Unidad 1. Expresiones algebraicas TÉCNICAS DE TRABAJO SUMARIO

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1 Uidad 1 Expresioes algebraicas SUMARIO Moomios y poliomios Suma y resta de poliomios Producto de poliomios Idetidades otables Divisió de poliomios TÉCNICAS DE TRABAJO Cálculo de cosumos eergéticos

2 1 Expresioes algebraicas 1 Expresioes algebraicas Ejemplo 1 Si x es el precio de 1 kg de mazaas, x será el precio de kg de mazaas. Si la medida de la base de u rectágulo es x, y la medida de la altura, y, la expresió algebraica del área del rectágulo es x y. Ejemplo 5x 1 o es moomio. x 3 es u moomio de grado 3, coeficiete 1 y parte literal x 3. 5xy es u moomio de grado, coeficiete 5 y parte literal xy. Ejemplo 3 El valor umérico de 3 x, para x 4, es: El valor umérico de xy 3, para x e y 3, es: Ejemplo 4 5xy y 4y x so moomios semejates de grado 3 porque su parte literal es igual. E ocasioes es ecesario recurrir a las matemáticas para resolver problemas de la vida cotidiaa. Estos problemas se puede expresar mediate u leguaje más preciso y objetivo que el habitual, llamado leguaje algebraico, dode los datos descoocidos se represetará por letras. Ua expresió algebraica es ua combiació de letras, úmeros y operacioes matemáticas básicas, como so la suma, la resta, la multiplicació y la divisió (Ejemplo 1). 1.1 Moomios y poliomios U moomio es la expresió algebraica más secilla, formada por ua parte umérica llamada coeficiete y por ua parte literal, que puede coteer ua o varias letras. Etre las letras que forma la parte literal de cada moomio solo está permitidas las operacioes de producto y potecia co expoete u úmero atural. El grado de u moomio es la suma de todos los expoetes de su parte literal (Ejemplo ). El valor umérico de u moomio se obtiee reemplazado cada letra por el úmero correspodiete y luego resolviedo las operacioes (Ejemplo 3). Dos moomios so semejates si tiee la misma parte literal (Ejemplo 4). Para sumar o restar moomios, se suma o resta los coeficietes de moomios semejates. Para multiplicar moomios, se multiplica los coeficietes y las partes literales. Para dividir moomios, se divide los coeficietes y las partes literales (Ejemplo 5). Ejemplo 5 Suma y resta de moomios: x x 3x 5x 4x x Multiplicació de moomios: x 3 6x 1x 4 (ab 4 c) (5ab d 4 ) 10a b 6 cd 4 Divisió de moomios: 4 x 3 4 x 3 : 3 x = = 8x 3x 6x 3 y 5 z 16x y 5 z = 3 8 xz 1. Expresa algebraicamete los siguietes euciados: a) El cuádruple de u úmero, meos 1. b) La mitad de la suma de dos úmeros. c) El perímetro de u triágulo equilátero. d) Quice euros más que el precio aterior.. Copia e tu cuadero estos moomios y señala su coeficiete, su parte literal y su grado: a) a 4 bc 3 b) x 3 y c) x y d) y 3 x e) 8x 8 y Copia e tu cuadero y realiza las siguietes operacioes: a) 4x 7x b) 5a 9a c) x 5 y 5xy z d) 3x 3 y xy e) 1x 3 z 4 4xy z 3 6

3 U poliomio es ua expresió algebraica formada por la suma de moomios. Cada uo de los moomios que forma u poliomio se deomia térmio del poliomio. Si la x es la variable de u poliomio, su forma geeral es: P(x) = a x + a 1 x a x + a 1 x + a 0, dode a k so los coeficietes El coeficiete del térmio de mayor grado del poliomio, a, es el coeficiete pricipal. El coeficiete del térmio de meor grado del poliomio, a 0, es el térmio idepediete. El grado de u poliomio es el mayor expoete de la variable x co coeficiete distito de cero. Si el coeficiete del térmio de mayor grado es 1, el poliomio se deomia móico (Ejemplo 7). Biomios y triomios U biomio es u poliomio formado por dos térmios. U triomio es u poliomio formado por tres térmios (Ejemplo 6). Ejemplo 6 So ejemplos de biomios: 3xy x a 3 3ab So ejemplos de triomios: x 5xy 3 x a ab 5 Ejemplo 7 P(x) x 5 x 4 x 19 es u poliomio de grado 5, coeficiete pricipal y térmio idepediete 19. Q(x) x 3 x x 1 es u poliomio móico de grado 3 y térmio idepediete 1. U poliomio es completo cuado tiee térmios de todos los grados iferiores al grado del poliomio (Ejemplo 8). Al sustituir la variable x por u valor determiado se obtiee el llamado valor umérico del poliomio para ese valor determiado (Ejemplo 9). Ejemplo 8 P(x) 3x x 1 es u poliomio completo de grado. El poliomio Q(x) 3x 4 x 1 o es completo y su grado es 4. Ejemplo 9 Sea el poliomio móico P(x) x 3 x x 5: El valor umérico para x 1 es: P(1) El valor umérico para x 3 es: P( 3) ( 3) 3 ( 3) ( 3) El valor umérico para x 0 es: P(0) Copia y escribe e tu cuadero para cada uo de los siguietes poliomios su grado y los moomios que lo costituye: a) 3x 4 5x x 10 b) x 6x x 3 c) a 3a 5 4a 1 5. Escribe e tu cuadero u poliomio móico de grado 4 si térmio idepediete. 6. Escribe e tu cuadero u poliomio completo de grado 4 y térmio idepediete. 7. Calcula el valor umérico del poliomio P(x) x 3 4x 3x para x 1 y x. 7

