Soluciones de la relación de ejercicios del TEMA 1

Transcripción

1 1 Solucioes de la relació de ejercicios del TEMA 1 1. Demuestraqueelcojutoformadoporlosúmerosprimosesifiito. Aprovechamos este ejercicio para hacer uso de las llamadas demostracioes por reducció al absurdo. Si teemos que demostrar cierta propiedad P, el procedimieto cosiste e supoer que P es falsa. Si a partir de esta suposició llegamos a ua cotradicció lógica, esto os permitirá afirmar que P o debe ser falsa, es decir, que P es verdadera. Si aplicamos este procedimieto a uestro ejercicio: Supogamos que el cojuto formado por los úmeros primos o es ifiito, es decir, es fiito. Sea p el úmero primo mayor y cosideremos, para llegar a ua cotradicció, el úmero atural (mayor que p) q p ( q p)+1 (o es divisible por 2) 3 ( q p)+1 (o es divisible por 3) 5 ( q p)+1 (o es divisible por 5). p ( q)+1 (o es divisible por p) Se tiee que sólo es divisible por la uidad y por el mismo, por tato, es u úmero primo, e cotra de la hipótesis iicial, por tato, lo supuesto es falso, es decir, el cojuto formado por los úmeros primos NO es fiito 2. Prueba que: (a) 0.b9 1. Si llamamos x 0.b9, setieeque10x 9.b9. Restado, 10x x 9.b9 0.b9, demaeraque9x 9,portato,x 1. (b) 2. b Si llamamos x 2. b72, setieeque100x 272. b Restado, 100x x 272. b72 2. b72, demaeraque99x 270, por tato, x (c) 1.3d Se procede de forma similar a los dos apartados 9990 ateriores. 3. Razoa si las siguietes afirmacioes so ciertas o falsas:

2 2 (a) x, y I x + y I. Falso, basta cosiderar como cotraejemplo x π e y π. Setedríaquex + y 0 Q. (b) x Q, y I x + y Q. Falso, basta cosiderar como cotraejemplo x 0e y 2.Setedríaquex + y 2 I. (c) x Q, y I x y I. Falso, basta cosiderar como cotraejemplo x 0. Se tedría que x y 0 Q. (d) x Q\{0}, y I x y I. Cierto. Para poerlo de maifiesto vamos a razoar por reducció al absurdo. Si x y Q,tedríamos que y x y Q (el cociete de dos racioales es u racioal, pues x Q es u cuerpo) (e) x, y I x y I. Falso, basta cosiderar como cotraejemplo x y 5. Se tedría que x y 5 Q. (f) x Q\{0}, y I x Q. Falso, basta cosiderar como y cotraejemplo x 2e y 2.Setedríaque x 2 y 2 2 I. (g) a R tal que a 2 I y a 4 Q. Cierto. Por ejemplo, para a 4 3,setieequea 2 3 I yquea 4 3 Q. (h) a, b I tales que a + b Q y a b Q. Cierto. Por ejemplo, para a 2 y b 2,setieequea + b 0 Q yque a b 2 Q. 4. Demuestra que 2 es irracioal. Razoado por reducció al absurdo, supogamos que 2 es racioal. Si perdida de geeralidad, podemos supoer que 2 p fracció irreducuble. p p p2 2 2 Teemos que p 2 es u úmero par, lo que lleva cosigo que p tambié es par. Sea, por ejemplo, p 2k. Sustituyedo e p 2 2 2,setiee que 4k k 2, es decir, que 2 es par y, cosecuetemete tambié es par. Sea, por ejemplo, 2k 0. Teemos que 2 p 2k 2k 0,

