MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 9: Estadística LibrosMareaVerde.tk

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1 MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 9:

2 393 Ídice 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL 1.1. INTRODUCCIÓN 1.. MÉTODO ESTADÍSTICO 1.3. CONCEPTOS BÁSICOS 1.4. TIPOS DE VARIABLES 1.5. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS 1.6. TABLA O DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE UNA VARIABLE 1.7. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS 1.8. GRÁFICOS 1.9. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL.1. INTRODUCCIÓN.. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS CONJUNTAS.3. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS MARGINALES.4. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS CONDICIONADAS.5. INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA.6. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN. NUBE DE PUNTOS 3. COVARIANZA 3.1. IDEA CORRELACIÓN. COVARIANZA 3.. COEFICIENTE CORRELACIÓN LINEAL 3.3. RECTA REGRESIÓN LINEAL 3.4. PREDICCIÓN Y CAUSALIDAD Resume E esta uidad vamos a repasar todos los coceptos de estadística uidimesioal apredidos e cursos ateriores, revisado las tablas de frecuecias, calculado las medidas de cetralizació, media, mediaa y moda y las medidas de dispersió, variaza y desviació típica. El estudio uidimesioal lo ampliaremos al aálisis cojuto de dos variables, estudio bidimesioal, utilizado las tablas de doble etrada para estudiar la relació etre ellas y aalizado cada ua de las variables por separado desde las tablas, obteiedo así las distribucioes que ahora llamaremos margiales. Hay parejas de variables que, auque o pueda relacioarse por medio de ua fórmula, sí que hay etre ellas ua determiada relació estadística. La visualizació por medio de las ubes de putos os permitirá haceros ua idea razoable sobre esta correlació etre las variables. Ua buea forma de marcar las tedecias de las ubes de putos es haciedo uso de uas rectas que llamaremos rectas de regresió. Cuado la correlació es fuerte, los putos está muy próximos a la recta. E estos casos la recta de regresió resultará muy útil para hacer previsioes, coociedo u valor de ua variable podremos calcular el de la otra co razoable seguridad. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

3 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL Ya cooces de 3º y 4º de ESO mucho sobre, recueto de datos, tablas y gráficas, parámetros como media, mediaa, moda. Vamos a revisar estos coocimietos Itroducció La es la Ciecia que se ecarga de la recopilació, represetació y el uso de los datos sobre ua o varias características de iterés para, a partir de ellos, tomar decisioes o extraer coclusioes geerales. Ejemplo 1: El gobiero desea averiguar si el úmero de hijos por familia ha descedido respecto a la década aterior. Para ello ha etrevistado a 50 familias y les ha pregutado por el úmero de hijos obteiedo los siguietes datos: Ejemplo : U uevo hotel va a abrir sus puertas e uestra ciudad. Ates de decidir el precio de sus habitacioes, el gerete ivestiga los precios por habitació de los 40 hoteles de la misma categoría que hay cerca de uestra ciudad. Los datos obteidos so: Método estadístico La descriptiva es la parte de la estadística que se ecarga de orgaizar, resumir y dar ua primera descripció (si coclusioes geerales) de los datos. E se sigue u método estadístico que está formado por distitas fases segú se trata la iformació recibida. 0. Plateamieto del problema e térmios precisos: ámbito de aplicació (població) y características a estudio (variables). 1. Recogida de datos de la població de iterés: Muestreo.. Orgaizació, presetació y resume de los datos (o de la muestra): descriptiva. 3. Modelos matemáticos: Teoría probabilidad. 4. Obteer coclusioes geerales o verificar hipótesis. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

4 Coceptos básicos Població. Es el cojuto de idividuos o etes sujetos a estudio. Ejemplo 1: Ejemplo : Cojuto de todas las familias españolas Todos los hoteles de esta categoría de las cercaías. Alguas poblacioes so fiitas y puede coocerse e su totalidad, otras e cambio puede ser ifiitas y abstractas. Muestra: Es el úmero de datos que tomamos de la població para realizar uestro estudio. Ejemplo 1: Las 50 familias a las que se ha pregutado por el úmero de hijos Ejemplo : Los 40 hoteles. Tamaño muestral: Número de observacioes e la muestra. Habitualmete se deotará por. Ejemplo 1: = 50. Ejemplo : = 40. Dato: Cada valor observado de la variable. Ejemplo 1: Ejemplo : Variable: Característica que estamos midiedo. Ejemplo 1: Número de hijos. Ejemplo : Precio de la habitació. Las variables suele deotarse por las letras mayúsculas X, Y.. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

