ÁLGEBRA ELEMENTAL. Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas).

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1 ÁLGEBRA ELEMENTAL 1.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS (GENERALIDADES) Alguas defiicioes Ua epresió algebraica es ua epresió matemática que cotiee úmeros, letras que represeta úmeros cualesquiera sigos matemáticos que idica operacioes a efectuar co los úmeros (suma, resta ). z so epresioes algebraicas U térmio es ua epresió algebraica que sólo cotiee productos cocietes (es decir, o aparece sumas o restas). + es ua epresió algebraica que costa de térmios, sus térmios so:,, Si ua epresió algebraica costa de u solo térmio recibe el ombre de moomio, si está compuesta de térmios biomio, de tres triomio; e geeral, se llama multiomio a toda epresió algebraica de más de u térmio. es u moomio es u biomio + es u triomio U factor es cada uo de los elemetos de u térmio. El térmio tiee factores:,, E u térmio se dice que cualquier factor es coeficiete de los restates. Así, por ejemplo: e el térmio es el coeficiete de es el coeficiete de es el coeficiete de

2 Álgebra elemetal E el ejemplo aterior, al úmero se le llama coeficiete umérico (o simplemete coeficiete) del térmio. El coeficiete umérico se defie e geeral como el úmero que multiplica a las letras e ua epresió algebraica; cuado el coeficiete es la uidad o suele escribirse eplícitamete. Se dice que dos térmios so semejates cuado sólo se diferecia e su coeficiete umérico so semejates etre sí 5 so semejates etre sí U térmio es racioal etero co respecto a ciertas letras (que represeta a úmeros cualesquiera) si está formado por potecias eteras positivas de letras multiplicadas por u factor umérico, o bie está formado sólo por u úmero. Se llama grado del térmio a la suma de los epoetes. es u térmio racioal etero de grado 4 4 es u térmio racioal etero de grado 4 5 es u térmio racioal etero de grado 0 es u térmio racioal etero de grado 1 Ua epresió racioal etera es ua epresió que costa de varios térmios, cada uo de los cuales es racioal etero; las epresioes racioales eteras se llama tambié poliomios. Se llama grado de la epresió (o del poliomio) al grado del térmio de maor grado z z es u poliomio de grado Operacioes básicas co epresioes algebraicas La suma de epresioes algebraicas se realiza agrupado los térmios semejates sumádo los coeficietes. Así, la suma de: da como resultado + z + z z z + z + 5z La resta de epresioes algebraicas se realiza sumado al miuedo el opuesto del sustraedo. Así, la resta de: + z + z + z + 5z

3 Álgebra elemetal da como resultado 4 z z Multiplicació de dos o más moomios. Se realiza aplicado las propiedades asociativa comutativa del producto de úmeros las reglas de la poteciació de los sigos (ha de teerse e cueta que todos los factores de u moomio so o represeta úmeros). El producto de: 4 z por z da como resultado 1 z El producto de: por z por 4 da como resultado 4 z Multiplicació de dos multiomios. Se realiza multiplicado todos cada uo de los térmios de uo de ellos por todos cada uo de los térmios del otro, sumado los productos obteidos. + 5z + z. = z z + 5z + z. ( ) + + 5z + z. z z z = ( ) ( z ) ( ) ( z) ( ) ( z ) ( z) = z z z z z z + 6z 10z 4 z z Divisió de dos moomios. Se realiza hallado el cociete de los coeficietes los factores literales (letras), multiplicado después dichos cocietes. 1 = 6 5 z 5 1 5z =... z = Divisió de dos multiomios. Lo eplicaremos para el caso particular de poliomios. Para dividir dos poliomios se realiza los siguietes pasos: 1º Se ordea los térmios de ambos poliomios segú las potecias decrecietes (o crecietes) de ua de las letras comues a los dos poliomios. º Se divide el primer térmio del dividedo por el primero del divisor, resultado así el primer térmio del cociete