4 1 Expresioes algebraicas 1. Suma y resta de poliomios Para sumar poliomios se suma etre sí los térmios semejates de ambos poliomios (Ejemplo 10). Ejemplo 10 Dados los poliomios P(x) 3x 3 x 6 y Q(x) 4x 3 3x 5x 1, el poliomio suma S(x) es: S(x) P(x) Q(x) (3x 3 x 6) ( 4x 3 3x 5x + 1) 3x 3 x 6 4x 3 3x 5x 1 (3x 3 4x 3 ) 3x (x 5x) ( 6 1) x 3 3x 3x 5 Ejemplo 11 Si P(x) x 3 3x 1, su poliomio opuesto es: P(x) (x 3 3x 1) x 3 3x 1 El poliomio opuesto de P(x) es P(x) y se calcula cambiado el sigo de los coeficietes (Ejemplo 11). La resta de poliomios se realiza sumado el poliomio opuesto de Q(x): R(x) P(x) Q(x) P(x) [ Q(x)] (Ejemplo 1). Ejemplo 1 El poliomio resta es: R(x) P(x) Q(x) (3x 3 x 6) ( 4x 3 3x 5x 1) 3x 3 x 6 4x 3 3x 5x 1 (3x 3 4x 3 ) 3x (x 5x) ( 6 1) 7x 3 3x 7x 7 Para facilitar las operacioes de poliomios se puede dispoer u poliomio ecima del otro haciedo coicidir los térmios semejates (Ejemplo 13). Ejemplo 13 Dados los poliomios P(x) 5x 3 0x 4x 3 y Q(x) x 3 7x x : La suma de los poliomios es: La resta de los poliomios es: 5x x 3 + x 3 + 7x + x 3x 3 + 7x + 5x 5 5x x 3 + +x 3 7x x + 7x 3 7x + 3x 1 8. Copia y calcula las siguietes sumas de poliomios: a) (3x x 1) (x 3) d) (x 1) (x 3) b) (x x 1) (x 3 x 1) e) (x ) (x x 1) c) (4x x 1) (x 5) f) ( x) ( x 3x 1) 9. Copia e tu cuadero los poliomios: P(x) 3x, Q(x) x 5, R(x) 5x 3 x x, S(x) x 3 x 5x 1. Después, calcula el resultado de las siguietes operacioes. a) P(x) Q(x) b) S(x) P(x) c) R(x) Q(x) d) P(x) Q(x) S(x) 8

5 1.3 Multiplicació de poliomios Para multiplicar dos poliomios P(x) y Q(x), se multiplica el primer térmio del poliomio P(x) por cada térmio de Q(x), el segudo térmio de P(x) por cada térmio Q(x), y así tatas veces como térmios tega P(x). Después, se opera reduciedo el poliomio producto. El resultado de multiplicar dos poliomios es otro poliomio llamado poliomio producto (Ejemplo 15). Ejemplo 15 Producto de u moomio por u poliomio: (x 3 ) ( 5x 3x) (x 3 ) ( 5x ) (x 3 ) (3x) 10x 5 6x 4 Producto de dos poliomios: (3x 1) (4x x 1) (3x) (4x x 1) 1 (4x x 1) = 1x 3 6x 3x 4x x 1 1x 3 10x x 1 Para hacer más fácil el producto de poliomios, se puede dispoer uo ecima de otro, siguiedo el orde de la multiplicació de úmeros eteros (Ejemplo 16). Para calcular el producto de dos poliomios, o importa el orde e el que se multiplique, ya que P(x) Q(x) Q(x) P(x) (Ejemplo 17). Producto E ua multiplicació, cada uo de los térmios que se multiplica se deomia factor, y el resultado es el producto (Ejemplo 14). Ejemplo 14 E la multiplicació 3 6, los úmeros y 3 so factores y 6 es el producto. Ejemplo 16 3x x 1 x 1 3x x 1 6x 3 4x x 6x 3 7x 1 Ejemplo 17 Para multiplicar tres o más poliomios, basta hacerlo agrupádolos de dos e dos: [P(x) Q(x)] R(x) P(x) [Q(x) R(x)] (Ejemplo 18) (x 4) (5 x) 5x x 0 4x x x 0 (5 x) (x 4) 5x 0 x 4x x x 0 Ejemplo 18 Para calcular x (x ) (x 3): se puede calcular x (x ) y el resultado multiplicarlo por (x 3), o bie, multiplicar x por el resultado de operar (x ) (x 3). [x (x )] (x 3) = (x 3 x ) (x 3) = x 4 3x 3 x 3 6x = x 4 x 3 6x x [(x ) (x 3)] = x (x 3x x 6) = x (x x 6) = x 4 x 3 6x 10. Copia e tu cuadero y calcula los siguietes productos: a) x (x 3) b) 4x (x 3 x 1) c) (x 5) (x ) d) (x ) (x x 1) e) (x ) (x 3) f) (5 x) (x x 1) 11. Copia e tu cuadero y calcula los siguietes productos de poliomios: a) x (x 1) (x 3) b) ( x) x (3x 1) c) (x 1) x (x ) d) x 3 (x ) (x x 1) e) (x 1) (x 3 x 1) (x ) f) x (x x) (x 5x 1) 9

