Tema 1. Estadística Descriptiva

Transcripción

1 Estadística y metodología de la ivestigació Curso Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Tema 1 Estadística Descriptiva 1 Itroducció 1 2 Coceptos geerales 2 3 Distribucioes de frecuecias 3 4 Represetacioes gráficas 4 5 Medidas características: posició, dispersió, forma 6 51 Medidas de posició Medidas de posició de tedecia cetral Medidas de posició de tedecia o cetral Medidas de dispersió absolutas Medidas de dispersió relativa Medidas de forma Represetació de medidas: el diagrama de caja Tipificació de datos Desigualdad de Tchebychev 12 6 Recta de regresió Vector de medias Covariaza y correlació Método de Míimos Cuadrados Coeficiete de regresió Coeficiete de determiació 15 1 Itroducció La estadística descriptiva es u cojuto de técicas uméricas y gráficas para describir y aalizar u grupo de datos, si extraer coclusioes (iferecias) sobre la població a la que perteece E este tema se itroducirá alguas técicas descriptivas básicas, como la costrucció de tablas de frecuecias, la elaboració de gráficas y las pricipales medidas descriptivas de cetralizació, dispersió y forma que permitirá realizar la descripció de datos Ejemplo 1: Co objeto de hacer u estudio sobre la salud de los habitates de ua ciudad co edades etre 18 y 60 años, se recoge e u cetro médico datos sobre aálisis realizados a 100 pacietes mayores de 18 años y meores de 60 que aparetemete o preseta problemas de salud graves De los aálisis realizados se recoge el sexo del paciete, el atígeo del grupo saguíeo (A, B, AB o 0), el ph de la sagre y el ácido úrico, además de la edad La distribució de los atígeos e la població Española es de 45 % para el 0, 42 % para el A, 10 % para el B y 3 % para el AB Además, los valores ormales del ph e sagre está etre 735 y 745 y los del ácido úrico está etre 24 y 7 mg/dl 1

2 2 Coceptos geerales E cualquier aálisis estadístico el objetivo último es extraer coclusioes sobre u colectivo de iterés deomiado població E ocasioes, el tamaño de la població (formada por idividuos) puede hacer iabordable el estudio idividualizado de las características de cada uo de ellos Si se quisiera realizar u estudio sobre el ivel de glucemia e los varoes adultos e España, sería imposible realizar ua toma de glucemia e cada uo de ellos Para solucioar este problema, dichas medicioes se realizara sobre ua muestra Població: colectivo de idividuos sobre los que se quiere extraer algua coclusió Idividuo: cada uo de los elemetos de la població (uidad estadística) Muestra: subcojuto (represetativo) de la població, que se seleccioa co el objetivo de extraer iformació E el Ejemplo 1, la població está formada por los habitates de la ciudad que tiee etre 18 y 60 años Cada uo de ellos es u idividuo de la població Los 100 pacietes sobre los que se recoge la iformació forma la muestra Las técicas de estadística descriptiva permite describir y aalizar u grupo dado de datos, si extraer coclusioes (iferecias) sobre la població a la que perteece Se tedrá que recurrir a la iferecia estadística, que es la parte de la Estadística que trata las codicioes bajo las cuales las iferecias extraídas a partir de ua muestra so válidas, para extraer coclusioes sobre la població de iterés Para aplicar ua técica descriptiva, umérica o gráfica, será ecesario aalizar previamete el tipo de variable co la que se está trabajado Variable estadística: cada ua de las características cosideradas co el propósito de describir a cada idividuo de la muestra Tipos de variables: distiguiremos dos tipos de variables Las variables cualitativas o categóricas (aquellas que o se puede expresar a través de ua catidad umérica) y las variables cuatitativas (se puede expresar a través de u úmero) A su vez, estas últimas puede clasificarse e discretas y cotiuas, segú el tipo de valores que tome E el Cuadro 1 se icluye alguos ejemplos Tipo Clases Ejemplo Cualitativa Nomial Sexo, raza, color de ojos, Ordial Grado de cotamiació, calificació, Cuatitativa Discreta N o de hermaos, o de materias, Cotiua Peso, altura, Cuadro 1: Tipos de variables estadísticas Volviedo al Ejemplo 1, el sexo y el atígeo del grupo saguíeo so variables estadísticas cualitativas (omiales) El ph e sagre y el ácido úrico so variables cuatitativas cotiuas y la edad es cuatitativa discreta La edad como puede presetar muchos valores (desde 18 a 60, si se mide e años), por lo que para su tratamieto podría utilizarse técicas propias de las variables cuatitativas cotiuas Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 2 de 15

