2x 8 x 2 1 = 4. = 2x 8 + 4x 2 4 x 2 1. Estamos calculando un límite cuando x está cerca de 3. Esto quiere decir que. x

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1 ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES.. problemas de ites y series. Pruebe, usado la defiició, que: x 3/ x 8 x = 4. Solució. Dado ɛ > 0 queremos que x 8 ( 4 x, sea meor que ɛ cuado x esté suficietemete cerca de 3. Simplifiquemos u poco esta expresió. x 8 x ( 4 = x 8 x + 4 = x 8 + 4x 4 x. Estamos calculado u ite cuado x está cerca de 3. Esto quiere decir que debemos itetar sacar factor comú (x 3. Si observamos que 4x + x se aula para x = 3 llegamos a la coclusió de que 4x + x admite (x 3 como factor. Usado el método de Rufii o bie dividiedo poliomios teemos que y por tato 4x + x = 4(x 3 (x + x 8 + 4x 4 x = 4(x 3 (x + x = 4 x 3 x + x. Por el carácter local de ite podemos supoer que x 3 < 4 o lo que es lo mismo 3 4 < x < Usado esa suposició teemos que acotar x + x = x + x. De 3 < x < 3 + obteemos 3 + < x + < Como < 3 + < x + < teemos que x + = x + < + 7 = 5. E cuáto al térmio lo estimamos del siguiete modo: de 3 < x < 3 + x 4 4 se sigue que ( 5 4 < x < ( 7 4 y por último ( 5 4 < x < ( 7 4.

2 ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES. Como 0 < ( 5 4 teemos que y por tato Teemos etoces, x > 9 6 > 0 x = x < 6 9. x 8 x ( 4 < x = x Esta última desigualdad es válida siempre que x 3 <. Si ahora tomamos 4 δ = mí(, 3ɛ etoces si x 3 x 8 < δ se tiee ( 4 < ɛ. 4 0 x. Calcule si es que existe el ite de la sucesió Solució Tal como está euciado el problema es casi ua subsucesió de la sucesió dada por P ( dode P ( es u poliomio e pero para ello deberíamos teer φ( P (φ( podemos itetar escribir el poliomio e esta forma o bie usar el teorema del sadwich y domiar P ( por arriba por el poliomio 5( ( mietras que por debajo lo podemos domiar por el poliomio (3 + y a cotiuació usar los resultados sobre sub sucesioes, el teorema del sadwich y el hecho de que raíz eésima de cualquier poliomio tiee ite igual a uo. 3. Calcule el ite de las siguietes sucesioes: a =!! + +!! + + +!! +. b = ( Solució.Para la primera sucesió observamos que si todas las fraccioes tuviera el mismo deomiador bastaría sumar los umeradores para teer ua úica fracció. E este caso todo los deomiadores so distitos pero observamos que para valores grades de so del mismo calibre pues el térmio! domia al otro sumado. Por tato itetamos usar el teorema del sadwich. Observamos que los umeradores so positivos y cada uo

3 ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES. 3 de los deomiadores es meor que! + y mayor que! + por tato teemos que! +! + +!! +! + +! < a! + <.! + Para calcular el ite de las sucesioes de los dos extremos usamos el criterio de Stoltz. Por u lado teemos que! + es creciete y tiee ite más ifiito. Lo mismo ocurre co! +. Teemos que calcular el ite de ( +! ( +! + ( +! = ( +! ( + =!( ! Dividiedo por umerador y deomiador obteemos que tiee ite. De modo aálogo se calcula ite de!+!+ +!!+. Usado de uevo el criterio de Stoltz obteemos que hay que calcular el ite de ( + que es igual a. El teorema del sadwich os dice que el ite pedido es igual a. Para la sucesió cuyo térmio geeral es ( + b = tambié parece razoable usar el teorema de Stoltz, pero o es obvio que sea estrictamete creciete y tega ite más ifiito. Además la expresió ( 6 ( + 7 es difícil de evaluar. Pero si os pregutamos cómo se comporta el deomiador para valores grades de la respuesta es que se comporta como 3 6 =. Si multiplicamos y dividimos por teemos que calcular el ite de ( E ite de la primera fracció se calcula fácilmete por el criterio de Stoltz. El ite de la seguda se calcula sacado 6 factor comú detro de la raíz y es fácil ver que vale uo.