5 Tipos de variables Cualitativas o categóricas: Aquellas que o so medibles, es decir aquellas cuyas observacioes o tiee carácter umérico. Expresa cualidades o categorías. Ejemplos: Sexo, profesió, estado civil Cuatitativas: Aquellas que so medibles, es decir, sus observacioes tiee carácter umérico. Estas se divide e: Discretas: Toma valores uméricos fijos. Ejemplos: Número de habitacioes, úmero de hijos de ua familia, úmero de trabajadores de ua fábrica Cotiuas: Toma valores e itervalos de úmeros Ejemplos: Peso, estatura, cuado se orgaiza los datos e itervalos Distribucioes de frecuecias Observado los datos del ejemplo es fácil adiviar cuál será el primer paso e la orgaizació de los datos, cosistirá e agrupar los datos que se repite varias veces. Teemos las siguietes defiicioes: Frecuecia absoluta ( i ): Es el úmero de veces que se repite e la muestra u determiado valor (x i ) de la variable. Ejemplo: Propiedad: Para el dato x 1 = 0, 1 = ; para el dato x 4 = 3, 4 = 15. La suma de todas las frecuecias absolutas es igual al tamaño muestral. i Frecuecias relativas (f i ): Es igual a la frecuecia absoluta dividida por el úmero total de datos, es decir por el tamaño muestral. i f i Ejemplo: 15 f 1 0'04 f 4 0' Propiedad: La suma de todas las frecuecias relativas es igual a 1. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

6 397 Frecuecias acumuladas (N i ): Nos dice el úmero de datos que hay igual o iferiores a uo determiado. Se calcula sumado el úmero de frecuecias absolutas que hay ateriores a llegar a la que queremos calcular. Ejemplo: Propiedad: N 1 = N 4 = 4. La última frecuecia acumulada es igual al tamaño muestral, al úmero total de datos. Frecuecia relativa acumulada (F i ): Es el resultado de dividir cada frecuecia acumulada por el úmero total de datos. Ejemplo: Propiedad: F 1 4 0'04 F ' 84 F i La última frecuecia relativa acumulada es siempre 1. N i 1.6. Tabla o distribució de frecuecias de ua variable Llamamos así a ua tabla coteiedo el cojuto de diferetes valores que ha tomado ua variable (los datos si repetir) ordeados de meor a mayor co sus correspodietes frecuecias. Actividades resueltas La tabla de valores del ejemplo 1 del úmero de hijos x i i f i N i F i Cuál es el úmero de familias que tiee como máximo dos hijos? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

7 398 Miramos la columa seguda i: = 7 o miramos la columa cuarta, tercera fila: N i: os da 7 Cuátas familias tiee más de u hijo pero como máximo 3? Miramos la columa seguda: = 36 o miramos la columa cuarta y restamos las filas cuarta meos seguda 4 6 = 36. Qué porcetaje de familias tiee más de 3 hijos? Miramos e la columa tercera: = % o e la columas quita restado a la última fila la cuarta fila, es decir, = % Distribucioes de frecuecias agrupadas Ahora vamos a trabajar co ua distribució de frecuecias agrupadas co el ejemplo del precio de ua habitació de hotel. Ejemplo : x i i f i N i F i Esta tabla es demasiado grade y muy poco operativa. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

8 399 Cuado la variable toma muchos valores, la tabla que se obtiee es demasiado grade y por tato poco clarificadora, esto os va a ocurrir frecuetemete e el caso e que la variable a estudiar sea cotiua. La solució a este problema está e agrupar los diferetes valores de la variable e itervalos o itervalos de clase. Teiedo e cueta que lo que gaamos e maejabilidad lo perdemos e iformació, es decir los resultados será aproximados. Agrupar e itervalos de clase cosiste e agrupar los datos e úmeros relativamete pequeño de itervalos que cumpla: No se superpoga etre sí, de forma que o exista ambigüedad co respecto a la clase a que perteece ua observació particular. Cubra todo el rago de valores que teemos e la muestra. Llamaremos: A las froteras del itervalo, límites iferior y superior de clase y los deotaremos por l i, L i respectivamete. Marca de clase (c i ) al puto medio del itervalo, es decir, al promedio aritmético etre el límite Li li iferior y el superior: ci. Es el valor que tomaremos como represetativo del itervalo o clase. Amplitud (a i ) es la diferecia etre el extremo superior e iferior: a i = L i l i. Al úmero de observacioes de ua clase se le llama frecuecia de clase ( i ) si dividimos esta frecuecia por el úmero total de observacioes, se obtiee la frecuecia relativa de clase (f i ), y del mismo modo que lo hacíamos para datos si agrupar defiiríamos (N i ) y (F i ). Cómo costruir ua distribució de frecuecias agrupada e itervalos 1. Empezamos determiado el recorrido de la variable (Re) o rago de valores que teemos e la muestra. Se defie como la diferecia etre el mayor y el meor valor de la variable.. Número de clases. Depede del tamaño de la muestra. Para muestras de tamaño moderado N meor que 50, se suele elegir u úmero de clases o itervalos igual a. Para muestras log( ) mayores se utiliza la fórmula de Sturges 1, e geeral el úmero de itervalos o debe log( ) sobrepasar de 15 o 0, e casos de muestras muy grades. 3. Determiamos la amplitud de los itervalos. Es más cómodo que la amplitud de todas las clases sea la misma (siempre que sea posible y excepto el primero y el último), si es así a i = a = Re/º itervalos. 4. Tomaremos como regla geeral, a o ser que se idique lo cotrario, hacer que el itervalo esté cerrado por la izquierda y abierto por la derecha (excepto el último itervalo). Ejemplo: Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

