Trabajo Práctico Nro. 9 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER

Transcripción

1 F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 rabajo Práctico ro. 9 ECUACIOES DIFERECIALES E DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER I.- Itroducció a las Ecuacioes Difereciales e Derivadas Parciales clásicas: difusió del calor, propagació de odas y del potecial. (Primera Parte).- a) Demostrar que u(x, e -8 t se x es ua solució de la ecuació del calor: u t - u xx 0, para 0 < x< π, t > 0 ; co las codicioes de cotoro: u(0, u(π, 0 t 0; u(x,0) se x 0 x π..- a) Demostrar que la fució u(x, F( x G( x-5, dode F( y G( so fucioes dos veces derivables e R, es solució de la ecuació de odas uidimesioal: 4 u tt 5 u xx 0 para x R, t > 0. b) Demostrar que la ecuació de odas uidimesioal: 4 u tt 5 u xx 0 para x R, t >0, tiee como solució a u(x, F( x G( x-5, dode F( y G( so fucioes dos veces derivables e R. c) Ecotrar ua solució particular de la ecuació de odas de b) que verifique: u(0, u(π, 0 para t 0; u(x,0) se x, u t (x,0) 0, para 0 x π. 3.- a) Verificar que las fucioes u (x,y) Sh x se y, satisface la ecuació de Laplace : u xx + u yy 0 para 0 < x< π, 0 < y < π ; co las codicioes de cotoro: u(x,0) u(x,π) 0 para 0 x π, u(0, y) 0 para 0 y π. b) Verificar que la fució u( x, y) c Sh xse y es solució del problema de cotoro de a) co la codició: u( π, y) c Sh π se y para 0 y π. c) Verificar que las fucioes siguietes idicadas e (i) y (ii) satisface la ecuació de Laplace : u xx + u yy 0 para 0 < x< π, 0 < y < π ; co las codicioes de cotoro: u x (0,y) u y (π, y) 0, 0 y π, u(x,0) 0, para 0 x π. (i) u 0 (x,y) y (ii) u (x,y) cos x. Sh y. d) Verificar que la fució u( x, y) c y + c cos x Sh y es solució del problema de 0 0 cotoro de c) co la codició: u( x, π ) c π + c cos x Sh π para 0 x π. e) Ecotrar los coeficietes c que hace que se satisfaga la codició u(x, π) cos x cos x..p. 9

2 F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 ( ) π t ( ) π 4.- a) Verificar que las fucioes u ( x, e se x so solucioes de la ecuació del calor : u t (x, u xx (x, 0, para 0 < x < t > 0 ; co las codicioes de cotoro : u(0, 0, u x (, 0 para t. 0. b) Verificar que u( x, cu ( x, satisface la ecuació y las codicioes ateriores. π x 5π x c) Ecotrar los coeficietes c tales que u( x,0) se se 0 x. 5.- a) Sea { c } ua sucesió acotada de úmeros reales. Sea y 0 > 0, probar que la fució u(x,y) c e y se x es dos veces derivable co respecto a x e y para 0 < x< π, y > y 0 y resulta solució de la ecuació de Laplace. b) Utilice el resultado de a)y ua variate del mismo para demostrar que si u (x,t ), so las solucioes de la ecuació del calor plateada e 4.- a) etoces para 0 < x< π, t > t 0 > 0, u ( x, cu ( x, es solució de la ecuació del calor de 4 a). 5.- Cosidere la coducció del calor e ua varilla de cobre descripta por la ecuació diferecial α u xx u t 0 ( α.4) de m. de largo cuyos extremos se matiee a 0 o C, para todo t >0. Ecuetre ua expresió para la temperatura u( x, t ) si la distribució iicial de la temperatura e la varilla está dada por: (a) u(x,0) 0.5 se πx + 3 se 5πx (b) u(x,0) f( (idicar codicioes para que exista) II.- Series de Fourier.- Sea C C [-/, /] { f: [-/,/] C / f es cotiua}. a) Si e C C [-/, /], se defie: f f ( x ) dx, etoces es ua orma. b) Si se defie f, g f ( g( dx para f y g e C C [-/, /], etoces: (C C [-/, /], ) es u Espacio vectorial co producto itero ( EVPI ) y Optativo.P. 9

