SUCESIONES. Si dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, obtenemos:

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1 SUCESIONES Págia REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segudo mes? Razoado del modo que se propoe, llegamos a que el úmero de parejas, mes a mes, es:,,,,, 8,,,,, 89, Así, el úmero total de parejas al fial del año es de (la que había al pricipio y otras uevas). La sucesió de Fiboacci y el úmero F Si dividimos cada dos térmios cosecutivos de la sucesió de Fiboacci, obteemos: 8,,,,, Comprueba, calculado uevos cocietes, que el úmero al que se aproxima es el úmero áureo. 89,7 ;,88 ;, Se aproxima al úmero áureo f +,80 Uidad. Sucesioes

2 Ua represetació gráfica Observa esta composició hecha co cuadrados: -º -º -º -º -º -º 8-º 7-º 9-º El lado de los cuadrados primero y segudo es. A partir del tercero, el lado de cada uo de los siguietes cuadrados que se va formado es igual a la suma de los lados de los dos que le precede. Cuál es el lado del 8-º? Y el del 9-º? Observa tambié los rectágulos que se forma sucesivamete: : : : Los cocietes etre sus dimesioes forma la sucesió que estudiamos e el apartado aterior. Se aproxima, por tato, al úmero F. Esto quiere decir que estos rectágulos se parece, cada vez más, a rectágulos áureos. Compruébalo para los cuatro siguietes rectágulos: : 8 : : : El lado del 8.º cuadrado es y el lado del 9.º cuadrado es. 8 8 :,;,;,9 ;,7 Se aproxima al úmero áureo f +,80 Uidad. Sucesioes

3 UNIDAD Págia. Di el criterio por el que se forma las sucesioes siguietes y añade dos térmios a cada ua: a), 8,, 8,, b), 8, 7,,, c), 0, 00, 000, 0 000, d) 8; ; ; ; 0,; e),,, 7,, 8, f) 8,,,, 7, 9, g),,,,,, h) 0,,,, 8, a) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee sumádole al aterior: a 8, a 7. b) Cada térmio es el cubo del lugar que ocupa: b, b 7. c) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee multiplicado por 0 el aterior: c , c d) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee multiplicado por (dividiedo etre ) el aterior: d 0,, d 7 0,. e) Cada térmio, a partir del tercero, se obtiee sumado los dos ateriores: e 7 9, e 8 7. f) Cada térmio, a partir del tercero, se obtiee restado los dos ateriores: f 7, f 8. g) Cada térmio es el úmero del lugar que ocupa, co sigo positivo si es impar, y egativo si es par: g 7 7, g 8 8. h) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee restádole 7 al aterior: h, h 7. Págia. Forma ua sucesió recurrete,, co estos datos: a, a, +,,, 8,,,,,. Escribe los cuatro primeros térmios de las sucesioes que tiee como térmio geeral: + ( ) b ( ) c ( ) d ( )( ) e + ( ) a, a 8, a, a 8 b, b, b, b c, c, c 8, c d 0, d 0, d, d e 0, e 8, e 0, e 8 Uidad. Sucesioes

4 . Costruye ua sucesió cuya ley de recurrecia sea +. Si tomamos, por ejemplo, a, etoces quedaría: a +, a +, a + 0, a 0 +, a +, a ,. Da el térmio geeral de las sucesioes siguietes que o sea recurretes: a), 8,, 8,, b), 8, 7,,, c), 0, 00, 000, 0 000, d) 8,,,, e),,, 7,, 8, f) 8,,,, 7, 9, g),,,,,, h) 0,,,, 8, a) + ( ) b) b c) c 0 d) d 8 ( ) e) Es recurrete f) Es recurrete g) g ( ) h) h 0 7 ( ) Págia. Cuáles de las siguietes sucesioes so progresioes aritméticas? E cada ua de ellas di su diferecia y añade dos térmios más: a), 7,,, 9, b),,, 9,, 8, c),,,, 8, 9, d) 0, 7,,,, e) 7,;,8;,;,; ; f) 8;,;,8;,7;,; a) Es ua progresió aritmética co d ; a, a 7 7. b) No es ua progresió aritmética. c) No es ua progresió aritmética. d) Es ua progresió aritmética co d ; d, d 7 8. e) Es ua progresió aritmética co d,; e 9,; e 7 7,8. f) Es ua progresió aritmética co d,9; f,; f 7 7,.. E la sucesió a), halla el térmio a 0 y la suma de los 0 primeros térmios. a 0 a + 9 d (a S 0 + a 0 ) 0 ( + 79) 0 80 Uidad. Sucesioes