4 4 ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES. 4. Sea {x } ua sucesió de úmeros reales tal que {x } = π y para todo, x π. Calcule { si(cos } (x. cos (x Solució. Si llamamos y a cos (x etoces la sucesió {y } tiee ite 0 ya que x coverge a π y por la cotiuidad de la fució coseo teemos que y coverge a cos( π = 0. Pero como si(x sabemos que x 0 x =, usado la caracterizació del ite por sucesioes teemos que si(y y = y recordado quié era y obteemos que x π ( si(cos (x = cos (x 5. Pruebe, usado la defiició, que: se x + x x 0 x + =. Solució Sea ɛ > 0. Teemos que probar que existe u δ > 0 tal que si 0 < x 0 < δ etoces f(x ( < ɛ. Por tato teemos que estudiar se x + x x + ( y ver que se puede hacer pequeño cuado x esté cerca de cero. Sabemos que se x pero esto es perder iformació pues o usa que x está cerca de cero. Más preciso es el hecho de que se x x. Usado esto teemos que: se x+ x x + ( x + x x + + = x + x + x x + x (+ x + x +.

5 ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES. 5 Estamos calculado el ite cuado x 0 si queremos que x ( + x + x + sea pequeño por el carácter local del ite podemos supoer que < x < y etoces + < x + < +, que es lo mismo que < x + < 3 y + < x + < + de dode x + = x + por tato x+ < y x + < 3 Poiedo esas estimacioes jutas teemos que si < x < etoces se x + x x + ( < x ( + 3. Si tomamos x tal que x < y x < ɛ 4 teemos se x + x x + ( < x ( + 3. (por ser < x < y además x ( + 3 < 4 ɛ 4. Por tato si tomamos δ = mí(, ɛ 4 teemos que 6. Calcule x < δ se x + x x + ( < ɛ. x π ( si(cos (x si(x Solució. Siempre que si(x podemos multiplicar y dividir por si(x +. Supogamos que 0 < x π < etoces si(x y podemos escribir ( si(cos (x = si(x ( si(cos (x( + si(x = ( si(x( + si(x ( si(cos (x( + si(x. cos x

6 6 ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES. Por el problema aterior y la caracterizació de ite por sucesioes sabemos que ( si(cos (x =. x π cos x Por otro lado x π ( + si(x = + si(π =. Luego x π ( si(cos (x si(x =. 7. Calcule los siguietes ites: { } 3 + Idicació use el teorema del sadwich para domiar la sucesió por arriba y por abajo por sucesioes apropiadas y úsese después el teorema de Stoltz. + a + a + 3a a a +, dode a > Idicació. Por ser a > teemos que el deomiador cumple las codicioes del criterio de stoltz. 8. Sabiedo que a = l calcule a + a + a a Idicació. Use de uevo el criterio de stoltz 9. Estudie el siguiete ite, segú los valores de a > 0 { }! a Idicació. Si os pregutamos que pasa cuado es grade os damos cueta de que todo depede de si a es mayor o meor que. Si a < etoces a tiee ite 0 y por tatola sucesió tiee ite +. Si a > etoces tato umerador como deomiador crece y lo razoable es usar el criterio del cociete.

7 ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES. 7. problemas de series Sea a 0. Estudie, segú los valores de a > 0, para qué x R coverge la serie + a x. = Estudiamos la covergecia absoluta de la serie, es decir cosideramos la serie + a x = + a x. = = Aplicado el criterio de la raíz para serie de térmios positivos estudiamos: + a x = + a x. Teemos pues que calcular + a Si 0 < a < etoces a coverge a 0 y por tato + a = y por tato + a =. + a x = x por el criterio de la raíz para series de térmios positivos la serie Σ + a x coverge si x <. Si x > etoces por el criterio de la raíz para sucesioes x o coverge a 0 y por tato la serie o coverge. +a Si x = la serie que teemos que estudiar es Σ. que o es covergete +a porque su térmio geeral o tiee ite 0. Por el mismo motivo tampoco coverge la serie para x =. Si a = la serie de potecias es Σ + x = Σ x que es la serie geométrica y sabemos que ésta coverge absolutamete si x < y o coverge para igú otro valor de x. Por último si a > etoces x +a = a ( a + x = a ( a + x = x ya que a = y por tato ( a + =. Por el criterio de la raíz para serie ( a + de térmios positivos teemos que uestra serie coverge absolutamete siempre que x < a. Si x > a etoces por el criterio de la raíz para sucesioes, la sucesió