4 Álgebra elemetal º Se multiplica el primer térmio del cociete por el divisor se resta del dividedo, obteiédose u resto. 4º Cosiderado el resto obteido como uevo dividedo se repite las operacioes ª ª tatas veces como sea ecesario hasta que se obtega u resto igual a cero o de grado meor que el del dividedo. 5º El resultado de la divisió puede escribirse como: Ejemplo. dividedo resto = cociete+ divisor divisor 1..- Factorizació de epresioes algebraicas Factorizar ua epresió algebraica sigifica ecotrar dos o más epresioes algebraicas que multiplicadas etre sí de lugar a la primera. Ejemplo: = ( ) ( + ) So muchas las técicas útiles e el proceso de descompoer e factores ua epresió algebraica, como por ejemplo el coocimieto de las formulas del cuadrado perfecto, cubo perfecto, diferecia de cuadrados, propiedad distributiva del producto respecto de la suma de úmeros, etc. Alguas de estas fórmulas se epoe a cotiuació: ac + ad = a ( c + d) moomio factor comú a b = ( a+ b) ( a b) suma por diferecia a + ab+ b = ( a+ b) cuadrado perfecto a ab+ b = ( a b) cuadrado perfecto a + a b+ ab + b = ( a+ b) suma de cubos a a b+ ab b = ( a b) diferecia de cubos a + b + c + ab + ac + bc = ( a + b + c) NOTA: ua fórmula mu iteresate, auque su pricipal aplicació o es factorizar epresioes algebraicas, es el llamado biomio de Newto: ( a+ b) = a + a b+ a b + + a b + b

5 Álgebra elemetal dode la epresió se llama úmero combiatorio, se lee sobre m equivale a m lo siguiete: simplificado (1) tras desarrollar los factoriales! ( 1) ( ) ( m+ 1) m, N, = = m m!( m)! m! (1) ha de recordarse que! = ( 1) ( ) 1 Por coveio, 0!=1 por lo tato = Ejemplo: ( a+ b) = a + a b+ a b + a b + a b = ! 4 4! 4! 4! 4! 4 = a + a b+ a b + a b + b = 0! (4 0)! 1! (4 1)!! (4 )!! (4 )! 4! (4 4)! 4 4 = a + 4 a b+ 6 a b + 4 a b + b Nota: ver tambié factorizació de poliomios (apartado.4) Fraccioes algebraicas su simplificació Se llama epresió algebraica racioal o fracció algebraica al cociete de dos poliomios. La epresió algebraica racioal tiee dos térmios: el umerador el deomiador. + 8 es ua fracció algebraica Las reglas para el sumar, restar, multiplicar dividir fraccioes algebraicas so las mismas que las de las correspodietes operacioes co fraccioes e aritmética. Fraccioes equivaletes so aquéllas cuo valor es el mismo. Si se multiplica el umerador el deomiador de ua fracció algebraica por ua misma catidad o ula (esta catidad puede veir dada por otra epresió algebraica) resulta ua fracció algebraica equivalete a la iicial so equivaletes (co 0 ) so equivaletes. Nótese que si p( ) q ( ) es equivalete a r ( ) s( ) etoces se cumple que p ( ) s ( ) = q ( ) r ( ) 5

6 Álgebra elemetal Simplificar ua fracció algebraica es trasformarla e otra equivalete e irreducible (es decir que el umerador el deomiador o tega más factores e comú que la uidad). Para ello se factoriza umerador deomiador se elimia los factores comues (siempre que éstos sea distitos de cero). Ejemplo: ( + ) ( ) ( ) = = ( + ) ( ) ( ).- POLINOMIOS REALES DE UNA VARIABLE.1.- Geeralidades E el apartado 1.1 hemos defiido qué es u poliomio. E el caso particular de que e él aparezca ua sóla letra (o variable) tato los coeficietes como la variable sea úmeros reales, se dice que el poliomio es real de ua variable. Así, mietras que 5 7z z es u ejemplo de poliomio cualquiera es u poliomio de ua variable La epresió geeral de u poliomo real de ua variable es de la forma: p ( ) = a+ a+ a + a + + a + o 1 dode a, a1, a, a,, a, o Teiedo e cueta las defiicioes dadas e el apartado 1.1 para epresioes algebraicas e geeral, podemos decir que para u poliomio real de ua variable: - los úmeros a0, a1, a, a,, a so los coeficietes del poliomio - cada sumado de la forma i a i se llama térmio de grado i - el grado del poliomio será el grado (o epoete) del térmio de maor grado es u poliomio de grado ; tiee tres térmios cuos coeficietes so 8, 5,14. El coeficiete ao se llama térmio idepediete. El térmio idepediete del poliomio 7 + es Poliomio completo es aquél e el que todos sus coeficietes so o ulos es u poliomio completo de grado 6