5 UNIDAD. E la sucesió d), halla el térmio d 0 y la suma de los 0 primeros térmios. d 0 d + 9 ( ) (d S 0 + d 0 ) 0 (0 07) E la sucesió e), halla el térmio e 00 y la suma de los 00 primeros térmios. e 00 e + 99 (,) 7, 8, (e S 00 + e 00 ) 00 (7, ) E la sucesió f), halla los térmios f 8, f 7 y la suma f 8 + f f + f 7. f 8 f + 7, , 8, f 7 f +, , 0, E la suma pedida hay 0 sumados. (f S + f 7 ) 0 (8, + 0,) 0, Págia. Cuáles de las siguietes sucesioes so progresioes geométricas? E cada ua de ellas di su razó y añade dos térmios más: a),, 9, 7, 8, b) 00; 0; ;,; c),,,,, d),,,,,, e) 90, 0, 0, 0/, 0/9, a) Es ua progresió geométrica co r ; a, a b) Es ua progresió geométrica co r ; b,, b,. c) Es ua progresió geométrica co r ; c, c 7. d) Es ua progresió geométrica co r ; d 7, d e) Es ua progresió geométrica co r ; e, e Calcula la suma de los 0 primeros térmios de cada ua de las progresioes geométricas del ejercicio aterior. a) a 0 a r a S 0 0 r a r Uidad. Sucesioes

6 b) b 0 b r 9 00 ( ) 9 b 00 S 0 0 r b 8 99,80 r c) c 0 ; S d) d 0 ; S 0 0 e) e 0 e r 9 90 ( ) e S 0 0 r e 7,99 r 8. E cuáles de las progresioes geométricas del ejercicio aterior puedes calcular la suma de sus ifiitos térmios? Hállala. Podemos calcular la suma de sus ifiitos térmios e las progresioes geométricas co r < : b b) S r e e) S , r ( ) Págia 9. Calcula: (0 + ) (0 + ) 0. Calcula: ( ) ( ) Calcula: Uidad. Sucesioes

7 UNIDAD. Calcula: ( ) + ( ) + ( ) + + ( 0) ( ) Págia Represeta la sucesió y asígale u valor a su límite. 0 8 a, a, a,; a,7; a,,, a 0,, ; a 00,0; ; a 000,00, lím 0. Represeta la sucesió b + y asiga u valor a su límite. 8 b,; b 0; b 0,7; b ; b 0,7; b 0; b 7,; b 8 ; b 9,; b 0 8,, 0 b 00 0, lím b Uidad. Sucesioes 7

8 Págia 9. Estudia el comportamieto de estas sucesioes para térmios muy avazados e idica su límite: a) b) b + c) c d) d a) a 0,8; a 00,8; a 000,8, lím b) b 0,; b 00,87; b 000,987, lím b c) c 0 0; c 00,7 0, lím d) d 0,999; d 00,999999, lím d. Di, razoadamete, cuáles de las siguietes sucesioes tiee límite: a) b) b ( ) + c) c ( ) d) d ( ) a) a 0 0,0; a 00 0,000; a 000 0,00000, lím 0. b) b 0 0,7; b 0,7; b 00 0,9; b 0 0,9, Los térmios pares so positivos y tiede a ; los térmios impares so egativos y tiede a. La sucesió o tiee límite. c) c, c, c, c , c 00 00, Los térmios impares so egativos y tiede los térmios pares so positivos y tiede a La sucesió o tiee límite. d) d ; d 0,; ; d 00 0,000; d 0 0,0009, lím d 0. Págia. Obté los ocho primeros valores de (térmios de la sucesió) y de S (sumas parciales) e cada ua de las progresioes siguietes. Calcula e cada ua el lím S : a), 0, 0, b), 0, 0, c) 7, 7, 7, d) 7, 7, 7, e) 0; ;,; f) 0; ;,; a) a, a 0, a 0, a 8, a,; a,8; a 7 0,; 8 a 8 0,08. 8 Uidad. Sucesioes

