R. Urbán Ruiz (notas de clase)

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1 R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fucioes E las ciecias Ecoómicas las fucioes so de mucho valor para resolver problemas dode haya que relacioar variables; como por ejemplo, la producció, la oferta, la demada, etc. So modelos matemáticos que explica relacioes etre variables. Por ejemplo la ley de oferta y demada so dos de las relacioes básicas de la formació de los precios de mercado. La ley de demada es ua relació, egativa, etre las variables; el precio y la magitud de la demada. Al moverse el precio hacia arriba dismiuye la catidad demadada. Por lo cotrario al bajar el precio dismiuye la demada. Por ejemplo ua relació de demada como la siguiete: Ua empresa fabrica zapatos tiee la siguiete fució de demada mesual: Q = 8.5p Las fucioes de demada so egativas, e el caso aterior si teemos la fució de demada de ua empresa de zapatos, se puede leer de la siguiete maera; si aumeta el precio p e ua uidad moetaria, la demada dismiuye e 8.5 uidades de pares de zapatos al mes. No se ecesita ua fórmula matemática para poer de relieve que ua variables es relació o fució de otra variable. Ua fució puede ser especificada por: i. Por medio de ua tabla. México, cosumo aparete de maíz (Milloes de toeladas) Periodo Cosumo Fuete: Las cifras se calcularo co base e los datos obteidos de: Para graos básicos y productos pecuarios: Presidecia de la República. Poder Ejecutivo Federal. Cuarto Iforme de Gobiero, Aexo Estadístico. de septiembre de 00. Para frutas y productos pecuarios: SAGARPA. SIAP. ii. iii. Por medio de ua fórmula matemática. Como la fució de demada aterior. Por ua gráfica. Esta curva de Laffer os dice que si aumeta la tasa de impuestos de u país, la recaudació fiscal dismiuye. Hay ua relació etre las variables impuesto y la recaudació.

2 R. Urbá Ruiz (otas de clase) Defiició. Ua fució de ua variable real x co domiio D es ua aplicació f: D R co D R, es decir, ua regla que asiga u úico úmero real a cada úmero e D. Normalmete, la otació que se usa para represetar ua fució es y = f (x), dode x es la variable idepediete, y la variable depediete y f la aplicació que idica cómo se obtiee el valor de y coocido el valor de x. Fucioes elemetales Ua fució y = f(x) = a 0 se llama fució costate. Cualquiera que sea el valor de x, el valor de la variable depediete y será siempre a 0. Se llama domiio de ua fució f al cojuto de úmeros reales x para los cuales existe f(x). Se deota D(f), o simplemete D. Es decir, D = {x R existe f(x)}. Si se defie ua fució por medio de ua fórmula algebraica, el domiio costa de todos los valores de la variable idepediete para los cuales la fució tiee setido (a meos que se mecioe explícitamete otro). Se llama rago de ua fució f co domiio D(f), al cojuto de todos los valores de la variable depediete f(x) que toma la fució. Se llama fució lieal a las fucioes de la forma y = f(x) = ax + b, este tipo de fucioes ya se viero ates, por ejemplo la fució de costo c(q) = 0.5q Las fucioes cuadráticas so de la forma y = f(x) = a x + a x + a 0, u ejemplo de estas podría ser la fució de demada q(p) = p 45p Ua fució poliómica de grado es de la forma p(x) = a m x + a m x + + a x + a 0, el domiio de estas fucioes es Ʀ. Las Fucioes racioales so de la forma f(x) = P(x) dode P(x) y Q(x) so poliomios y x ua Q(x) variable. El domiio de las fucioes racioales so todos los valores que o aule el deomiador Q(x). Fialmete las fucioes irracioales so aquellas cuya expresió matemática f(x) es u radical de la forma f(x) = g(x). Dode g(x) es ua fució poliómica o ua fució racioal. Alguos ejemplos de fucioes defiidas por ua regla o ua fórmula; f(x) = x + x el valor de la fució cuado x = 0,, t + es; f(0) = = f() = + = 9 f(t + ) = (t + ) + (t + ) = t + t + + t + = t + t