9 400 Represeta la distribució de frecuecias agrupadas para los datos del ejemplo del precio de las habitacioes de u hotel. Recorrido: El meor valor es 33 y el mayor es 61, la diferecia es 8 y por tato el recorrido es: Re = 8. Número de clases: N = 40, hacemos que la tabla tega 6 clases, pues Amplitud: a = 8/6 = 4 67 Como la amplitud os sale u úmero co decimales los itervalos os va a quedar raros por tato hacemos el arreglo siguiete: Para que los itervalos os quede co amplitud 5 tomamos como primer valor el 3 5 e lugar del 33 y como último el 6 5 e lugar del 61. Amplitud: a = 5. Así pues la tabla queda: [l i, L i [ c i i f i N i F i [3 5, 37 5[ [37 5, 4 5[ [4 5, 47 5[ [47 5, 5 5[ [5 5, 57 5[ [57 5, 6 5[ Cuátos hoteles tiee u precio etre 3 5 y 37 5 euros? 3 Cuátos hoteles tiee u precio superior a 47 5? 15 Qué porcetaje de hoteles cuesta como mucho 4 5? 7 5 %. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

10 401 Actividades propuestas 1. Completa los datos que falta e la tabla. x i i f i N i F i Completa los datos que falta e la tabla Gráficos [l i, L i [ i f i N i [0, 10[ [10, 0[ 0 4 [0, 30[ [30, 40[ 0 1 [40, 50] 00 La forma de la distribució de frecuecias se percibe más rápidamete y quizás se retiee durate más tiempo e la memoria si la represetamos gráficamete. Diagrama de barras Es la represetació gráfica usual para las variables cuatitativas si agrupar o para variables cualitativas. E el eje de abscisas represetamos los diferetes valores de la variable x i. Sobre cada valor levatamos ua barra de altura igual a la frecuecia (absoluta o relativa) Número de hijos Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

11 40 Diagrama de sectores o pastel Es el más usual e variables cualitativas. Se represeta mediate círculos. A cada valor de la variable se le asocia el sector circular proporcioal a su frecuecia. Para hallar el águlo usamos ua regla de tres: 360º o 1 360º Ejemplo 3: i águlo i f i águlo i E uas votacioes de ua comuidad de vecios para decidir si cambia la atea de televisió de la comuidad, de 50 vecios 5 vota a favor, 15 e cotra y 10 se abstiee. Represeta los datos mediate u diagrama de sectores. x i f i A favor 0 5 E cotra 0 3 Absteció 0 1 votacioes a favor e cotra absteció Histogramas Es la represetació gráfica equivalete al diagrama de barras para datos agrupados. E el eje de ordeadas represetamos las clases y levatamos sobre cada clase rectágulos uidos etre sí de altura i igual a la frecuecia de la clase (absolutas o relativas) si todas las clases tiee la misma amplitud y a o f a i i si tiee distitas amplitudes. E cualquier caso, observa que, e u histograma el área de los rectágulos es proporcioal a la frecuecia represetada. i Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

12 403 Precio de habitació de hotel ]3.5, 37.5] ]37.5,4.5] ]4.5,47.5] ]47.5,5.5] ]5.5,57.5] ]57.5,6.5] El histograma o diagrama de barras proporcioa mucha iformació respecto a la estructura de los datos (y si la muestra es represetativa de la població, respecto a la estructura de la població): el valor cetral de la distribució, su dispersió y la forma de la distribució. Polígoo de frecuecias Es la represetació habitual para datos cuatitativos agrupados de las frecuecias (absolutas o relativas, acumuladas absolutas o relativas), mediate putos se represeta las frecuecias e el eje de ordeadas y la marca de clase e el de abscisas. Después se ue estos putos por segmetos de rectas Precio de habitació de hotel Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

13 Parámetros estadísticos de posició Para datos cualitativos, la distribució de frecuecias proporcioa u resume cociso y completo de la muestra, pero para variables cuatitativas puede complemetarse este resume utilizado medidas descriptivas uméricas extraídas de los datos. Estas medidas so valores uméricos calculados a partir de la muestra y que os resume la iformació coteida e ella. Media aritmética Es el promedio aritmético de las observacioes, es decir, el cociete etre la suma de todos los datos y el úmero de ellos. (Teiedo e cueta que si u valor se repite hay que cosiderar estas repeticioes). k i xii x xi f i i1 Si los datos está agrupados e itervalos utilizaremos las marcas de clase, c i, e vez de x i. Es la medida de cetralizació más importate. Ejemplo 1. Número medio de hijos x '5 hijos Utilizado los datos de las frecuecias relativas. Ejemplo. x 00'0410'08 0'430'043 40' 150'0 60'0 '5 hijos. Precio medio. Como teemos los datos agrupados e itervalos utilizamos las marcas de clase: 35'3 40'8 45' 14 50'6 55'4 60' x 46' O equivaletemete: x 350' ' 450'35500' ' 600' 15 4'6875. Propiedades. 1. Si a todos los valores de ua variable les sumamos ua costate, la media aritmética queda aumetada e esa costate.. Si a todos los valores de ua variable los multiplicamos por ua costate, la media aritmética queda multiplicada por la misma costate. 3. Si cosideramos y i = a + bx i siedo a y b dos costates cualesquiera, la ueva media aritmética quedaría y a bx 4. La suma de todos los valores de la variable restádoles la media es cero. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

