Algoritmos y Estructuras de Datos II, Segundo del Grado de Ingeniería Informática, Test de Análisis de Algoritmos, marzo Test jueves.

Transcripción

1 Algoritmos y Estructuras de Datos II, Segudo del Grado de Igeiería Iformática, Test de Aálisis de Algoritmos, marzo 017. Test jueves. Para cada problema habrá que justificar razoadamete la respuesta que se dé. No so respuestas razoadas alguas como: porque hay otro problema igual e los aputes, porque es evidete, porque lo he comprobado co varios valores... 1) (1 puto) Obteer las relacioes de iclusió etre los siguietes órdees: O ( + 3 ), O ( ), O ( log ), O ( ), O ( ). O ( ) es el meor pues es el que lleva la costate más pequeña ( ) elevada a. es mayor que log, por lo tato O ( log ) O ( ). El orde de p() está icluido e el de 3 para cualquier poliomio p(), por tato, O ( + 3 ) = O (3 ), y además O ( ) O ( + 3 ). Por último, (3/) tiede a 0 cuado, y O ( + 3 ) O ( ). ) (.5 putos) Resolver las ecuacioes de recurrecia siguietes e idicar su orde exacto: a) t() = 5 t( 1) 6 t( ) + 16 /4 + 1 b) t() = 6 t( ) + t( 1) + 1, y calcular los coeficietes c i cosiderado t(0) = 0, t(1) = 0. a) La parte de la ecuació característica de la parte homogéea es x 5 x + 6, que tiee solucioes 3 y. La parte o homogéea se poe como dos poliomios por ua costate elevada a. A le correspode (x ), y a 1 le correspode x 1. Teemos raíces 1 y 3 de multiplicidad 1, y de multiplicidad 3. El tiempo es t() = c 1 + c + c 3 + c 4 + c 5 3 Θ (3 ). b) La ecuació característica es ( x x 6 ) (x 1) = 0, y las solucioes so 1, - y 3, por lo que t() = c 1 + c ( ) + c 3 3, y t() Θ (3 ). Para calcular los coeficietes se ecesita tres casos. Nos da dos, auque o puede correspoder a tiempos de ejecució (tiempo cero), así que usado esos y otro más teemos el sistema: t(0) = 0 = c 1 + c + c 3 t(1) = 0 = c 1 c + 3 c 3 t() = 1 = c c + 9 c 3 y se resolvería el sistema, co c 1 = 1 6, c = 1 15, c 3 = ) (3 putos) Supoemos a u array de eteros [1.. ]. Dado el código: j = 0 for i = 1 to j = j + i k = 1 while (k j) if (a[j] > 0) cot + + k + + cot k + + edwhile estudiar los órdees O, Ω, exacto y o-pequeño de su tiempo de ejecució e el caso más favorable, más desfavorable y promedio. Idetificar cuáles so los casos más favorable y más desfavorable. Todos los casos so iguales ya que tato si a[j] es positiva como si o se ejecuta el mismo úmero de istruccioes. Cotamos istruccioes. Se ejecuta 3 (las dos iiciales y la última pasada por el for para o etrar). Por cada pasada del for 4 (cotado la pasada última del while para o etrar), lo que da 4 istruccioes. Pero

2 lo que va a determiar los órdees es el úmero de veces que se pasa por el bucle while. Cada vez que se pasa se ejecuta 4 istruccioes, así que os cetramos e cotar el úmero de veces que se pasa: Para i = 1, j = 1, y se hace ua pasada, para i =, j = 3, y e geeral para u cierto i, j = i k=1 1. Así, el úmero de pasadas es j=1 i j i 0 x dx = i 0 x dx = 3 6 Todos los órdees que os pide so cúbicos y co o ( 3 3). 4) (1 puto) Decir si so verdades o falsas las siguietes afirmacioes, razoado las respuestas: a) Siempre que podemos calcular t() de forma exacta se cumple que t p () O(t()). b) Siempre se cumple que t p () Θ (t M ()). c) Si t p () Θ (t M ()) etoces t m () Θ (t M ()). d) Si t p () Θ (t m ()) etoces t M () Θ (t m ()). a) Verdadero. Si podemos calcular t() de forma exacta si depeder de la forma de la etrada sabemos todos sus órdees, y por tato el tiempo promedio coicidirá co el t() y por lo tato perteece a su orde. b) Falso. El tiempo promedio está acotado superiormete por el tiempo e el caso más desfavorable, pero lo ormal es que o tega su mismo orde. Por ejemplo, supogamos u algoritmo que recibe u vector v de tamaño y ua matriz A de tamaño. Si los datos del vector está ordeados de meor a mayor se multiplica la matriz por el vector (coste ), y e otro caso se suma los datos del vector (coste ). t M () =, pero se da solo e uo de las! posibles ordeacioes de los datos del vector, co lo que será t p () = / Θ (t M ()). c) Falso. Cosideramos el mismo caso aterior pero ahora se hace la suma de los datos e el vector si los datos está ordeados, y la multiplicació matriz-vector e otro caso. t p () = t M () =, y t m () = / Θ (t M ()). d) Falso. Volvemos a cosiderar el ejemplo del apartado b). t p () = t m () =, pero t M () = / Θ (t m ()). 5) (.5 putos) Estudiar el orde del tiempo de ejecució del siguiete código para potecia de 4. it fucio(it ): if( < 4) retur 1 resul = 0 x =fucio(/4) for i = 1 to x resul = resul+fucio(/4) retur resul El caso base de la recursió es t() = si < 4 (comprobació del if y retur). Cuado 4 teemos t() = 5 + x + (1 + x) t(/4). El 5 correspode a la comprobació del if, la asigació a resul, la llamada a la fució y asigació a x, la última pasada por el bucle for, y el retur. x correspode a las x pasadas por el for, que cosideramos ua istrucció por la pasada por el bucle y otra por la istrucció e su iterior. Se hace u total de 1+x llamadas a la misma fució pero co tamaño u cuarto del origial. Podemos comprobar que x toma siempre el valor 1. Co f(1) devuelve 1. Para f(4), x = f(1) = 1, co lo que se pasa ua úica vez por el bucle y e resul queda f(1) = 1. E geeral, si hasta 4 k devuelve 1, para f ( 4 k+1), x = f ( 4 k) = 1, co lo que se pasa ua vez por el bucle y resul = f ( 4 k) = 1. La recurrecia queda t() = 7 + t(/4). Haciedo el cambio = 4 k, t k t k 1 = 7, y las solucioes de la ecuació característica so 1 y, co lo que t() = c 1 + c k, y, como k = log 4 = log4 =, t() Θ ( = 4 k).