8 8 ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES. a + x o coverge a 0 y por tato la serie o coverge. Si x = a teemos que estudiar la serie Σ a + a que o coverge porque se ve fácilmete sacado factor comú a que la sucesió a + a tiee ite uo y por tato la serie o coverge.si x = a. se puede ver fácilmete que la sucesió a + a o coverge a 0 y por tato la serie o coverge. Estudie el cojuto de putos x e que coverge la serie si( x. Solució. Estudiemos la covergecia de la serie si( x = si( x. Ya que 0 < < < π y por tato si( > 0. Aplicado el criterio de la raíz para series de térmios positivos teemos que calcular el ite de si( Si llamamos {y } a la sucesió { } teemos que {y } 0 y además y 0. Por tato de la caracterizació del ite por sucesioe si(x juto co el hecho de que x 0 = os da x es decir Por tato si escribimos si y y =. si( =. si( = si( se deduce que si( = ya que si ua sucesió de úmeros positivos tiee ite estrictamete positivo etoces la raíz eésima tiee ite uo y además tiee ite uo. Por tato si( x = x Co el criterio de la raíz a la serie de térmios positivos se tiee que si x < etoces la serie si( x. coverge y por tato la serie si( x coverge absolutamete. Si x > etoces por el criterio de la raíz para sucesioes teemos que o es cierto que el ite de si( x sea cero y por tato la serie o coverge. Si x = teemos que estudiar la serie si(. Escribiedo como ates si( = si(

9 ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES. 9 = si( = dode d = si(. observamos que d Por tato por el criterio de comparació por cociete, como la serie Σ o coverge tampoco lo hace si( Por último si x =, etoces teemos ua serie alterada de la forma Σd ( co d = si(, que tiee ite cero por ser el producto de ua sucesió co ite igual a 0 y otra acotada. Si probamos pues que la sucesió es decreciete tedremos que la serie coverge codicioalmete para x =. Sabemos que la fució si(x es creciete e el primer cuadrate es decir cuado 0 < x < π teemos ahora la siguiete cadea de desigualdades: < + que implica < + lo cual a su vez implica > + y por la mootoía de la fució seo etre 0 y π teemos si( > si( +. Multiplicado térmio térmio esta desigualdad co > + obteemos d > d +. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales. Pruebe que si la sucesió {a } tiee ite l 0, etoces la serie a o coverge. Pruebe que si l = 0 y la serie (a a + coverge, etoces a coverge. Solució: Si l 0 o bie es positivo o egativo. Si l > 0 por las propiedades de los lìmites a > 0 para todo > 0 y por tato a > 0 para todo > 0. Como la covergecia de ua serie o depede de los primeros 0 térmios, podemos cosiderar la seri que empieza e 0 + que es de térmios positivos. Si l < 0 cosidero la serie a teemos ua serie de térmios positivos a partir de u 0 cuya covergecia equivale a la del pricipio. La coclusió es que si l 0 podemos supoer que a 0 para todo y l > 0 Ahora de las propiedades de los ites se deduce que a > l/ para > y como > 0 se tiee que para > a > l y como la serie o coverge el criterio de comapració os dice que a o coverge. Para la seguda parte examiamos lass sumas parciales. Sea A = a j y sea S = j(a j a j+. Teemos: S = a a + a a 3 + 3a 3 3a a a + = a + a + a a a + = A a + y si a = 0 etoces a + = 0 y de la existecia de S se deduce la que A existe y vale lo mismo. Es decir la serie a coverge y su suma coicide co la de (a a + Estudie para qué valores de x coverge la serie! 3 ( +! + si x. = Idicació:Para grade el térmio que domia e el umerador es! y e el deomiador 3 ( +!. Debemos sacar estos térmios factor comú e umerador y deomiador respectivamete.