3 R. Urbá Ruiz (otas de clase) Cuidado u error muy comú es supoer que f(t + ) = (t + ) + (t + ), lo que es u error Ejemplos. Ecotrar el domiio y el rago de las siguietes fucioes. La fució q(p) = p 45p + 00 es poliómica de grado y su domiio es Ʀ La fució f(x) = x es ua fució racioal, co domiio todos los úmeros reales Ʀ, ya x + que para cualquier valor de x, x + 0 Si teemos la fució, f(x) = x es por su forma irracioal. Como el expoete de x es par, Su domiio estará dado por la ecuació x 0, si resolvemos esta ecuació x ± etoces su domiio es (, ]ᴜ[, + ). E alguos casos, el domiio de la fució o viee dado a priori sio que hay que calcularlo mediate la defiició de f. Además, e los modelos ecoómicos para determiar el domiio o sólo hay que cosiderar la existecia matemática de f(x), sio tambié que tega setido e el cotexto ecoómico cosiderado tato x como f(x). Para la fució de costos siguiete C(x) = 0.65x + 5, dode x es la variable idepediete que es el úmero de productos, por lo tato el domiio de C(x) es el cojuto de valores de x para los cuales C(x) tiee setido. Para este modelo ecoómico, o tedría setido cosiderar valores egativos de la variable, por tato o podría cosiderarse e el domiio. C(x) = 0.65x + 5 C(0) = 0.65x 5 = 5 C() = 6. x C(x) Para ecotrar el domiio y el rago se puede utilizar el tateo, si es posible la graficació de la fució y por medio de la fució iversa, como e los siguietes ejemplos: a) f (x) = 4x es ua fució real de variable real cuyo domiio es D = [, ]. b) f (x) = x es ua fució real de variable real. Su domiio x 0 x D f : [, ) Para ecotrar el rago buscamos la fució iversa, es decir despejamos x y = x y + = x Por lo tato el rago R f : [0, ), la gráfica de la ecuació que

4 R. Urbá Ruiz (otas de clase) os ayuda a ecotrar, o demostrar, el domiio y el rago es; x f(x) De la gráfica podemos comprobar el Domiio y el Rago D f = [, + ) y R f : [0, ) c) f(x) = x 4 es ua fució real de variable real cuyo domiio es D = [4, + ). Para ecotrar el rago buscamos la fució iversa, es decir despejamos x y = x 4 y + 4 = x Por lo tato el rago R f : [0, ), la gráfica de la ecuació que os ayuda a ecotrar, o demostrar, el domiio y el rago es; x f(x) Como podemos ver e la gráfica los valores que puede tomar la variable x, el domiio es; D = [4, + ), por otro lado la variable solo puede tomar valores positivos a partir de cero. d) La correspodecia dada por f(x) = x o es ua fució, ya que para cada valor de x, correspode dos valores de y. e) y = f(x) = es ua fució co D = R - {-}, el domiio so todos los úmeros reales x+4 distitos de, ya que para ese valor la divisió etre cero o está defiida. Como podemos apreciar e la gráfica la fució es discotiua e el valor de - Para ecotrar el rago buscamos la fució iversa, y = y(x + 4) = x+4 xy + 4y = xy = 4y Fialmete x = 4y y Por lo tato el rago R f : Ʀ {0}, cualquier valor real, excepto 0. 4