3 Algoritmos y Estructuras de Datos II, Segudo del Grado de Igeiería Iformática, Test de Aálisis de Algoritmos, marzo 017. Test miércoles. Para cada problema habrá que justificar razoadamete la respuesta que se dé. No so respuestas razoadas alguas como: porque hay otro problema igual e los aputes, porque es evidete, porque lo he comprobado co varios valores... 1) (1 puto) Obteer las relacioes de iclusió etre los siguietes órdees: O ((log ) ), O ((l ) ), O ((log + l ) ), O ( ). log, l y log +l se diferecia e costates: log = log e l y log +l = log e l +l = (log e+ 1) l. Cuado se compara las potecias de dos fucioes que se diferecia e ua costate multiplicativa mayor que uo, la que tiee mayor orde es la que va multiplicada por la costate: (k f()) /(f()) = k, y su límite cuado es ifiito. Por tato, si cosideramos log el logaritmo e base dos, O ((l ) ) O ((log ) ) O ((log + l ) ). Por otro lado, lim k l es ifiito, y elevado a tambié, co lo que O ((log + l ) ) O ( ). ) a) (1 puto) Resolver las ecuacioes de recurrecia siguietes idicado los órdees exactos a los que da lugar: t() = 3t( 1) + t( ) + 1; t() = 3t( 1) + t( ) + ; t() = 3t( 1) + t( ) + 3 b) (0.5 putos) y resolver e geeral la ecuació t() = 3t( 1) + t( ) + b para valores de b reales positivos, y dar el orde exacto correspodiete. c) (1 puto) Resolver las ecuacioes de recurrecia siguietes idicado los órdees exactos a los que da lugar: t() = t ( ) ( + ; t() = t ) ( + ; y e geeral t() = t ) + b, para valores de b reales positivos. a) Las tres ecuacioes tiee la misma parte homogéea, a la que correspode e la ecuació característica x 3 x. E los tres casos tambié, la parte o homogéea es ua costate, por lo que e la forma p() b, p() es u poliomio de grado 0 (las costates (( 1, o 3) y b = 1. Las tres raíces de la ecuació característica so 3+ 17, y 1, co lo que t() Θ ) ) 17. b) La ecuació característica es la misma del apartado aterior, pues p() (( = b es u ) poliomio de grado 0, y la ) costate elevada a sigue siedo 1. Por tato, ahora tambié t() Θ c) Haciedo el cambio = k, queda t k t k 1 = a k e los tres casos (a = 1,, b), y la ecuació característica es (x ) = 0 (x aparece ua vez por la parte homogéea y otra por el térmio k multiplicado por ua costate). Por tato, t k = c 1 k + c k k, y t() = c 1 + c log Θ( log ). 3) (3.5 putos) Supoemos a u array de eteros [1..]. Dado el código: for i = 1 to if(a[i] > 0) for j = i + 1 to if(a[j] > a[i]) cot + + for j = 1 to i 1 if(a[j] < a[i]) cot estudiar los órdees O, Ω, exacto y o-pequeño de su tiempo de ejecució e el caso más favorable, más desfavorable y promedio. Empezamos umerado el código para poder referiros a los úmeros de líea: 1: : for i = 1 to

