AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial Boletín n o 7

Transcripción

1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Igeiería Técica Idustrial. Especialidad e Electróica Idustrial Boletí o 7. Dibujar las gráficas y hallar el desarrollo e serie de Fourier de las siguietes fucioes periódicas de periodo T : sex si x [0, π[ a)fx) = T =π) 0 si x [π, π[ b)fx) = x si x [, ] T =4) c)fx) = cos x si x [ π, 0[ se x si x [0, π[ d)fx) =x x si x [, [ T =) T =π) Sol.: Sol.: Sol.: + π +sex X 4 π 4 cos x ) cos x +sex + π π 8 ) πx π cos ) Sol.: cos x + se x 4 ) + π se πx. Obteer los desarrollos e serie de Fourier de seos de las siguietes fucioes e los itervalos especificados : 4 se x a)f x) =cosx e ]0, π[ Sol.: π 4 b)f x) =4x x e [0, 4] Sol.: 8 µ ) πx π ) se 4 c)f x) =x cos x e ] π, π[ Sol.: se x + = ) se x. Obteer los desarrollos e serie de Fourier de coseos e los itervalos especificados de las siguietes fucioes: a)f x) =sex e [0, π] Sol.: π + 4 cos x π 4

2 Boletí 7. Series de Fourier. Ampliació de Matemáticas. Esp. Electróica Idustrial b)fx) = x si x [0, [ x si x [, [ c)f x) =e x e ]0, [ Sol.: e + Sol.: 4 π X =0 cos +)πx +) ) e ) +π cos πx 4. Sea f :[0, π] R defiida por fx) =xπ x). a) Ecotrar ua fució par F x) yotraimpargx), ambas periódicas, tales que F x) = Gx) =fx) para todo x [0, π[. b) Obteer los desarrollos e serie de Fourier de las fucioes F x) y Gx) y cocluir que para todo x [0, π], se verifica: µ xπ x) = π cos x 6 cos 4x cos 6x xπ x) = 8 µ se x se x se 5x π c) Comprobar que ) + = π yque X ) + ) = π 5. Demostrar las siguietes igualdades: π x se x si x ]0, π[ a) = 0 si x =0o x =π b) se x = π 4 cos x π 4 para todo x R cos )x π c) ) = 8 πx si x [0, π] 4 πx 4 π si x [π, π] 8 cos x d) = x 4 πx + π si x [0, π) 6 6. Determiar la forma expoecial de las series de Fourier de las fucioes periódicas cuyas defiicioes e u periodo so: a)fx) =e x, <x< Sol.: ) iπ)sh +π e iπx = si 0 <x< b)fx) = Sol.: 0 si <x< + X iπ +) ei+)πx = 7. Obteer el desarrollo de Fourier de las siguietes fucioes periódicas dadas por sus gráficas:

3 Boletí 7. Series de Fourier. Ampliació de Matemáticas. Esp. Electróica Idustrial a) x Sol. : + 9 π cos πx + 4πx cos + 8πx cos 4 + 0πx cos + 5 Nota: los térmios que e el deomiador del coeficiete lleva cuadrados de múltiplos de, so ulos. b) " Sol.: 9 cos πx se πx 4πx cos 8π + + se 4πx + 8πx cos + se 8πx 0πx cos + # se 0πx Nota: igual que e el apartado a) de este mismo problema. c) -p-a -p -p+a -p -a a p p-a p p+a Sol. : a π + π se a cos x

4 Boletí 7. Series de Fourier. Ampliació de Matemáticas. Esp. Electróica Idustrial 4 d) 5π 4π π π π π π π 4π 5π - Sol. : π ) + se x 8. Sea f la fució π periódica tal que, e itervalo π, π], sedefie por fx) = π cosax) a seaπ), dode a o es u úmero etero. a) Obteer la serie de Fourier de f. b) Coverge e el puto x = π la serie obteida e el apartado aterior? Si la respuesta es afirmativa, idicar cuato vale la suma. c) Calcular la suma de la serie a + a + a + a 4 + Sol. :a) a + X ) a cos x, π cos aπ b) ase aπ, c) πa a se aπ 9. Sea f y g fucioes cotiuas de periodo π. Comprobar que si gx) =fx + π) para todo x real, etoces los coeficietes de Fourier de las fucioes f y g está relacioados y ecotrar dicha relació. 0. Ecotrar el desarrollo de Fourier e serie de coseos de la fució idicada e la figura. Demuestra que la serie represeta a la fució dada e el itervalo [0,l]. k l/ l Sol. : k 4k π ) π cos x ) l

5 Boletí 7. Series de Fourier. Ampliació de Matemáticas. Esp. Electróica Idustrial 5. Idem para la fució cuya gráfica es k l Sol. : k + 4k π ) π cos x ) l. Sea α u úmero real o etero y f la fució π periódica defiida para x [ π, π) por fx) =seαx). Sepide: a) Obteer el desarrollo e serie de Fourier de f, estableciedo la fució a la que coverge dicha serie. b) Deducir, a partir del desarrollo aterior, que + k= c) Demostrar, utilizado la relació aterior, que ) k k α k ) = π seα π ) seαπ) + k= ) k k 4k ) = π 6 y decidir, haciedo uso de esta última igualdad, el úmero de sumados ecesarios para obteer el valor de π /6 co u error meor que ua cetésima. Sol. : se απ π. Sea f ua fució real, o periódica, defiida e el itervalo [π, 5π] por 4π t si π t<4π, ft) = t 4π si 4π t 5π. ) α se x Determiar, razoadamete, ua serie de Fourier asociada a cierta fució de tal forma que sea covergete e el itervalo [π, 5π] y su suma coicida, e dicho itervalo, co los valores de ft). Sol. : π 4 π cos ) x )

6 Boletí 7. Series de Fourier. Ampliació de Matemáticas. Esp. Electróica Idustrial 6 4. Ecotrar la serie de Fourier de la fució π periódica que e itervalo [ π, π] viee represetada por la siguiete gráfica y establecer la fució a la que coverge dicha serie. π π/ π/ π Sol. : π se x se x + se x + se 5x + se 6x +... π π 5π 6π 5. Ecotrar la serie de Fourier de la fució de periodo π, que se defie para u periodo como fx) = 0 si π x<0, x si 0 x<π, y razoar si, sustituyedo x = π e la serie obteida, se puede obteer la suma de la serie.ecasoafirmativo, idicar el valor de dicha suma. ) Sol. : π Ã! 4 + X )+ ) cos ) x + se x π