5 R. Urbá Ruiz (otas de clase) f) Hallar Domiio y Rago de: y = f(x) = x+ x Podemos observar que x o puede ser igual a, x, porque tedríamos divisió etre cero. El valor de uo es etoces u puto crítico. Por lo tato el domiio D x : Ʀ {}. Para ecotrar el rago buscamos la fució iversa, despejamos x, así y = x+ y(x ) = x + x yx y x = yx x = y + x(y ) = y + x = y+ y Por lo tato el rago es R f : Ʀ {}, para cualquier valor real excepto y = g) El costo diario de ua empresa es c(q) = 7q + 5, dode q es la producció diaria. Si la capacidad de producció es de 7500 uidades por día, el domiio de esta fució es D = { q 0 q 7500 }, el valor de q o podrá tomar valor egativos. E los problemas ecoómicos, dada la aturaleza de las variables de o egatividad, el rago toma valores mayores o iguales a cero pero ya que la capacidad productiva es de 7500 uidades por día etoces R f : [5, 785] c(0) = 7(0) + 5 = 5 c(7500) = 7(7500) + 5 = 785 Por lo tato el rago esta etre El costo de producció de x uidades, estará dado por la fució c(x) = 50 x a) Hallar el costo de producció de 5, 45 y 00 uidades. b) Supogamos que se produce q uidades, hallar el icremeto e el costo de producció de ua uidad adicioal. (costo margial) El costo de producció de 5, 45 y 00 es de; c(5) = = 50 c(45) = = 506. c(00) = = 4000 El costo de producir c(q) = 50 q + 500, fialmete el costo de ua uidad adicioal es c(q + ) c(q); c(q + ) c(q) = 50 q q 500 = 50( q + q) 5

6 R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fucioes cotiuas y fucioes discotiuas. El cocepto de cotiuidad lo usamos para idicar que algo o cambia, si hablamos de u modelo matemático asumimos que el modelo tiee variacioes graduales, o bruscas. Es decir, dada ua fució y = f(x) se dice que, a cambios pequeños de la variable idepediete ocurre cambios pequeños e la variable depediete. Si la fució o es cotiua es discotiua. Fució cotiua. Fució discotiua. E la gráfica de la izquierda la fució crece suavemete, si cambios bruscos. E la gráfica de la derecha se puede apreciar u cambio brusco, cuado x = que rompe co la cotiuidad. Ejemplo. Determiar para que valores de x las siguietes fucioes so cotiuas. a) f(x) = x (x+)(x ) Se trata de ua fució racioal que es cotiua para todo x excepto para los valores que aula el deomiador, cuado x =, ó x =. Etoces x es cotiua para todo x distito de - y. b) b) w(x) = (x + )+ x+ x+ Esta fució está defiida para toda x 0 y x + > 0. Es decir, para toda x 0 y x >. Así, la fució w(x) es cotiua e el domiio (,0) (0, ) Ua fució f(x) se dice; Fució estrictamete creciete para cualquier par de putos x, x I, tales que x < x verifica que f(x ) < f(x ) Fució creciete para cualquier par de putos x, x I, tales que x < x verifica que f(x ) f(x ) E el itervalo (x, x ) el valor de la fució es f(x ) = f(x ). 6

7 R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fució estrictamete decreciete para cualquier par de putos x, x I, tales que x < x verifica que f(x ) > f(x ) Fució estrictamete creciete para cualquier par de putos x, x I, tales que x < x verifica que f(x ) f(x ) Ua fució se dice que cocava (covexa), si dados dos putos cualesquiera x, x I el segmeto que ue los putos (x, f(x )) y (x, f(x )), uca se situa por ecima (debajo) de la gráfica. Fucioes expoeciales. Ya hemos presetado alguas fucioes algebraicas de la forma f(x) = x o bie f(x) = x. Estas fucioes se caracteriza por estar defiidas por ua variable elevada a ua potecia positiva o egativa, etera o fraccioaria. Dos ejemplos: f(x) = x ; g(x) = ( )x Si trazamos las gráficas de estas fucioes tedremos, f(x) = x X Y

