Señales en Tiempo Discreto

Transcripción

1 Señales e Tiempo Discreto Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció.. Señales e tiempo discreto.3. Clasificació de las señales e tiempo discreto.4. Maipulacioes Simples de Señales e tiempo discreto.5. Tarea Dr. Luis Javier Morales Medoza

2 Itroducció Defiició: Ua señal e tiempo discreto () es ua fució de ua variable idepediete etera. Gráficamete se represeta como e la Figura. es importate destacar que ua señal e tiempo discreto o está defiida para istates etre dos muestras sucesivas. Igualmete es icorecto pesar que () es igual a cero si o es u etero, simplemete la señal () o está defiida para valores o eteros de Figura. Represetació gráfica de ua señal e tiempo discreto Dr. Luis Javier Morales Medoza 3 Itroducció Además de la represetació gráfica de ua señal e tiempo discreto o secuecia como se ilustra e la Figura. eiste otras represetacioes alterativas que para fies de maipulació matemática. Los formatos más coveietes a utilizar so: a) Represetació fucioal ( ) 4 para para para, 3 otro caso b) Represetació tabular Dr. Luis Javier Morales Medoza 4

3 Itroducció () c) Represetació como secuecia. Ua señal de duració ifiita co el orige de tiempo ( ) idicado por ua flecha se represeta como ( ) {...,,,,4,,,...}.. Señales Elemetales e Tiempo Discreto E el estudio de sistemas y señales discretas e el tiempo eiste varias señales básicas que aparece co frecuecia y juega u papel importate e el procesamieto digital de señales. Estas señales so: Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 Señales e Tiempo Discreto. El Impulso Uitario, está fució está simbolizada como δ() y se defie ( ) δ () e otras palabras, el impulso uitario es ua señal que siempre vale cero ecepto para dode vale uo. Al cotrario de la señal aalógica δ(t), que tambié se cooce como impulso uitario y siempre vale cero ecepto cuado t, dode tiee área igual a la uidad, la secuecia de respuesta al impulso e tiempo discreto es mucho meos complicada matemáticamete hablado que la respuesta al impulso e señales cotiuas. La represetació gráfica de δ() se muestra e la Figura 3-a Dr. Luis Javier Morales Medoza 6 3

4 Señales e Tiempo Discreto. La señal Escaló Uitario, se deota como u() y se defie como u ( ) < e otras palabras, el escaló uitario es ua señal que vale cero para todos los valores egativos de y uo para todo los valores positivos de icluyedo al cero. La represetació gráfica del escaló uitario se muestra e la Figura 3-b. Del mismos modo que e el caso de tiempo cotiuo, el escaló tiee ua gra aplicació e el aálisis de señales e tiempo discreto por lo cual es de gra iterés coocer todas la propiedades del escaló uitario. () Dr. Luis Javier Morales Medoza 7 Señales e Tiempo Discreto 3. La señal Rampa Uitaria, se deota como u r () y se defie como u r ( ) < (3) e otras palabras, la rampa uitaria es ua señal que vale cero para todos los valores egativos de y e cualquier otro caso. La represetació gráfica de la rampa uitaria se muestra e la Figura 3-c. E alguas ocasioes, para valores egativos de, la magitud o es cero, sio que puede ser u valor egativo ó el modulo de segú se desee poderar a dicha señal. Dr. Luis Javier Morales Medoza 8 4

5 Señales e Tiempo Discreto Figura. (a) Impulso uitario, (b) Escaló uitario y (c) Fució rampa uitaria Dr. Luis Javier Morales Medoza 9 Señales e Tiempo Discreto 4. Por último, se tiee a la Señal Epoecial, es ua secuecia de la forma ( ) a (4) si el parámetro a es real, etoces () es ua señal real. Cuado el parámetro a es complejo, este puede epresarse como ( jθ ) a r ep (5) dode r y θ so ahora los parámetros de magitud y fase. De aquí se puede epresar a () como ( ) r ep ( jθ ) r ( θ j si θ ) cos + (6) Dr. Luis Javier Morales Medoza 5

6 Señales e Tiempo Discreto dado que () es ahora complejo, se puede represetar gráficamete dibujado su parte real e imagiaria como fució de, es decir y I R ( ) r ( ) r cos θ si θ (7a) (7b) E las Figuras 4, 5 y 6 se muestra tres gráficas correspodietes a la (5) o (6) para diferetes casos de r. Es decir, para r >, r < y r. Dr. Luis Javier Morales Medoza Señales e Tiempo Discreto Figura 4. Parte real e imagiaria de ua epoete compleja; r.9 y θ π/ Dr. Luis Javier Morales Medoza 6

