TEMA 1 NÚMEROS REALES

Transcripción

1 . Objetivos / Criterios de evaluació TEMA 1 NÚMEROS REALES O.1.1 Coocer e idetificar los cojutos uméricos N, Z, Q, I,R, Im O.1.2 Saber covertir úmeros racioales e fraccioes. O.1.3 Redodeo y aproximació de los úmeros decimales. O.1.4 Saber represetar e la recta real úmeros, Itervalos, semirrectas y etoros. O.1.5 Valor absoluto. Operacioes co valores absolutos. O.1.6 Propiedades y operacioes co potecias. O.1.7 Propiedades y operacioes co raíces. Racioalizació O.1.8 Cocepto y propiedades de los logaritmos. Logaritmos decimales. Cambio de base. Atilogaritmos. 1 Cojutos Numéricos (Págia 8) Def. Números Naturales (N).Números que existe e la aturaleza, so eteros y positivos. Def. Números Eteros (Z).Números si decimales, se divide e aturales y eteros egativos. Def. Números Racioales (Q).Números que puede covertirse e fracció, puede ser eteros, decimales exactos o decimales periódicos, tato puros como mixtos. Def. Números Irracioales (I).Números que o puede covertirse e fracció, tiee ifiitos decimales que o se repite. So las raíces de ídice par o exactas y otros úmeros (e, π,φ, ). Def. Números Números (R).El cojuto de los úmeros que coocemos hasta 4º de ESO, puede ser racioales o irracioales Def. Valor Absoluto. De u úmero es la distacia de ese úmero a cero e la recta real. Coicide co su valor umérico si le quitamos el sigo. Se expresa etre dos barras verticales ΙaΙ y se lee valor absoluto de a o módulo de a Def. Fracció. Ua fracció es u cociete idicado etre dos úmeros. Se expresa co los úmeros separados por ua barra o raya. El de debajo se llama deomiador, el de arriba se llama umerador. El deomiador idica e cuátas partes se ha dividido la uidad. El umerador idica cuátas de esas partes se ha tomado. Def. Fraccioes equivaletes. Dos fraccioes so equivaletes si expresa la misma catidad que se llama úmero racioal. Todas ellas puede obteerse a partir de otra multiplicado o dividiedo el umerador y el deomiador por la misma catidad Def. Fraccioes propias so las que tiee el umerador más pequeño que el deomiador. Su valor es meor que la uidad. Def. Fraccioes impropias so las que tiee el umerador mayor que el deomiador. Su valor es mayor que la uidad.

2 Def. Números mixtos. U úmero mixto es u úmero formado por ua parte etera y ua parte fraccioaria. Para pasar de úmero mixto a fracció se multiplica el deomiador por la parte etera y se le suma el umerador, el resultado es el umerador resultate, el deomiador se coserva. U úmero mixto o es el producto de u etero por ua fracció. 2. Errores y aproximacioes (Págia 9) Def. Aproximació. Ua aproximació de u úmero decimal es otro de valor parecido pero co meos cifras decimales. Todas las aproximacioes tiee u error Def. Orde de ua aproximació señala el máximo error absoluto que se comete al efectuarla y tambié cuál es su última cifra decimal. Aproximació por defecto: Se suprime las cifras decimales de u úmero, a partir de u decimal determiado. Aproximació por exceso: Se suprime las cifras decimales a partir de ua dada y la última que queda se icremeta e 1. Aproximació por redodeo: se suprime las cifras decimales a partir de ua dada. Si la primera suprimida es de 0 a 4 se deja el úmero como estaba, si es de 5 a 9 se suma 1 a la última cifra decimal. Def. Error Absoluto. Es la diferecia etre el úmero exacto y su aproximació. Def. Error Relativo. Es el cociete etre el error absoluto y el úmero exacto. Números fraccioarios. 3. Represetació e la recta real (Págia 10) Fraccioes propias: dividimos el itervalo de 0 a 1 e tatas partes como dice el deomiador y tomamos tatas partes como dice el umerador. Fraccioes impropias: se covierte la fracció propia e úmero mixto. Se divide el itervalo etre el úmero etero del úmero mixto y el siguiete e tatas partes como idica el deomiador y se toma tatas como idica el umerador. Números irracioales. Para represetar úmeros irracioales puede utilizarse procedimietos geométricos como el teorema de Pitágoras. E su día utilizaremos tambié el teorema de la altura y el teorema del cateto. Itervalo es u cojuto de úmeros cosecutivos que tiee u pricipio y u fial. Itervalo abierto es u itervalo e el que o se icluye los extremos. Se expresa co parétesis y se represeta co circuferecitas. ( ) Itervalo cerrado es u itervalo e el que se icluye los extremos, se expresa co corchetes y se represeta co circulitos. ( ) Semirrecta es u itervalo e el uo de sus extremos es + ó -. Se represeta co ua flecha e el extremo ifiito.( )