8 R. Urbá Ruiz (otas de clase) f(x) = ( )x X Y E forma geeral la ecuació f(x) = b x, b > 0, b, se defie como ua fució expoecial de base b. Si x es ua variable real, x Ʀ, la fució f(x) = b x tiee tambié valores e los reales; es decir, o importa cuál sea el valor de x, b x es tambié u valor real. El domiio de la fució f(x) = b x es el cojuto de úmeros reales que está etre (, + ) y su rago es el cojuto de úmeros reales positivos o ulos que está etre [0, + ). Es ecesario difereciar etre la fució expoecial f(x) = b x, e la que la variable idepediete x aparece e el expoete, de la fució poliómica g(x) = x 8 e la que la variable idepediete está e la base. Las leyes de los expoetes so válidas para las fucioes expoeciales y las propiedades para las fucioes expoeciales so, para a > 0, b > 0, b, x, y so variables reales.. a x a y = a x+y (a x ) y = a xy (ab) x = a x b x a b x = ax b x ay = ax y. a x = a y si y solamete si x = y. a x = b y para toda x real si y solamete si a = b a x Las primeras propiedades sirve para simplificar las fucioes expoeciales mietras que las dos últimas sirve para resolver ecuacioes co expoeciales. Ua fució expoecial muy coocida es f(x) = e x dode e =.788 ua de las utilidades más importates de esta fució es que es la iversa de la fució logaritmo. Ejemplos: 9 a) x 5 = 9 x 9(x 5) (x ) = 9 (x+4) b) x 6 y 7w = 7xw 6 7yw 8

9 R. Urbá Ruiz (otas de clase) c) x y 7w = 7xw 7yw = 7w(x y) d) (4 x + 4 x )(4 x 4 x ) = (4 x 4 x 4 x 4 x + 4 x 4 x 4 x 4 x = 4 x 4 x = 4 x = 44x 4 x 4 x Fucioes logarítmicas. La fució logaritmo de base b, es de la forma f(x) = log b x co b > 0 y b. El domiio de esta fució es (o, ) y su rago so todos los reales Ʀ. Es la fució reciproca de la fució expoecial e base b; es decir, log b x b y = x De esta maera si teemos = 8, es equivalete a = log 8. E geeral, esta expresió se lee como, el expoete que teemos que elevar la base para obteer x. Ejemplos. Traducir las siguietes expresioes a su forma expoecial a) log 6 = 4 el expoete al que hay que elevar a para obteer 6 es 4, etoces 4 = 6 b) log 0 00 = el expoete al que hay que elevar a 0 para obteer 00 es, etoces 0 = 00 c) log 5 5 = el expoete al que hay que elevar a 5 para obteer 5 es, etoces 5 = 5 d) log = el expoete al que hay que elevar a 0 para obteer 0.0 es -, etoces 0 = 0.0 Ejemplos. Traducir las siguietes expresioes a su forma logarítmica. a) 5 = 5 podemos reescribir e forma logarítmica como log 5 5 = b) 5 = se reescribe e forma logarítmica como log 6 5 = 6 c) = 5 podemos reescribir e forma logarítmica como log 5 = Ejemplos. Ecotrar los valores de b, x o y segú el caso. a) log b 000 =, la icógita es ecotrar el valor de b, primero pasamos a la forma expoecial. b = 000 b = 000 b = 0 b) y = log 6, se trata de ecotrar el valor de la variable y, uevamete pasamos primero a forma expoecial. y = 6 y = 4 y = 4 c) log 5 x = para ecotrar el valor de x, reescribimos e forma expoecial. 9

10 R. Urbá Ruiz (otas de clase) 5 = x x = 5 La gráfica de la fució logaritmo; El domiio de la fució es (o, ), uca es egativo y rago va de (, ). Los logaritmos e base 0 so llamados logaritmos decimales, se escribe log x. Los logaritmos base e se llama logaritmos aturales, o eperiaos, se escribe l a y la base e =.788. Por sus aplicacioes trigoométricas estos so los más utilizados. E lo que sigue os ocuparemos solamete de los logaritmos aturales l auque las propiedades y métodos so válidos para cualquier base logarítmica. Propiedades de los logaritmos. Propiedad ) l = 0 Porque e 0 = ) l e = E otació expoecial e = e ) l e x = x La fució expoecial es reciproca de la fució logaritmo, 4) e l x = x Igual que lo aterior 5) l xy = l x + l y Si u = l x e u = x, igualmete v = l y e v = y, etoces l xy = l(e u e v ) = l e u+v = u + v = l x + l y 6) l x = l x l y y 7) l x p = p l x Ejemplos. Resolver utilizado las propiedades de los logaritmos. a) l 5 = l 5 = 5 l Regla 7 b) l = l l 6 = 0 l 6 4 = 4 l Regla 6 c) log 0 [(00)(000] = log log 0 00 = + = 5 Regla 5 d) l x + l x = 9 l x + l x = 9 l x = 9 l x = Regla e) l(x + ) l x = l x + x + x = e De tablas e = 7.89 x = e l x + x = e 0