3 fracció que es o irreducible, e cotra de lo supuesto iicialmete, por tato, 2 es irracioal. 5. Sabiedo que 2 es irracioal, prueba que 2+ 3 tambié es irracioal. Razoado por reducció al absurdo, supogamos que 2+ 3 Q. Si llamamos x 2+ 3,setieeque 3x 2. Cosecuetemete, 3(x 2) 2 x 2 2 2x +2. Si despejamos 2, obteemos que 2 x 2 1 2x. Hemos obteido 2, como suma, produco y cociete de úmeros racioales, es decir, 2 Q, que sabemos que es falso, por tato, lo supuesto ( 2+ 3 Q) oescierto,portato, 2+ 3 I.. Utiliza el método de iducció para demostrar las siguietes afirmacioes: E geeral, e este tipo de problemas, queremos demostrar que cierta propiedad P es cierta para todos los aturales. Para resolver estos ejercicios aplicado el Pricipio de Iducció, e primer lugar, defiimos el cojuto A { N : P es cierta}. Nuestro objetivo es demostrar que la propiedad se verifica para todos los aturales, es decir, que A N. El Pricipio de Iducció garatiza que si teemos u subcojuto A de N que sea iductivo, etoces A N. Teiedo e cueta que, por la defiició del cojuto A, A N, sólo os faltaría por demostrar que A es iductivo. Para que A sea iductivo debe verificar dos propiedades: i) 1 A. ii) Dado k A, etoces k +1 A. (a) (2 3) + (2 1) 2 (hecho e clase) (b) ( 1) ( + 1)(2 +1) Sea P ( 1) ( +1)(2 +1) la propiedad que queremos demostrar para todos los aturales. Defiimos el cojuto A { N : P es cierta}, que claramete verifica que A N. Teemos que demostrar que A N. Para ello, comprobaremos que A es iductivo. E efecto:

4 4 i) Para 1, el primer miembro de la propiedad es 1 2 1y, el segudo miembro es 1(1+1)(2+1) 1. Portato, 1 verifica la propiedad, es decir, 1 A. ii) Supogamos que para u atural arbitrario k mayor que 1, se tiee que k A, es decir, (k 1) 2 + k 2 k(k + 1)(2k +1) Teemos que demostrar que k +1 A, esdecir,que (k 1) 2 +k 2 +(k +1) 2 (k +1)(k + 2)(2k +3) (k 1) 2 + k 2 +(k +1) 2 k(k + 1)(2k +1) k(k + 1)(2k +1)+(k +1)2 (k +1)[2k2 +7k +] +(k +1) 2 (k +1)[k(2k +1)+(k +1)] (k +1)(k + 2)(2k +3). i) y ii) os dice que A es iductivo. Teiedo e cueta que A N, el Pricipio de Iducció garatiza que A N, esdecir,que la propiedad es cierta para todos los aturales, como queríamos demostrar. ( +1)(2 +7) (c) ( +2) Sea P ( +2) ( + 1)(2 +7) la propiedad que queremos demostrar para todos los aturales. Defiimos el cojuto A { N : P es cierta}, que claramete verifica que A N. Teemos que demostrar que A N. Para ello, comprobaremos que A es iductivo. E efecto: i) Para 1, el primer miembro de la propiedad es 1 33 y, el segudo miembro es 1(1+1)(2+7) 3. Por tato, 1 verifica la propiedad, es decir, 1 A.

5 ii) Supogamos que para u atural arbitrario k mayor que 1, se tiee que k A, es decir, k(k + 1)(2k +7) k(k +2) Teemos que demostrar que k +1 A, esdecir,que 5 (k +1)(k + 2)(2k +9) k(k+2)+(k+1)(k+3) k(k +2)+(k +1)(k +3) k(k + 1)(2k +7) +(k +1)(k +3) k(k + 1)(2k +7)+(k +1)(k +3) (k +1)[k(2k +7)+(k +3)] (k +1)[2k2 +13k +18] (k +1)(k + 2)(2k +9). i) y ii) os dice que A es iductivo. Teiedo e cueta que A N, el Pricipio de Iducció garatiza que A N, esdecir,que la propiedad es cierta para todos los aturales, como queríamos demostrar. (d) Sea P la propiedad que queremos demostrar para todos los aturales. Defiimos el cojuto A { N : P es cierta}, queclarameteverifica que A N. Teemos que demostrar que A N. Para ello, comprobaremos que A es iductivo. E efecto: i) Para 1, el primer miembro de la propiedad es y, el segudo miembro es Portato,1 verifica la propiedad, es decir, 1 A. ii) Supogamos que para u atural arbitrario k mayor que 1, se tiee que k A, es decir, k 3 k+1

