NÚMERO REAL, POLINOMIOS, ECUACIONES e INECUACIONES

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1 NÚMERO REAL, POLINOMIOS, ECUACIONES e INECUACIONES Repaso úmero real. Itervalos: 1. Separar los siguietes úmeros e racioales o irracioales, idicado, de la forma más secilla posible, el porqué: 1 π 5 5, ,1 6, 8 (Soluc: Q; I; I; Q; Q; Q; Q; I; Q; Q; Q; I) 5 1, a) Represetar sobre la misma recta real los siguietes racioales: ,6,5, b) Costruir,, 5, 6, 7, 8 y 10 sobre la recta real (o ecesariamete sobre la misma), mediate regla y compás, y la aplicació del teorema de Pitágoras.. Completar: REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA 1 [-1,] 0 - [-,1) 5 { IR/ 1< 5} { IR/ <} 8 (0, ) 9-10 (-1,5) 11 { R/ 0} 1 [/, )

2 REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA 1 { IR/ -< } 1 { IR/ <} 15 { IR/ } [-1,1] 18 { IR/ <-1} 19-0 (-,-)U(, ) 1 (-,)U(, ) { IR/ 5} [-,] - Repaso fraccioes, potecias y raíces:. Operar, simplificado e todo mometo: 5 6 : 5 + : : + 5 : Completar: m a a a m a m ( a ) ( a b ) a b 0 a a a b 1 ( 1) par ( 1) impar ( ) par baseegativa ( ) impar baseegativa

3 Añadir estas fórmulas al formulario matemático de este curso. Utilizado las propiedades ateriores, simplificar la siguiete epresió: 0 1 ( ) ( 1 ) + 1 (Sol: 1) 6. Completar: Defiició de raíz -ésima a Casos particulares de simplificació Equivalecia co ua potecia de epoete fraccioario Simplificació de radicales/ídice comú Producto de raíces del mismo ídice Cociete de raíces del mismo ídice ( ) m p m p a b a b Potecia de ua raíz ( ) m a Raíz de ua raíz m a Itroducir/Etraer factores a Añadir estas fórmulas al formulario matemático de este curso. Utilizado las propiedades ateriores, simplificar la siguiete epresió: a a ( ) a a (Sol: a 1 ) Repaso poliomios y fraccioes algebraicas: 7. Dados P() y Q() - +, se pide: a) Etraer el máimo factor comú de Q() b) P()- Q() c) Q() Q() d) P() : Q() 8. Simplificar: Operar y simplificar: + + Sol : (Sol: +) + +

4 Repaso ecuacioes, sistemas e iecuacioes: 10. Resolver: a) b) y y 6 (Sol: 1, y-) c) ( + )( ) ( ) 1 (Sol: ±1) 6 d) + 7 (Sol: 11) e) f) y 1 + y 1 (Sol: -) (Sol: 1, y 1-; 1, y 0) g) ( - ) ( + )( ) + < + 6 [Sol: (0,7)] 6 h) i) 5 ( + ) ( + ) + ( +1) ( 1) +1 < [Sol: [-,)] [Sol: [-1,7)] 11. Idicar cuál es el meor cojuto umérico al que perteece los siguietes úmeros (N, Z, Q o I); e caso de ser Q o I, razoar el porqué: π (Soluc: I; I; N; Q; Z; Q; Q; I) 0, ,, Represetar e la recta real los siguietes itervalos y defiirlos empleado desigualdades: a) [,] b) (1,6) c) [1,5) d) (-1, ) e) (-,) f) (0, ) g) (-,] h) [-,] i) (5/, ) j) (-,-] 1. Operar, simplificado e todo mometo: a) : 5 : 5

5 b) ( ) + ( ) ( ) (Sol: -/179) c) 8 ( ) (Sol: 5 ) 1. Dados P() +6 -+, Q() -+7 y R()7 -+1, hallar: a) El valor umérico de P() para - b) La factorizació de R() c) P()+Q()+R() (Sol: ) d) P()-Q()-R() (Sol: - +-5) e) P()+Q()-R() (Sol: ) f) P() : (+) por Ruffii 15. Operar y simplificar: Sol : Resolver: a) (Sol: 0) b) c) y + z 6 + y z 9 + y + z (Sol: 1, y-; z) (Sol: 0; ±) d) + 1 e) (Sol: 5; 1/9) (Sol: ± ) f) g) h) y 1 + y 0 ( + 1)( 1) ( + )( ) > + 1 > + ( + ) ( + 6) [Sol: (-,-5]U[1, )] [Sol: (6,10)] i) 1 [Sol: [-1,0)U[1, )]