6 1 Expresioes algebraicas 1.4 Sacar factor comú de u poliomio Sacar factor comú trasforma ua suma e ua multiplicació. Para sacar factor comú de u poliomio, se busca los factores que sea comues a todos los térmios y se aplica la propiedad distributiva de la multiplicació respecto de la suma: ax + bx = xa+ ( b) (Ejemplo 19) Ejemplo 19 E el poliomio 3x 6x 9, los coeficietes de cada térmio so múltiplos de 3, por lo que el 3 es u factor comú a todos los térmios, de maera que: 3x 6x 9 3 x x 3 E el poliomio x 3 1x 8x, todos los coeficietes so múltiplos de, por lo que el es u factor comú a todos los térmios; además, todas las partes literales tiee x como factor, por lo que x es u factor comú a todos los térmios, de maera que: x 3 1x 8x x x 6x 4 1. Copia e tu cuadero estos poliomios y saca factor comú si es posible: a) 5x 3 10x 15 b) x 3 x c) 4x 5 4x 3 3 d) 7x x 14 e) 15x 4 85x f) 5 x 1 + x 1 g) 10x 3 15x 5 h) x 4 x 13. Calcula e tu cuadero las siguietes operacioes, dados los siguietes poliomios: P(x) x 3 4x + 3x + 1, Q(x) x 4 + x 3 5x 3, R(x) 6x +, S(x) x 1 a) Q(x) b) P(x) + S(x) c) Q(x) R(x) d) P(x) S(x) e) P(x) [Q(x) R(x)] f) P(x) Q(x) R(x) g) P(x) [Q(x) S(x)] h) R(x) [P(x) S(x) + S(x)] 14. Dado el poliomio P(x) 9x 4 6x 3x, respode estas pregutas: a) Qué moomio se debe restar a P(x) para que el resultado sea u poliomio sea móico? b) Qué grado debe teer el moomio que sume a P(x) para que el resultado sea u poliomio completo de grado 4? c) Idica u poliomio que al sumarlo a P(x) se obtega como resultado u poliomio que tega a 3x como factor comú. d) Idica u poliomio que al restarlo a P(x) se obtega como resultado u poliomio que tega a 3x 3 como factor comú. 10

7 Idetidades otables Hay tres productos de biomios que se utiliza co frecuecia, ya que se puede calcular si ecesidad de realizar su multiplicació y se cooce como idetidades otables. Cuadrado de la suma: (a b) a ab b El cuadrado de la suma de a y b es igual al cuadrado de a, más el doble de a por b, más el cuadrado de b (Ejemplo 0). Se puede comprobar la igualdad gráficamete o multiplicado: Gráficamete a ab b = (a b) a b Multiplicado a b a b ab b a ab a ab b Ejemplo 0 Para calcular (x 5) se puede utilizar la igualdad (a b) a ab b, sustituyedo a por x y b por 5: (x 5) x x 5 5 x 10x 5 Comprobació: (x 5) (x 5) (x 5) x x 5 x 5 x 5 5 x 10x 5 Cuadrado de la diferecia: (a b) a ab b El cuadrado de la diferecia de a y b es igual al cuadrado de a, meos el doble de a por b, más el cuadrado de b (Ejemplo 1). Se puede comprobar la igualdad gráficamete o multiplicado: Gráficamete a b a ab b = (a b) a b Multiplicado a b a b ab b a ab a ab b Ejemplo 1 Para calcular (x 6) se puede utilizar la igualdad (a b) a ab + b, sustituyedo a por x y b por 6: (x 6) x x 6 6 x 1x 36 Comprobació: (x 6) (x 6) (x 6) x x 6 x 6 x 6 6 x 1x 36 11