6 Teemos que demostrar que k +1 A, esdecir,que k +2 3 k+1 3 k k k k k+1 3 k+1 (1 + 2) 3 k+1 33 k+2 i) y ii) os dice que A es iductivo. Teiedo e cueta que A N, el Pricipio de Iducció garatiza que A N, esdecir,que la propiedad es cierta para todos los aturales, como queríamos demostrar. (e) 1 1! + 2 2! ! ( +1)! 1 Sea P 1 1! + 2 2! ! ( +1)! 1 la propiedad que queremos demostrar para todos los aturales. Defiimos el cojuto A { N : P es cierta}, que claramete verifica que A N. Teemos que demostrar que A N. Para ello, comprobaremos que A es iductivo. E efecto: i) Para 1, el primer miembro de la propiedad es 1 1! y, el segudo miembro es (1 + 1)! 12! Por tato, 1 verifica la propiedad, es decir, 1 A. ii) Supogamos que para u atural arbitrario k mayor que 1, se tiee que k A, es decir, 1 1! + 2 2! k k! (k +1)! 1 Teemos que demostrar que k +1 A, esdecir,que 1 1! + 2 2! k k!+(k +1) (k +1)!(k +2)! 1 1 1!+2 2!+...+k k!+(k+1) (k+1)! (k+1)! 1+(k+1) (k+1)! (k +1)!+(k +1) (k +1)! 1[1+(k +1)](k +1)! 1 (k +2)(k +1)! 1(k +2!) 1. i) y ii) os dice que A es iductivo. Teiedo e cueta que A N, el Pricipio de Iducció garatiza que A N, esdecir,que la propiedad es cierta para todos los aturales, como queríamos demostrar.

7 1 (f) ( +1) +1 Sea P ( +1) la propiedad +1 que queremos demostrar para todos los aturales. Defiimos el cojuto A { N : P es cierta}, queclarameteverifica que A N. Teemos que demostrar que A N. Para ello, comprobaremos que A es iductivo. E efecto: 1 i) Para 1, el primer miembro de la propiedad es y, el 2 1 segudo miembro es 1. Por tato, 1 verifica la propiedad, es decir, 1 A. ii) Supogamos que para u atural arbitrario k mayor que 1, se tiee que k A, es decir, k (k +1) k k +1 Teemos que demostrar que k +1 A, esdecir,que k (k +1) + 1 (k +1)(k +2) k +1 k k (k +1) + 1 (k +1)(k +2) k k k(k +2)+1 (k +1)(k +2) (k +1)(k +2) k2 +2k +1 (k +1)(k +2) (k +1) 2 (k +1)(k +2) k +1 k +2. i) y ii) os dice que A es iductivo. Teiedo e cueta que A N, el Pricipio de Iducció garatiza que A N, esdecir,que la propiedad es cierta para todos los aturales, como queríamos demostrar. (g) 3 > 2 +3, >1 La forma de trabajar e este ejercicio es parecida a los ateriores. E este caso tedremos que demostrar la propiedad para 2y