6 17. Señalar cuáles de los siguietes úmeros so racioales o irracioales, idicado el porqué: a), b) 0, c) 5, d) 0, e) 7, f), (Soluc: Q; I; Q; I; Q; I) 18. Represetar e la recta real los siguietes cojutos uméricos y ombrarlos empleado itervalos: a) { IR/ -< } d) { IR/ <0} g) { IR/ >-} j) { IR/ } b) { IR/ 1 } e) { IR/ } h) { IR/ 5} k) { IR/ } c) { IR/ } f) { IR/ >} i) { IR/ <5} 19. Operar, simplificado e todo mometo: a) 7 7 : : (Sol: 6/1697) b) ( ) (Sol: -1/6) ( 15) c) (Sol: ) 0. Dados P() y Q()-, se pide: a) Factorizar P(), por Ruffii b) Q 5 (), por Tartaglia c) P() Q()- Q () d) P() : Q() 1. Operar y simplificar: Sol : Resolver: a) b) + y z 0 y + z 1 + y + z (Sol:, y-1; z) (Sol: 1; -)

7 5 c) d) y a ay > 5 15 e) +15+1<0 f) +15+1>0 g) ( + )( ) ( - )( + ) < h) ( -)( +)<0 (Soluc : a, y a ) (Sol: <) (Sol: soluc.) (Sol: R) [Sol: (-,-)U(, )]. Separar los siguietes úmeros e racioales e irracioales, idicado el porqué: 1,6 π ,7 0, ,75-1 6, 5 1, Hallar la U e de los siguietes itervalos: a) A[-,5) B(1,7) b) C(0,] D(, ) c) E(-,0] F(-, ) d) G[-5,-1) H(,7/] e) I(-,0) J[0, ) f) K(,5) L(5,9] g) M[-,-1) N(,7] h) O(-,7) P(,] 5. Calcular, aplicado, siempre que sea posible, las propiedades de las potecias, y simplificado e todo mometo. Cuado o sea ya posible aplicar las propiedades de las potecias, debido a la eistecia de ua suma o resta, pasar la potecia a úmero y operar: (Sol: -608/81) Ejercicios libro: pág. 5: 7, 8, 1 y 1 6. a) Etraer factores y simplificar: Sol : b) Sumar, reduciedo previamete a radicales semejates: 17 Sol : c) Racioalizar y simplificar: Sol :

8 1 196 Sol : (Sol: ) 7. Dados P() y Q() -9, se pide: a) Factorizar P(), por Ruffii b) Q (), por Tartaglia c) P()-Q () Q () d) P() : Q() 8. Operar y simplificar: (Sol : + ) 9. Resolver: a) - -0 (Sol: 10, -1) b) 1 ( Sol : /, 1 - ) c) ( +1) 65 (Sol: ±) d) ( -1) 0 (Sol: ±1) e) , 10 ) 1 g) (Sol: 1-1, -) h) (Sol: 0, ±) i) + 5 (Sol: ) j) (Sol: 10, ; - ) k) -7-7 (Sol: 1) l) <9 [Sol: (-,)] f) 0 (Sol: soluc.) 0. Verdadero o falso? Razoar la respuesta: a) Todo úmero real es racioal. b) Todo úmero atural es etero. c) Todo úmero etero es racioal. d) Siempre que multiplicamos dos úmeros racioales obteemos otro racioal. e) Siempre que multiplicamos dos úmeros irracioales obteemos otro irracioal. f) Etre dos úmeros reales eiste siempre u racioal. g) " " " " " " " " 1. Represetar los siguietes itervalos e idicar su uió e itersecció: a) [-,5) y [, ) b) (0,) y [9/, ) c) (-5,-1] y [-1,] d) (-1,) y [, )