11 R. Urbá Ruiz (otas de clase) f) l(a + b) 4 = 4 l(a + b) cuidado 4 l(a + b) 4 l a + 4 l b Ejercicios. Resolver las siguietes ecuacioes.. l x l x =. l(x + ) l x = 4. e x = e 5x = 5 5. e 0.5x = 0 SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació. E el campo de las matemáticas ua sucesió es defiida como ua fució cuyo domiio es el cojuto de eteros positivos. Auque esta sea ua fució, usualmete es represetada co ua otació de subídices e vez de ua otació fucioal. Para referiros a ua sucesió cualquiera escribimos a, a, a, a 4, a. El térmio a, que ocupa el lugar, se llama térmio geeral. Si el Térmio geeral viee expresado mediate ua fórmula, etoces se puede hallar tatos térmios de la sucesió como queramos. Cada ua de las siguietes sucesioes tiee su térmio geeral expresado por ua fórmula: a =- ; 5; 8;... a = ; /; /5; /7;... a = ; 4; 9; 6; 5; 6;... b = ; 8; 7; 64; 5; 6;... No todas las sucesioes tiee térmios geeral. Por ejemplo, e la sucesió de los úmeros primos ; ; 5; 7; ; ; 7; 9; ;... o hay igua fórmula que exprese el térmio geeral. Este térmio geeral, a, es coocido como Termio eésimo y es la ley mediate la cual se obtiee u térmio cualquiera de la sucesió, e fució de los ateriores. Otra maera de defiir ua sucesió es por medio de ua relació, por ejemplo la sucesió de Fiboacci se forma así: ; ; ; ; 5; 8; ;,. Dode u = u, u+ = u + u Alguos ejemplos so los siguietes: a) U = U = ; U = ; b) {(-) } = ; ; ; ; ;

12 R. Urbá Ruiz (otas de clase) c) { + ( ) } = 0 d) + { } = +.;.0;.00;.000;.0000;... ; 9 ; 8 ; 65 ; 6 ; Escribir los cuatro primeros térmios de las sucesioes: a) { } + b) - { } = ( + ) c) { } = + ; ; ; 4 ; 5 ; ; ; 5 ; 7 ; 9 ; ; ; 4 ; 8 ; 6 ; Hallar el térmio eésimo de las sucesioes siguietes: a) b) c) d) ; ; ; 4 ; 5 ; ; ; 5 ; 7 ; 9 ; ; 4 ; 8 ; 6 ; ; ; ; 8 ; 5 ; 4 ; { } + - { } { } + { } Ejercicios. Ecotrar el térmio eésimo de las siguietes sucesioes.. E la sucesió (s ) el primer térmio es y los demás térmios se obtiee sumado 5 al térmio aterior. Hallar los 5 primeros térmios de la sucesió.. (s ) =,5,7,9,,... (s ) = 6,, 4, 48, 4. (s ) = 4, 9, 4, 9, 4 5. (s ) = 0, 6, 6, 0, (s ) = 9, 6, 5, 6, SUCESIONES MONOTONAS Ua sucesió es acotada si existe u úmero positivo M idepediete de, tal que: u M para =,,,4,...