8 1 Expresioes algebraicas Suma por diferecia: (a b) (a b) a b La suma de dos térmios multiplicada por su diferecia es igual a la diferecia de sus cuadrados (Ejemplo ). Se puede comprobar la igualdad gráficamete o multiplicado (a b) por (a b): Multiplicado a b a b ab b a ab a b Gráficamete a b a ab ab b = (a b) (a b) a b Ejemplo Para calcular (x + ) (x ) se puede utilizar la igualdad (a b) (a b) a b, sustituyedo a por x y b por : (x ) (x ) x = x 4 Comprobació: (x ) (x ) x x x x x 4 Las idetidades otables tambié puede leerse de derecha a izquierda y utilizarse para trasformar poliomios e multiplicacioes de biomios: e el cuadrado de ua suma, el cuadrado de ua resta o, el producto de ua suma por ua diferecia (Ejemplo 3). Ejemplo 3 Para escribir el poliomio 4x 36x 81 como u producto, se busca cuadrados para formar ua idetidad otable. Como 4x = (x) y 81 9 : 4x 36x 81 (x) (x) (9) (9) (x 9) Así que, el poliomio 4x 36x 81 se puede escribir como el cuadrado de la diferecia (x 9). Para escribir el poliomio x 10x 5 como u producto, se busca cuadrados para formar ua idetidad otable. Como x (x) y 5 5 : x 10x 5 (x) (x) (5) (5) (x 5) El poliomio x 10x 5 se puede escribir como el cuadrado de la suma (x 5). Para escribir el poliomio 16x 5 como u producto, se busca cuadrados para formar ua idetidad otable. Como 16x = (4x) y 5 5 : 16x 5 (4x) (5) (4x 5) (4x 5) El poliomio 16x 5 se puede escribir como el producto de la suma (x 5) por la diferecia (x 5). 1

9 15. Copia y calcula e tu cuadero utilizado las idetidades otables: a) (4x 1) x b) 3 c) (x 5) (x 5) d) (x 4y) e) (4 x) f) 1 1 x x g) (x 7y) (x 7y) h) (3x 5) (3x + 5) 16. Copia e tu cuadero y razoa si so verdaderas o falsas las siguietes igualdades: a) x 10x 10 (x 10) x x b) 1 x 1 4 c) x 11 (x 11) (x 11) 4 c) x 4xy y ( x y ) e) 9x 30x 5 (3x 5) 4 y y f) 7y g) x x 1 (x 1) h) 5x 36 ( 5x 6) ( 5x 6) 17. Copia y completa e tu cuadero co los térmios que falta para que sea idetidades otables: a) x 6x ( ) b) 16x 1 ( ) c) (x ) (x ) 49 d) 180x 100 ( ) e) 11 (x ) ( ) f) 4x 4x ( ) g) 81 (3x ) ( ) h) 3 ( x 4y) ( x y) 18. Copia y desarrolla e tu cuadero haciedo uso de las idetidades otables. a) (x 3) b) (1 x) (1 x) c) (3x 1) d) (4x 7) (4x 7) e) (a b) f) (5x x ) g) (x 5) (x 5) h) (3x 4z) 19. Expresa e tu cuadero estos euciados e leguaje algebraico utilizado expresioes que cotega idetidades otables: a) El producto de las edades de Marta e los años 017 y 019. b) El cuadrado del doble de u úmero meos su mitad. c) La superficie de u parque cuadrado que va a icremetar e 6 m cada uo de los lados. 0. Copia, desarrolla y simplifica e tu cuadero las siguietes expresioes. a) (3x 3) (3x 3) b) (x ) (x 4x 4) c) 6x (x 1) (x 1) 1. Raquel es profesora de FP Básica y mietras corregía u exame se ecotró co la siguiete expresió: (x 3) x 9. Razoa por qué se trata de u grave error e idica cuál sería la expresió correcta.. El hotel Euroholiday ha decidido reformar su piscia, ya que el 80% de sus clietes cosidera que es muy pequeña para el elevado úmero de huéspedes que tiee el hotel. Actualmete cada uo de los lados de la piscia mide 7 m. a) Cuál sería el área de la ueva piscia si se decide mateer la forma e icremetar el largo y el acho e la misma catidad? b) Realiza e tu cuadero u dibujo de cómo quedaría la piscia ua vez ampliada. c) Si la superficie máxima que puede ocupar la piscia, e el terreo del que se dispoe, so 56 m, cuátos metros se debe aumetar por cada lado la piscia? 13