3 3 Distribucioes de frecuecias Las tablas de frecuecias so ua de las técicas básicas para el resume de iformació a partir de ua muestra de datos Su costrucció es secilla pero e cojutos de datos de u tamaño moderado o grade su cálculo puede resultar laborioso, auque se puede obteer utilizado cualquier paquete estadístico Tablas de frecuecias: las tablas de frecuecias se utiliza para represetar la iformació coteida e ua muestra de tamaño extraída de ua població, (x 1,, x ) Modalidades: cada uo de los valores que puede tomar ua variable (cualitativa o cuatitativa discreta) Se deota como: c i, i = 1,, k El úmero de idividuos de la muestra e cada modalidad c i se deota por i Frecuecia absoluta: para cada modalidad c i, la frecuecia absoluta es i, i = 1,, k Frecuecia relativa: para cada modalidad c i, la frecuecia relativa es f i = i /, i = 1,, k Frecuecia absoluta acumulada: la frecuecia absoluta acumulada de ua modalidad c i es N i = i j=1 j = i, i = 1,, k Frecuecia relativa acumulada: la frecuecia relativa acumulada de ua modalidad c i es F i = i j=1 f j = f f i = N i, i = 1,, k A partir de sus defiicioes, se puede demostrar alguas propiedades de las frecuecias absolutas y relativas que se calcula e las tablas de frecuecias Así, se tiee que: - Las frecuecias absolutas: 0 i, i = 1,, k - Las frecuecias relativas: 0 f i 1, i = 1,, k - Las frecuecias absolutas acumuladas: N k = k j=1 j = k = - Las frecuecias relativas acumuladas: F k = k j=1 f j = f f k = 1 A cotiuació se muestra la disposició de los distitos elemetos de ua tabla de frecuecias Modalidad Frecuecia Frecuecia Fr abs Fr rel absoluta relativa acumulada acumulada c 1 1 f 1 N 1 F 1 c 2 2 f 2 N 2 F 2 c i i f i N i F i c k k f k N k = F k = 1 Total 1 Cuadro 2: Tabla de frecuecias Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 3 de 15

4 Para u grupo de 21 pacietes de la muestra, se tiee los siguietes datos sobre el atígeo Paciete Grupo AB 0 A B 0 0 B A B 0 B Paciete Grupo A 0 0 A B B AB Para estos datos, podemos costruir ua tabla de frecuecias, calculado frecuecias absolutas y relativas, así como las respectivas acumuladas Cuál es la proporció de idividuos co grupo A e la muestra? Y co grupo A o B? E el caso de variables cualitativas o cuatitativas discretas co pocos valores, es posible determiar las modalidades de la variable Si embargo, e el caso de variables cuatitativas cotiuas (o cuatitativas discretas co muchos valores), se tedrá que costruir modalidades artificiales de maera que se agrupe valores por itervalos Estas uevas modalidades se deomia itervalos de clase Itervalos de clase: para variables cuatitativas cotiuas, se agrupa los distitos valores obteidos e la muestra e itervalos Cada itervalo represetará ua modalidad e el caso de variables cuatitativas cotiuas A partir de ua muestra, los itervalos de clase se costruye de la siguiete forma: - Deotamos por e 0 < e 1 < < e k los extremos de los k itervalos de clase Cada itervalo será de la forma (e i 1, e i ) - Amplitud del itervalo: a i = e i e i 1 - Marca de clase: c i = e i 1 + e i 2 - Para seleccioar el úmero de itervalos, cosideramos el etero más próximo a, dode es el tamaño de la muestra observada El úmero de itervalos suele estar etre 5 y 20 Para determiar la amplitud de los itervalos (e pricipio, todos de la misma amplitud), teemos que ver ates cuál es el rago de variació de los datos (diferecia etre el máximo y el míimo), y costruir los itervalos de maera que cubra todo el rago 4 Represetacioes gráficas La clasificació de variables que se ha expuesto e la secció aterior, distiguiedo etre variables cualitativas y cuatitativas (discretas y cotiuas) es de crucial importacia a la hora de costruir represetacioes gráficas De modo esquemático, se itroduce las pricipales técicas de represetació para variables cualitativas, variables cuatitativas discretas y cuatitativas cotiuas E el caso de variables cuatitativas discretas, si tiee pocos valores, se puede hacer uso de las represetacioes descritas para variables cualitativas (diagramas de barras y sectores) Si por el cotrario toma muchos valores, etoces se puede utilizar las represetacioes para variables cuatitativas cotiuas Variables cualitativas Para la represetació de variables cualitativas se suele utilizar el diagrama de barras o el diagrama de sectores Para costruir u diagrama de barras, e el eje horizotal se represeta las categorías o modalidades de la variable que se quiere represetar y se levata barras de altura proporcioal a la frecuecia de cada modalidad (absoluta o relativa) E el diagrama de sectores tambié se represeta las distitas modalidades y su frecuecia, de maera que el círculo se reparte de forma proporcioal a la frecuecia de cada modalidad Alguos ejemplos de estas represetacioes para datos de participació e redes sociales e u grupo de 180 jóvees se muestra e la Figura 1 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 4 de 15