7 Álgebra elemetal es u poliomio de grado o completo (falta el térmio de grado 1) Poliomio ulo es aquél e el que todos sus coeficietes so ulos; se deota por 0() es el poliomio ulo de grado. Poliomio opuesto de u poliomio p() dado es aquél cuos coeficietes so los opuestos del origial. Se deota por p(). El poliomio opuesto de + es + Se llama valor umérico de u poliomio e =a se deota por p(a), al úmero real que se obtiee al sustituir la variable por el úmero a. El valor umérico de p( ) = + e = es p () = +. = 1 Nota: el poliomio ulo toma valor 0 e todo p(0) = 0 Dos poliomios so iguales cuado toma el mismo valor e todos los putos. La codició ecesaria suficiete para que dos poliomios sea iguales es que sea iguales etre sí los coeficietes de los térmios del mismo grado e ambos poliomios. Es decir: los poliomios p( ) = a + a + a + a + + a 0 1 q ( ) = b+ b+ b + b+ + b 0 1 so iguales a0 = b0, a1 = b1, a = b,, a = b..- Operacioes básicas La suma, resta, producto divisió de poliomios de ua variable se realiza siguiedo las reglas epuestas e el apartado 1. para epresioes algebraicas e geeral. Por lo tato, e el caso de dos poliomios reales de ua variable: p( ) = a + a + a + a + + a o 1 q ( ) = b+ b+ b + b + + b o 1 las operacioes queda defiidas como se epoe a cotiuació:..1.- Suma resta Se llama suma de p() q() a u poliomio (llamémosle r(), por ejemplo), tal que: r ( ) = p ( ) + q ( ) = ( a+ b) + ( a+ b) + ( a+ b) + ( a+ b) + + ( a+ b)

8 Álgebra elemetal Ha de teerse e cueta que para poder sumar dos poliomios, o ha de ser ecesariamete del mismo grado i completos. Ejemplo: p( ) = + 8, q( ) = p( ) + q( ) = La resta de dos poliomios p() q() se realiza sumado al primero el opuesto del segudo: Propiedades de la suma: p() - q() = p() + (-q()) Comutativa: p, q, p( ) + q( ) = q( ) + p( ) Asociativa: p, qr,, p ( ) + ( q ( ) + r ( )) = ( p ( ) + q ( )) + r ( ) Elemeto eutro (o ulo): p, q/ p( ) + q( ) = q( ) + p( ) = p( ) El elemeto eutro q() es el poliomio ulo 0() Elemeto opuesto: p, q/ p( ) + q( ) = q( ) + p( ) = 0( ) El elemeto opuesto q() es el poliomio -p()...- Producto Se realiza multiplicado todos cada uo de los térmios de uo de ellos por todos cada uo de los térmios del otro, sumado fialmete los productos obteidos p ( ) q ( ) = ( a+ a+ a + a + + a) ( b+ b+ b + b+ + b ) = a ( b + b+ b + b + + b ) + a ( b + b+ b + b + + b ) a ( b0 + b 1 + b + b + + b ) = + 1 a0 b0 + a0 b1 + + a0 b + a1 b0 + a1 b1 + a1 b agrupado térmios del mismo grado ( a b0 + a b1 + + a b ) = a0 b0 + a0 b1+ a1 b0 + a0 b + a1 b1+ a b0 + + a b ( ) ( ( ) ( ) ( ) + ) + + Propiedades: Comutativa: p, q, p( ) q( ) = q( ) p( ) Asociativa: p, qr,, p ( ) ( q ( ) r ( )) = ( p ( ) q ( )) r ( ) Elemeto eutro (o uitario): p, q/ p( ) + q( ) = q( ) + p( ) = p( ) este elemeto eutro es el poliomio 1 (que toma valor costate 1 e todos los putos). 8