3 F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 f / ( f ( x ) dx ) es la orma correspodiete. c) El cojuto de fucioes { φ } π i x ( e Z es u cojuto ortogoal e C C. Z.- Si C R [-/, /] { f: [-/,/] R / f es cotiua}. a) Si e C C [-/, /], se defie: f f ( x ) dx, etoces es ua orma. b) Si se defie f, g f ( g( dx para f y g e C R [-/, /], etoces: (C R [-/, /], ) es u Espacio vectorial co producto itero ( EVPI ) y f c) / ( f ( x ) dx ) es la orma correspodiete. π π,cos x, se x es u cojuto ortogoal e C R. 3.- Se cosiderará ahora las fucioes absolutamete itegrables e u itervalo [a,b], es decir fucioes f tales que so itegrables Riema e [a,b], o bie existe a lo sumo u cojuto fiito de putos de [a,b] : a t 0 < t <...< t b, tal que f es itegrable Riema e cualquier itervalo [c,d] que o cotega a igú t i i 0,,... y tal que e cada itervalo [t i-, t i ] la correspodiete itegral de Riema existe o es absolutamete covergete como itegral impropia. Diremos que estas fucioes perteece a L ([a,b]). Si f ( es absolutamete itegrable, diremos que f L ([a,b]). Si ua fució f es cotiua salvo e u úmero fiito de putos de [a,b], e los que existe (so fiitos) los límites laterales correspodietes, se dirá que es seccioalmete cotiua o cotiua por partes e [a,b] y se deotará co SC([a,b]). a) ostrar que cumple todas las propiedades de ua orma e L ([a,b]) excepto : f 0 f 0 e [a,b]. b) ostrar que cumple todas las propiedades de ua orma e L ([a,b]) excepto : f 0 f 0 e [a,b]. c) Idicar si defiida por: f sup { f ( x ) : x [a,b] }es ua orma e SC([a,b])..P. 9 3

4 F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 d) Determiar qué iclusioes so válidas etre los espacios L ([a,b]), L ([a,b]) y SC([a,b]). 4.- Sea g ua fució absolutamete itegrable e [0,], a valores reales o complejos periódica de período ( -periódica). a) Si a a+ 0 etoces g dx periódica co período, etoces f es -periódica. 0 ( g( dx b) Ídem si a >. c )Si f es derivable, y a 5.- Hallar el desarrollo e serie expoecial de Fourier de las siguietes fucioes defiidas e el itervalo dado: a) f ( x -π x < π b) f ( x -π x < π c) f ( x - π x < π d) f ( e -x - x < 6.- A partir de los desarrollos e serie trigoométrica de Fourier de las fucioes f( defiidas e el itervalo dado obteer las sumas de las series idicadas. k si π < x < 0 ( ) a) f( Calcular :, k si 0 x π 0 ( + ) 0 ( + ) b) f( x 0 x < π Probar que π 6 c) f ( e ax ( ) -π x < π Calcular :, 0 + a 0 + a d) f ( x - π x < π Probar que π ( ) 8 0 si π x < 0 e) f ( Probar que x si 0 x < π d) f ( se x - π x < π Probar que ( ) π ( ) π Hallar la serie de Fourier de coseos de las siguietes fucioes: a) f ( se x 0 x π b) f ( x 0 x c) f ( 0 x π d) f ( π - x 0 x π 8.- Hallar la serie de Fourier de seos de las fucioes del problema a) Ecotrar costates c, c y c 3 de modo que : π [ x ( c se x + c se x + c3 se 3 ] dx π sea míima. Optativo, se recomieda para 6.0.P. 9 4