8 8 supuesto que se verifica para u atural arbitrario k mayor que 2, etoces debe verificarse para k +1: i) Para 2, 2 3 8> Por tato, 2 verifica la propiedad. ii) Supogamos que para u atural arbitrario k mayor que 2 se verifica la propiedad, es decir, k 3 >k 2 +3 Teemos que demostrar que k +1tambié verifica la propiedad, es decir, (k +1) 3 > (k +1) 2 +3k 2 +2k +4 (k +1) 3 k 3 +3k 2 +3k +1k 2 +2k +(k 3 + k 2 + k 2 + k +1)> (k 3 +k 2 +k 2 +k+1>4) > k 2 +2k +4 Por tato, k +1cumple la propiedad. Esto os permite afirmar que la propiedad es cierta para todos los aturales a partir del 2, como queríamos demostrar. (h) (múltiplo de 11) Sea P (múltiplo de 11) lapropiedadque queremos demostrar para todos los aturales. Hay que recordar que los múltiplos de 11 so de la forma 11 k, paraalgúk Z. Defiimos el cojuto A { N : P es cierta}, que claramete verifica que A N. Teemos que demostrar que A N. Para ello, comprobaremos que A es iductivo. E efecto: i) Para 1, (múltiplo de 11). Por tato, 1 verifica la propiedad, es decir, 1 A. ii) Supogamos que para u atural arbitrario k mayor que 1, se tiee que k A, es decir, que existe u m Z, talque 3 2k+2 +2 k+1 11 m Teemos que demostrar que k +1 A, es decir, que existe u k 0 Z, talque 3 2(k+1)+2 +2 (k+1)+1 11 m 0

9 3 2(k+1)+2 +2 (k+1)+1 3 2k+4 +2 k+7 3 2k k+7 (11m 2 k+1 ) k m 9 2 k+1 +2 k m 9 2 k+1 +2 k m +(2 9) 2 k m k m k+1 11(9m +5 2 k+1 )11 m 0 (m 0 9m +5 2 k+1 ). Hemos demostrado que el cojuto A es iductivo. Teiedo e cueta que A N, el Pricipio de Iducció garatiza que A N, es decir, que la propiedad es cierta para todos los aturales, como queríamos demostrar. (i) (múltiplo de 9) Sea P (múltiplo de 9) lapropiedadquequeremos demostrar para todos los aturales. Defiimos el cojuto A { N : P es cierta}, queclarameteverifica que A N. Teemos que demostrar que A N. Para ello, comprobaremos que A es iductivo. E efecto: i) Para 1, (múltiplo de 9). Por tato, 1 verifica la propiedad, es decir, 1 A. ii) Supogamos que para u atural arbitrario k mayor que 1, se tiee que k A, esdecir,queexisteum Z, talque 2 2k +15k 19 m( 2 2k 9 m 15k +1) Teemos que demostrar que k +1 A, es decir, que existe u m 0 Z, talque 2 2k+2 +15k +149 m 0 2 2k+2 +15k k k+14 (9 m 15k+1) k m 0k +4+15k m 45k m 9 5k (4m 5k +2) 9 m 0 (m 0 4m 5k +2) Hemos demostrado que el cojuto A es iductivo. Teiedo e cueta que A N, el Pricipio de Iducció garatiza que A N, es decir, que la propiedad es cierta para todos los aturales, como queríamos demostrar. 9

10 10 (j)! > 2, 4 Demostraremos la propiedad para 4ysupuestoqueseverifica para u atural arbitrario mayor que 4, etoces debe verificarse para +1: i) Para 4, 4! 24 > Por tato, 4 verifica la propiedad. ii) Supogamos que para u atural arbitrario k mayor que 4 se verifica la propiedad, es decir, k! > 2 k Teemos que demostrar que k +1tambié verifica la propiedad, es decir, (k +1)!> 2 k+1 (k +1)!(k +1)k! > (k +1)2 k > 2 2 k 2 k+1 Por tato, k +1cumple la propiedad. Esto os permite afirmar que la propiedad es cierta para todos los aturales a partir del 4, como queríamos demostrar. (k) Dado x ] 1, [, (1 + x) 1+x (Desigualdad de Beroulli) Sea P (1 + x) 1+x la propiedad que queremos demostrar para todos los aturales. Defiimos el cojuto A { N : P es cierta}, que claramete verifica que A N. Teemos que demostrar que A N. Para ello, comprobaremos que A es iductivo. E efecto: i) Para 1, (1 + x) 1 1+x 1+1 x. Portato,1 verifica la propiedad, es decir, 1 A. ii) Supogamos cierta la desigualdad de Beroulli para u atural arbitrario k mayor que 1, esdecir, (1 + x) k 1+kx Teemos que demostrar que k +1 A, esdecir, (1 + x) k+1 1+(k +1)x E efecto, partiedo de la hipótesis de iducció (1+x) k 1+kx y multiplicado por (1 + x) que sabemos que es positivo ya que