9 Álgebra elemetal Además se cumple la propiedad distributiva del producto respecto de la suma: p, qr,, p ( ) ( q ( ) + r ( )) = p ( ) q ( ) + p ( ) r ( )...- Cociete El proceso para dividir dos poliomios se ha epuesto e el apartado 1.. E el caso de particular de poliomios de ua variable, este proceso queda como se describe a cotiuació: 1º Se ordea los térmios de ambos poliomios segú las potecias decrecietes. º Se divide el primer térmio del dividedo por el primero del divisor, obteiédose así el primer térmio del cociete º Se multiplica el primer térmio del cociete por el divisor se resta del dividedo, obteiédose u resto. 4º Cosiderado el resto obteido como uevo dividedo se repite las operacioes ª ª tatas veces como sea ecesario hasta obteer u resto igual a cero o de grado meor que el del dividedo. 5º El resultado de la divisió puede escribirse como: Ejemplo. dividedo resto = cociete+ divisor divisor La regla de Ruffii es u método secillo para dividir dos poliomios cuado el divisor es de la forma (+a) o (-a). Vamos a eplicar este método co u ejemplo de u poliomio de orde ; para cualquier otro orde el proceso sería similar. NOTA: Las propiedades de las operacioes co poliomios se basa e las propiedades de las operacioes co úmeros reales...- Raíces de u poliomio..1.- Geeralidades Se dice que u úmero r es ua raíz de u poliomio p() si el valor umérico del poliomio para =r es 0. Es decir r es raíz de p() p(r)=0 es raíz del poliomio p( ) = + a que p () = + = 0 es raíz del poliomio p( ) = 6+ + a que p () = = 0 9

10 Álgebra elemetal Si p() tiee m raíces iguales a r, se dice que r es ua raíz múltiple de orde m. Si m toma el valor, diremos que r es ua raíz doble; si m toma el valor, diremos que r es ua raíz triple; así sucesivamete. - es raíz doble de p( ) = Teorema fudametal del álgebra: todo poliomio de grado tiee eactamete raíces (puede ser reales /o complejas). p( ) 6 = + tiee raíces, que so - (reales) p( ) = + tiee raíces, que so -1+i -1-i (complejas) p( ) = + + tiee raíces, que so, -i, +i (1 real dos complejas) Si u úmero complejo, a+bi, es raíz de u poliomio co coeficietes reales, etoces el complejo cojugado, a-bi, es tambié raíz del mismo poliomio (es decir, las raíces complejas aparece siempre por parejas). Las raíces racioales de u poliomio de coeficietes eteros de la forma p( ) = a + a + a + a so divisores de a 0 (obsérvese que el coeficiete del térmio de maor grado es 1). Ejemplo: si p( ) = + tiee raíces racioales, éstas debe ser divisores de ; por lo tato 1, -1, - so posibles raíces de p(). E geeral, si b es raíz de u poliomio de la forma c p( ) = a + a + a + a + + a o 1 siedo b c ua fracció racioal irreducible, etoces b es u divisor de a 0, c es u divisor de a....- Cálculo de las raíces de u poliomio So varios los métodos que os permite calcular las raíces de u poliomio: - Resolució de la ecuació p()=0, para lo cual so válidas todas las técicas que se coozca de resolució de ecuacioes. 10

