Hoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)

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1 Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar las siguietes afirmacioes: (a) {a } N covergete, {b } N covergete {a + b } N covergete. (b) {a } N covergete, {b } N divergete {a + b } N divergete. (c) {a } N divergete, {b } N divergete {a + b } N divergete. (d) {a } N covergete, {b } N covergete {a b } N covergete. (e) {a } N covergete, {b } N divergete {a b } N divergete. (f) {a } N divergete, {b } N divergete {a b } N divergete. 2. Sea {a } N ua sucesió de úmeros reales. Demostrar que: (a) Si {a } N es covergete co límite l >, etoces existe N tal que a > para todo. (b) Si {a } N es covergete y existe N tal que a < l para todo, etoces lim a l. 3. Demostrar o refutar las siguietes afirmacioes: (a) Si lim a =, etoces lim a =. (b) Si lim a =, etoces lim a =. (c) Si lim a = l, etoces lim a = l. (d) Si lim a = l, etoces lim a = l. 4. Demostrar, aplicado la defiició de límite, que: a) lim 2 = 3 b) lim = c) lim 32 = + d) {( + ) + ( ) ( )} N es divergete 5. Puede existir dos sucesioes de úmeros reales co ifiitos térmios iguales y distito límite? 6. Puede existir dos sucesioes de úmeros reales {a } N, {b } N, tales que a b N y lim a = lim b?

2 7. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales positivos. a) Si a lim = b probar que: lim = = lim = b) Si a lim = b probar que: {b } N acotada = lim = c) Si a lim = b probar que: lim = = lim = d) Si a lim = b probar que: {a } N acotada = lim = e) Si a lim = l R \ {} b probar que: lim = lim = 8. Determiar los putos de aglomeració de las sucesioes: {. a = si es impar 2. b = ( + si es par ) se(π 2 ) + 3. c = {, 2, 3, 2 3, 4, 2 4, 3 4,...} 4. d = ( + ( ) ) cos( π 2 + ) Demostrar que si {a } N es tal que las subsucesioes {a 2 } N, {a 2 } N coverge a u mismo límite l, etoces {a } N coverge a l. Dar u ejemplo de ua sucesió {a } N tal que las subsucesioes {a 2 } N, {a 2 } N coverja y {a } N sea divergete.. Estudiar si las siguietes sucesioes so de Cauchy: k= a = ( k k + ) cos(ak), a R, b = k=. Demostrar que las sucesioes k= k= k= k, c = k= 2 + k a = k=2 k= k y b = k=2 k=+ k so covergetes y tiee el mismo límite. 2. Estudiar si las siguietes sucesioes so covergetes y, cuado así sea, determiar su límite: () a + = a 2, a = 5. (2) a + =, a = 2 + a (3) a = 2, a 2 = 2 + 2, a 3 = Sea {a } N ua sucesió de úmeros reales tal que lim a + a = a. Demostrar que si a < etoces lim a =. 2

3 4. Ecotrar a y b tales que lim ( ) + a 3+a = lim + 5. Calcular el límite de las siguietes sucesioes: ( ) + 3 b + 2 () a = a a > (2) a = (3) a = (5) a = k= k= 2 + k + a + b c d (4) a = c + d ) ( 5 2 (6) a 2 = a + b a >, b > (7) a = a! < a < e (8) a = tg( 2 + k ) k= Series de úmeros reales 6. Demostrar o refutar las siguietes afirmacioes: (a) a covergete, b covergete (a + b ) covergete. (b) a covergete, b divergete (a + b ) divergete. (c) a divergete, b divergete (a + b ) divergete. (d) a covergete, b covergete (a b ) covergete. (e) a covergete, a, b covergete (a b ) covergete. (f) a divergete, b covergete (a b ) divergete. (g) a divergete, b divergete (a b ) divergete. (h) {a } N acotada, b covergete, b (a b ) covergete. (i) a2 covergete, b2 covergete (a b ) covergete. 7. Demostrar o refutar las siguietes afirmacioes: (a) Si la sucesió {a } N es acotada y la serie b es covergete, etoces la serie (a b ) es covergete. (b) Si la sucesió {a } N es acotada y la serie b es absolutamete covergete, etoces la serie (a b ) es absolutamete covergete. 8. Hallar el térmio geeral y el carácter de ua serie cuya suma parcial -ésima es S = 2 + N 3

4 9. Estudiar si so covergetes las siguietes series y e caso afirmativo calcular su suma: () (4) ( 2 ) (2) 3 4 ( + 2)( + 6) (5) ( + ) (3) ( ) + 2 log( 2 ) (6) =2 2. Estudiar si las siguietes sucesioes so de Cauchy: k= a = ( k k + ) cos(ak), a R, b = k= 2. Demostrar que las siguietes sucesioes so de Cauchy: () a = 22. Cosideremos la fució f(x) = k= k= 2 + k (2) a = k= k= k= k, c = k= tg( 2 + k ) k= { si x ( 2, + 2 ) para algú N e otro caso k Demostrar que o existe lim x + f(x) y que, si embargo, la itegral + f es covergete. 23. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales. Ecotrar ua codició ecesaria y suficiete para que la serie de térmio geeral (a +2 a ) sea covergete. Como aplicació, calcular la suma de 24. Demostrar que ( + 2) ( + k) = k k co k N, justificado la existecia del primer miembro. 25. Coocida la relació de la suma de los primeros térmios de la serie armóica A = = l + c + ɛ co c =, costate de Euler-Mascheroi y lim ɛ = se pide: 4