10 1 Expresioes algebraicas 3 Divisió de poliomios Divisió euclídea La divisió euclídea se puede escribir de distitas formas: Dividedo Divisor Resto Cociete Dividedo divisor cociete resto Si P(x) es u poliomio de grado mayor o igual que Q(x), al dividir P(x) etre el poliomio Q(x) se obtiee dos poliomios: el poliomio cociete, C(x), y el poliomio resto, R(x). Si R(x) 0, la divisió es exacta. Para comprobar el resultado de la divisió P(x) Q(x), hay que comprobar que se cumple la relació P(x) Q(x) C(x) R(x). Para dividir u poliomio etre u moomio, se divide cada térmio del dividedo etre el divisor. Es ua suma de cocietes de moomios (Ejemplo 4). Para dividir dos poliomios, P(x) etre Q(x) (Ejemplo 5): Ejemplo 4 Para dividir 4x 5 x 4 6x 3 8x 4 etre x se divide cada térmio del dividedo etre el divisor: (4x 5 x 4 6x 3 8x ) x (4x 5 x ) ( x 4 x ) ( 6x 3 x ) (8x x ) x 3 x 3x 4 Comprobació: 4x 5 x 4 6x 3 8x x (x 3 x 3x 4) Se ordea los térmios de cada poliomio de mayor a meor y se aplica el algoritmo de la divisió de los úmeros eteros, siedo P(x) el dividedo y Q(x) el divisor. El primer térmio del cociete es el resultado de dividir el primer térmio del dividedo etre el primero del divisor (1.º). Se multiplica el primer térmio del cociete por el divisor y se coloca debajo del dividedo co sigos cotrarios poiedo cada térmio debajo de su semejate (.º). De la suma de estos dos poliomios se obtiee u poliomio de meor grado (3.º). Si el grado del poliomio obteido es mayor que el grado del divisor, se repite los pasos ateriores (4.º, 5.º, 6.º, 7.º, 8.º, 9.º, 10.º, 11.º, 1.º). Si el grado del poliomio obteido es meor que el grado del divisor, se para el proceso siedo el último poliomio obteido el resto. Ejemplo 5 Para dividir P(x) x 5 8 x 3 x etre Q(x) 1 x x : x 5 0x 4 x 3 0x x 8 x x 1.º x 5 x 4 x 3 x 3 x 5x 8 3.º x 4 x 3 0x x 8 1.º 4.º 7.º 10.º 5.º x 4 4x 3 x 6.º 5x 3 x x 8 8.º 5x 3 10x 5x 9.º 8x 6x 8 11.º 8x 16x 8 1.º 10x 16 1.º x 5 x x 3.º x 3 x x 1 x 5 x 4 x 3 3.º x 5 x 3 x 8 x 5 x 4 x 3 x 4 x 3 x 8 4.º x 4 x x 5.º x x x 1 x 4 4x 3 x 6.º x 4 x 3 x 8 x 4 4x 3 x 5x 3 x x 8 7.º 5x 3 x 5x 8.º 5x x x 1 5x 3 10x 5x 9.º 5x 3 x x 8 5x 3 10x 5x 8x 6x 8 10.º 8x x 8 11.º 8 x x 1 8x 16x 8 1.º 8x 6x 8 8x 16x 8 10x 16 Solució: C x x 3 x 5x 8 y R x 10x 16 Comprobació: x 5 x 3 x 8 = (x x 1) (x 3 x 5x 8) (10x 16) 14