7 Señales e Tiempo Discreto Figura 5. Parte real e imagiaria de ua epoete compleja; r y θ π/ Dr. Luis Javier Morales Medoza 3 Señales e Tiempo Discreto Figura 6. Parte real e imagiaria de ua epoete compleja; r. y θ π/ Dr. Luis Javier Morales Medoza 4 7

8 Señales e Tiempo Discreto Alterativamete, la señal () dada por (6) se puede represetar gráficamete mediate la fució amplitud, es decir y la fució fase ( ) ( ) r A ( ) φ( ) θ La Figura 7. muestra A() y φ() para r.9 y θ π/. se observa que la fució fase es lieal co. Si embargo, la fase se defie solo sobre el itervalo de π < θ πó equivaletemete, sobre el itervalo de < θ π. E la Figura 8 y 9 se muestra los casos e que la magitud es r y r. co la misma fase. (8) (9) Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 Señales e Tiempo Discreto Figura 7. Gráfica de amplitud y la fase de u epoecial complejo, r.9 y θ π/. Dr. Luis Javier Morales Medoza 6 8

9 Señales e Tiempo Discreto Figura 8. Gráfica de amplitud y la fase de u epoecial complejo, r y θ π/. Dr. Luis Javier Morales Medoza 7 Señales e Tiempo Discreto Figura 9. Gráfica de amplitud y la fase de u epoecial complejo, r. y θ π/. Dr. Luis Javier Morales Medoza 8 9

10 Clasificació de las Señales.3. Clasificació de las señales e tiempo discreto Los métodos matemáticos empleados e el aálisis de sistemas y señales e tiempo discreto depede de las características de las señales. E esta secció se realiza la clasificació de las señales e tiempo discreto que atiede a diferetes características.. Señales de Eergía y Señales de Potecia La eergía E de ua señal () se defie como E ( ) () Aquí se cosidera el modulo cuadrado de (); por tato, esta defiició se aplica tato a señales reales como a señales complejas. La eergía de ua señal puede ser fiita o ifiita. Dr. Luis Javier Morales Medoza 9 Clasificació de las Señales Si E tiee eergía fiita (es decir, E < ), etoces se dice que () es ua señal de eergía. Alguas veces se añade u subídice a E y escribamos E para hacer hicapié e que E es la eergía de la señal (). Muchas señales que posee eergía ifiita tiee potecia media fiita. La potecia media de ua señal discreta e el tiempo () se defie como P lim ( ) () + Retomado la (), si se defie a la eergía de ua señal () e u itervalo defiido etre (señal fiita) etoces, la eergía es E ( ) () Dr. Luis Javier Morales Medoza

11 Clasificació de las Señales sustituyedo la () detro de () se obtiee la potecia media de la señal fiita () P lim E + P (3) Claramete, si E es fiita,. Por otra parte, si E es ifiita, la potecia media puede ser tato fiita como ifiita. Si es fiita (y diferete de cero), la señal se deomia señal de potecia. Ejemplo. Se tiee las siguietes señales discretas, defiir si su eergía es fiita ó ifiita. a) b) ( ) ( ) < < Dr. Luis Javier Morales Medoza Clasificació de las Señales Aplicado la () se obtiee aplicado k E k k ( ) B( k ) k ( π ) ( k)! dode B (k) so los úmeros de Beroulli los cuales está defiidos como: B ; B -/; B /6; B 4 -/3; B 6 /4; B 8 -/3; B 5/66 Para k se obtiee π E 6 Dr. Luis Javier Morales Medoza

12 Dr. Luis Javier Morales Medoza 3 Clasificació de las Señales ( ) < b) E La gráfica de eergía crece e forma moótoa por lo cual, la serie es divergete, y por lo tato, la señal () posee eergía ifiita.. E Por lo tato, como la serie es covergete, implica que la señal () posee eergía fiita co potecia promedio cero. + lim 6 P π y + / + /3 + /4 + Dr. Luis Javier Morales Medoza 4 Clasificació de las Señales La potecia promedio de la señal () es Por lo tato, como la serie es covergete, implica que la señal () posee eergía ifiita co potecia promedio cero P lim... 3 lim ( ) ( ) < 3 Ejemplo. Determie la potecia de la siguiete señal causal. ( ) ( ) 9 3 E

13 Clasificació de las Señales Por defiició se tiee que: P lim + E P lim 9 + aplicado m ( m + ) k k 9 P lim + ( + ) lim Etoces, se llega a: P 4.5 Dr. Luis Javier Morales Medoza 5 Clasificació de las Señales. Señales Periódicas y o-periódicas Ua señal () es periódica co periodo ( > ) si y solo si ( ) ( ) + (4) El valor más pequeño de para que (4) se verifique se deomia periodo fudametal. Si (4) o se verifica para igú valor de, etoces la señal () se deomia señal periódica ó o-periódica. Ejemplo 3. Determie si la siguiete señal discreta es ua señal periódica o o periódica a) ( ) cos ω b) ( ) u( ) Se puede ver que: Dr. Luis Javier Morales Medoza 6 3