9 UNIDAD S ; S 7; S 9; S 0; S 0,; S 07,8; S 7 07,99; S 8 08,98. Como r 0, < ; lím S 08, ) r b) b ; b 0; b 0; b 8; b,; b,8; b 7 0,; b 8 0,08. S ; S 7; S 9; S 87; S 90,; S 88,9; S 7 89,; S 8 89,7. Como r 0, < ; lím S 89,8 r 7 + a c) c 7; c 7; c 7; c 7; c 7; c 7; c 7 7; c 8 7. S 7; S 0; S 7; S 0; S 7; S 0; S 7 7; S 8 0. b S o tiee límite. d) d 7; d 7; d 7; d 7; d 7; d 7; d 7 7; d 8 7. S 7; S ; S ; S 8; S 8; S 0; S 7 9; S 8. lím S e) e 0; e ; e,; e 7,8; e 0,7; e,88; e 7 9,898; e 8,8808. S 0; S ; S,; S,8; S 7,; S 99,99; S 7 9,90; S 8,9908. Como r, > ; lím S f) f 0; f ; f,; f 7,8; f 0,7; f,88; f 7 9,898; f 8,8808. S 0; S ; S,; S,88; S,8; S 9,07; S 7 0,8; S 8,9998. S o tiee límite. Uidad. Sucesioes 9

10 Págia EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Criterio para formar sucesioes Describe el criterio co el que se forma estas sucesioes y añade tres térmios a cada ua: a),,,,, b),,,,, c),, 0, 7,, d) 0,, 8,,, e),,, 0,, a) Cada térmio lo obteemos dividiedo etre el lugar que ocupa el térmio: a, a 7, a b) Cada térmio es la raíz cuadrada del lugar que ocupa: a, a 7 7, a 8 8 c) Cada térmio es el cuadrado del lugar que ocupa más uidad: a 7, a 7 0, a 8 d) Cada térmio es el cuadrado del lugar que ocupa meos uidad: a, a 7 8, a 8 e) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee sumádole al lugar que ocupa el térmio aterior: a, a 7 8, a 8 Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes cuyos térmios geerales so estos: a) + b) b 0 c) c d) d + e) e f) f ( ) a) a,; a,0; a,00; a,000; a, b) b 0; b ; b ; b ; b 7 c) c ; c ; c ; c ; c d) d ; d ; d ; d ; d 8 0 Uidad. Sucesioes

11 UNIDAD e) e ; e ; e ; e ; e 0 f) f ; f 0; f ; f 0; f Escribe el térmio geeral de estas sucesioes: a),,,, b),,,, c) 0,,,,, d),;,0;,00;,000; 0 7 a) b) b ( ) c) c d) d Costruye dos sucesioes cuyas leyes de recurrecias sea las siguietes: a) a 0 a b) a a + a) 0,,,,,,,, b),,,,,,,, 8 8 Busca ua ley de recurrecia para defiir las siguietes sucesioes: a), 7,,, 7, b),,,,, a) a, a 7, par > b b) b, b, b par > b Progresioes aritméticas De las siguietes sucesioes, di cuáles so progresioes aritméticas y escribe su térmio geeral: a),;,;,;,8; ; b) ;,;,;,8;,; c),,, 7,, d),,, 8,, a) Es ua progresió aritmética co a, y d,., + ( ),,. b) Es ua progresió aritmética co b y d 0,. b + ( ) ( 0,) 0, +,. c) y d) o so progresioes aritméticas. Uidad. Sucesioes