13 R. Urbá Ruiz (otas de clase) a) ; ; ; ; ;... es acotada o excede a a = { } 4 5 ( )(-) b) ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 + ;...es acotada o excede a a = { c) ; 4; 6; 8;0;... o acotada = {} Ua sucesió moótoa es creciete cuado la siguiete proposició es verdadera u u+ para toda =,,,4,... De forma aáloga ua sucesió es moótoa decreciete si se cumple lo siguiete u u + para toda =,,,4,... Ejemplo, coteste Si/No para los siguietes casos; Sucesió Acotada Moótoa creciete Moótoa decreciete ;.5; ;.5; 4; 4.5;.. NO SI NO ; -; ; -; ; -; ; SI NO NO ;.;.;.;.;.. SI SI NO /0; /; /; /; SI NO SI ; ¾; ; 4/5; ; 5/6; ;. SI NO NO Si los térmios de ua sucesió {S} se acerca a u úmero L, se dice que la sucesió es Covergete a L. O bie, que el límite de S tiede a L. Es decir: a + } Lim S E caso cotrario se dice divergete = L o S L cuado Para los ejemplos ateriores. - b) {(-) } = ; ; ; ; ;... coverge a c) { + ( ) } =.;.0;.00;.000;.0000;... Coverge a 0 + d) { } = ; 9 ; 8 ; 65 ; 6 ;... Divergete Ejercicios. Estudiar la covergecia de las sucesioes cuyos térmios geerales so los siguietes; a) S = 5 b) S = c) S = SUCESIONES ARITMÉTICAS Se llama sucesió aritmética al cojuto de elemetos e la cual cada térmio, después del primero, es igual al aterior más ua catidad costate, llamado razó o diferecia.

14 R. Urbá Ruiz (otas de clase) Esa catidad costate que diferecia a dos térmios cosecutivos. Se llama razó y se represeta por la letra d La sucesió: S = 5; 8; ; 4;... Tiee la razó o diferecia d = 8 5 = 8 = 4 = La sucesió: S = 8; ; 8; ; ; 7 es ua sucesió aritmética de seis térmios e la cual cada térmio, a partir del segudo, se obtiee añadiedo al aterior ua catidad costate igual a -5 d = 8 = 8 = 8 = - = -5 Ua sucesió aritmética es creciete si su razó es positiva. = 5 ; 0; 5; 0; 5;... d = 5 S Por lo cotrario, ua sucesió aritmética es decreciete si su razó es egativa. = ; 7; ; ; 5;... d = 4 S Para ecotrar el térmio eésimo de ua sucesió aritmética a = a, a, a, a 4, a 5,..., a, procedemos como sigue: a = a a = a + d = a + d a = a + d = (a +d)+d = a +d a 4 = a + d = (a + d)+d = a +d a 5 = a 4 + d = (a + d) + d = a +4d a = a + ( ) d Esta fórmula os permite determiar el térmio eésimo e ua sucesió aritmética, y los compoetes a, y d, como e el siguiete ejemplo: Hallar el vigésimo térmio de la sucesió aritmética: -5, -, -9, -6,... Ejemplos: Para este caso los parámetros so: a = -5 ; d = - (-5) = = = 0 a =? a = a + ( ) d= -5 + (-) = Fialmete el térmio eésimo a = -8 Para = 0, por ejemplo; tedremos a 0 = (0)-8=60-8=4. El primer térmio de ua sucesió aritmética es 5 su diferecia escribir los cuatro primeros térmios. Datos: a = 5 d = Icógitas: a, a, a, a 4, 4