14 Clasificació de las Señales cos ω cos π T Por lo tato, para cualquier valor de, ±, ±, la señal () es periódica. Por otro lado, para resolver el iciso b) se puede ver que esta señal carece del factor ω por lo que, por defiició es ua señal operiódica. 3. Señales Simétricas (Par) y o-simétricas (impar) Ua señal real () se deomia simétrica (par) si y solo si ( ) ( ) (5) Dr. Luis Javier Morales Medoza 7 Clasificació de las Señales por otra parte, ua señal () se deomia atisimétrica (impar) si y solo si ( ) ( ) (6) E la Figura se represeta señales co simetría par e impar. Ua señal arbitraria puede epresarse como la suma de dos compoetes, ua de las cuales es par y la otra impar. La compoete par de la señal se costruye sumado () y ( ) y dividiedo etre dos, es decir p ( ) [ ( ) + ( )] (7) Claramete, p () satisface la codició de simetría (5). De forma similar, se forma la compoete impar de la señal de acuerdo a la siguiete relació Dr. Luis Javier Morales Medoza 8 4

15 Clasificació de las Señales Figura. Represetació de ua a) Señal Par y b) Señal Impar Dr. Luis Javier Morales Medoza 9 Clasificació de las Señales i ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) p + i (8) Es evidete que i () satisface a (6); por tato, es impar. Si ahora se añade las dos compoetes de la señal dadas por (7) y (8), se obtiee a () es decir Ejemplo 4. Determie si las siguietes señales so del tipo par ó impar a) ( ) cos ω b) ( ) si( ω ) (9) Dr. Luis Javier Morales Medoza 3 5

16 Clasificació de las Señales a) ( ) cos ω ( ) jω j ( e + e ) ω ( ) cos( ω ) ( ) jω j ( e + e ) ω b) ( ) ( ) ( ) cos ω Señal Par si ω ( ) jω j ( e e ) ω j Dr. Luis Javier Morales Medoza 3 Clasificació de las Señales ( ) si( ω ) ( ) jω j ( e e ) ω Simplificado se llega a ( ) jω j ( e e ) ω j j si ω ( ) ( ) Señal Impar Dr. Luis Javier Morales Medoza 3 6

17 Maipulació de las Señales.4. Maipulacioes Simples de Señales e Tiempo Discreto E esta secció se cosidera alguas maipulacioes simples e las que iterviee la variable idepediete y variable depediete..4.. Trasformació de la variable idepediete Ua señal () puede ser desplazada e el tiempo remplazado la variable idepediete por k, dode k es u etero. Si k es u etero positivo, el desplazamieto temporal resulta e u retrazo del orige (flecha) de la señal e k uidades de tiempo. Por el cotrario si k es egativo, el desplazamieto temporal resulta e u adelato del orige (flecha) de la señal e k uidades de tiempo. y( ) ( k) < < k > () Dr. Luis Javier Morales Medoza 33 Maipulació de las Señales Ejemplo 3. se tiee ua señal discreta () como () {,,,,,,, 3, 4, 4, 4, 4, 4,,,, } la cual ha teido ua trasformació a través de (), dode la costate k tiee los siguietes valores: a) k 3, b) k. a) para k 3 se tiee y() {,,,,,,, 3, 4, 4, 4, 4, 4,,,, } b) para k se tiee y() {,,,,,,, 3, 4, 4, 4, 4, 4,,,, } La represetació gráfica del desplazamieto hacia delate y hacia atrás se muestra e la Figura, juto a la señal origial. Dr. Luis Javier Morales Medoza 34 7

18 Maipulació de las Señales 4 Señal Discreta Origial Para k Para k - Figura. Represetació gráfica de ua señal y sus versioes adelatada y retrazada Dr. Luis Javier Morales Medoza 35 Maipulació de las Señales.4.. Iversió temporal. Esta operació es de gra utilidad e el tratamieto de señales discretas e dode so hay que remplazar a la variable idepediete por. El resultado de esta operació es u pliegue o ua refleió de la señal co respecto al orige de tiempo, es decir, y () ( ) ( ) Ejemplo 4. se tiee ua señal discreta () como () {,,,,,,,,, 3, 4,,,,, } la cual ha teido dos trasformacioes, las cuales so: y () ( ) y y () ( + ), determie su grafica correspodiete para cada caso. Dr. Luis Javier Morales Medoza 36 8