5 Figura 1: Diagrama de barras y diagrama de sectores para datos de perteecia a redes sociales Variables cuatitativas discretas Además del diagrama de barras descrito para las variables cualitativas, que tambié se puede utilizar para variables cuatitativas discretas, para la represetació de este tipo de variables se tiee el diagrama acumulativo de frecuecias El diagrama acumulativo de frecuecias se costruye represetado, para cada modalidad de la variable c i, los putos (c i, N i ) (o bie (c i, F i )) y uiédolos co segmetos horizotales y verticales, de forma que se obtiee ua fució escaloada Si se utiliza las frecuecias relativas acumuladas, el valor máximo del diagrama acumulativo se alcaza e el 1, mietras que si se costruye co las frecuecias absolutas acumuladas, el máximo será el úmero de datos de la muestra Se muestra el diagrama de barras y el diagrama acumulativo de frecuecias para la variable "úmero de hijos de ua familia" e la Figura 2 Figura 2: Diagrama de barras y diagrama acumulativo de frecuecias para el úmero de hijos de ua familia Variables cuatitativas cotiuas E el caso de variables cuatitativas cotiuas, podemos costruir el polígoo (acumulativo) de frecuecias, de igual modo que el diagrama acumulativo de frecuecias explicado para variables cuatitativas discretas, pero cosiderado las marcas de clase de cada itervalo e i e la represetació Si embargo, so más usuales otras represetacioes como el histograma y el diagrama de tallo y hojas El histograma equivale e cierto modo al diagrama de barras, pero e el caso cotiuo, de forma que las barras aparece cotiguas E el eje horizotal se represeta los itervalos de clase de la variable, y Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 5 de 15

6 sobre ellos se levata barras de altura h i = i /a i (o bie h i = f i /a i ), dode i es la frecuecia absoluta de cada itervalo (f i es la frecuecia relativa) y a i es la amplitud del mismo Si el histograma se costruye co frecuecias relativas, la suma de las áreas de las barras es igual a 1 El histograma da ua idea clara de la distribució de los datos, pero es muy sesible a la elecció de los itervalos de clase (véase Figura 3, pael izquierdo) Figura 3: Histograma y diagrama de tallo y hojas para datos de peso de persoas adultas El diagrama de tallo y hojas es ua represetació que permite observar los datos y que a la vez da ua idea de la distribució de los mismos Primero se seleccioa el úmero de cifras sigificativas (tallo) que se coloca a la izquierda, se traza ua líea vertical y se icluye al lado las cifras siguietes de cada dato observado (hojas) Se puede ver u ejemplo de represetació para el peso de 300 persoas e la Figura 3 Si se gira el diagrama de tallo y hojas 90 o e el setido cotrario a las agujas del reloj, se puede observar ua forma muy similar a la del histograma Para represetar las observacioes de las variables del ejemplo debemos teer e cueta si so cualitativas o cuatitativas El sexo y el atígeo del grupo saguíeo puede represetarse utilizado u diagrama de barras o u diagrama de sectores Para el ph e sagre y el ácido úrico se puede utilizar u histograma o u diagrama de tallo y hojas La edad, cuatitativa discreta, puede represetarse co u diagrama de barras si o toma muchos valores distitos E otro caso, se puede probar co u diagrama acumulativo de frecuecias o co algua de las represetacioes propias de variables cuatitativas cotiuas (histograma o diagrama de tallo y hojas) 5 Medidas características: posició, dispersió, forma Deotado por X la variable estadística de iterés y por x i la observació e el idividuo i, se itroducirá e este apartado alguas de las pricipales medidas características para describir la iformació coteida e ua muestra x 1,, x de tamaño Dichas medidas se utiliza para resumir la iformació atediedo a tres aspectos pricipales: alrededor de qué valores se ecuetra los datos, cuáto se dispersa y si se distribuye de maera similar a ua campaa de Gauss, que será el modelo que se tome como referecia Por ello, se distiguirá tres tipos de medidas: medidas de posició, medidas de dispersió y medidas de forma Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 6 de 15