12 7 De las sucesioes siguietes, idica cuáles so progresioes aritméticas: a) b) b 8 c) c d) d e) e + f) f a) ( ) + Es ua progresió aritmética co d. b) b b [( ) )] + + Es ua progresió aritmética co d. c) c, c, c, c, c c? c c. No es ua progresió aritmética. 8 8 ( ) d) d d Es ua progresió aritmética co d. Es ua progresió aritmética co d. f) f 0, f, f 8, f, e) e e + ( + ) + +. f f? f f. No es ua progresió aritmética. 8 Calcula los térmios a 0 y a 00 de las siguietes progresioes aritméticas: a),, 0,,, b),, 8,, 8, 7 c),,,,, a) a 0 a + 9d a 00 a + 99d b) a 0 a + 9d 9 a 00 a + 99d Uidad. Sucesioes

13 UNIDAD c) a 0 a +9d a 00 a + 99d Calcula la suma de los primeros térmios de las siguietes progresioes aritméticas: a),, 9,,, b) ;,9;,8;,7;,; c) c d) d a) a ; a a + d + 7 (a S + a ) ( + 7) 97 b) b ; b b + d 0,, (b S + b ) ( +,) 9 c) c ; c 98 (c S + c ) ( + 98) 0 9 d) d ; d ( 9 (d S ) + d ), Progresioes geométricas 0 De las siguietes sucesioes, cuáles so progresioes geométricas? Escribe tres térmios más e cada ua y tambié su térmio geeral. a),, 8,,, b) ; 0,; 0,0; 0,00; c),, 9,,, d),,,,, a) Es ua progresió geométrica co a y r. a, a 7, a 8 ; ( ) b) No es ua progresió geométrica; b, b 7 9, b 8, b. Uidad. Sucesioes

14 c) Es ua progresió geométrica co c y r 0,. c 0,0000; c 7 0,00000; c 8 0,000000; c 0, 0, d) Es ua progresió geométrica co d y r. d 8; d 7 8 ; d 8 ; d ( ) ( ). Calcula la suma de los primeros térmios de las siguietes progresioes geométricas y halla la suma de los ifiitos térmios e los casos que sea posible: a) a, r b) a 0, r 0 c) a 0, r d) a, r a a S r r a a, r r ( ) a) S, r 0 ( ) b) S, 0 00, 9 r c) S , No se puede calcular porque r o es mayor que. ( ) ( ) ( ) a r d) S ( ) a a Págia Suma de potecias a) Demuestra que: ( ) b) Calcula la suma de los cuadrados de los 0 primeros úmeros pares. c) Calcula la suma de los cuadrados de todos los úmeros impares meores que 00. Uidad. Sucesioes

15 UNIDAD a) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) Halla la suma siguiete: ( ) ( ) Límite de ua sucesió Calcula los térmios a 0, a 00 y a 000, e cada sucesió e idica cuál es su límite: a) b) c) d) 7 a) a 0 0, ) ; a 00 0, ) 0; a 000 0, ) 00 lím 0 b) a 0,; a 00,0; a 000,00 lím c) a 0 0,; a 00 0,9; a 000 0,99 lím d) a 0,7; a 00 97; a Uidad. Sucesioes

16 Halla alguos térmios muy avazados de las siguietes sucesioes e idica cuál es su límite: a) 0 b) b 00 c) c d) d + a) a 0 0; a 00 90; a lím b) b 0 90; b 00 0; b lím c) c 0 0,; c 00 0,90; c 000 0,99 lím c d) d 0 0,7; d 00 0,98; d 000 0,998 lím d 0, + Estudia el comportamieto de las siguietes sucesioes para térmios muy avazados e idica cuál es el límite de cada ua de ellas: a) 0 b) b c) c 0 + d) d ( ) e) e ( ) f) f ( + ) a) a 0 90; a ; a lím b) b 0 70; b ; b lím c) c 0 0; c ; c lím c d) d 0 ; d ; d lím d e) e 0 ; e ; e lím f) f 0 ; f ; f lím Uidad. Sucesioes