3 Etoro de cetro C y radio R es u itervalo que comieza e C-R y termia e C+R. So los putos que está a ua distacia de C meor o igual a R, depediedo que el etoro sea abierto o cerrado, se expresa E(C,R) Valor absoluto. Operacioes co itervalos Operacioes co itervalos Uió: La uió de dos itervalos es el cojuto de putos que perteece a uo o al otro itervalo Itersecció: La itersecció de dos itervalos es el cojuto de putos que perteece simultáeamete a los dos itervalos. 4.Potecias (Págia 12) Def. Potecia.La poteciació es ua operació matemática e la que u úmero llamado base se multiplica por sí mismo tatas veces como idica otro úmero llamado expoete. a =a a a a a ( veces) Cálculo de potecias co la calculadora: para calcular potecias co la calculadora se utiliza la tecla ^. De maera que 3 4 se calcula como 3 ^ 4. Alguas calculadoras dispoe de teclas específicas para las potecias de grado 2 y 3. Así puede utilizarse las teclas x 2 y x 3. Otras dispoe de la tecla x y, e este caso 3 4 se calcula como 3 x y 4 Operacioes co potecias. Producto y cociete de potecias de la misma base: El producto de potecias de la misma base es otra potecia de igual base y expoete la suma de los expoetes de las potecias.: =2 (3+4) =2 7 El cociete de potecias de la misma base es otra potecia de igual base y expoete la diferecia de los expoetes de las potecias. 3 5 /3 2 =3 (5-2) =3 3 Producto y cociete de potecias del mismo expoete: el producto de potecias del mismo expoete es otra potecia cuyo expoete es el mismo y su base es el producto de las bases de las potecias origiales =(2 5) 4 =10 4 El cociete de potecias del mismo expoete es otra potecia cuyo expoete es el mismo y su base es el cociete de las bases de las potecias origiales /3 4 =(12/3) 4 =4 4

4 Potecia de ua potecia: la potecia de ua potecia es otra potecia co la misma base y como expoete el producto de los expoetes. (3 4 ) 5 =3 (4 5) =3 20 Potecias de expoete egativo: ua potecia de expoete egativo es igual al iverso de la misma potecia co expoete positivo. 4-2 =1/4 2 Potecias de expoete cero: ua potecia de expoete cero siempre vale =1 Def.: otació cietífica: es u tipo de otació matemática utilizada para úmeros muy grades o muy pequeños. Se utiliza las potecias de 10. Costa de u úmero bie etero, bie co pocos decimales, y ua potecia de =2, , = Uso de la calculadora: e la calculadora, se utiliza la tecla exp que sustituye a 10. Así, se escribe e la calculadora 4 exp 3 Operacioes co úmeros e otació cietífica: se opera co los úmeros y las potecias de 10 por separado: =(4 3) 10 (4+5) = Raíces. Potecias de expoete fraccioario (Págia 14) Def. Raíz: Raíz eésima de u úmero real a es otro úmero real b tal que b =a a= b si b = a Notació. a recibe el ombre de ídice y es u úmero atural. El sigo se llama radical y simboliza u r y a, (lo que se ecuetra debajo del sigo radical) se llama radicado. Cálculo de raíces co la calculadora. Para calcular raíces co la calculadora se utiliza la tecla x y. Alguas calculadoras tiee teclas específicas para las raíces cuadradas o cúbicas. Las raíces como potecias de expoete fraccioario: las raíces puede cosiderarse potecias de expoete fraccioario. Así