5 (a) Demostrar que ( ) (+) = l 2 (b) Calcular el úmero de térmios que hay que sumar e la serie para obteer l 2 co u error meor que,. (c) Como aplicació del apartado a) calcular la suma de la serie (2 )(2)(2 + ) 26. Sea a y b dos series covergetes de térmios positivos y o ulos. Estudiar el carácter de las series (a) a 2 (b) a 2 + a (c) + a (d) 27. Estudiar, segú los valores de a >, el carácter de la serie se π 2 a a b Obteer para a = 3 el valor de su suma co u error meor que, Estudiar el carácter de las siguietes series: (e) a b a + b () (4) (7) () (3) (6) (9) cos (2) (5) + a (8) ( + )!! 4 () 2 ( + ) 2 (4) k= k (l ) 3 (7) =2 =2 a l b (2) ( + 2)! (3) (6) 2 l (9) a! a > (2) ( ) (5) =2 ( + ) 2 (8) ( ) ( ) 2 k k= (2) =2 ( + ) 2 + se( π 2 ) (!) 2 (l ) l 2 2 se 2 α 2 < α π 2 se 2 5

6 29. Cosideremos la serie α α >. Determiar, e fució del parámetro α, el úmero de térmios que es ecesario sumar para obteer la suma de la serie co u error meor que ε. 3. Comprobar la covergecia de la serie ( ) + e 2 y obteer el valor de su suma co u error meor que Dada la serie 2 2 +, comprobar que es covergete y dar u valor aproximado de su suma co u error meor que Hallar u valor aproximado de la suma de la serie co error meor que Dada la serie ( ) 3 5 (2 ) 6 6 (5 + ) demostrar que es covergete y aproximar su suma co error meor que.. Series de potecias 34. Determiar el itervalo de covergecia de las siguietes series de potecias: 6

7 () (4) (7) () (3) (6) (9) (22) (25) (2)! (5) ( + )2 (8) ( + 2 ) ()! x (4) (7) 2 2 x (2) (23) (x + 2) ( + )! (26) 2 (3) l (6) 2! (9) 2 x (2) x (5) 2 x 2( ) (8) ( + ) (2) ( ) (24) (x + ) 2 (27) ( ) (2x) 2 2 ( + )2 (x + 3) ( + )2 2 e e x Cosidérese la serie de potecias (2 3) 3 a) Determiar el cojuto de putos e los que la serie es covergete. b) Calcular la suma de la serie para x =. 36. Demostrar las siguietes igualdades: (a) e x = = x!, x R (b) a x = (l a) =!, x R, a > (c) ( + x) α = ( α = ), x (, ) (d) = +x 2 = ( ) x 2, x (, ) (e) arctg x = ( ) x 2+ = 2+, x (, ). (f) x = x x (, ). 7

8 (g) l + x = ( ) +, x (, ). (h) cos x = x2 = ( ) (2)!, x R (i) se x = x2 ( )( ) (2 )!, (j) se 2 x = 22 ( )(+) (2)! x2, x R x R 37. Hallar la covergecia y la suma, cuado sea posible, de las series (a) + ( + ) (b) = 2! (c) = 2 + x 2! (d) 38. Determiar el itervalo de covergecia de la serie a, a, b >, a b + b 39. Determiar el radio de covergecia de la serie x y comprobar que 2 x 2 = l( t) dt si x < t 4. Determiar el desarrollo e serie de potecias de x de las fucioes () f(x) = arcse x (2) f(x) = 4. Cosidérese la fució f(x) = x l( + x 2 ). x se t t dt (3) f(x) = (a) Determiar la serie de Taylor cetrada e x = asociada a f. (b) Determiar todos los valores de x para los que dicha serie es covergete. x (x 2) Recurriedo a u desarrollo e serie, hallar co u error meor que ε = 3 el área limitada por las rectas x =, x =, y = y la curva y = e x Determiar las series de Taylor de las fucioes que se preseta a cotiuació, e los putos que se idica. a) f(x) = x a = 9 b) f(x) = x a = c) f(x) = se x a = π/6 d) f(h) = e a+h h = 44. Verificar los siguietes desarrollos y determiar el radio de covergecia de la serie. E cada caso dar ua expresió para el térmio geeral de la serie. (a) x cos t t dt = x 2 2! 2 x 4 4! 4 + 6! x 6 (b) 6 x se(t 2 ) dt = x3 3 x 7 3! 7 + x 5! 8

9 45. Supoiedo que la serie de McLauri para la fució e x es válida para úmeros complejos, comprobar que e ix = cos x + i se x 46. Cosidérese la fució f(x) = arcse x. (a) Comprobar que arcse x = x + x x ! ! x (2 ) 2! x (b) Determiar el radio de covergecia de la serie de Taylor de f. (c) Cuátos térmios es ecesario sumar para calcular arcse(.2) co u error meor que 3? (d) Calcular, co u error meor que.5, la siguiete itegral: /2 arcse x x 47. Utilizar el desarrollo e serie de potecias de x de la fució f(x) = x para dar u valor aproximado de f() co u error meor que 3. Idicació: la fució se t t o tiee ua primitiva expresable e térmios de fucioes elemetales. se t t 48. Utilizar series de potecias para expresar la itegral /2 dt l( + x 2 ) dx como ua serie umérica. Determiar cuátos térmios de la serie es preciso sumar para aproximar el valor de la itegral co u error meor que Cosideremos la fució f(x) de clase C e el itervalo (, ) defiida por: { l( x 2 ) f(x) = x si x si x = (a) Determiar la serie de Taylor co cetro e x = asociada a f(x). (b) Determiar el itervalo de covergecia de dicha serie. (c) Calcular el úmero de térmios que es suficiete sumar para obteer f( ) co error meor que 5. dx 9