17 UNIDAD 7 Estudia el comportamieto de las siguietes sucesioes para térmios muy avazados e idica cuál es el límite de cada ua de ellas: a) b) b c) c + d) d e) e f ) f g) g ( ) h) h a) a 0 0,0; ) a 00 0,00; ) a 000 0,000 ) lím 0 b) b 0 0,; b 00 0,0; b 000 0,007 lím b 0 c) c 0 0, 7; ) c 00 0, 097; ) ) c 000 0, lím c 0 d) d 0 0,97; d 00 0,09997; d 000 0, lím d 0 e) e 0 0,0; e 00 0,000; e 000 0,00000 lím e 0 f) f 0 ; f 00 0,0; f 000 0,000 lím f 0 g) g 0 ; g 0 ; g 000 ; g 0 00 La sucesió o tiee límite. h) h 0 0,0909; h 00 0,0099; h 000 0,000999; h 00 0, lím h ( ) + PARA RESOLVER 8 Calcula el. térmio e la siguiete progresió: ;,7;,;,; Es ua progresió aritmética co a y d 0,. Por tato, a a + d 0,,,. Uidad. Sucesioes 7

18 9 Halla el cuarto térmio de ua progresió aritmética e la que d y a a 0 a + d 8 a a 0 d 00 0 Calcula la suma de todos los úmeros impares de tres cifras. Es la suma de los térmios de ua progresió aritmética e la que el primer térmio es 0, el último es 999, y hay 0 sumados: ( ) 0 S 7 00 Cuáto vale la suma de los 00 primeros múltiplos de 7? Queremos calcular la suma de los 00 primeros térmios de ua progresió aritmética e la que a 7 y d 7. (a S 00 + a 00 ) 00 ( ) 00 0 E ua progresió aritmética sabemos que d, y S. Calcula y a. a +( ) d 8 a +( ) (a + ) (a + ) S 8 a + 8 a 7 (7 + ) 8 (7 ) ± ± 89 7 ± a a 0 / (o vale) 9 Los lados de u hexágoo está e progresió aritmética. Calcúlalos sabiedo que el mayor mide cm y que el perímetro vale 8 cm. Llamamos a los lados a, a, a, a, a y a. Sabemos que a cm y que S 8. Por tato: a a +d 8 a +d 8 a d (a + a ) S 8 8 ( d + ) 8 8 ( d) d 8 d 0 8 d 8 d a 0 8 a Los lados del hexágoo mide cm, cm, 7 cm, 9 cm, cm y cm. 8 Uidad. Sucesioes

19 UNIDAD E u cie, la seguda fila de butacas está a 0 m de la patalla y la séptima fila está a m. E qué fila debe setarse ua persoa que le guste ver la patalla a ua distacia de 8 m? a 7 8 a 7 a + d 0 + d 8 d, (La distacia etre las dos filas cosecutivas es de, metros). Buscamos para que 8 m: a +( ) d 8,8 + ( ), 8 8 8,8 +,, 8, 0, 8 7 La fila 7 está a 8 metros. Escribe los térmios itermedios de ua progresió aritmética sabiedo que a y a 0 8. a 0 a + 9d + 9d 8 8 d 9 9 Los térmios so: a, a, a, a, a, a, a 7, 0 7 a 8, a 9, a Halla los dos térmios cetrales de ua progresió aritmética de 8 térmios sabiedo que S 8 00 y que a + a 8 8. Teemos que calcular a y a. Sabemos que: (a + a 8 ) 8 S 8 (a + a 8 ) 00 8 a + a 8 a + a 8 8 Restado a la. a ecuació la. a, queda: a 8 8 a a 8 8 a a 8 a + 7d + 7d 8 d Por tato: a a + d + 9 a a + d + a a 7 E ua progresió geométrica, a 8 y a 0,. Calcula a y la expresió de. a a r 8r 0, 8 r 0,0 8 r ± 0, ± Uidad. Sucesioes 9