4 3: if(a[i] > 0) 4: for j = i + 1 to 5: if(a[j] > a[i]) 6: cot + + 7: 8: for j = 1 to i 1 9: if(a[j] < a[i]) 10: cot La istrucció 1 y la última comprobació del bucle se ejecuta siempre y se pasa veces por el bucle, co dos itruccioes cada vez (istruccioes y 3). Por tato, para 1, y 3 teemos + istruccioes. Como detro del bucle hay otros bucles que depede de, el tiempo será cuadrático, y para los órdees o ecesitamos cosiderar las istruccioes 1, y 3, sio las que se ejecuta e los bucles 4-6 y Empezamos aalizado t m. Hasta la mitad del array (i = 1,..., /) el bucle co meos pasadas es el 8-10, y a partir de la mitad del array (i = / +1,..., ) es el 4-6. Por tato, para el caso más favorable a[i] < 0 para i = 1,..., / y a[i] 0 para i = / + 1,...,. Además, para o ejecutar las istruccioes 6 y 10, es ecesario que e la primera mitad del array los valores ateriores al ídice i sea mayores o iguales que los de i, por lo que e la primera mitad del array tedremos valores egativos ordeados de forma decreciete, o puede ser todos iguales. De forma similar, e la seguda mitad del array, para o ejecutar 6, tedremos valores positivos ordeados de forma decreciete o iguales. El úmero de pasadas por 4-5 y 8-9 (si icluir la última pasada por los for ya que o ifluye e el orde) es: / i j=1 i=/+1 j=i+1 / 1 = (i 1) + i=/+1 ( 0 + ( i) = + 1 ) y t m () Ω ( ), t m () O ( ), t m () Θ ( ), t m () o ( 1 ). Para t M. Hasta la mitad del array (i = 1,..., /) el bucle co más pasadas es el 4-6, y a partir de la mitad del array (i = / + 1,..., ) es el Por tato, podemos pesar que para el caso más desfavorable a[i] > 0 para i = 1,..., / y a[i] 0 para i = / + 1,...,. Si cada vez que se pasa se ejecuta la istrucció 6 o 10: / i 1 / = 3 ( i) + (i 1) 9 4 j=i+1 i=/+1 j=1 i=/+1 y t M () Ω ( ), t M () O ( ), t M () Θ ( ). Pero o sabemos todavía la o-pequeña, pues lo que hemos obteido es ua cota superior, ya que si a[i] es positiva e la primera mitad y egativa o cero e la seguda, o es posible que a[j] > a[i] (istrucció 5) para los valores de j de la mitad fial, i que a[j] < a[i] (istrucció 9) para los valores de j de la primera mitad. Así, hay que quitar de los / primeros valores / veces la istrucció 6 cada vez que se pasa, y lo mismo para los / últimos valores la istrucció 10. Por tato, se quita u total de / istruccioes, y t M () o ( 7 4 ). Ya que t m y t M so cuadráticos, t p tambié lo es, y t p () Ω ( ), t p () O ( ), t p () Θ ( ). Para la o-pequeña, como los datos del array o cambia durate la ejecució, podríamos pesar que todas las probabilidades so 1/, pero la probabilidad e la comprobació de la istrucció 3 es 1/, y e los otros casos la probabilidad cambia, por ejemplo, e la istrucció 5, a[j] es meor de 0 co probabilidad 1/, y sólo e el caso de ser 0 puede ser mayor que a[i], y por tato la probabilidad es 1/4. Así, el úmero promedio de las operacioes iteras es: y t p () o ( 9 8 ). 1 j=i+1 ( + 1 ) i 1 j=1 ( + 1 ) ) (3 putos) Dado a u array de [1.., 1..] de úmeros eteros, estudiar el orde exacto del tiempo de ejecució de la siguiete fució. Hay que idicar tambié cómo ifluye el caso base e los resultados obteidos. it fucio(it a[],it ): if( > 10) if(par(a[1, 1]))

5 retur (fucio(&a[/, 1],/)+fucio(&a[/, /],/)) retur (fucio(&a[1, /],/)+fucio(&a[/, /],/)) for i = 1 to if(a[i, i] > 0) cot + + retur cot Numeramos las istruccioes: 1: if( > 10) : if(par(a[1, 1])) 3: retur (fucio(&a[/, 1],/)+fucio(&a[/, /],/)) 4: 5: retur (fucio(&a[1, /],/)+fucio(&a[/, /],/)) 6: 7: 8: for i = 1 to 9: if(a[i, i] > 0) 10: cot : retur cot E el caso base ( 10) se ejecuta 1, 7, 11 y la última pasada por 8 para o etrar, y e cada ua de las pasadas por el bucle 8-10 se ejecuta etre y 3 istruccioes, pero como os pide el orde exacto esa costate o ifluirá, y le llamamos b. E el caso base teemos t() = 4 + b si 10. Cuado o estamos e el caso base se ejecuta 1, y 3 o 5, y se hace dos llamadas a problemas de tamaño la mitad: t() = 3 + t(/). Co el cambio = k, teemos t k t k 1 = 3, y la ecuació característica es (x ) (x 1) = 0, y t() = c 1 + c Θ(). Tato la costate b como los casos base solo ifluye e las costates, pero o e el orde. Para obteer los valores de las costates, se hace co u caso base y otro desde el que se llega a él: t(10) = 4 + b 10 = c 1 + c 10 t(0) = 11 + b 0 = c 1 + c 0 restado queda b = c 10, y c = b, co lo que o (( b) ).