11 Al dividir dos poliomios se puede obteer u poliomio o ua expresió algebraica fraccioaria P(x) Q(x). Ua expresió algebraica fraccioaria es el cociete de dos poliomios P(x), siedo el deomiador u poliomio o costate i ulo. Q(x) Para simplificar fraccioes algebraicas se puede proceder de dos formas: Sacar factor comú e el umerador y deomiador (Ejemplo 6). Usar idetidades otables cuado el grado de los poliomios del umerador o del deomiador es (Ejemplo 7). Ejemplo 6 15x + 30 Para simplificar la fracció algebraica, se saca factor comú e el 10x + 0x umerador: 15x (x ), y e el deomiador: 10x 0x 10x (x ), y se simplifica: 15x x + 0x = 15 (x + ) 10x (x + ) = 15 10x Si al simplificar P(x) se obtiee u poliomio, o se cosidera ua fracció Q(x) algebraica (Ejemplo 8). 3. Copia y calcula e tu cuadero estas divisioes: a) (6x 3 x 10x) (x) b) (6x 6 1x 5 9x 4 ) ( 3x ) c) (3x 4 3x x 5) : (x 3) d) (4x 4 x 3x ) (x x 3) 4. Copia e tu cuadero y razoa si las siguietes expresioes so fraccioes algebraicas: a) x + 1 x b) x c) x 3 4 x Copia e tu cuadero y simplifica las siguietes fraccioes algebraicas: x 9 a) 5x 15 x x 5 b) 4x 4 + 8x 3 c) x 10x + 5 x 10 d) 3x3 1x + 1 6x 4 e) 3x + 1x 9x + 36 x 3 6x f) 4x 4 + 5x d) x3 + 1 x 6 4x g) 4x 9 h) 3x 6 x 4 6. Las leyes de la física verifica que si se coecta dos resistecias e paralelo R 1 y R, la resistecia total R t se calcula mediate la siguiete expresió: = + Rt R1 R. 1 1 Si ambas resistecias mide lo mismo, qué expresió resultaría de la suma de y de R 1 R? Esta suma es ua expresió algebraica fraccioaria? Ojo al simplificar E la fracció algebraica 3x + 3 o se 3x + 9 puede simplificar el úmero 3 solamete e ua parte del umerador y del deomiador. Es decir: 3x x = 1 3 La forma correcta de simplificar es: 3x + 3 3(x + 1) (x + 1) = = 3x + 9 3(x + 3) (x + 3) Ejemplo 7 El deomiador de la expresió x 1 es la igualdad otable x + x + 1 (x 1), el umerador es la igualdad otable (x + 1) (x 1), co lo cual: x 1 x + x + 1 = (x + 1) (x 1) (x + 1) = x 1 x + 1 Ejemplo 8 8x 5 o es ua fracció algebraica, 7x porque al simplificar resulta el moomio 4x 3. 1x 5 es ua fracció algebraica, 8 4 x porque al simplificar resulta 1x 5 4 x = 3, dode el deomiador 8 3 x o es costate i ulo. 7. La superficie que ocupa ua fica rectagular es a 6x 13x 5 y el acho de la fica b x 1. Se puede calcular el largo de la fica co estos datos? El largo de la fica es u valor umérico o ua expresió algebraica? 8. Ivestiga co ayuda de tus compañeros y elabora ua lista co otras expresioes algebraicas utilizadas e la física o e otros campos cietíficos. 15

12 1 Expresioes algebraicas 4 Expresioes algebraicas co WIRIS Calc WIRIS Calc es ua calculadora o lie e la que se puede realizar todo tipo de operacioes aritméticas. El usuario accede a ua págia dode puede platear sus cálculos y recibir la respuesta rápidamete. La direcció web de WIRIS Calc es: La iterfaz que preseta WIRIS Calc es bastate ituitiva y secilla. La patalla se divide e tres zoas de trabajo: El área pricipal es la Hoja dode se hace los cálculos. El Meú está a la izquierda de la Hoja. E la barra de Meú se accede a distitas seccioes que agrupa accioes y símbolos co las que se trabaja para hacer los cálculos. E la parte superior de la barra de Meú se ecuetra uos botoes muy útiles, que permite u rápido acceso a diversas fucioalidades. Estos botoes so: Meú, Guardar, Ajustes de la aplicació, Ayuda y Nueva hoja. E la parte de abajo se ecuetra la Barra de herramietas, co las operacioes y Accioes de uso más frecuete. Meú Hoja Barra de herramietas 16

13 Realizar operacioes co WIRIS Calc WIRIS Calc permite hacer cálculos uméricos, así como realizar operacioes co poliomios (Ejemplo 9). Ejemplo 9 Operacioes co poliomios. Al igual que se realiza operacioes uméricas, se puede resolver operacioes co poliomios, como por ejemplo el cálculo de las idetidades otables (Ejemplo 30). Ejemplo 30 Cálculo de idetidades otables. 9. Resuelve las operacioes de las actividades 9, 10 y 11 de las actividades fiales. Compara los resultados obteidos, ua vez que los hayas realizado e tu cuadero. 17

