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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SEGUNDO EXAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE 009- TIPO DURACIÓN MÁXIMA.5 HORAS JUNIO 7 DE 009 NOMBRE. Ua muestra aleatoria del porcetaje de algodó e ua tela utilizada para elaborar camisetas está represetada e la tabla de distribució de frecuecias Clase L if L sup Fr i Fr s x i f i f i * F i F i * a) Trazar el histograma de frecuecias relativas. b) Calcular las medidas de tedecia cetral y trazar el polígoo de frecuecias co las medidas obteidas. c) Trazar la ojiva de frecuecias acumuladas relativas. 5 Putos Resolució a) El histograma es Histograma de frecuecias relativas Frecuecia relativa Marcas de clase b) El polígoo de frecuecias y las medidas de tedecia cetral so: La media está defiida por m m * i i i i i = i = x = xf = xf sustituyedo se tiee 8 7. x= xi fi = ( 3.9)( 4) + + ( 37.4)( 3) = = i= La mediaa es el valor que divide a la muestra e dos partes iguales, etoces realizado ua iterpolació PyE_ EF_TIPO_009-

2 4 m = = = co la ecuació de ua recta dado u puto y la pediete, se tiee y = 3.333( x 34.5) co ( x, 7.5), sustituyedo: 7.5 = 3.333( x 34.5) 5.5 x = x = La moda es la marca de clase co mayor frecuecia, etoces x mo = 34.7 O bie, se puede obteer como a xmo = Lmoif + cmo a+ b a= fmo fmo b= fmo fmo+ dode f es la frecuecia absoluta que cotiee a la moda. mo c es la logitud de la clase que cotiee a la moda. mo L es el límite iferior de la clase que cotiee a la moda. moif sustituyedo e la expresió aterior, se tiee 4 xmo = ( 0.9) 4+ 6 x = 34.6 mo Froteras La posició de las medidas de tedecia cetral, so xmo < x < x 34.6 < < Fi 34.5 x PyE_ EF_TIPO_009-

3 Como se observa e la gráfica. Frecuecia relativa Polígoo de frecuecias relativas < < Marcas de clase c) La ojiva es Ojiva Frecuecia acumulada relativa Frotera superior. U miorista vede dos tipos de patallas plaas de LCD, la experiecia demuestra que tiee la misma demada. Cuatro clietes etra uo tras otro a la tieda y solicita patallas plaas. a) Describir el espacio muestral del experimeto aleatorio. b) Sea A el eveto que represeta, al meos dos clietes prefiere ua patalla plaa del mismo tipo. Sea B el eveto que represeta, exactamete dos clietes prefiere ua patalla plaa del mismo tipo. Calcular P( AB ) y P ( BA ) 5 Putos Resolució Sea el eveto que represeta a las patallas plaas de LCD del tipo I. Sea el eveto que represeta a las patallas plaas de LCD del tipo II. a) El espacio muestral del experimeto aleatorio es,,,,,, S =,,,,,, b) Los evetos tiee los putos PyE_ EF_TIPO_009-3

4 ,,,,,, A = = S,,,,,, B =,,,,, { } Las probabilidades asociadas so: P( A) = P( S) =, ( ) P( A B) P( B) P( A B) = = = P( B) P( B) P( A B) P( B) 3 P( B A) = = = P( B) = P( A) P B = = 3. Supógase que el error e la temperatura de reacció, e grados Celsius, para u experimeto de laboratorio cotrolado, es ua variable aleatoria co fució de desidad x ; < x< fx ( x) = 3 0 ; e otro caso a) Obteer la fució de distribució que muestra el comportamieto acumulado. b) Usar el resultado del iciso (a) para calcular la probabilidad de que el error e la temperatura de reacció sea mayor de 0 [ C] 0 Putos Resolució Sea X la v.a. que represeta el error e la temperatura de reacció, e [ C]. a) La fució de distribució que muestra el comportamieto acumulado dado que es variable cotiua, es x FX ( x) = fx ( t) dt sustituyedo x x 3 3 FX ( x) = t dt = t x ; x = + < < 9 etoces la fució de distribució que muestra el comportamieto acumulado es 0 ; x 3 FX ( x) = x ; x 9 + < < ; x b) Se pide calcular P( X > 0), etoces F ( x) = P( X < x) = P( X x) X sustituyedo P( X > 0) = FX ( x) = P( X x) 3 8 P( X > 0) = FX ( 0) = = = 9 9 PyE_ EF_TIPO_009-4