7 51 Medidas de posició Las medidas de posició o localizació os idica el valor o valores alrededor de los cuales se sitúa los datos observados Distiguiremos medidas de localizació de tedecia cetral (media, mediaa y moda) y de tedecia o cetral (cuartiles, deciles y percetiles) 511 Medidas de posició de tedecia cetral Como medidas de posició de tedecia cetral se itroducirá la media aritmética o media muestral, la mediaa y la moda Estas medidas os proporcioa valores alrededor de los cuales se distribuye los datos observados e la muestra Media aritmética Se defie como: x = x x = x i La media aritmética (media muestral) preseta las siguietes propiedades, que so fáciles de deducir a partir de la defiició - Toma valores etre el míimo y el máximo: mí{x 1,, x } x máx{x 1,, x } - La media aritmética es lieal Si cosideramos los datos y i = ax i + b, la media de los uevos datos se obtedrá como ȳ = a x + b - La media de las desviacioes co respecto a la media es cero: 1 (x i x) = 0 - La media de los cuadrados de las desviacioes co respecto a ua costate es míima para la media: 1 x = arg mí a (x i a) 2 El valor de la media o tiee porqué perteecer al cojuto de posibles valores de la variable Por ejemplo, puede resultar que el úmero medio de hermaos de ua muestra o sea u úmero etero Uo de los problemas que preseta la media es que o es ua medida robusta, es decir, su valor se ve iflueciada por datos aormalmete altos o bajos Los datos que difiere uméricamete de las demás observacioes se deomia valores atípicos Alguas modificacioes para corregir la falta de robustez so la media trucada y media recortada E la media trucada, u porcetaje de los datos atípicos se elimia del cálculo y para obteer ua media recortada, estos valores atípicos se substituye por el puto de corte, es decir, el dato imediatamete iferior a los que se elimia, para datos altos, y el imediatamete superior para los datos bajos Otra modificació es la media poderada e la cual se asiga distitos pesos a las observacioes E la media aritmética cada observació tiee ua cotribució de peso 1/ al valor de x E la media poderada, cada observació tedrá ua poderació ω i, de tal modo que ω i = 1 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 7 de 15

8 E el caso de que se dispoga de datos agrupados e ua tabla de frecuecias, la media aritmética se calcula como: k k x = c i f i = c i i, dode c i es la marca de clase y k deota el úmero de itervalos de clase de los que se dispoe Las propiedades ateriormete descritas tambié se aplica a este caso Mediaa Si supoemos que los datos de la muestra está ordeados de meor a mayor, la mediaa es el valor hasta el cual se ecuetra el 50 % de los casos Por tato, la mediaa dejará la mitad de las observacioes por debajo de su valor y la otra mitad por ecima Así, si la muestra costa de u úmero impar de datos ( impar), la mediaa será el dato cetral Si el tamaño de la muestra es par, etoces se tomará como mediaa la media de los dos datos cetrales E el caso de teer la variable represetada e ua tabla de frecuecias, podemos defiir el itervalo mediao, que será aquel cuya frecuecia relativa acumulada e el extremo iferior es meor que 1/2 y e el extremo superior mayor que 1/2 La mediaa, a diferecia de la media, es ua medida robusta ya que su valor se ve poco afectado por la presecia de datos atípicos Si de ua muestra se obtiee la media y la mediaa y sus valores difiere sustacialmete, esto será idicativo de la presecia de datos atípicos Moda Para variables discretas o cualitativas, la moda es el valor o valores que más se repite Esto implica que la moda o tiee porqué ser úica Para variables cuatitativas cotiuas, el itervalo modal es aquel co mayor frecuecia La moda se deotará por Mo Si los datos se ecuetra agrupados, se puede obteer el itervalo modal como aquel que tiee ua mayor frecuecia 512 Medidas de posició de tedecia o cetral Como medidas de posició de tedecia o cetral, itroduciremos los cuartiles, deciles y percetiles Cuartiles Los cuartiles Q 1, Q 2 y Q 3 divide la muestra e cuatro partes iguales, de maera que por debajo de Q 1 teemos el 25 % de los datos, etre Q 1 y Q 2 se ecuetra otro 25 % y por ecima de Q 3 otro 25 % La idea de dividir la muestra e partes iguales se puede geeralizar a la costrucció de los deciles (d 1,, d 9, divide la muestra el 10 partes iguales) y los percetiles (p 1,, p 99, divide la muestra el 100 partes iguales) E geeral, se defie el cuatil de orde p (0 < p < 1) como el valor que deja por debajo (a lo sumo) p observacioes (por tato, (p 1) observacioes por ecima) El cuatil p se deotará por q p 513 Medidas de dispersió absolutas Las medidas de posició o localizació idica e toro a qué valores se sitúa los datos, pero para obteer ua descripció más precisa de los mismos, es ecesario coocer cuál es la dispersió que preseta Las medidas de dispersió absolutas depede de las uidades e las que se mide las observacioes, siedo las más coocidas la variaza muestral y la desviació típica muestral, que o es más que la raíz cuadrada de la variaza muestral Variaza (s 2 ) y desviació típica (s) La variaza, s 2, se calcula como: s 2 = (x 1 x) (x x) 2 = 1 (x i x) 2 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 8 de 15