15 R. Urbá Ruiz (otas de clase) Como cada térmio es igual al aterior más la diferecia será: a = 5; a = 5 + = 7; a = 7 + = 9; a 4 = 9 + = Los cuatro térmios de la sucesió será: 5, 7, 9,. Se trata de ua sucesió aritmética creciete.. El séptimo térmio de ua sucesió aritmética es su diferecia es - Determiar el primer térmio. Datos: a 7 = d = - = 7 Icógita: a Se trata de ua sucesió aritmética decreciete al ser egativa la diferecia. A partir de la fórmula del térmio eésimo a = a + ( - )d, sustituimos los datos; = a + (7 - ) (-) = a - 8 de dode + 8 = a por lo tato a =. Los térmios tercero y séptimo so, respectivamete, 0 y 4. Determiar el primer térmio y escribir los tres térmios siguietes. Datos: a = 0; a 7 = 4 Icógitas= a y a,a, a 4 Sustituimos e a = a + ( - )d, los datos para el º y séptimo térmio. Es decir teemos ecuacioes que al sustituir para el tercer y séptimo térmio os queda lo siguiete: a = a + ( - )d para el tercer térmio 0 = a + d a 7 = a + (7 - )d para el sétimo 4 = a + 6d Que costituye u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas que resolvemos restado a la seguda ecuació, la primera (método de reducció) Resultado 4 = 4d de dode d = 4/4 = 6; luego d = 6 Sustituyedo este valor e la primera ecuació resultará: 0 = a + x 6 de dode a = 0 - = - Luego a = - y d = 6 Co estos valores podemos escribir los tres térmios siguietes: a = a + d = = 4 a = a + d = = 0 a 4 = a + d = = 6 Problemas. ) Hallar el térmio eésimo a., 7,, 5 b., 6, 4,48 c.,,, d.,, 5, 7,

16 R. Urbá Ruiz (otas de clase) ) Si e ua sucesió aritmética el décimo séptimo es y el primero es, hallar la razó. ) Cuátos térmios tiee ua sucesió aritmética fiita, cuyo eésimo térmio es, la razó es y su primer térmio es? 4) Si el séptimo térmio de ua sucesió aritmética es 6 y el décimo quito térmio es, escribir los cico primeros térmios de esta sucesió. 5) Cuál es el décimo térmio de la sucesió aritmética 5,, 9,...? 6) El primer térmio de ua sucesió aritmética es y su duodécimo térmio es 44. Hallar la diferecia Comú. Sucesioes geométricas: Dada ua sucesió, a = a ; a ; a ; a 4; a 5; a 6; tal que térmio cualquiera puede obteerse multiplicado el aterior por la razó costate r. Por ejemplo dada la secesió geométrica creciete a = 5, 0, 0, 40. E dode la razó o multiplicador de cada térmio es. Se puede observar que cada térmio se obtiee por la multiplicació del térmio aterior por. Es decir, a = 5 a = a x= 5x= 0 a = a x= 0x= 0.. Etc. E forma geeral teemos; a = ra a = ra = rra =a r a 4 = ra = ra r =a r Y así sucesivamete. Etoces el térmio eésimo a se formará de acuerdo a la siguiete regla: a = a r - Dode a = al térmio eésimo = úmero atural que expresa el úmero de térmios r = la razó o cociete de dos térmios cosecutivos. Se observa que u térmio cualquiera puede obteerse multiplicado el aterior por la razó costate r, así: a = r a - 6

17 R. Urbá Ruiz (otas de clase) Tambié puede obteerse observado la ley de formació. Cada térmio es igual al primero multiplicado por la potecia de r cuyo expoete es igual a los térmios que le precede así: a = a r - Ejemplos y ejercicios de Sucesioes geométricas:. El primer térmio de ua sucesió geométrica es 5; su razó ; escribir los cuatro primeros térmios. Datos: a = 5 r = Icógitas: a, a, a, a 4, Como cada térmio es igual al aterior multiplicado por la razó, será: a = 5; a = 5 x = 0; a = 0 x = 0; a 4 = 0 x = 40 Los cuatro térmios de la sucesió será: 5, 0, 0, 40. Se trata de ua sucesió geométrica creciete. El quito térmio de ua sucesió geométrica es 486 su razó es. Determiar el primer térmio. Datos: a 5 = 486 r = = 5 Icógita: a Se trata de ua sucesió geométrica creciete al ser la razó mayor que. Escribimos la fórmula del térmio geeral: a = a r - e ella sustituimos los datos 486 = a 5- operado resulta: 486 = a 4 = 8 a de dode a = 486 / 8 =6. Los térmios tercero y quito de ua sucesió geométrica so, 8 y respectivamete. Determiar el primer térmio y escribir los tres térmios siguietes. Datos: a = 8; a 5 = Icógitas= a y a, a, a 4 A partir de la fórmula del térmio geeral. a = a r - e ella sustituimos los datos aplicádosela al º y séptimo térmio así: a = a r - Que se trasforma e 8 = a r a 5 = a r 5- Que se trasforma e = a r 4 Que costituye u sistema de dos ecuacioes co dos icógitas que resolvemos elimiado ua icógita y ua ecuació, (método de reducció), dividiedo miembro a miembro ambas ecuacioes resultará: 7