11 11 x> 1, setieeque (1 + x) k (1 + x) (1 + kx)(1 + x) 1+x + kx + kx 2 1+(k +1)x + kx 2 (kx2 0) 1+(k +1)x Hemos demostrado que el cojuto A es iductivo. Teiedo e cueta que A N, el Pricipio de Iducció garatiza que A N, es decir, que la desigualdad de Beroulli es cierta para todos los aturales, como queríamos demostrar. 7. Dados z 1 3+4i, z 2 5 2i, z y z 4 7i. Calcula: (a) (z 1 z 2 )z i (b) z 1 + z i (c) z 1 + z i (d) i z 1 2z 2 z Expresa los úmeros complejos siguietes e forma biómica: (a) (1 + i) 2 0+2i 2i (b) 1 i i (c) (2 + 3i)(3 4i) 18+i (d) i 7 + i 1 1 i (e) 1+i + i 2 + i i 0 (f) 1(1 + i)(1 + 2 i 8 )1+i 9. Determia el módulo, argumeto, forma polar y trigoométrica de los siguietes úmeros complejos: Dado u úmero complejo z a + bi, z a 2 + b 2, (a) 1 2i. 1 2i 5. θ arctag( 2) 3.4 o. o 5(cos( 3.4 )+ise( 3.4 o )) o.

12 12 (b) 5i +4. 5i θ arctag( 5) o o 41(cos(51.34 )+ise(51.34 o )) (c) π. π π. θ 0. π 0. π(cos 0 + i se 0) (d) 3i. 3i 3. θ π. 3 π. 3(cos π + i se π) o. 10. Determia la forma biómica de los siguietes úmeros complejos: (a) 3(cos π + ise π) i 2 2 (b) 1 π i Calcula el módulo de los úmeros complejos siguietes, expresado e primer lugar tales úmeros e su forma biómica: (a) 1+i i i (b) 1+i i. i 1 1 i (c) i 7 + i 10 1 i. 1 i 2 1 (d) 1i. 1i 1 (1+i) Resuelve la ecuació: (a) ω 2 i. Las solucioes so ( ω 1 1 1/2 (cos π 4 + i se π 4 ) i ω 2 1 1/2 (cos 5π 4 + i se 5π 4 ) i (b) ω 3 1. Las solucioes so ω 1 1 1/3 (cos 0 + i se 0) 1 ω 2 1 1/3 (cos 2π + i se 2π) ω 3 1 1/3 (cos 4π + i se 4π) i 2 i 2 (c) ω 2 4π 3 Las solucioes so ½ ω1 4 1/2 (cos π + i se π ) 3+i ω 2 4 1/2 (cos 7π + i se 7π ) 3 i

13 13. E cada caso, determia todos los úmeros reales a y b que satisface la relació dada: (a) a + bi a bi. a R y b 0 (b) a + bi a + bi. a R + 0 y b 0 (c) (a + bi) 2 (a bi) 2.a0o b 0 (d) a + bi a bi. a, b R (e) P 100 k0 ik a + bi 1a + bi. a 1y b Costruye ua represetació del cojuto de los z a + bi del plao complejo que verifique cada ua de las codicioes siguietes: (a) z < 1. Círculo cetrado e el orige de radio 1, exceptuado la circuferecia. (b) z z i. Recta y 1 2 (c) z i z + i. Recta y Demuestra la desigualdad de Beroulli (último apartado del ejercicio de iducció) para x>0, haciedo uso del biomio de Newto. µ µ (1 + x) + x µ 1+x +[ x x µ µ x µ x x µ x ] E la última desigualdad hemos teido e cueta que µ µ µ [ x x 1 + x ] µ x