9 La variaza está medida e las uidades de los datos al cuadrado, por lo que o se puede comparar directamete co las medidas de posició, por ejemplo, co la media Para obteer ua medida e las uidades de los datos, se cosidera la desviació típica: s = + 1 (x i x) 2 Dada ua muestra x 1,, x, si cosideramos la media x como medida de posició de tedecia cetral, se podría pesar e medir la dispersió a través de las diferecias de los valores a la media: (x i x), para todo i = 1,, Ua forma de cotabilizar todas estas diferecias sería a través de la suma: (x i x) Si embargo, e este caso es previsible que muestras grades os de valores altos de esta suma de diferecias, por la iterveció de u mayor úmero de datos Para corregir el efecto del úmero de datos, se podría pasar a u promedio, de maera que la dispersió se mediría a través de: 1 (x i x) Por las propiedades de la media muestral, vimos que la media de las diferecias co respecto a la media es ula, así que esta expresió siempre resultará cero E este caso, las diferecias positivas y egativas a la media se compesa, por lo que para hacerlas positivas podríamos pesar e medir estas diferecias al cuadrado: (x i x) 2 De este modo se obtiee la variaza La variaza tiee las siguietes propiedades, fáciles de deducir a partir de la defiició - Toma valores o egativos, puesto que se trata de u promedio de valores o egativos (diferecias al cuadrado) - La variaza o es lieal Si cosideramos los datos y i = ax i + b, la variaza de los uevos datos será s 2 y = a 2 s 2 x Es decir, la variaza o se ve afectada por traslacioes (sumar o restar ua costate), pero sí por los cambios de escala al multiplicar los valores por u factor - Ua expresió alterativa para el cálculo de la variaza es: s 2 = 1 xi 2 x 2 Auque la variaza es la medida más comú, e capítulos posteriores se itroducirá ua ueva medida de dispersió, deomiada cuasi-variaza: S 2 = 1 1 (x i x) 2 = s2 1 La diferecia etre variaza y cuasi-variaza radica e el deomiador E la variaza, se hace u promedio, dividiedo por el úmero de datos E la cuasi-variaza, se divide por el úmero de datos de los que obteemos iformació, sabiedo la media Cosideremos el siguiete ejemplo: supogamos que teemos ua muestra de tamaño = 4, {2, x, 6, 8} cuya media es x = 5 25 Co esta iformació es fácil deducir que x = 5 E geeral, si se cooce el valor de la media y ( 1) valores de la muestra, podemos determiar el que falta Esta correcció es importate e muestras pequeñas o de tamaño moderado Al igual que para la variaza, tambié se puede defiir la cuasi-desviació típica, S Otras medidas de dispersió absoluta (es decir, que tambié depede de las uidades de los datos) so el rago muestral (R) y el rago itercuartílico (RIC): R = máx{x i } mí{x i }, RIC = Q 3 Q 1 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 9 de 15