5 a= a 1 de la misma forma m a m = a Producto y cociete de raíces del mismo ídice: El producto de raíces del mismo ídice es otra raíz del mismo ídice y cuyo radicado el producto de los radicados. El cociete de raíces del mismo ídice es otra raíz cuyo ídice es el mismo ídice y cuyo radicado es el cociete de los radicados. Producto y cociete de raíces del mismo radicado: El producto de raíces del mismo radicado se realiza pasado las raíces a la forma de potecia de expoete fraccioario y sumado los expoetes. El cociete de raíces del mismo radicado se realiza pasado las raíces a la forma de potecia de expoete fraccioario y restado los expoetes. Meter y sacar factores de las raíces Para itroducir factores e ua raíz hay que elevarlos al mismo expoete que ídice tiee la raíz. Sólo puede extraerse factores de ua raíz que se ecuetre elevados al mismo expoete que ídice tiee la raíz. E este caso, cuado sale de la raíz pierde el expoete. Reducció de raíces a ídice comú Para reducir raíces al mismo ídice se covierte todas e potecias de expoete fraccioario. A cotiuació se trasforma todos los expoetes a comú deomiador. Por último se covierte de uevo las potecias a raíces. Suma y resta de raíces. Suma de raíces: sólo puede sumarse raíces que tega el mismo radicado. Para ello se saca factor comú a la raíz y se suma los coeficietes. Racioalizació. Def.: Racioalizar fraccioes: es quitar las raíces de los deomiadores de las fraccioes. Para racioalizar ua fracció co ua sola raíz e el deomiador se multiplica el umerador y el deomiador por la raíz del deomiador. Def.: cojugado de ua suma o resta de expresioes es la suma o resta respectiva de las mismas expresioes..

6 Para racioalizar ua fracció que tiee e el deomiador ua suma o resta e la que se icluye ua raíz se multiplica el umerador y el deomiador por el cojugado del deomiador. 6. Logaritmos (Págia 18) Def.: Logaritmo e base a de u úmero b es otro úmero tal que al elevar la base a a él, obteemos el úmero b. Podemos eteder la palabra logaritmo como expoete. Cuado calculamos el logaritmo e base a de u úmero b estamos calculado el expoete al que hay que elevar a la base para ecotrar el úmero. log a b=x / a x =b El logaritmo de 1 es cero e cualquier base. El logaritmo de u úmero utilizado como base el mismo úmero es siempre 1. Sólo tiee logaritmo los úmeros positivos. Logaritmos decimales. Logaritmos aturales o eperiaos Def. Logaritmo decimal es u logaritmo cuya base es 10. Para expresarlo se omite escribir la base, así log 100 es el logaritmo decimal de 100. E el caso de las potecias de 10 el logaritmo correspode co los ceros que acompañar al uo o co las cifras decimales que tiee el úmero, cambiado de sigo, así log 100=2, log = 4, log 0,001=-3 Def. Logaritmo atural o eperiao es u logaritmo cuya base es el úmero e. Se exprese como L o como l. Los logaritmos e la calculadora Las máquias calculadoras dispoe de teclas para calcular los logaritmos decimales y los logaritmos eperiaos. La tecla log calcula el logaritmo decimal de u úmero y la tecla I calcula el logaritmo eperiao de u úmero. Propiedades y operacioes co logaritmos. La suma de logaritmos de la misma base es el logaritmo del producto log a + log b = log (a b) La diferecia de logaritmos de la misma base es el logaritmo del cociete log a log b = log (a/b) El producto de u logaritmo por u escalar es el logaritmo del úmero elevado al escalar b log a = log a b

7 Para calcular logaritmos e ua base utilizado logaritmos e otra base se utiliza ua fórmula que permite el cambio de base de los logaritmos. Esta fórmula es particularmete útil e el caso de utilizació de la calculadora para el cálculo de logaritmos e bases distitas de 10 o e (logaritmos decimales y eperiaos, que so los úicos que hay e las calculadoras). log a b=log b/log a Atilogaritmos. Se llama tomar logaritmos a covertir ua expresió algebraica e otra logarítmica utilizado las propiedades de los logaritmos. Se llama tomar atilogaritmos a covertir ua expresió logarítmica e otra algebraica utilizado las propiedades de los logaritmos. 7. Iterés simple y compuesto (Págia 21) Iterés simple: Se dice que u material se ha depositado a iterés simple cuado los itereses geerados e cada periodo de tiempo se retira al fial de ese periodo y o produce uevos itereses. C f =C i (1+r t/100) Iterés compuesto: Se dice que u material se ha depositado a iterés compuesto cuado los itereses geerados e cada periodo de tiempo o se retira al fial de ese periodo sio que pasa, juto co el capital preexistete, a producir uevos itereses. El Capital fial resultate de u capital depositado a iterés compuesto puede calcularse co la siguiete fórmula: C f =C i (1+r) t dode: C f es el capital al fial del periodo C i es el capital al iicio del periodo r es el rédito, iterés aplicado e tato por uo. t es el tiempo aplicado.