14 1 TÉCNICAS DE TRABAJO Cálculo de cosumos eergéticos Alguos electrodomésticos tiee u gasto oculto si se deja e modo stad-by. U televisor puede llevar oculto u cosumo de uos 10 vatios a 0 vatios por hora, depediedo del tamaño del televisor. Auque o siempre se ahorra aulado el modo stad by, ya que alguos electrodomésticos cosume eergía solo co estar coectados a la red. Por ejemplo, los cargadores de los móviles. Atediedo a otros factores, como puede ser la vida útil de u aparato, puede que o iterese descoectarlo. U router ADSL, por ejemplo, tiee mucho desgaste ecediedo y apagado, a parte de la espera para que coecte co al red, hay que teer e cueta que so aparatos muy sesibles a picos de tesió, comues e los ecedidos. Auque parezca icreíble, hay aparatos que icluso cosume más echufados, pero apagados, que e modo stad by, como sucede co los aparatos de aire acodicioado. E esta tabla se muestra alguos cosumos aproximados y orietativos de electrodomésticos habituales. Se muestra el cosumo por hora y la expresió algebraica del cosumo depediedo del úmero de horas de uso, x: Cosumo echufado a la red (w/h) Cosumo e stad by w/h Cosumo ecedido w/h Televisor x 0 100x 0(4 x) 100 Televisor x 10 70x 10(4 x) 70 Equipo de música 30 45x 30(4 x) 30 45x 30(4 x) 45 Moitor PC 10 80x 10(4 x) 18 80x 18(4 x) 80 PlayStatio 0 5x 3 5x 3(4 x) 5 Cargador del móvil 1,5 5x 1,5(4 x) 1,5 5x 1,5(4 x) 5 Aire acodicioado Iverter x 45(4 x) 8 700x 8(4 x) 700 EJEMPLO 1 El cosumo de u televisor de 0, el equipo de música y la PlayStatio que usamos durate x horas al día es diferete depediedo de si está apagados y echufados a la red o e stad-by: a) Si está apagados y echufados a la red: C echufado (x) 100x [45x 30(4 x)] 5x 140x 70 b) Los dejamos e stad by: C stad by (x) [100x 0(4 x)] [45x 30(4 x)] [5x 3(4 x)] = 117x Si cada uo de ellos está e uso durate 4 horas al día los cosumos so: C echufado (4) = 1 80 watios y C stad-by (x) watios E coclusió, o es lo mismo dejar u electrodoméstico solo echufado o e stad-by, el cosumo varia, si solo está echufados el cosumo dismiuye e watios al día. 1. Escribe e tu cuadero la expresió algebraica que calcula el cosumo diario de u moitor de PC e los dos casos del cuadro aterior. Calcula el cosumo diario si está e uso durate 5 horas al día. Cómo debemos de dejarlo cuado o lo utilizamos? Razoa la respuesta.. Si el precio medio del kw/h es de 0,1 e la factura de la luz, calcula el ahorro que se puede alcazar a lo largo de u año, e u televisor de 0 que se usa durate 3h al día y uca está e stad by. 18

15 ACTIVIDADES FINALES 1. Expresa e leguaje algebraico las siguietes situacioes: a) U empresario recorta los sueldos e u 8%. b) El precio de u pack de 4 latas de refresco si cada lata cuesta 0,50 y regala ua. c) El precio de la hipoteca sube u %. d) El coste de ua mesualidad de teléfoo si se paga u fijo de 1 al mes y 0,05 por llamada realizada, idepedietemete de su duració.. Copia e tu cuadero y calcula las siguietes sumas y restas de moomios: a) 5x x 9x x b) 5xy 4xy 3xy xy x 3 c) x 3 4 d) 5x 3 (6x 3 3x 3 ) x 3 e) 5 x x 4 4 3x x 4 f) ( x 5x 3 3x 4 ) ( x x x 3 x 4 ) g) 5a b 3 a b a b a b h) (3ab 3 a b) 3a 3 b 4ab 3 (a 3 b ab 3 ) 3. Efectúa e tu cuadero los siguietes productos y cocietes de moomios: a) 3x 4 x 3 b) x 3 3 x 3 c) 7x ( 4)x 3 d) ( 4)x ( ) x 4 e) 1x 6 3x f) ( 49x 9 ) 7x 3 g) 6x 7 y 5 x y 4 h) 4 x 8 y 5 ( xy) x 3 y 6 4. Escribe e tu cuadero u triomio de grado 6 cuyo térmio idepediete sea Halla e tu cuadero el valor umérico de cada poliomio para el valor idicado de la variable x: a) P(x) 4x 8x para x 1 b) P(x) x 3 x 3 para x x 3 c) P( x) = x 3 para x = d) P(x) 9x 4 x 9 para x = 3 6. Calcula las siguietes operacioes co estos poliomios: P(x) x 3x 1, Q(x) x 1, R(x) 4x 3 x x y S(x) x 3 3x x 1. a) P(x) + Q(x) b) R(x) Q(x) c) S(x) P(x) d) P(x) Q(x) S(x) 7. Realiza e tu cuadero los siguietes productos y simplifica los resultados: a) 3x (x 4 4x 3 x 5) b) (3x ) (x 3 x x 1) c) (x x 1) ( x 3x ) d) ( ) (4x 5) (x 3 x 1) e) (x 3x) ( x 5x ) (3x 3 1) 8. Extrae e tu cuadero el factor o factores comues e los siguietes poliomios: a) 3x 3 6x 1x b) 1x 3 0x 4 4x c) 6(x ) 18(x ) d) 5x 5 19x 3 3x e) 15x 6 1x 3 9. Desarrolla e tu cuadero las idetidades otables de estas expresioes, opera y simplifica: a) (5x y) b) (a 3) c) (3x 1) (3x 1) d) (x ) (3x 1) e) (x 3) (x 4) 10. Resuelve e tu cuadero estas operacioes co poliomios y simplifica el resultado: a) (5x 3 4x x 1) ( x 3 x 3) b) (x 4 3x 3 x 6x 3) ( x 3 7x ) c) (x 4 3x x 3) (x ) d) (5x 3 4x 5x 4) (x 1) e) (x ) (x ) x (x 4) 11. Efectúa estas divisioes e tu cuadero y comprueba el resultado mediate la regla D = d c r: a) (x 4 5x 3 4x 3x 6) (x 3) b) (x 4 7x 3 8x 4) (x ) c) (x 3 x 3x 1) (x 1) d) (x 3 3x 4x 3) (x 1) e) (8x 3 4x x 15) (x x 1) f) (6x 6 x 5 11x 4 3x 3 18x 5x 5) (x 4 3x 5) 1. Simplifica las siguietes fraccioes algebraicas sacado factor comú o utilizado idetidades otables: a) x 3 x 9 x 3 + x b) x + x + 1 x 5 c) x x x 7 d) x 3 7x e) 4x 1 10x 5 x xy + y f) 6x 6y 19