10 Para el cálculo del rago se utiliza sólo dos observacioes, la más grade y la más pequeña, por lo que se ve afectado por la presecia de datos atípicos Auque las aquí expuestas so las medidas de dispersió absolutas más usuales, tambié existe otras medidas de dispersió que e lugar de icluir u cuadrado para evaluar las diferecias etre los datos y las medidas de cetralizació (e el caso de la variaza, las diferecias etre los datos y la media) utiliza u valor absoluto Así, se tiee la desviació absoluta co respecto a la media y la desviació absoluta co respecto a la mediaa: D x = 1 x i x, D Me = 1 x i Me Ua medida de dispersió robusta (poco iflueciada por la presecia de datos atípicos) es la MEDA que se calcula como: MEDA = Me{ x i Me ; i = 1,, } 514 Medidas de dispersió relativa Las medidas de dispersió absolutas depede de las uidades de los datos, por lo que o so adecuadas para comparar variables Ua de las medidas de dispersió relativa (o depede de las uidades de los datos) mas usual es el coeficiete de variació: CV = s x El coeficiete de variació permite comparar variables auque estas esté registradas e distitas uidades de medida Tambié es de utilidad para comparar variables que, auque de la misma magitud, está e escalas distitas Por ejemplo, para comparar las logitudes del diámetro del tímpao (ormalmete, etre 8 y 10 milímetros) y de la columa vertebral (e cetímetros), podríamos trasformar todas las observacioes a la misma escala pero seguramete la dispersió (medida e desviació típica) que ecotraríamos e las logitudes del diámetro del tímpao sería prácticamete ula 515 Medidas de forma Cosideraremos dos medidas que proporcioa ua idea de la forma de cómo se distribuye los datos Su cálculo o es ta secillo como el de las medidas de posició y dispersió estudiadas y lo que os iteresa es su iterpretació Coeficiete de asimetría El coeficiete de asimetría de Fisher toma valor 0 cuado la distribució de los datos es simétrica co respecto a la media Valores positivos de este coeficiete idicará la presecia de asimetría positiva (más datos co valores superiores a la media), mietras que valores egativos so idicativos de ua asimetría egativa (más datos co valores iferiores a la media) Se calcula como: γ F = 1 s 3 (x 1 x) (x x) 3 = 1 s 3 1 (x i x) 3 Para cuatificar la asimetría de uos datos, podemos utilizar los cuartiles Si la distribució es simétrica, la distacia etre Q 3 y Q 2 (que cotiee u 25 % de la muestra) y etre Q 2 y Q 1 (otro 25 %), debería ser la misma (es decir, Q 3 Q 2 = Q 2 Q 1 ) Así, si Q 3 Q 2 > Q 2 Q 1, es idicativo de asimetría positiva Por otro lado, si Q 3 Q 2 < Q 2 Q 1, tedríamos idicios de asimetría egativa Para que el resultado o depeda de la dimesió de los datos, podemos utilizar el siguiete ídice de asimetría que toma valores e [ 1, 1], basado e los cuartiles: γ Q = (Q 3 Q 2 ) (Q 2 Q 1 ) (Q 3 Q 2 ) + (Q 2 Q 1 ) Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 10 de 15

11 Otro coeficiete de asimetría, que resulta útil e el caso de que los datos presete ua úica moda El coeficiete de asimetría de Pearso viee dado por: Basado e la mediaa, teemos el siguiete ídice: γ Mo = x Mo s γ Me = 3(x Me) s Coeficiete de curtosis El coeficiete de curtosis mide el grado de aputamieto de la distribució Su fórmula es: γ C = 1 (x 1 x) (x x) 4 s 4 = 1 1 s 4 (x i x) 4 Si γ C > 3, se dice que la distribució de frecuecias es leptocúrtica Si γ C < 3, la distribució de frecuecias es platicúrtica Tambié se puede modificar la expresió aterior y cosiderar γ C = γ C 3, ya que 3 es el valor del coeficiete cuado los datos viee de ua distribució Normal (que es la de referecia) De este modo, tedremos distribucioes leptocúrticas si γ C > 0 y platicúrticas si γ C < 0 52 Represetació de medidas: el diagrama de caja Las represetacioes gráficas que se ha descrito e la secció aterior utiliza los datos observados para su costrucció o la iformació que se obtiee e las tablas de frecuecias A partir de las medidas características que se ha descrito, se puede costruir ua ueva represetació, el diagrama de caja El diagrama de caja se costruye a partir de las siguietes medidas: - El primer y el tercer cuartil, Q 1 y Q 3, que delimita la caja cetral (véase Figura 4) La logitud de la caja viee dada por el RIC, que es ua medida de dispersió absoluta - Los límites iferior y superior (e la Figura 4, so los segmetos horizotales superior e iferior) se calcula como: LI = máx{mí{x i }, Q 1 15(Q 3 Q 1 )}, LS = mí{máx{x i }, Q (Q 3 Q 1 )} E el cálculo de los límites iferior y superior se utiliza el RIC = Q 3 Q 1 - La mediaa (Q 2 ) se represeta co ua líea horizotal e la caja cetral El diagrama de caja se utiliza para determiar los valores atípicos de la muestra, que so datos que difiere uméricamete de los demás Formalmete, los datos atípicos so aquellos datos que queda fuera del itervalo (LI, LS) Si e lugar de cosiderar los límites iferior y superior costruimos el itervalo (LI e, LS e ) dode LI e = Q 1 3RIC y LS e = Q 3 + 3RIC, los datos que cae fuera de este itervalo se deomia extremos Alguos paquetes estadísticos hace la distició etre atípicos y extremos, represetádolos de distitas formas e las salidas gráficas E la Figura 4 se puede observar la presecia de datos atípicos altos, represetados co putos Si embargo, u problema del diagrama de caja es que o permite observar la presecia de multimodalidad 53 Tipificació de datos El coeficiete de variació, como ya hemos visto, se utiliza para comparar la dispersió de variables Si lo que queremos es comparar idividuos de distitos grupos, debemos utilizar la tipificació de datos A partir de ua Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 11 de 15