11 Álgebra elemetal - Gráficamete, las raíces reales de u poliomio real p() se puede obteer (de maera aproimada) trazado la curva =p(), hallado los putos dode la curva se corta co el eje, a que e tales putos p()=0. - Si r es ua raíz de p() etoces p() es divisible por (-a), recíprocamete. Lo aterior proporcioa u método secillo para el cálculo de las raíces, comprobado si p() es divisible por (-a) dado valores a a. Para ello es iteresate recordar que estos a valores ha de ser divisores de 0, como se ha epuesto e el apartado..1. Para a efectuar estas divisioes es mu aplicado el método de Ruffii, que se ha epuesto e el apartado... (Ejemplo de cálculo de raíces).4.- Factorizació de poliomios Métodos para factorizar E el apartado 1. se ha eplicado e qué cosiste factorizar ua epresió algebraica se ha recordado alguas fórmulas útiles para ello. Todo lo allí epuesto es válido e el caso de los poliomios reales de ua variable. Así por ejemplo: el poliomio p ( ) = ( 4) puede factorizarse como p ( ) = ( + ) ( ), si más que recordar la fórmula de la diferecia de cuadrados. el poliomio p( ) = puede factorizarse como que recordar la fórmula del cuadrado perfecto p ( ) ( ) = +, si más Pero además, si se cooce las raíces del poliomio, la factorizació es imediata, como se eplica a cotiuació Factorizació cuado se cooce las raíces del poliomio Como se ha dicho ateriormete, si r es ua raíz de p(), etoces este poliomio es divisible por (-r). Así, teiedo e cueta la teoría epuesta e.. para el cociete de poliomios, el poliomio puede descompoerse de la siguiete maera: p( ) = ( r) c( ) siedo c() el cociete etre p() (-r). Pero a su vez c() podría descompoerse de la misma forma, así sucesivamete, resultado fialmete que la factorizació de u poliomio es mu secilla si se cooce sus raíces: si p( ) = a + a + a + a + + a tiee como raíces los úmeros r 1, r,, r 0 1 etoces puede descompoerse de forma úica como el producto: p( ) = a ( r) ( r ) ( r ) 1 11

12 Álgebra elemetal El poliomio tiee como raíces r 1 =1, r = -, r =-. Por lo tato puede factorizarse como ( 1) ( + ) ( + ) Si r es ua raíz múltiple de orde p de u poliomio, e la factorizació aparece el factor (-r) p. 4 El poliomio tiee como raíces r 1 =1 (doble), r = (simple), r =- (simple). Por lo tato puede factorizarse como ( 1) ( ) ( + ). Segú todo lo aterior, si queremos factorizar u poliomio o coocemos sus raíces, podemos obteer éstas e primer lugar, por ejemplo co el método de Ruffii, a cotiuació utilizarlas para factorizar como acabamos de eplicar. NOTA: es importate observar que, recíprocamete, si teemos u poliomio factorizado, e él sus raíces se observa imediatamete. Las raíces del poliomio p ( ) = ( ) ( + 5)( ) so, -5 (todas ellas simples) Las raíces del poliomio p ( ) = ( + 1) ( ) ( 1) so -1 1 (simples) (triple). Obsérvese que p() es u poliomio de grado 5 por lo tato ha de teer 5 raíces, repetidas o o (es decir, la suma de las multiplicidades de las raíces ha de dar 5)..- ECUACIONES (GENERALIDADES).1.- Alguas defiicioes Ua variable es u elemeto que puede adquirir (o puede ser sustituída) por u valor cualquiera. Los valores que ua variable es capaz de recibir puede estar defiidos detro de u rago o cojuto determiado (por ejemplo úmeros positivos ). Las variables suele deotarse por las letras a, b, c, E geeral ua icógita es algo que descoocemos. E álgebra ua icógita es ua variable cuo valor o coocemos vamos a tratar de determiar. Las icógitas suele deotarse por las letras,, z, Ua ecuació es ua igualdad etre dos epresioes matemáticas, deomiadas miembros de la ecuació: el primer miembro es el que aparece ates del sigo de igualdad el segudo miembro el que aparece después. Si e lugar del sigo de igualdad aparece los sigos de desigualdad (>,, <,, ) la epresió se deomia iecuació. 5 = es ua ecuació co ua icógita. = 5 es ua ecuació co dos icógitas 1