18 R. Urbá Ruiz (otas de clase) 4 = despejamos r = r = ± = ± r 4 4 Sustituyedo e la primera ecuació: 8 = a r resulta 8 = a (± ½) = a (/4) de dode a =. Como teemos dos solucioes para la razó, tedremos dos solucioes para el problema: Solució ª para r = ½: a = ; a = 6; a = 8; a 4 = 4 Solució ª para r =-½: a = ; a = -6; a = 8; a 4 =- 4 E el primer caso la sucesió es decreciete por cumplir la desigualdad: 0 < r < E el segudo caso la sucesió es alterada por cumplir la desigualdad: r < 0 SERIES Ua serie es la suma de los térmios de ua sucesió y el valor de dicha suma, si es que tiee alguo es S = Lim S E ecoomía estamos iteresados a estudiar las series geométricas ifiitas, de la forma: a + ak + ak + ak + ak ak +... La cual se obtiee a partir de u térmio iicial multiplicado por ua catidad costate Ejemplo. Ua empresa agrícola ha teido como beeficios el último año por $50,000 pesos y espera crecer el % aual los próximos 8 años. Cuáles so los beeficios previstos para el décimo año y cuales los beeficios totales a lo largo del período? Año Beeficios 0 50, (+.) =50000(.) 50000(.)(+.) = 50000(.) 50000(.) (+.) =50000(.) (.) 7 La suma de esta serie de catidades es la ecuació que escribimos ates. 4 S = a + ak + ak + ak + ak ak +... Esta serie es ua Serie Geométrica fiita de razó k. Para ecotrar la suma de la serie, primero multiplicamos ambos miembros de la ecuació por la costate k. 8

19 R. Urbá Ruiz (otas de clase) ks = ak + ak + ak + ak 4 + ak + ak 4 S = a + ak + ak + ak + ak ak +... Hacemos la resta de S ks = a ak, despejamos S ( k) = a ak lo que os deja fialmete S = a( k ), k si el valor de k = la suma sería S ( k) = a E resume, la suma de ua serie geométrica ifiita será igual a 4 a( k ) a + ak + ak + ak + ak ak ==, k ( k) Para el ejemplo aterior teemos los siguietes datos; a=50000, k=. y =8. Que al sustituir teemos; (. ) (.) (.) = = 4,04,89.6 (.) Ejemplo. Supogamos ua sucesió ifiita de úmeros como la siguiete:, ½; ¼, /8, /6 /; E dode para cada térmio de la sucesió se forma dividiedo por a su predecesor, de tal forma que el eésimo térmio es / -. La razó de esta serie es ½, y el primer térmio es a=. Por lo tato teemos la siguiete serie geométrica == = E el caso de series geométricas ifiitas para poder ecotrar la suma de la serie cuado tiede a ifiito, es decir para el ejemplo aterior; = Lim Cuado más crezca el valor de el térmio tederá a ser cero, por ejemplo para u valor grade como de =00, el termio es aproximadamete 7.8x0 -, u valor muy cercao a cero. E forma geeral para el caso de series ifiitas: Si el valor de K esta etre -< k < el limite tiede cero. Mietras que; si k > ó k o tiee límite. S a( k ) =, k ( k) cuado, depede de k E resume, si k <, la suma de los térmios de S tederá al límite a cuado tiede a (- k) ifiito. Este límite es por defiició la suma ifiita, y esta es covergete. Por lo cotrario si k, la serie ifiita es divergete. Ejercicios. Ecuetre la suma de las serie S =

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