12 Figura 4: Diagrama de caja e histograma correspodiete muestra x 1,, x co media x y variaza s 2, los datos tipificados se costruye como: z i = x i x s de maera que la muestra resultate z 1,, z tedrá media 0 y variaza 1 La tipificació de datos permite comparar distitos grupos, así como la posició relativa de las observacioes detro de cada uo 54 Desigualdad de Tchebychev La desigualdad de Tchebychev permite costruir itervalos cetrados e la media y co amplitudes proporcioales a la desviació típica que cotiee (al meos) u determiado porcetaje de las observacioes E ua muestra x 1,, x co media x y variaza s 2, e el itervalo (x ks, x + ks) tedremos al meos el 100(1 1/k 2 ) 100 % de los datos Si tomamos k = 2, tedremos al meos el 75 % de las observacioes; si k = 3, tedremos e el itervalo al meos el % de los datos y así sucesivamete 6 Recta de regresió Existe muchas situacioes que requiere el aálisis combiado de dos ó más variables, debido a las posibles relacioes etre ellas Para variables cuatitativas (cotiuas), ua forma de represetar la depedecia etre ellas es a través de la recta de regresió E esta secció itroduciremos las medidas características usuales e este cotexto (vector de medias y matriz de variazas-covariazas) y veremos cómo se costruye ua recta de regresió 61 Vector de medias Covariaza y correlació Supogamos que teemos ua variable bidimesioal (X, Y ) y que dispoemos de las observacioes e ua muestra de tamaño, {(x i, y i )} Se deomia vector de medias al vector cuyas compoetes so las medias muestrales de las variables: ( x, ȳ) Para represetar la dispersió podemos cosiderar los valores de las variazas de cada variable por separado, es decir, sx 2 y sy, 2 pero quedaría si resumir la variabilidad cojuta de ambas Por eso debemos itroducir la Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 12 de 15

13 covariaza La covariaza etre dos variables X e Y, que es ua medida que idica la variabilidad cojuta de X e Y Se calcula como: S xy = 1 (x i x)(y i y) = 1 x i y i xy A partir de las variazas y la covariaza se obtiee la matriz de variazas-covariazas: ( ) s 2 S = x S xy S xy s 2 y Covariaza y correlació El sigo de la covariaza proporcioa iformació sobre el tipo de relació que puede existir etre las variables De este modo: a) Si la relació etre las variables es directa, etoces S xy > 0 b) Si la relació etre las variables es iversa, etoces S xy < 0 c) Si o existe relació lieal etre las variables, etoces S xy = 0 Las parejas de datos datos (x i, y i ) co i = 1,,, de las dos variables (X, Y ) (tambié llamada variable bidimesioal), se puede represetar a partir de ua ube de putos o diagrama de dispersió Esta represetació gráfica se costruye represetado sobre u plao los valores de los putos observados E la Figura 5 podemos ver dos ejemplos de relacioes etre variables La covariaza de los datos de la izquierda es positiva, mietras que la covariaza de los datos de la derecha es egativa Así, diremos que la relació etre X e Y es directa cuado valores altos de X se correspode co valores altos de Y La relació se dice que es iversa si valores altos de X se correspode co valores bajos de Y, o viceversa Figura 5: Ejemplo de diagramas de dispersió Relacioes directa e iversa La covariaza está afectada por las uidades de medida de las variables, por lo que defiiremos ua medida característica para explicar la relació lieal etre variables que sea adimesioal: el coeficiete de correlació lieal A partir de ua muestra de datos {(x i, y i )}, el coeficiete de correlació lieal se calcula como: r = S xy s x s y, dode S xy es la covariaza muestral y s x, s y so las respectivas desviacioes típicas muestrales Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 13 de 15