5 F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 b) Defia error cuadrático medio y ecuetre el correspodiete a la aproximació de la fució f ( x por S 3 3ra. suma parcial de la serie trigoométrica de Fourier de f e [-π, π). d) Aalice la covergecia putual de la serie trigoométrica de Fourier de f e [-π, π). d) ediate u software adecuado grafique las primeras 5 sumas parciales de la serie trigoométrica de fourier de f e [-π, π]. e) Compare los resultados obteidos e los putos ateriores Sea φ ( c φ π i x e Z, x, sea {c } Z C tal que la serie, ( coverge uiformemete a ua fució f e a) f es cotiua e,.,. Probar que: i x b) c f x e dx ( ), es decir {c }es la sucesió de coeficietes del desarrollo π expoecial de Fourier de f. c) c ( coverge e orma a f y e cosecuecia {c } Z l ( es decir la serie φ de los cuadrados es absolutamete covergete). d) Pruebe que si {c } Z l ( o sea la serie es absolutamete covergete), etoces c φ ( coverge uiformete a ua fució cotiua de la que es su desarrollo expoecial de Fourier. e)geeralizar los resultados ateriores al caso e que { φ ( } Z es u cojuto ortogoal completo de fucioes cotiuas e u itervalo acotado [a, b]..-a) Sea f : R R π- periódica, cotiua, co derivada seccioalmete cotiua y sea a0 S (f)( ( a cos x b se dode a y b so los coeficietes de Fourier de f, probar que: + + π / π f ( dx ( a + b ) 6 π f ( S ( f )( π b) Obteer ua expresió aáloga si S (f)( es la suma parcial -ésima de la serie expoecial de Fourier de f. uif c) Probar que co estas hipótesis S ( f ) f. ota: basta que f sea cotiua y π- periódica y que (f ) sea absolutamete itegrable e [-π, π]. 3 Optativo, se recomieda para 6.0 /.P. 9 5

6 F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 d) Sea f ( x /3 - π x π. Probar que la serie trigoométrica de Fourier de f coverge e orma y putualmete a f (. Coverge uiformemete?.- a) uestre que se x coverge putualmete a ua fució f e [-π, π] pero o 4 coverge e orma. b) Es cierta la afirmació recíproca de a)? c) Es la fució f de a) cotiua e [-π, π]? a)probar que si f es π- periódica e R, cotiua, co derivada seccioalmete cotiua y si {c } Z es la sucesió de coeficietes de la serie expoecial de Fourier de f etoces: a) {c } Z l a) {c } Z l Sugerecia: revise la demostració acerca de la covergecia uiforme de la serie de Fourier a f. b) Si ahora la sucesió {c } Z l etoces la fució ix f ( c e es cotiua y derivable co derivada cotiua e [-π, π] a) ostrar que si f y g so fucioes cotiuas, π-periódicas e R, y se defie la π covolució de f y g como: ( f g)( f ( g( x dt π 0 a) f * g resulta ua fució cotiua, π-periódica e R. a) ( f g)( ~ f $ ( )$( g ) e ix dode f $ ( ) yg$( ) so los coeficietes de Fourier de la serie expoecial de Fourier de f y g respectivamete. b) Sea h cotiua π-periódica e R. Si se cosidera : f h* f defiido sobre las fucioes f cotiuas, π-periódicas e R, muestre que: b) defie u sistema lieal ivariate e el tiempo. b) f cte. f (cotiuo e la orma) c) Pruebe que las fucioes f ( e ix so autofucioes de, y ecuetre los autovalores correspodietes. ota : Co u cálculo más laborioso se prueba que vale los resultados de a), b) y c) si h y f so seccioalmete cotiuas e u itervalo de logitud y se extiede por periodicidad a R, adaptado la defiició de la covolució y los desarrollos a este itervalo. 5.- Hallar la fució u(x, del problema I.5(b) dado codicioes para su existecia. Series de Fourier co AHEAICA : cargar el paquete correspodiete. eeds[ Calculus`Fourierrasform` ] 4 Optativo, se recomieda para Optativo, se recomieda para 6.0.P. 9 6