14 405 Mediaa Es aquel valor que, al ordear las observacioes de meor a mayor, ocupa el lugar cetral, dividiedo al cojuto de observacioes e dos partes iguales. Es decir, que deja a su derecha y a su izquierda el 50 por cieto de las observacioes. Si el tamaño de la muestra,, es impar, ecesariamete existe u dato que ocupa el lugar cetral, cocretamete el dato que al ordearlos está e la posició (+1)/; pero si es par, so dos los datos que ecotramos e el lugar cetral, los que ocupa los lugares / y (/)+1, calculado etoces la mediaa como el puto medio etre ambos datos. Ejemplo 4: Si teemos los datos de 30 valores sobre el peso de los estudiates de 1º de bachillerato ordeados de meor a mayor Como = 30 es par, la mediaa será el valor medio de los valores que ocupa las posicioes 15 y 16 e la tabla: Mediaa = Me = ( )/ = 68 3 kg. Ejemplo 5: Las 13 primeras observacioes correspodietes al úmero de chocolatias cosumidas e u día por los estudiates de ua clase so: El dato que ocupa el valor cetral, es el que ocupa el lugar séptimo ya que hay 13 valores, ese dato es la mediaa por tato la mediaa es. Me =. Moda Es aquel valor que tiee mayor frecuecia. E el caso de las frecuecias agrupadas e itervalos se toma el itervalo que más veces se repite como la moda Ejemplo 5: Para la variable cosumo de chocolatias del ejemplo 5 la moda es Mo = Ejemplo : Para los datos del ejemplo es el itervalo [4 5, 47 5). Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

15 406 Percetiles El percetil p ésimo es aquel valor que verifica la codició de que el p % de los datos so meores o iguales a él. Así, el percetil 70 supoe que el 70 % de los datos so meores o iguales a él. Ejemplo: Nota: Queremos calcular el percetil 30 de los datos del ejemplo 5, tedremos e cueta que el 30 % de 30 datos que hay es 9, así buscamos el dato que ocupa esa posició e la ordeació del ejemplo 5, que es Si queremos calcular el percetil 15, teemos e cueta que el 15 % de 30 es 4 5, pero como este dato o perteece a igua posició tomamos la aproximació por exceso, o sea tomamos el dato que ocupa la posició 5 por tato el percetil 15 seria el dato Tambié es posible aproximarlo mejor mediate ua iterpolació lieal. Los percetiles 5, 50 y 75 recibe el ombre de primer cuartil, segudo cuartil y tercer cuartil. Además el segudo cuartil que es el percetil 50 coicide co la mediaa. Si los datos está ordeados e itervalos tomamos el itervalo correspodiete al porcetaje del percetil como valor del percetil correspodiete Parámetros estadísticos de dispersió Las medidas de posició estudiadas e el apartado aterior, os da ua iformació icompleta, por parcial, acerca de los datos. Veamos u ejemplo: Supogamos las otas de matemáticas de los estudiates perteecietes a dos clases distitas clase A y clase B, co 10 estudiates cada ua. Clase A 4, 3, 5, 6, 4, 5, 5, 7, 5, 6 Clase B 1, 4, 3, 5, 6, 8,, 7, 5, Clase A ,5 1,5 1 0,5 0 Clase B E los dos casos la media, como podemos calcular es 5, pero sus diagramas de frecuecias so muy distitos. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

16 407 Los diagramas de frecuecias ateriores os muestra que los valores se distribuye simétricamete respecto a la ota 5, pero e la clase A existe ua meor dispersió que e la clase B. Cómo medir la distita maera e que los valores se agrupa alrededor de la media? Las distitas medidas de dispersió proporcioa esta iformació. Al igual que ocurre para la posició, existe diversas formas para medir la dispersió, de etre ellas estudiaremos: rago, desviació típica, variaza y rago itercuartílico. Rago Es la diferecia etre el dato mayor y el dato meor. Así por ejemplo El rago de las otas de la clase A vale 7 3 = 4 y el rago e la clase B vale 9 1 = 8, deotado mayor dispersió de la variable e la clase B. La variaza y la desviació típica Puesto que se trata de medir cómo se agrupa los datos alrededor de la media, podríamos utilizar como criterio las desviacioes de dichos datos respectos aquella, es decir, las diferecias etre la media y los datos y más cocretamete la media de esas diferecias. Auque a primera vista la sugerecia pueda ser buea, vamos a aplicarla a los valores de las otas de clase para evideciar el icoveiete isalvable que ua medida de este tipo tiee. E los cuadros aparece las otas de cada clase y e columas sucesivas sus desviacioes respecto a la media y el cuadrado de estas desviacioes, al que aludiremos más tarde. Al tratar de obteer la media de las diferecias, que recordemos es la suma de todas ellas divididas por su úmero, os ecotramos que dicha media es 0 e ambos casos, porque existiedo desviacioes positivas y egativas, uas aula los efectos de las otras. E realidad eso os ocurrirá co cualquier otro cojuto de datos, porque puede demostrarse que esa es ua propiedad que tiee las desviacioes respecto de la media. Nota Clase A x i x d i Nota Clase B x i x d i Suma 0 1 Suma 0 60 Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