19 Maipulació de las Señales a) y() {,,,,, 4, 3,,,,,,,,, } b) y() {,,,,, 4, 3,,,,,,,,, } E la Figura se muestra dichas refleioes y corrimietos Escalado Ua tercera modificació de la variable idepediete implica remplazar a por µ, siedo µ u etero. Se cooce a esta modificació de la base como escalado temporal o submuestreo, es decir, ( ) ( ) y µ < < () Dr. Luis Javier Morales Medoza 37 Maipulació de las Señales 4 3 Señal Discreta Origial y() (-) y() (-+) 4 3 Figura. Gráfica de las operacioes de refleió y desplazamieto Dr. Luis Javier Morales Medoza 38 9

20 Maipulació de las Señales Ejemplo 5. Obtega la represetació gráfica de la señal y() (), dode () es la siguiete señal discreta () {,, 3,,,,,, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,,,,, } La forma de solucioar el problema es la siguiete: la señal y() se debe obteer a partir de () tomado ua de cada dos muestras de (), comezado e (). Por lo tato, y() (), y() (), y() (4) y así sucesivamete hasta completar las muestras. Por otra parte, se tiee que para y( ) ( ), y( ) ( 4), y( 3) ( 6) y así sucesivamete. E otras palabras, se ha elimiado las muestras impares de () y se coserva las pares. La secuecia fial y() se muestra a cotiuació y() {,,,, 4, 4, 4, 4,, } Dr. Luis Javier Morales Medoza 39 Maipulació de las Señales 4 Señal Discreta Origial Señal Submuestreada Figura 3. Ilustració gráfica de la operació de submuestreo Dr. Luis Javier Morales Medoza 4

21 Maipulació de las Señales.4.4. Escalado de Amplitud. El escalado de amplitud de ua señal por ua costate A se obtiee multiplicado el valor de cada muestra de la señal por la costate. Así, obteemos ( ) A( ) y < < (3).4.5. Suma. La suma de dos señales () y () es ua señal y() cuyo valor e cualquier istate es igual a la suma de los dos valores e ese istate de las dos señales de partida, es decir ( ) ( ) ( ) y + < < (4) Dr. Luis Javier Morales Medoza 4 Maipulació de las Señales.4.6. Multiplicació. El producto de dos señales () y () es ua señal y() cuyo valor se defie aálogamete e cada istate de tiempo como ( ) ( ) ( ) y < < (5) Ejemplo 6. Si se tiee dos secuecias fiitas de señales discretas las cuales se muestra a cotiuació () {,.6,,,.5,,,.6, } y () {, 3, 3, 3,,,, 3, 3, 3, } Dr. Luis Javier Morales Medoza 4

22 Maipulació de las Señales realice la suma, multiplicació y escalado de ambas secuecias como (3), (4) y (5), como y 3 () A () siedo A. Realice tambié sus gráficas de cada operació correspodiete. La suma de dos secuecias discretas se debe de realizar e forma idividual por cada muestra que tega la secuecia. Si ua secuecia tiee ua logitud más grade que la otra, se deberá llear co ceros. a) y () {-,.6,, -, 4.5, 3, 3,.6, 4, -3, 3, } Del mismo modo, para el problema de la multiplicació se debe realizar la multiplicació por cada muestra que tega la secuecia. Si ua secuecia tiee ua logitud más grade que la otra, se deberá llear co ceros. b) y () {,.6, -6,-3, 4.5,,,., 3,,, } Dr. Luis Javier Morales Medoza 43 Maipulació de las Señales Fialmete, como A, etoces solo se multiplica esta costate por cada uo de los elemetos que cotega la secuecia discreta (), c) y 3 () {-,., -4,, 3,, 4,., } Dr. Luis Javier Morales Medoza 44

23 Maipulació de las Señales Figura 4. Ilustració gráfica de las operacioes de a) suma, b) multiplicació y c) escalado Dr. Luis Javier Morales Medoza 45 Tarea.5. Tarea:. Dibuje cada ua de las siguietes señales discretas () {,, 3,,,,,,} ( ) ( ) ( ) ( 4 ) y y ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( 3) y3 + y 4. Determie las propiedades de las siguietes señales discretas () {,,,,,,} ( ) {,,,, 3,,,, 7, } ( ) ( 4 ) 3 ( ) ( k) 4 ( ) ( + ) k Dr. Luis Javier Morales Medoza 46 3

24 Tarea 3. Realice las siguietes operacioes (realice la gráfica de cada uo) ( ) { 4, 5,,, 3,,,,, 5, 4} ( ) {, 4, 3, 5,,,, } ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) y3( ) 5 ( ) + ( ) y + ( ) ( ) [ ( ) + ( ) ] y Realice el código e Matlab que pueda realizar la refleió, desplazamieto, escaloado, multiplicació, sub-muestreo y suma de dos secuecias cualesquiera de diferetes logitudes. Dr. Luis Javier Morales Medoza 47 4