 X 2 () 0 > 0 : Adelato. 0 < 0 : Retardo. Ejemplo: Desplazar x () para 0 = 3 y 0 = 2 e retardo y adelato X () X 2 () X 2 () x () x 2 () = x ( - 3) x 2 () = x ( + 2) 5

7. Operacioes sobre Señales Discretas Escalamieto de la variable idepediete () Cosiste e u escalamieto lieal de la variable idepediete. Gráficamete equivale a expadir o cotraer la señal.

6 7. Operacioes sobre Señales Discretas Escalamieto de la variable idepediete () Cosiste e u escalamieto lieal de la variable idepediete. Gráficamete equivale a expadir o cotraer la señal. E la práctica se puede presetar dos casos: 0 <α < : Expadir x 2 () = x (α) α > : Cotraer Ejemplo: Expadir y Cotraer x () por u factor de 2 X () X 2 () X 2 () x () x 2 () = x (/2) Expadida por u factor de 2 x 2 () = x (2) Cotraída por u factor de 2 6

7 7. Operacioes sobre Señales Discretas Escalamieto e Magitud Equivale a multiplicar la señal por ua costate real. E la práctica se puede presetar cuatro casos: x 2 () = A x () A > : Amplificador A < : Ateuador A = : Aislador A = - : Iversor Ejemplo: Escalar e Magitud x () para A = 2 X () 2 X 2 () x () x 2 () = 2 x () Amplificada por u factor de 2 7

8 7. Operacioes sobre Señales Discretas Trasposició ó Reflexió Se cosigue mediate u cambio de sigo e la variable idepediete. Gráficamete equivale a ua reflexió sobre el eje vertical ( = 0) E la práctica se puede presetar como: x 2 () = x (-) Ejemplo: Hallar la traspuesta de x (). X () 4 X 2 () x () x 2 () = x (-) 8

9 8. Señales Sigulares Señales co formas matemáticas simples, o so fiitas, so útiles e el aálisis de sistemas físicos. Fució Escaló Uitario (u(t)/u()). Esta fució será igual a uo cuado el argumeto de la fució sea mayor o igual que cero, y valdrá cero cuado el argumeto sea meor que cero. Por esta razó se le cooce como escaló uitario, dado que su amplitud cambia abruptamete de cero a la uidad. u(t) Cotiua u(t) = t 0 0 t < t u() Discreta u() = 0 0 <

10 8. Señales Sigulares Fució Escaló Uitario Operacioes sobre la fució Escaló Uitario Sobre las fucioes sigulares se puede realizar ciertas operacioes matemáticas, e el caso de la fució escaló podemos efectuar desplazamieto, trasposició y escalamieto e amplitud. Escalamieto e Amplitud k t 0 x (t) = k u(t) 0 t < 0 Desplazamieto e Tiempo x( t a) u( t a) 0 x (t) = k u(t) x(t a) = u(t a) si t a si t a x (t) k -a x (t) x (t) a t t t a > 0 a > 0 0

11 8. Señales Sigulares Fució Pulso Rectagular La fució pulso rectagular puede ser descompuesta como la diferecia de dos fucioes escaló f (t) y f 2 (t) de amplitud A desplazados e t = a y t = b. f ( t) A.[ u( t a) u( t b)] dode a 0, b 0 y a < b. Cotiua rect (t) rect(t) = 0 a t b a > t ^ t > b 0 b t a Discreta rect (/N) rect(/n) = 0 N/2 > N/2 -N/2 0 N/2

12 8. Señales Sigulares Fució Rampa Esta fució es ua recta que comieza e el orige que tiee ua pediete k y es cero para todos los valores de tiempo egativos. Por esta razó la fució rampa puede ser expresada e fució de la fució escaló uitario de la siguiete maera: R t k k t u t Cotiua r k (t) r k (t) = kt t 0 0 t < 0 k t Discreta r() = 0 0 < 0 r()

13 8. Señales Sigulares Fució Rampa Operacioes sobre la fució Rampa Sobre las fucioes sigulares rampa podemos efectuar desplazamieto, trasposició etre otras. Desplazamieto e Tiempo Rk ( t a) k.( t a). u( t a) a > 0 a > 0 Trasposició Rk ( t a) k.( t a). u( t a) 3

14 8. Señales Sigulares Fució Sigo Cotiua ( ) Sg(t) t sg(t) = 2 u(t) - - Discreta u() ( )

15 8. Señales Sigulares Fució Impulso Esta fució Impulso está defiida matemáticamete mediate la itegral: Puede ser defiida como ua fució pulso, la cual tiee ua amplitud ifiitamete grade y u acho ifiitamete pequeño y cuya área es fiita e igual a la uidad. La fució impulso tambié es coocida como fució delta. Represetació Gráfica 5

16 8. Señales Sigulares Fució Impulso La fució impulso es factible de ser desplazada e el eje horizotal, así como tambié escalada e magitud, el procedimieto es similar al procedimieto ya descrito para las fucioes ateriores. kδ (t+a) kδ (t) kδ (t-a) Propiedades Propiedad de Muestreo: para cualquier x(t) cotiua e t = t 0, co t 0 fiito 6

17 8. Señales Sigulares Fució Impulso Propiedad de Desplazamieto: f(t) cotiua e t = t 0, co t 0 fiito Propiedad de Escalamieto: Derivada: b a ( t t0 ). dt a < t 0 < b Cambiado los limites de la itegral teemos: d dt t d ( t ). d dt u ( t t 0 0 ) 7

18 8. Señales Sigulares Fució Impulso Ejemplo: Calcular y graficar la derivada del pulso rectagular de la figura. f(t) = A u( t ) - A u( t - t 0 ) df dt A. ( t) A. ( t t0 ) 8

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