13 Álgebra elemetal +>5 es ua iecuació Ua ecuació racioal etera (o poliómica) es ua igualdad etre dos epresioes racioales eteras (o poliomios). Se llama grado de la ecuació al correspodiete al térmio de maor grado. Las ecuacioes de grado 1 se llama tambié ecuacioes lieales. Las ecuacioes de grado se llama tambié ecuacioes cuadráticas. + 5= 0 es ua ecuació lieal (o de grado 1), co 1 icógita. = 8 es ua ecuació lieal (o de grado 1), co icógitas = es ua ecuació cuadrática (o de grado ), co 1 icógita = es ua ecuació cuadrática (o de grado ), co icógitas + + 5= 0 es ua ecuació cuadrática (o de grado ), co icógitas Ua ecuació e la que la(s) icógita(s) figura() como epoete, se deomia ecuació epoecial. 5= 9 es ua ecuació epoecial, co ua icógita Ua ecuació e la que la icógita aparece detro de u logaritmo se deomia ecuació logarítmica. log( ) = 0 es ua ecuació logarítmica, co ua icógita. Se llama solució de ua ecuació a cualquier valor de la(s) icógita(s) que haga() que se verifique la igualdad. Es posible que ua ecuació o tega solució. = = es solució de la ecuació 4 = 1, a que 4 = 1 Las ecuacioes que se verifica para cualquier valor posible de sus icógitas se llama idetidades. Para represetar ua idetidad se emplea el símbolo e lugar de =. 4 ( + ) ( ) es ua idetidad U cojuto de m ecuacioes co icógitas { },,,, 1 se deomia sistema de ecuacioes. Depediedo del tipo de las ecuacioes, los sistemas puede ser lieales, o cuadráticos o + z = 5 z = + 4z = 8 es u sistema lieal de ecuacioes co icógitas 1

14 Álgebra elemetal El sistema se llama homogéeo si el térmio idepediete de todas las ecuacioes es cero; e caso cotrario se deomia heterogéeo. Se deomia solució de u sistema de m ecuacioes co icógitas { 1,,,, } al cojuto de valores { 1,,,, } que hace que se verifique todas las ecuacioes simultáeamete. =1, =-, z=0 1 ( ) 0= 1 41 ( ) + 0 = 6 1 ( ) 0 = 7 es solució del sistema z = z = 6 z = 7 a que: Los sistemas de ecuacioes puede teer solució o o teerla. Cuado u sistema o tiee solució, se deomia icompatible cuado la tiee se deomia compatible. Se dice que dos ecuacioes so equivaletes cuado tiee las mismas solucioes. = 6 = 0 so equivaletes Alguos métodos de resolució de ecuacioes sistemas de ecuacioes se basa e trasformar la ecuació o sistema e otra/o más secilla/o equivalete a la/al origial, como es el caso del método de Gauss para resolver sistemas de ecuacioes lieales, que se epoe e detalle e el tema correspodiete a álgebra lieal. Nota: Ua fórmula es ua ecuació que epresa u hecho geeral, ua regla o u pricipio. A = a.b es la fórmula del área de u cuadrado cuos lados mide a b uidades. 4.- EJERCICIOS PROPUESTOS 1- Para cada ua de las siguietes epresioes algebraicas: i) idica el úmero de térmios asiga u ombre a la epresió (moomio, biomio, ) ii) escribe los factores de cada térmio, iii) para cada térmio escribe el coeficiete umérico, iv) para cada factor escribe todos los coeficietes. a) z b) + - Etre los siguietes térmios, idica cuáles so semejates etre sí: a) 1 b) 5 se ( ) c) d) se( ) e) f) g) 14

15 Álgebra elemetal - Idica si las siguietes epresioes so racioales eteras (es decir, poliomios); e caso de serlo, idica su grado. 5 5 a) + z z b) + 4 z c) se( ) + z 4 d) e) + 4z z 4- Realiza las siguietes operacioes co epresioes algebraicas a) i) sumar z z z 5 ii) sumar + z z iii) restar z z z + z b) i) multiplicar + 1 por ii) multiplicar + + por c) i) dividir etre + 1 ii) dividir + 1 etre factoriza las siguietes epresioes algebraicas a) b) c) + d) e) f) + 6- Desarrollar por el biomio de Newto las siguietes epresioes: ( ) 1 a) ( a+ b) b) ( a+ b) c) ( a b) d) ( a b) e) a + b f) a + 7- Realiza las siguietes operacioes co fraccioes algebraicas: b a) i) 4 ii) 4 + b) i) + ( + ) ii)