9 Ecuacioes e iecuacioes co valor absoluto:. Idicar para qué valores de se cumple las siguietes relacioes; e el caso de las desigualdades, idicar la solució mediate itervalos: a) 5 b) 5 c) >5 c) - (Sol: 1, 6) d) - (Sol: [,6]) e) - > (Sol: (-,)U(6, )) f) + >5 (Sol: (-,-9)U(1, )) g) - h) 0 i) < j) k) +1 (Sol: 1-, ) l) - (Sol: [-1,5]) m) 7 ) 6 o) > p) - <5 (Sol: (-,7)) q) + 7 (Sol: (-,-10]U[, )) r) <8 (Sol: (-,)) Resolució gráfica de iecuacioes y sistemas:. Resolver gráficamete los siguietes sistemas de ecuacioes de 1 er grado; resolverlos a cotiuació aalíticamete (por el método deseado), y comprobar que se obtiee idético resultado: a) + y 1 y (Soluc: 7, y5) d) + y 0 y 5 (Sol:, y-1) b) + y 6 y (Soluc: 0, y) e) + y 5 + y 7 (Sol:, y1) c) + y y 1 (Soluc: 1, y1) f) + y 1 y (Sol: 1, y0). Resolver gráficamete las siguietes iecuacioes de º grado; resolverlas a cotiuació aalíticamete y comprobar que se obtiee idético resultado: a) [Sol: (-,]U[, )] b) --<0 [Sol: (-1,)] c) -5+6>0 [Sol: (-,)U(, )] d) [Sol: [-,5]] e) [Sol: (-,1]U[7/, )] f) -16+<0 [Sol: (,6)] g) [Sol: IR] h) ->0 [Sol: (-,0)U(, )] i) - 0 [Sol: (-,-]U[, )] j) -+>0 [Sol: IR-{}] k) [Sol: IR] l) +6+9>0 [Sol: IR-{-}] m) -+1<0 [Sol: soluc.] ) -+ 0 [Sol: ] o) 6-5-6<0 [Sol: (-/,/)] p) -+7<0 [Sol: soluc.] r) -8+6<0 [Sol: (-, -1)] s) [Sol: [-, -]] t) [Sol: [1,]]

10 Sol : + Notació cietífica: 5. Pasar a otació cietífica los siguietes úmeros: a) b) 56 c) 0,5 d) 0, e) f) 0, g) , h) 0, i) j) 1 billoes k) 150 milloes $ l) 7, m) 7 ) 0, o) 10 p) 1 q) 0, r) s) -5,5 6. Realizar las siguietes operacioes de dos formas distitas (y comprobar que se obtiee el mismo resultado): - Si calculadora, aplicado sólo las propiedades de las potecias. - Utilizado la calculadora cietífica. a), , b), , 10-8 c) 1, , 10 5 d), , e), , f), , g) 7, , h) ( 10 9 ) (, ) 9 i) 8, , j) ( )( ) k) ( 10 5 ) 5 Ejercicios libro: pág. 9: y ; pág. 7: 0 a 5 7. La estrella más cercaa a uestro sistema solar es α-cetauri, que está a ua distacia de ta sólo, años luz. Epresar, e km, esta distacia e otació cietífica. (Dato: velocidad de la luz: km/s) Cuáto tardaría e llegar ua soda espacial viajado a 10 km/s? (Sol:, km) 8. Si el lado de u cuadrado aumeta cm, su área aumeta 8 cm Cuáles so las dimesioes del cuadrado origiario? (Sol: Se trata de u cuadrado de lado 6 cm) 9. a) Qué otro ombre recibe el itervalo [0, )? Y (-,0]? b) A qué equivale IR + U IR -? Y IR + IR -? 0. a) Simplificar, reduciedo previamete a radicales semejates: b) Racioalizar y simplificar: (Sol: 11/7)