14 El coeficiete de correlació lieal o tiee dimesioes y toma valores e [ 1, 1] Valores cercaos a 1 os idicaría ua relació lieal directa, mietras que valores cercaos a -1 daría ua relació lieal iversa E la práctica, si el coeficiete de correlació r = 0, esto idica que o existe relació lieal etre las variables, pero podría ocurrir que etre ellas hubiese otro tipo de relació o lieal Observa que r sólo cuatifica relacioes lieales Cuado existe ua relació lieal etre dos variables, podemos tratar de buscar u modelo que describa ua e fució de otra La regresió lieal simple cosiste e aproximar los valores de ua variable a partir de los de otra utilizado ua relació de tipo lieal La recta de regresió de Y sobre X tedrá la siguiete expresió: y = a + bx, dode a represeta la ordeada e el orige o itercepto y b es la pediete (idica la razó de cambio e Y cuado X varía e ua uidad) Esta expresió os dice que, cuado x = 0, etoces y = a La variable X se deomia variable explicativa o idepediete, mietras que la variable Y será la variable respuesta, o variable depediete 62 Método de Míimos Cuadrados E la práctica, a partir de los datos {(x i, y i )} podremos calcular los valores de a y b El objetivo será obteer los valores a y b que os proporcioe los residuos más pequeños Los residuos so las diferecias etre los valores observados de la variable respuesta y i y los valores que proporcioa el ajuste ŷ i = a + bx i y viee dados por: e i = y i ŷ i = y i a bx i, i = 1,, E la Figura 6, los segmetos verticales so los residuos, que represeta la diferecia etre el valor observado y el valor que daría la recta ajustada Figura 6: Residuos a miimizar e el Método de Míimos Cuadrados Los segmetos verticales represeta los residuos e i El Método de Míimos Cuadrados cosiste e miimizar la suma de los cuadrados de los residuos, por lo que se busca los valores a y b que miimiza: e 2 i = (y i a bx i ) 2 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 14 de 15

15 A partir del Método de Míimos Cuadrados, se obtiee los valores para a y b: b = S xy sx 2, a = y bx, dode y y x deota las medias muestrales de y 1,, y y x 1,, x, respectivamete; sx 2 es la variaza muestral de X : sx 2 = 1 (x i x) 2 y S xy es la covariaza muestral etre X e Y E la Figura 6, represetamos la recta ajustada, co a y b obteidos por el método de Míimos Cuadrados Se puede comprobar que la recta de regresió ajustada por Míimos Cuadrados pasa por el vector de medias (x, y) La recta de regresió de Y sobre X se puede utilizar para predecir valores de Y coocidos los valores de X, pero o al revés E su costrucció, el parámetro pediete tiee e cueta la variaza de la variable explicativa s 2 x Además, las prediccioes co la recta de Y sobre X sólo so razoables cuado el valor de X para el que queremos hacer la predicció se ecuetra etre el míimo y el máximo de los valores observados para la variable Si quisiéramos hacer prediccioes sobre el valor de X dado u valor de Y, tedríamos que utilizar la recta de regresió: x = c + dy, co d = S xy sy 2, c = x dy 63 Coeficiete de regresió Coeficiete de determiació Coeficiete de regresió Se deomia coeficiete de regresió a la pediete (parámetro b) de la recta de regresió de Y sobre X Este coeficiete proporcioa iformació sobre el comportamieto de la variable respuesta Y e fució de la variable explicativa X y tiee el mismo sigo que la covariaza a) Si b > 0, al aumetar los valores de X tambié aumeta los valores de Y b) Si b < 0, al aumetar los valores de X, los valores de Y dismiuye Coeficiete de determiació Ua medida para determiar cómo de bueo es el ajuste del modelo es el coeficiete de determiació (r 2 ) que mide la proporció de variabilidad de Y que explica X a través de la recta de regresió El coeficiete de determiació es el cuadrado del coeficiete de correlació lieal, y toma valores etre 0 y 1 Si r 2 toma valores próximos a 1, esto será idicativo de u bue ajuste El coeficiete de determiació del modelo de regresió lieal simple viee dado por: r 2 = S2 xy sxs 2 y 2 El coeficiete de determiació, y por tato, la variabilidad explicada por la recta de regresió de Y sobre X y la de X sobre Y es el mismo Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 15 de 15