5 4. Se sabe que el tiempo e miutos que ua secretaria habla por teléfoo, es ua variable aleatoria co fució de desidad t 40 f () C e ; t 0 T t = > 0 ; e otro caso a) Calcular el valor de C para que la fució sea de desidad. b) Obteer la variacia del tiempo e miutos que la secretaria habla por teléfoo. c) Calcular la probabilidad de que ua secretaria hable más de 0 miutos por teléfoo. 5 Putos Resolució Sea T la v.a. que represeta el tiempo e miutos que ua secretaria habla por teléfoo. Se tiee que T es ua v.a. co distribució expoecial, esto es T Exp λ = C = 40 a) De lo aterior c = 40 por lo tato, la fució es t e 40 ; t > 0 ft () t = 40 0 ; e otro caso b) El tiempo promedio es la media de la variable aleatoria expoecial, etoces E( T) λ = 40 [ mi] 40 La variacia de la variable aleatoria está dada por ( ) ( ) Var T = = = 40 = 600 mi λ 40 PT> 0, etoces se usa propiedades de la fució expoecial c) Se pide calcular ( ) ( ) ( 0) 40 4 λt PT> 0 = e = e = e Dos líeas de producció maufactura cierto tipo de artículos deportivos. Supógase que la producció (e cualquier día dado), es de la siguiete forma, sea X la variable aleatoria que represeta el úmero de artículos deportivos producidos e la líea I y, Y la variable aleatoria que represeta el úmero de artículos producidos e la líea II, la distribució de probabilidad cojuta es f XY (x,y) y x a) Calcular la probabilidad de que e la líea I se produzca más artículos deportivos que e la líea II. Obteer la probabilidad de que se produzca e total tres artículo deportivos. b) Determiar la fució margial del úmero de artículos producidos e la líea I. c) Cuál es la fució de probabilidad codicioal, dado que se produce dos artículos e la líea I. PyE_ EF_TIPO_009-5

6 d) E promedio cuátos artículos se espera sea producidos e la líea II, si se sabe que e la líea I se produce dos. 0 Putos Resolució a) Se pide calcular P ( X > Y), etoces P( X > Y) = fxy (,0 ) + fxy (,0) + fxy (,) = = 0.5 Se pide obteer P ( T = 3 = X + Y), sustituyedo PT ( = 3= X+ Y) = fxy ( 0,3) + fxy (,) + fxy (,) PT ( = 3) = = 0.36 b) La fució margial para el úmero de artículos producidos por la líea I, está defiida por f X ( x) = fxy ( x, y) y sustituyedo x 0 f x X ( ) c) La fució codicioal, dado que se produce dos artículos e la líea I, está dada por fxy (, y) ; fx ( X = ) > 0 f ( Y X = ) = f X ( X YX= = ) 0 ; e otro caso sustituyedo fyx Y 0 3 ( Y X ) = = d) E promedio cuátos artículos se espera sea producidos e la líea II, si se sabe que e la líea uo se produce dos. Por lo tato se pide el valor esperado, del iciso aterior E Y X = = y f ( Y X = ) ( ) YX= y sustituyedo E( Y X = ) = ( )( 0.50) + ( )( 0.50) + ( 3)( 0.08) =.374 Se espera ua producció de dos artículos deportivos e la líea II, dado que e la líea uo se produce dos. 6. Las calificacioes de u exame de colocació que se aplicó a estudiates de primer año de ua uiversidad al sur del D.F., durate los últimos cico años está distribuidas aproximadamete de forma ormal co ua media de 74 y ua variacia de ocho. Cosidera que la variacia ocho es ua valor válido de la variacia si ua muestra aleatoria de 0 estudiates, quiees realiza tal exame de colocació este año, obtiee u valor de la variacia de S = 0? 5 Putos Resolució Sea X la v.a. que represeta la calificació de u exame de colocació. X Normal μ =74, σ = 8 ( X X ) PyE_ EF_TIPO_009-6

7 y x y Se pide calcular si es válida la variacia de la muestra, S = 0, etoces P( S > 0 8 σ = ) trasformado e distribució Ji cuadrada, co 9 grados de libertad, usado calculadora ( ) S ( 9)( 0) ( 9)( 0) P > = P Χ (,9) > = P( Χ (,9 ) > 47.5) α α σ 8 8 Usado tabla de la distribució Ji cuadrada, co 9 grados de libertad y abscisa 47.5 P ( Χ ( α,9) > 47.5) < 0.00 Es muy poco probable que la variacia muestral sea de 0, etoces o es válido. 7. Se realizó u estudio para determiar los efectos de o dormir e la capacidad de las persoas para resolver problemas secillos. La catidad variaba de 8,, 6, 0 a 4 horas si dormir. Cico persoas participaro e el estudio. Se dio a cada persoa, después de u periodo específico si dormir, u cojuto de problemas secillos de sumar y se registro el úmero de errores. Se obtuviero los siguietes resultados úmero de errores, y ( ) úmero de horas si dormir, ( x) a) Determiar la recta apropiada de míimos cuadrados para estos datos. b) Trazar el diagrama de dispersió y la recta del iciso (a). 0 Putos Resolució a) El ajuste de los datos a u modelo lieal de regresió por el criterio de míimos cuadrados está dado por ŷ= ˆ β ˆ 0+ βx dode ˆ β = y ˆ β x 0 ˆ SSxy β = SSxx realizado los productos y las sumas, se tiee de dode SS SS xi i= ( 80) xx = x i = = i= 5 xy i i i= x y x y xy Suma: xi y i ( 80)( 60 i= i= ) = x y = 03 = 7 5 PyE_ EF_TIPO_009-7

8 sustituyedo ˆ SSxy 7 β = = = 0.45 SSxx 60 para calcular los promedios, se tiee x= xi = ( 80 ) = 6 i = 5 y y= yi = ( 60 ) = i = 5 sustituyedo ˆ β = = ( )( ) por lo tato el modelo lieal de regresió es yˆ = 0.45 x+ 4.8 b) El diagrama de dispersió y la recta del iciso (a) so Diagrama de dispersió Núm. de errores y = 0.45x R = Núm. de horas si dormir PyE_ EF_TIPO_009-8

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