11 Sol : Sol : 6 c) Operar y simplificar: ( 7 + ) ( 5 1) d) Simplificar y operar: U grupo de estudiates alquila u piso por el que tiee que pagar 0 al mes. Uo de ellos hace cuetas y observa que si fuera dos estudiates más, cada uo tedría que pagar meos. Cuátos estudiates ha alquilado el piso? Cuáto paga cada uo? (Sol: 5 estudiates a 8 cada uo). Calcular el volume aproimado (e m ) de la Tierra, tomado como valor medio de su radio 678 km, dado el resultado e otació cietífica co dos cifras decimales. ( Volume de la esfera : π r ) (Sol: 1, m ). Co dos tipos de bariz, de,50 /kg y de 1,50 /kg, queremos obteer u bariz de, /kg. Cuátos kilogramos teemos que poer de cada clase para obteer 50 kg de la mezcla? (Ayuda: platear u sistema de ecuacioes de primer grado) (Sol: 18 kg del bariz de,50 y kg del de 1,50). Racioalizar deomiadores y simplificar: a) Sol : b) 6 Sol : 1 c) + + d) (Sol: 7) Sol : 5. Dos árboles de 15 m y 0 m de altura está a ua distacia de 5 m. E la copa de cada uo hay ua lechuza al acecho. De repete, aparece etre ellos u ratocillo, y ambas lechuzas se laza a su captura a la misma velocidad, llegado simultáeamete al lugar de la presa. A qué distacia de cada árbol apareció el rató? (Ayuda: Si se laza a la misma velocidad, recorre el mismo espacio, pues llega a la vez; aplicar el teorema de Pitágoras, y platear u SS.EE. de º grado) (Sol: a 15 m del árbol más alto) 6. E ua balaza de precisió pesamos cie graos de arroz, obteiedo u valor de 0, kg. Cuátos graos hay e 1000 toeladas de arroz? Utilícese otació cietífica. (Sol:, gr)

12 7. U almaceista de fruta compra u determiado úmero de cajas de fruta por u total de 100. Si hubiera comprado 10 cajas más y cada caja le hubiera salido por 1 meos, etoces habría pagado 10. Cuátas cajas compró y cuáto costó cada caja? (Sol: 0 cajas a 5 ) 8. La luz del sol tarda 8 miutos y 0 segudos e llegar a la Tierra. Calcular la distacia Tierra-Sol, empleado otació cietífica. (Sol: 1, km) 9. Hallar dos úmeros positivos sabiedo que su cociete es / y su producto 16 (Sol: 1 y 18) 50. TEORÍA: a) Qué es el discrimiate de ua ecuació de º grado? Qué idica? Si llegar a resolverla, cómo podemos saber de atemao que la ecuació ++1 carece de solucioes? b) Ivetar ua ecuació de º grado co raíces 1 / y, y cuyo coeficiete cuadrático sea c) Si resolver y si sustituir, cómo podemos asegurar que las solucioes de so 1 15 y -0? d) Calcular el valor del coeficiete b e la ecuació +b+60 sabiedo que ua de las solucioes es 1. Si ecesidad de resolver, cuál es la otra solució? 51. U rectágulo tiee 00 cm de área y su diagoal mide 5 cm. Cuáto mide sus lados? (Sol: 0 15 cm) 5. Resolver: a) b) 6-60 (Sol: 1, -) (Sol: ±) c) 1 + y (Sol: 11; y 1; /5; y 1) y d) (Sol: 5) 5. U frutero ha comprado mazaas por valor de 6. Si el kilo de mazaas costara 0,80 meos, podría comprar 8 kg más. Calcular el precio de las mazaas y la catidad que compró. (Sol: 10 kg a,80 /kg) 5. Resolver la ecuació 1, sabiedo que ua de sus raíces es 1/ (Sol: ±1/, /) 55. Ua persoa compra ua parcela de terreo por 800. Si el m hubiera costado meos, por el mismo diero habría podido comprar ua parcela 00 m mayor. Cuál es la superficie de la parcela que ha comprado? Cuáto cuesta el m? (Sol: 600 m ; 8 ) 56. Resolver la ecuació (Sol: ) 57. El área de u triágulo rectágulo es 0 m y la hipoteusa mide 1 m. Cuáles so las logitudes de los catetos? (Sol: 1 m y 5 m) 58. Resolver la ecuació 1 (Ayuda: aplicar Tartaglia y Ruffii) (Sol: 1) 59. Calcular dos úmeros aturales impares cosecutivos cuyo producto sea 195 (Sol: 1 y 15)