20 . er caso: r 0,. caso: r 0, a a r 0,0 a a r 8 ( ) 0,0 a r 8 ( ) 8 ( ) 8 E ua progresió geométrica de razó r coocemos S. Calcula a y a. a a S r r a a a 78a 79 a r r a 8 a a a r La maquiaria de ua fábrica pierde cada año u 0% de su valor. Si costó milloes de euros, e cuáto se valorará después de 0 años de fucioamieto? Al cabo de año valdrá 8 ( 0 ) 0,8 Al cabo de años valdrá 8 ( 0 ) 0,8 Al cabo de 0 años valdrá 8 ( 0 ) 0, ,7 0 El de eero depositamos 000 e ua cueta bacaria a u iterés aual del % co pago mesual de itereses. Cuál será el valor de uestro diero u año después? U % aual correspode a 0,% mesual. Cada mes el diero se multiplica por,00. Al cabo de mes tedremos 8 000,00 Al cabo de meses tedremos 8 000,00 Al cabo de meses tedremos 8 000,00 08,9 0 Uidad. Sucesioes

21 UNIDAD Págia La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica es igual a y a. Calcula a y la razó. a a r 8 a r a /r S 8 r r r r r r r ± r r 8 r 8 a 8 8 Comprueba, dado valores grades, que las siguietes sucesioes tiede a u úmero y di cuál es ese úmero: a) b) b + c) c + d) d a) a 0,8; a 00,7; a 000,97 lím, b) b 0,970; b 00,9997; b 000, lím b + c) c 0,000977; c 0, lím c d) d 0 0,9; d 00 0,0999; d 000 0, lím d 0 Calcula el límite de las siguietes sucesioes: ( ) a) + b) b + + c) c d) d + e) e ( + ) f ) f ( ) + a) a 0 0,78; a 00 0,9798; a 000 0,9980 lím Uidad. Sucesioes

22 b) b 0 0,0; b 00 0,000; b 000 0,00000 lím b 0, c) c 0 9,80; c 00 0,; c 000 9,90 lím c + d) d 0,7; d 00,97; d 000,997 lím d e) e 0 0,797; e 00 07,78; e ,07 lím e + f) f 0 0,70; f 00 0,909; f 000 0,99 lím f Comprueba si tiee límite las siguietes sucesioes: a) ( ) b) b + ( ) c) c d) d + + ( ) + ( ) a) a 00,0; a 0,0099; a 000,00; a 00, Los térmios pares tiede a y los impares a. o tiee límite. b) b 0; b ; b 0; b, Los térmios impares so 0 y los pares so. b o tiee límite. c) c 0; c ; c 0; c 0,; ; c 00 0,0 Los térmios impares so cero y los pares tiede a cero. lím c 0. d) d 0; d,; d 0,7; d,; ; d 00,0; d 0 0,99 lím d. Uidad. Sucesioes

23 UNIDAD Dadas las sucesioes y b, estudia el límite de: + a) + b b) b c) b a) A + b + + A 0 00,0099; A ,000 lím ( + b ) b) B b + B 0 0,990; B 00 0,9999 lím ( b ) c) C ( + ) + ( + ) b C ; C a lím ( ) b + Durate años depositamos e u baco 000 al % co pago aual de itereses. a) E cuáto se covierte cada depósito al fial del quito año? b) Qué catidad de diero hemos acumulado durate esos años? a) Al fial del º año: Los primeros 000 se covierte e 000,0, Los segudos 000 se covierte e 000,0 9,7 Los terceros 000 se covierte e 000,0 9,7 Los cuartos 000 se covierte e 000,0, Los quitos 000 se covierte e 000,0 080 b) Sumamos las catidades ateriores: 000, , , , ,0 000(,0 +,0 +,0 +,0 +,0) (*),0 000,0,9,0 (*) Suma de ua progresió geométrica co a,0 y r,0. Uidad. Sucesioes