17 408 E las tablas aparece las desviacioes respecto de la media y sus cuadrados para las otas de las dos clases. Puesto que el uso de las desviacioes respecto de la media parece razoable, cómo resolver el problema que las sumas de 0? Ua secilla maera de hacerlo es utilizar, o las desviacioes, sio sus cuadrados. Al ser éstos catidades positivas, su suma uca podrá ser cero. De acuerdo co esto la variaza se defie por la fórmula. Variaza = s suma del cuadrado de las desviacioes i1 x x x La desviació típica se defie como la raíz cuadrada de la variaza y la desigaremos por s. Ejemplo: s = Variaza Para el ejemplo de las otas de las clases. 1 Clase A s 1' 33 s 1'33 1' Clase B s 6' 66 s 6'66 ' 58 9 Que poe de maifiesto la diferete distribució de los valores e u caso y e el otro. Propiedad de la desviació típica i i i1 i i x 1. Aproximadamete el 68 % de los datos dista como mucho ua desviació típica de la media.. Aproximadamete el 95 % de los datos dista como mucho dos desviacioes típicas de la media. 3. Aproximadamete más del 99 % de los datos dista como mucho tres desviacioes típicas de la media. Rago itercuartílico. Se defie como la diferecia etre el tercer y el primer cuartil. El itervalo itercuartílico es el itervalo defiido por los cuartiles primero y tercero, cuya logitud es, el rago itercuartílico. Este itervalo así defiido cotiee el 50 % de los datos. Coeficiete variació Si queremos comparar dos secuecias de datos, y decir e cual hay mayor dispersió, sobre todo e el caso e que sea datos expresados e diferetes uidades, co los parámetros defiidos, desviació típica, itervalo itercuartílico, lo teemos complicado, por eso se hace ecesario defiir el coeficiete de variació como, s CV 100 x Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

18 409 Ejemplo: E el ejemplo de las calificacioes de dos clases os permite comparar las dos secuecias de datos. Clase A CV = (1 15/5)100 = 3 %. Clase B CV = ( 58/5)100 = 51 6 %. Llegado a la misma coclusió que percibíamos e los histogramas ya que la clase B tiee ua mayor dispersió de las otas. Actividades propuestas 3. Clasifica las siguietes variables como cualitativas o cuatitativas, y estas últimas como cotiuas o discretas. a) Iteció de voto de u partido b) Número de correos electróicos que recibes e u mes. c) Número de calzados. d) Número de kilómetros recorridos e fi de semaa. e) Marcas de cerveza f) Número de empleados de ua empresa g) Altura h) Temperatura de u efermo. 4. Muchas persoas que ivierte e bolsa lo hace para coseguir beeficios rápidos, por ello el tiempo que matiee las accioes es relativamete breve. Pregutada ua muestra de 40 iversores habituales sobre el tiempo e meses que ha mateido sus últimas iversioes se recogiero los siguietes datos: Costruye ua tabla de frecuecias que recoja esta iformació y haz algua represetació gráfica. 5. Ivestigados los precios por habitació de 50 hoteles de ua provicia se ha obteido los siguietes resultados Determiar: a) Distribució de frecuecia de los precios, si agrupar y agrupado e 5 itervalos de la misma amplitud. b) Porcetaje de hoteles co precio superior a 75. c) Cuátos hoteles tiee u precio mayor o igual que 50 pero meor o igual a 100? d) Represeta gráficamete las distribucioes del apartado a). Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

19 El gobiero desea saber si el úmero medio de hijos por familia ha descedido respecto a la década aterior. Para ello se ha ecuestado a 50 familias respecto al úmero de hijos y se ha obteido los datos siguietes a) Costruye la tabla de frecuecias co estos datos. b) Cuátas familias tiee exactamete 3 hijos? c) Qué porcetaje de familias tiee exactamete 3 hijos? d) Qué porcetaje de familias de la muestra tiee más de dos hijos? Y meos de tres? e) Costruye el gráfico que cosideres más adecuado co las frecuecias o acumuladas. f) Costruye el gráfico que cosideres más adecuado co las frecuecias acumuladas. 7. E u hospital se desea hacer u estudio sobre los pesos de los recié acidos. Para ello se recoge los datos de los 40 bebes y se tiee: a) Costruye la tabla de frecuecias. b) Si sabemos que los bebes que pesa meos de 3 kilos lo hace prematuramete Qué porcetaje de iños prematuros ha acido etre estos 40? c) Normalmete los iños que ace prematuros que pesa más de 3 kilos y medio o ecesita estar e icubadora. Puedes decir que porcetaje de iños está e esta situació? d) Represeta gráficamete la iformació recibida. 8. E ua fica de vecios de Beicasim, se reúe la comuidad de vecios para ver si cotrata a ua persoa para que les lleve la cotabilidad. El resultado de la votació es el siguiete: 5 vecios a favor de la cotratació, 15 vecios e cotra y 5 vecios se abstiee. Represeta la iformació mediate u diagrama de sectores 9. Se toma ocho medicioes del diámetro itero de los aillos para los pistoes del motor de u automóvil. Los datos e mm so: Calcula la media y la mediaa de estos datos. Calcula tambié la variaza, la desviació típica y el rago de la muestra. 10. Dada la distribució de datos co frecuecias 4, 8, 4, 3, 8, halla la media de la distribució. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