10 0 ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES. 3. pregutas tipo test Explique razoadamete si los siguietes euciados so verdaderos o falsos. Si {a } = 0 etoces = a coverge. (Falso, por ejemplo la serie Σ o coverge a pesar de que = 0. Si {a } es covergete etoces {E(a } es covergete (E(x deota la parte etera de x. Es falso. Por ejemplo a = ( coverge a 0 pero {E(a } o coverge porque E(a = 0 si es u úmero par mietras que E(a = si es u úmero impar. Si a > 0 para todo N y {a } = 0 etoces { a } existe. Es falso, por ejemplo {a } dode a = si es par y a = si es impar, la 3 sucesió tiee ite cero pero { a } = si es par mietras que { a } = 3 si es impar y obviamete o coverge. Sea = a ua serie de úmeros reales y {s } la sucesió de sus sumas parciales. Si {s } es acotada etoces la serie = a coverge. Falso. Sería cierto si a 0, N porque etoces la sucesió de sumas parciales sería creciete y al ser acotada sería covergete. Pero si o es así puede ocurrir que la sucesió de sumas parciales sea acotada pero o moótoa. Por ejemplo a = (. Las sumas parciales so iguales a 0 o a segú que el úmero de sus mados sea par o impar es decir si j es par y Σ j ( = 0 Σ j ( = si j es impar.por tato la serie o coverge. Sea A R, A, acotado superiormete. Si α = sup A y β < α etoces existe a A tal que a > β. Verdadero ya que si β < α, etoces por defiició de supremo se tiee que β o es cota superior de A. Luego existe a A tal que a > β. Sea f(x = 0 si x Q y f(x = si x R \ Q. Etoces x a f(x = 0 si a Q y x a f(x = si a R \ Q. Falso x a f(x o existe sea quie sea a. El motivo es que sea quie sea a existe dos sucesioes {d } y {g } co ite a pero ua de ellas por ejemplo {d } totalmete coteida e los racioales y la otra totalmete coteida e los irracioales y por tato {f(d } 0 mietras que {f(g } y por la caracterizació del ite por sucesioes o existe x a f(x. Si ua sucesió {a } tiee ite l > 0 podemos afirmar que existe u úmero atural 0 tal que > 0 se tiee a > l. > 0 e la defiició de ite teemos que existe E efecto si tomamos ɛ = l u 0 tal que para todo > 0 se tiee l l < a < l + l. Si Σa es ua serie covergete o podemos afirmar que a =. (Por ejemplo si a = la serie coverge pero a =. Si A es u cojuto o vacío y acotado etoces podemos afirmar que el cojuto de sus cotas superiores tiee ífimo. Sea B el cojuto de las cotas superiores de A. Por ser A acotado B. Por otro lado cualquier

11 ALGUNOS PROBLEMAS PROCEDENTES DE EXÁMENES PRECEDENTES. elemeto de A es cota iferior de B. Por tato B y acotado iferiormete. Luego tiee ífimo. Sea A B R dode A y B está acotado. Etoces podemos afirmar if A if B. Ya que if B es cota iferior de B y por tato es tambié cota iferior de A. Luego es meor o igual que la más grade de las cotas iferiores que es, por defiició, if A. Si {a } = + etoces podemos afirmar que M > 0 existe u úmero atural tal que a > M. E efecto si M > 0 existe u atural 0 tal que a > M para cualquier > 0. Basta tomar cualquier > 0 Si {a } es ua sucesió de úmeros reales positivos y creciete etoces podemos asegurar que Σa o coverge (El motivo es que e estas circustacias o es posible que a = 0 puesto que a a > 0 Sea A u cojuto o vacío y acotado superiormete. Si α es el supremo de A y r < α etoces o es cierto e geeral que r A (Por ejemplo A = (, el supremo es y si tomamos r = 0 etoces r / A Sea {a } ua sucesió de úmeros reales. Si la serie Σa o coverge tampoco lo hace la serie Σ a (Si esta última fuera covergete etoces tambié sería covergete la serie origial. La úica opció correcta es: Existe sucesioes acotadas que o so covergetes. (Por ejemplo {a } co a = (. Si x 3 f(x = 5 etoces podemos afirmar que existe ua sucesió a que tiee ite tres y f(a = 5. De echo cualquier sucesió a que tega ite tres y a 3 cumple f(a = 5. Alguas cuestioes teóricas utilizadas e las pregutas de arriba.. Toda serie absolutamete covergete es covergete. Si ua serie es covergete etoces el térmio geeral tiee ites cero pero el recíproco es falso. 3. La fució E(x o es cotiua e los eteros por tato o puede e geeral deducirse que E(x sea covergete cuado x coverja a u etero. 4. Si ua sucesió de úmeros positivos x tiee ite l > 0 etoces a = Pero esto e geeral o es cierto si a coverge a cero 5. Ua sucesió moótoa es acotada si sólo si es covergete pero existe sucesioes acotadas que o so covergetes. 6. Como cosecuecia de lo aterior ua serie de térmios positivos es covergete si y sólo si sus sumas parciales está acotadas. El motivo es que, por ser la serie de térmios positivos, las sumas parciales forma ua sucesió moótoa creciete. 7. Pruebe que si la serie = a es covergete etoces {a } = 0. Por defiició de covergecia de series existe el ite de s dode s = Σ a j. Sea l dicho ite. Como a = s s teemos que a = l l = 0.

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