24 7 Recibimos u préstamo de 000 al 0% de iterés aual y hemos de devolverlo e años, pagado cada año los itereses de la parte adeudada más la cuarta parte del capital prestado. Calcula lo que teemos que pagar cada año. a , 700 a , 0 a , 00 a , 0 8 Halla el térmio geeral de la sucesió:,,,,, y estudia su límite. / a ; a,; a,99; a,89; ; a 0,078 a 00,009; lím 9 Dadas las sucesioes + y b, calcula los siguietes límites: a) lím ( + b ) b) lím ( b ) c) lím ( b ) d) lím b a) A + b + + lím ( + b ) b) B b + ( ) B 0 ; B 00 0; B lím ( b ) c) C b ( + ) ( ) + + C 0 0; C ; C lím ( b + d) D b D 0,; D 00,0; D 000,00 a lím b Uidad. Sucesioes

25 UNIDAD 0 La sucesió x x + ; x + ; x + x +, es ua progresió aritmética? Si lo fuese, calcula el quito térmio y la suma de los cico primeros térmios. Llamamos a x x + ; a x + ; a x + x +. Veamos si la diferecia etre cada dos térmios cosecutivos es la misma: a a x + (x x + ) x + x + x x a a x + x + (x + ) x + x + x x Por tato, sí es ua progresió aritmética co a x x + y diferecia d x. Así, teemos que: a a + d x x + + x x + x + (a (x S x + + x + a ) + x + ) (x + x + ) x + x + (x + x + ) Halla la siguiete suma: Llmamos S ( ) Por tato: S 7 ( ) 7 8 CUESTIONES TEÓRICAS Sea ua progresió aritmética co d > 0. Cuál es su límite? Si d > 0, la sucesió se va haciedo cada vez mayor. Por tato, lím Si es ua progresió geométrica co r, cuál es su límite? Al ir multiplicado por Es decir, lím 0. sucesivamete, los térmios se va aproximado a cero. Uidad. Sucesioes

26 La sucesió,,,, puede cosiderarse ua progresió aritmética y tambié geométrica. Cuál es la diferecia e el primer caso? Y la razó e el segudo? Es ua progresió aritmética co d 0. Tambié es ua progresió geométrica co r. E ua progresió geométrica cualquiera, a, ar, ar, ar,, comprueba que: a a a a a a Se verifica tambié a a 7 a a? Eucia ua propiedad que exprese los resultados ateriores. a a a (a r ) a r a a (a r) (a r ) a r a a (a r ) (a r ) a r So iguales a a 7 (a r ) (a r ) a r 8 a a (a r ) (a r ) a r 8 So iguales Propiedad: Si es ua progresió geométrica, se verifica que a p a q a m siempre que p + q m +. ) El úmero,9 podemos cosiderarlo como la suma de los ifiitos térmios de la sucesió: 9 9 9,,,, Calcula la suma y halla su límite. Te parece razoable el resultado obteido? ) ,9 + 0,99 + 0,999 +, Si cosideramos la progresió geométrica,,, y sumamos todos sus térmios, queda: 9 9 a S 0 0 r Por tato: + ( ) + Uidad. Sucesioes

27 UNIDAD 7 Iveta dos sucesioes cuyo límite sea ifiito y que, al dividirlas, la sucesió que resulte tieda a. Por ejemplo: ; b + lím lím b a lím lím + b Págia 7 PARA PROFUNDIZAR 8 Dibuja u cuadrado de lado cm y sobre cada lado u triágulo rectágulo isósceles; después dos, luego cuatro, como idica las figuras: a) Forma la sucesió de los perímetros de las figuras obteidas. Cuál es su límite? b) Forma tambié la sucesió de las áreas. Cuál es su límite?. er paso:.º paso:. er paso: / / / / / / Perímetro 8 cm Perímetro 8 cm Perímetro 8 cm Área + cm Área + cm Área + cm Perímetro 8 cm Paso -ésimo: Área + ( ) cm Uidad. Sucesioes 7