20 La distribució de los salarios e la idustria turística española es la que figura e la tabla. Calcula: a) El salario medio por trabajador (marcas de clase del último itervalo 0000 b) El salario más frecuete. c) El salario tal que la mitad de los restates sea iferior a él. [l i, L i [ i [0,1500[ 145 [1500, 000[ 150 [000, 500[ 840 [500, 3000[ 955 [3000, 3500[ 1110 [3500, 4000[ 34 [4000, 5000[ 610 [5000, 10000[ Calcula la mediaa, la moda, primer y tercer cuartil y oagésimo percetil de la distribució: x i i Se ha diseñado dos uidades gemelas de platas pilotos y ha sido puestas e fucioamieto e u determiado proceso. Los resultados de los diez primeros balaces e cada ua de las uidades ha sido los siguietes: Uidad A Uidad B a) Haz ua represetació gráfica de estas muestras. b) Determia las medias y las variazas. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

21 E cierto barrio se ha ecotrado que las familias residetes se ha distribuido, segú su composició de la forma siguiete: Composició Nº de familias a) Cuál es el úmero medio de persoas por familia? b) Cuál es el tamaño de la familia más frecuete? c) Si solo hubiera plazas de aparcamieto para el 75 % de las familias y estas se atediera por familias de mayor tamaño a meor, qué compoetes tedría que teer ua familia para etrar e el cupo? d) Número de miembros que tiee como máximo el 85 % de las familias. 15. Al lazar 00 veces u dado se obtuvo la siguiete distribució de frecuecias. x i i a b 35 Halla la mediaa y la moda de la distribució, sabiedo que la media aritmética es Los siguietes datos so medidas de la capacidad craeal de u grupo de homíidos: 84, 49,61, 40, 83, 67, 45, 66, 70, 69, 80, 58, 68, 60, 67, 7, 73, 70, 57, 63, 70, 78, 5, 67, 53, 67, 75, 61, 70, 81, 76, 79, 75, 76, 58, 31. a) Calcula la media y la mediaa muestrales. b) Halla los cuartiles primero y tercero. c) Halla los percetiles cicueta y oveta. d) Calcula el rago muestral. e) Calcula la variaza muestral y la desviació estádar muestral. 17. Los siguietes datos procede de u estudio de cotamiació del aire a) Costruye u histograma. b) Determia los cuartiles. c) Calcula la media y la desviació típica. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

22 413. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL.1. Itroducció Ejemplo 1: Co el fi de hacer u estudio de aceptació sobre dos modelos de impresoras 3D de reciete fabricació, se cosideraro el úmero de vetas efectuado por u determiado distribuidor durate 5 días. Modelo A: Modelo B: E muchos procesos de la vida se hace ecesario estudiar simultáeamete dos características, dos variables. Su estudio cojuto permite determiar las relacioes etre ellas. Supodremos iicialmete que estamos observado dos variables auque el tratamieto que se preseta se geeraliza si dificultad a cualquier úmero de variables. Notació. Cotiuado co el ejemplo vamos a llamar: X úmero de impresoras del modelo A vedidas e u día. Y úmero de impresoras del modelo B vedidas e u día. umero de pares de observacioes. x i Cada dato diferete observado e la muestra de X. K úmero de valores distitos de X. y j Cada dato diferete observado e la muestra de Y. h úmero de valores distitos de Y... Distribució de frecuecias cojutas Cuado queremos describir cojutamete dos variables, el primer paso al igual que e el caso uivariate, será la represetació de los datos e ua tabla de frecuecias. Frecuecia absoluta cojuta ( i j ) Número de veces que se preseta e la muestra el valor x i de la variable X co el valor y j de la variable Y. Ejemplo 1: Propiedad: Para el par de valores x 1 = 0, y 3 =, 13 = 1 La suma de las frecuecias absolutas es igual a. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