16 Álgebra elemetal c) i) ( + ) ( ) + 1 ii) 4 ( + 1) ( + ) d) i) ( + ) 1 ( ) 1 ( ) ii) Idica si las siguietes fraccioes so equivaletes: a) z 6 z b) + 9- Idica qué tiee que ocurrir para que los poliomios p() q() sea iguales: a) b) p( ) = a + 4, q( ) = b + + c p( ) = + a + 4, q( ) = + + b 10- Idica cuátas raíces (o cuáles) tiee los siguietes poliomios: a p b p c p ) ( ) = + 4, ) ( ) = +, ) ( ) = p Comprueba si el úmero es raíz de p ( ) = Calcula las raíces de los siguietes poliomios idicado su multiplicidad: 4 a) p ( ) = ++1, b) p ( ) = + 1, c) p ( ) = d) p ( ) = ( + ) ( ), e) p ( ) = ( 1) 1- Divide p() etre q(), siedo: a) b) p q 4 ( ) = ( ) = ( + 1) p ( ) = q ( ) = ( ) Factoriza los poliomios del ejercicio Po u ombre a las siguietes epresioes: a) 4= 7 b) < 8 c)( + 1) = Idica si los los siguietes sistemas de ecuacioes so homogéeos o heterogéeos comprueba si los valores ofrecidos so solució de los mismos: 16

17 Álgebra elemetal L( ) = 5= 1 + = = 1 = a) ( = ) b) ( = 1, = ) 5.- SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1- a) térmios (triomio). Primer térmio: Factores:, Coeficiete umérico: Coeficietes: es el coeficiete de es el coeficiete de Segudo térmio: Factores:, Coeficiete umérico: Coeficietes: es el coeficiete de es el coeficiete de Tercer térmio: 1 Factores: 1 Coeficiete umérico: 1 b) térmios (biomio) Primer térmio: Factores:,, Coeficiete umérico: Coeficietes: es el coeficiete de es el coeficiete de es el coeficiete de z Segudo térmio: 1 Factores: z, Coeficiete umérico: 1 1 Coeficietes: z es el coeficiete de 1 es el coeficiete de z - a) es semejate a f), b) es semejate a d), c) es semejate a e), o ha igú térmio semejate a g). - a) Sí. Grado. b) No c) No d) Sí. Grado 4. e) Sí. Grado 4-) a) i) z z ii) 6 + z + iii) z z b) i) + 5 ii) c) i) ii) a) ( ) b) ( + ) ( ) c) e) ( ) f) (+ ) ( ) d) ( ) ( + ) 17

18 Álgebra elemetal 6- a) b) c) d) ( a+ b) = a + ab+ b ( a+ b) = a + a b+ ab + b ( a b) = a ab+ b ( a b) = 8a 1a b+ 6ab b e) ( ) a + b = a + a b + ab+ b f) a + = a + a + a + b b b b a) i) 0 ii) b) i) ( ) ii) ( ) c) i) ( ) ii) ( + ) ( 1) d) i) ( ) ii) ( + ) 8- a) Sí b) Sí 9- a) a=-, b=0, c=-4 b) Para igú valor de los parámetros estos poliomios so iguales. 10- a), b), c) p raíces 11- Sí, a que p()=0 1- a) r = 1 ( m= ) b) r1 = 1 ( m1 = ), r = 1 ( m= 1) c) r = 1 ( m = ), r = ( m= ) d) r = ( m = 1), r = ( m= ) e) r = 0 ( m = ), r = 1 ( m= ) a) c ( ) = + 4 b) c ( ) = a) p ( ) = ( + 1) b) p ( ) = ( 1) ( + 1) c) p ( ) = ( 1) ( + ) d) a está factorizado e) a está factorizado 18

19 Álgebra elemetal 15- a) Ecuació b) Iecuació c) Idetidad 16- a) Sistema heterogéeo. = sí es solució del sistema. b) Sistema heterogéeo. =1, = o es solució del sistema. 19

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