28 a) 8, 8, 8, 8, ; P 8; lím P 8 b),,, ; A + ( ) ; lím A (que es el área del cuadrado de lado ). 9 Los térmios de la sucesió,,, 0, se llama úmeros triagulares porque se puede represetar así: Calcula a 0 y. a ; a + ; a + + ; a ; ( + 0) 0 0 a ( + ) 0 Los térmios de la sucesió,,,, se llama úmeros petagoales porque se puede represetar así: Calcula a, a 0 y. Esos úmeros se puede escribir así: ; + ; + + 7; ; a ; a + ; a ; a Observamos que vamos obteiedo las sumas de los térmios de ua progresió aritmética co a y d. E el paso -ésimo tedremos: ( + ( ) ) ( ) ( + ( )) ( + ) ( ) Por tato: a 7 ; a 0 8 Uidad. Sucesioes

29 UNIDAD Utiliza las propiedades de las progresioes para simplificar la expresió del térmio geeral y calcular el límite de las siguietes sucesioes: a) b) b ( ) ( + ) + a) ( ) ( ) ( ) + Hallamos el límite: a 0 0,; a 00 0,0; a 000 0,00; lím 0, ( + ) + b) b ( ) ( ) ( ) + ( + ) + b 0 ; b 00 0; b ; lím b + AUTOEVALUACIÓN. Halla el térmio a 7 de la sucesió cuyo térmio geeral es: a Halla el térmio octavo de la sucesió defiida así: a, a 7, + + a 8 a a 7 a a 7 a a a a a a a a a a a a 7 a 7 a a 9 a 8 a a 7 Uidad. Sucesioes 9

30 . Halla el térmio geeral de las sucesioes: a), 7,,, 9,, b),,, 0, 7,, a) Es ua progresió aritmética de diferecia d y primer térmio a. a + ( )d + ( ) b) El térmio geeral de la sucesió 0,,, 9,,, es ( ). Por tato,,,, 0, 7,, tiee por térmio geeral ( ) Halla la ley de recurrecia por la que se forma las siguietes sucesioes: a) 7, 8,,, 8,, b),,,,, 9, 7,, c) 0,,,,,, 0, 7,... a) Cada térmio, a partir del tercero, es la suma de los dos ateriores. Por tato: a 7 a 8 + b) Cada térmio, a partir del cuarto, es la suma de los tres ateriores. Por tato: a a a + + c) Cada térmio, a partir del cuarto, es la suma de los tres ateriores. Por tato: a 0 a a + +. Halla las siguietes sumas: a) b) , + 000, , c) d) e) a) Es la suma de los oce primeros térmios de ua progresió aritmética de primer térmio a y diferecia d. a a a S + a + b) Es la suma de los quice primeros térmios de ua progresió geométrica de primer térmio a 000 y razó r,. a 000, S r a S 77,8 r, 0 Uidad. Sucesioes

31 UNIDAD c) Es la suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica de primer térmio a 80 y razó r /. a 80 0 r / d) ( + )( + ) ( ) ( ) e) ( + ) ( ) ( + ) 9 9. E ua progresió aritmética coocemos a y a 8 8,. a) Calcula a + a 00. b) Obté el valor de a 0. a a + d a 8 a + 8d 8, a 0,, 8 8d d, 8 d 0, a) a + a 00 a + a 8 + 8, 8, pues (a y a 8 equidista de a y a 00 ). b) a 0 a + 9 d, + 9 0, 7. Halla los límites de las siguietes sucesioes: + b c + + a) a 0 0, a 00 0,0 a 000 0,00 8 lím 0 + b) b 0,8 b 00,0 b 000,00 8 lím + + c) c 0,0 c 00 0,00 c ,000 8 lím Uidad. Sucesioes

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