23 414 Frecuecia relativa cojuta Ejemplo 1: f ij ij Propiedad f '04 La suma de las frecuecias relativas es igual a la uidad. Tabla de frecuecias cojuta Llamamos así a ua tabla de doble etrada dode se represeta e la primera columa los diferetes valores observados para la variable X ordeados de meor a mayor y e la primera fila los diferetes valores observados para la variable Y, y e el cetro de la tabla sus correspodietes frecuecias cojutas, tato absolutas como relativas. Ejemplo 1: x i / y j i f i 0 0/0 0/0 1/0 04 0/ /0 0/0 0/0 1/ /0 3/0 1 5/0 0 0/ /0 8/0 3 4/0 16 0/ /0 04 /0 08 0/0 0/ i f i Qué porcetaje de días vederemos ua impresora del modelo A y 3 del modelo B? 4 % Qué porcetaje de días vederemos más impresoras del modelo B que del modelo A? 8 %; NOTA: E el caso e que las variables sea cualitativas la tabla de distribució cojuta tambié recibe el ombre de tabla de cotigecia. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

24 415 Ejemplos de tablas de cotigecia. 1. Se quiere estudiar el efecto de tres fármacos e el tratamieto de ua efermedad ifecciosa. Para ello se dispoe de u grupo de pacietes ifectados, distribuyédose al azar e tres grupos de tratamieto. Tratamieto A Tratamieto B Tratamieto C Total Si mejora No mejora Total E u estudio se ha aplicado durate u año ua terapia basada e la ejercitació metal para frear el deterioro cogitivo observado e 3 efermedades degeerativas, e la tercera edad. Para evaluar el grado e que la terapia es efectiva, se ha registrado los resultados observados al cabo de u año de tratamieto e cada tipo de efermedad, teiedo e cueta que la evolució atural al cabo de u año, de estas efermedades, es el empeoramieto. Empeora Estable Mejora Total Parkiso seil Alzheimer Demecia vascular Total Distribució de frecuecias margiales Para distiguir las frecuecias de cada variable al estudiarlas aisladamete llamaremos frecuecias margiales a las de cada variable por separado. De esta forma tedríamos dos distribucioes uidimesioales a partir de las cojutas. Frecuecia absoluta margial Para la X (x i ) sería el úmero de veces que se repite el valor x i si teer e cueta los valores de Y, la represetamos por i. Para la Y (y j ) sería el úmero de veces que se repite el valor y j si teer e cueta los valores de la X, la represetamos por j. Nota: 1. Co las defiicioes de media, desviació típica y variaza del apartado de distribucioes uidimesioales, utilizado para la X los valores x i y el úmero de veces que se repite i y N el úmero total de pares observados, y para la Y los valores y j y el úmero de veces que se repite j y N el úmero total de pares observados, calcularemos las medias margiales, desviacioes típicas margiales y variazas margiales.. Si os fijamos bie podemos relacioar el ombre de frecuecias margiales co el hecho de que tato los valores de las variables, x i e y j como las veces que aparece cada uo de estos datos, i y j los ecotramos e los márgees de la tabla de distribució cojuta. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

25 416 Frecuecias relativas margiales A partir de las ateriores, y del mismo modo, se costruirá estas frecuecias f i y f j. La distribució de frecuecias margiales puede colocarse e ua tabla separadamete. Pero si deseamos teer toda la iformació e ua misma tabla lo que se suele hacer es colocar: E la última columa de la tabla cojuta, las frecuecias margiales de X es decir, i, añadiedo tatas columas como otros tipos de frecuecias margiales se desee añadir. E la última fila de la tabla cojuta, las frecuecias margiales de Y, es decir, j añadiedo tatas filas como otros tipos de frecuecias margiales se desee añadir..4. Distribució de frecuecias codicioadas A partir de la distribució de frecuecias cojutas podemos defiir otro tipo de distribucioes uidimesioales, tato para X como para Y. Estas distribucioes se obtedrá al fijar el valor de la otra variable y recibe el ombre de distribucioes codicioadas. Frecuecia absoluta codicioada para X (x i ) dado que Y (y j ) es el úmero de veces que se repite el valor x i teiedo e cueta solo aquellos valores e que Y (y j ); así es i(j) = ij para todo i = 1,,, k. Frecuecia absoluta codicioada para Y (y j ) dado que X (x i ) es el úmero de veces que se repite el valor y j teiedo e cueta solo aquellos valores e que X (x i ); así es (i)j = ij para todo j = 1,,, h. E las distribucioes codicioadas o se suele utilizar las distribucioes absolutas, puesto que como sabemos, estas depede del úmero de datos y el úmero de datos será diferete para cada distribució, pues depederá de la frecuecia del valor que fijamos de la otra variable. So mucho más útiles las frecuecias codicioadas que se defie: Frecuecia relativa codicioada para X dado que Y = y j es f i( j) Frecuecia relativa codicioada para Y dado que X = x i es ( i) j ij j Ejemplo: Distribució de frecuecias de X codicioada a Y = 1 x i i() f i() f ij i Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