13 Sol : a b 60. Resolver: a) y y 1 (Sol: 1, y) b) 1 y y (Sol: 1; y1) 61. Si multiplicamos la tercera parte de cierto úmero por sus tres quitas partes, obteemos 05. Cuál es ese úmero? (Sol: 5) 6. a) Ivetar ua ecuació poliómica de grado que tega úicamete por solucioes -, 1 y b) Ivetar ua ecuació poliómica de grado que tega úicamete como raíces 1 y c) U poliomio de grado, cuátas raíces puede teer como míimo? Razoar la respuesta. (Sol: 1 raíz) 6. Varios amigos alquila u local por 800. Si hubiera sido tres más, habría pagado cada uo 60 meos. Cuátos amigos so? (Sol: 5 amigos) 6. Determiar el poliomio de grado que verifica: P(-1)P()P(-)0 y P(-) Uo de los lados de u rectágulo es doble que el otro y el área mide 50 m. Calcular las dimesioes del rectágulo. (Sol: 5 10 m) 66. Simplificar las siguietes fraccioes algebraicas: y a) 1 y y y b) c) a + b a+ b a+ b a b ab ab d) y y y : + y y y Sol : y (Sol: y) 1 Sol : + y 67. U campo rectagular de ha de superficie tiee u perímetro de 10 hm. Calcular, e metros, su logitud y su achura. (Recordar: 1 ha100 a; 1 a100 m ) (Sol: 100 m 00 m) 68. Demostrar que: a) a b c a c a d b d b a + b a b b) ( ) ( ) a b 69. Las diagoales de u rombo está e la relació de a. El área es de 108 cm. Calcular la logitud de las diagoales y el lado del rombo. (Sol: d1 cm; D18 cm; l 10,81 cm) 70. Operar y simplificar: Sol : +

14 71. El diámetro de la base de u cilidro es igual a su altura. El área total es 169,56 m. Calcular sus dimesioes. (Sol: dh6 m) 7. Trasformar e potecias de epoete fraccioario la siguiete epresió, operar y simplificar: 7. Despejar y simplificar: ( Sol : ± 5 ) 7. Demostrar que so ciertas las siguietes igualdades: a) ( 1) b) + ( +1) 75. Calcular la velocidad y el tiempo que ha ivertido u ciclista e recorrer ua etapa de 10 km sabiedo que, si hubiera ido 10 km/h más deprisa, habría tardado ua hora meos. (Sol: v0 km/h; t h) 76. Resolver: a) b) + (Sol: 1-1, ) (Sol: 1-1/; 7) Ejercicios libro: pág. 96: y E u terreo rectagular de lados 6 m y 80 m se quiere platar 57 árboles formado ua cuadrícula regular. Cuál será el lado de esa cuadrícula? (Ayuda: E el lado meor, por ejemplo, hay 6/ cuadrículas, y u árbol más que el úmero de cuadrículas) (Sol: m) 78. Operar, racioalizado previamete ( ) Sol : Al aumetar e 1 cm la arista de u cubo su volume aumeta e 71 cm. Cuáto mide la arista? (Ayuda: platear ua ecuació de er grado) (Sol: 9 cm)

15 80. Dos tiajas tiee la misma catidad de vio. Si se pasa 7 litros de ua a otra, ésta cotiee ahora el triple que la primera Cuátos litros de vio había e cada tiaja al pricipio? (Sol: 7 l) 81. U padre, preocupado por motivar a su hijo e Matemáticas, se compromete a darle 1 por problema bie hecho, mietras que, si está mal, el hijo le devolverá 0,5. Después de realizar 60 problemas, el hijo gaó 0. Cuátos problemas resolvió correctamete? (Ayuda: Platear u SS.EE. de 1 er grado) (Sol: 0 problemas) 8. Tres hermaos se reparte u premio de 50. Si el mayor recibe la mitad de lo que recibe el mediao; y el mediao la mitad de lo que recibe el pequeño, cuáto diero tedrá cada hermao al fial? (Sol: 50 el mayor, 100 el mediao y 00 el pequeño) 8. U gaadero decide repartir ua maada de 56 caballos etre sus hijos e hijas. Ates del reparto se efada co los dos úicos varoes, que se queda si caballos. Así, cada hija recibe 19 cabezas más. Cuátas hijas tiee el gaadero? (Sol. 6 hijas) 8. Ua cuadrilla de vedimiadores tiee que vedimiar dos ficas, ua de las cuales tiee doble superficie que la otra. Durate medio día trabajó todo el persoal de la cuadrilla e la fica grade; después de la comida, ua mitad de la gete quedó e la fica grade y la otra mitad trabajó e la pequeña. Durate esa tarde fuero termiadas las dos ficas, a ecepció de u reducido sector de la fica pequeña, cuya vedimia ocupó el día siguiete completo a u solo vedimiador. Co cuátos vedimiadores cotaba la cuadrilla? (Ayuda: Llamar al º de vedimiadores y s a la superficie que vedimia ua persoa e media jorada, y platear ua ecuació, o u sistema!) (Sol. 8 vedimiadores)