16 1 IDEAS CLAVE Y AUTOEVALUACIÓN Expresió algebraica Ua expresió algebraica es ua combiació de letras, úmeros y operacioes matemáticas básicas: suma, resta, multiplicació y divisió. Moomios U moomio es la expresió algebraica más secilla, formada por ua parte umérica, coeficiete, y por ua parte literal. El grado de u moomio es la suma de todos los expoetes de su parte literal. El valor umérico de u moomio se obtiee reemplazado las letras por úmeros y operado. Para sumar o restar moomios, se suma o resta los coeficietes de moomios semejates. Para multiplicar moomios, se multiplica los coeficietes y las partes literales. Para dividir moomios, se divide los coeficietes y las partes literales. Operacioes co poliomios Para sumar o restar poliomios, se agrupa los térmios semejates de ambos poliomios y se suma o resta. Para multiplicar el poliomio P(x) por el poliomio Q(x), se multiplica cada uo de los térmios de P(x) por todos los térmios de Q(x). Después se reduce los térmios semejates. Para sacar factor comú e u poliomio, se busca todos los factores comues a todos los térmios y se aplica la propiedad distributiva de la multiplicació respecto de la suma: ax + bx = x(a + b). Para dividir u poliomio etre u moomio, se divide cada térmio del dividedo etre el divisor. Para comprobar el resultado de la divisió P(x) : Q(x), hay que verificar que se cumple esta relació: P(x) = Q(x) C(x) + R(x) Poliomios U poliomio, P(x), está formado por la suma de varios moomios llamados térmios del poliomio. El coeficiete del térmio de mayor grado de u poliomio es el coeficiete pricipal, y el de meor grado, el térmio idepediete. El grado de u poliomio es el mayor expoete de la variable x co coeficiete distito de cero. El valor umérico de u poliomio es el valor obteido al sustituir la variable x por u úmero. Idetidades otables Cuadrado de la suma: (a + b) a + ab + b (x + 4) x + 4 x + 4 x + 8x + 16 Cuadrado de la diferecia: (a b) = a ab + b (x 4) x 4 x + 4 x 8x + 16 Suma por diferecia: (a + b) (a b) = a b (x + 4) (x 4) x 16 Aota e tu cuadero la opció correcta: 1. Cuál de estos poliomios es completo? a) 7x 3 9x x 3 c) x 3 x x b) 7x 3 x 3 d) 4x 3 8x 7. Si se calcula el valor umérico del poliomio x 3 x 5 para x, obteemos el valor: a) 15 c) 1 b) 17 d) Dados los poliomios P(x) 5x 3 x 1 y Q(x) x 6x 7 su suma es: a) 5x 3 x 8x 8 c) 5x 3 x 8x 8 b) 5x 3 x 8x 8 d) 5x 3 x 4x 6 4. Cuál de estos productos de poliomios tiee u resultado diferete? a) (x 1) (x ) c) (x 4x 3) (x) b) (x 1) (x 3x) d) x (x 1) (x 3) 5. Idica a qué poliomio o se le puede sacar factor comú. a) x 6 x c) 3x 4x 7 b) 5x 5 x 6x d) x 8 3x 6. Qué expresió se correspode co el poliomio x 10x 5? a) (x 5) c) (x 5) b) (x 5) d) (x 0) 7. Si P(x) Q(x) C(x) R(x), qué afirmació es falsa? a) Si R(x) 0, etoces P(x) Q(x) C(x). b) Si R(x) 0, etoces la divisió es exacta. c) El grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x). d) El grado de R(x) es mayor que el de P(x). 8. Cuál o es ua expresió algebraica fraccioaria? 5 x + 7 x+ x a) c) 7 5 x 3 x 5 3 5x 7 b) d) 6 x + 3 x + 0