26 417 Nota: Si la tabla resulta muy grade deberemos agrupar ua o las dos variables e itervalos de clase del mismo modo que lo hacíamos e el apartado de ua variable. E este caso todas las defiicioes se aplica tal como las hemos visto e dicho apartado..5. Idepedecia estadística Defiició 1: Dos variables X e Y se dice que so idepedietes estadísticamete cuado la frecuecia relativa cojuta es igual al producto de las frecuecias relativas margiales, es decir, para todo i, j: Defiició : f ij ij f i f j i j Dos variables X e Y se dice que so idepedietes estadísticamete cuado todas las frecuecias relativas codicioadas so iguales a sus correspodietes frecuecias margiales, es decir: f i(j) = f i para todo j y f (i)j = f j para todo i..6. Diagrama de dispersió. Nube de putos Se obtiee represetado cada par observado (x i, y j ), como u puto del plao cartesiao. Se utiliza co los datos si agrupar y sobre todo para variables cotiuas. Si los datos está agrupados se toma las marcas de clase. Es más útil porque os permite ver visualmete la relació etre las dos variables. 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 o relació ,5 3,5 1,5 1 0,5 0 relació lieal iversa ,5 1,5 1 0,5 0 relació lieal directa Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

27 COVARIANZA 3.1. Idea correlació. Covariaza Al aalizar dos variables cuatitativas de forma cojuta, el objetivo que se pretede es, por lo geeral, determiar si existe o o algú tipo de variació cojuta o covariaza etre ellas: si ua variable aumeta, la otra tambié o lo cotrario. La catidad se deomia covariaza S xy y tiee la siguiete expresió: i j( xi x) ( yi y) ij xi yi S xy Ayuda a aalizar la covariaza etre dos variables de la forma siguiete: Por ejemplo Por ejemplo, i j ij x y Cuado el resultado es positivo, hay ua tedecia a que a mayores observacioes de X correspoda mayores observacioes de Y. A mayor catidad de agua de lluvia e u año, suele correspoder ua mejor cosecha. Cuado el resultado es egativo, la tedecia resulta cotraria; es decir a mayores valores de la variable X solemos ecotrar meores valores de la variable Y. A mayor reta per cápita e los países suele ecotrarse ua meor mortalidad ifatil. 3.. Coeficiete correlació lieal El valor de la covariaza depederá de los valores de las variables, por tato de sus uidades. Para poder elimiar las uidades y teer ua medida adimesioal utilizamos el coeficiete de correlació r xy : r xy S xy s s Siedo tambié ivariate frete a trasformacioes lieales (cambio de orige y escala) de las variables. Citamos las siguietes propiedades: Es u coeficiete adimesioal. Toma valores etre 1 y 1. Si hay relació lieal positiva el valor será positivo y próximo a 1. Si hay relació lieal egativa el valor será egativo y próximo a 1. Si o hay relació el valor se aproxima a cero. x Si X e Y so idepediete el valor del coeficiete es cero. Pero o al cotrario. Puede ocurrir que el coeficiete de correlació valga cero y las variables sea depedietes. y Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

28 Recta regresió lieal El diagrama de dispersió o ube de putos os permitía visualizar la relació etre dos variables X e Y. Al represetar el diagrama de dispersió podemos ecotrar las siguietes situacioes: Distribucioes estadísticas para las que la ube de putos se dispoe de tal forma que existe ua fució matemática cuyos putos so ua parte de su represetació gráfica. Si coicidir sus putos co los de ua gráfica de ua fució matemática, se aproxima a ella co mayor o meor itesidad. La ube de putos preseta u aspecto tal que o existe cocetració de putos hacia igua grafica matemática, distribuyédose de ua forma uiforme e ua regió del plao. E el primer caso se dice que existe ua depedecia fucioal o exacta etre las variables X e Y, es decir existe ua fució matemática tal que y = f(x). E el segudo caso se dice que existe ua depedecia estadística o aproximada etre las dos variables, Y aproxima f(x). Y e el último caso decimos que las variables so idepedietes. Es el segudo caso del que se ocupa la teoría de regresió. Las técicas de regresió tiee por objeto modelar, es decir, ecotrar ua fució que aproxime lo máximo posible la relació de depedecia estadística etre variables y predecir los valores de ua de ellas: Y (variable depediete o explicada) a partir de los valores de la otra (u otras): X (variable idepediete o explicativa). Llamamos regresió Y sobre X a la fució que explica la variable Y (depediete) para cada valor de la X (idepediete). Llamamos regresió de X sobre Y a la fució que explica la variable X (depediete) para cada valor de la Y (idepediete). La recta de regresió que estudiamos es ua fució lieal por que el modelo de fució de regresió seleccioado es ua recta. S Recta de regresió Y sobre X es y = a + bx dode a y bx y b = s xy x. Recta de regresió de X sobre Y es x = a + b y dode S xy a ' x b' y y b =. s y Los valores de b y b so los correspodietes coeficietes de regresió para cada ua de las rectas. Hay que teer e cueta que la recta de regresió de x sobre y o se obtiee despejado x de la recta de regresió de y sobre x Predicció y causalidad El objetivo último de la recta de regresió es la predicció de ua variable para u valor determiado de la otra. La predicció de Y para X = x 0, será simplemete el valor obteido e la recta de regresió de Y sobre X al sustituir el valor de x por x 0. Es claro que la fiabilidad de esta predicció será tato mayor cuato mayor sea la correlació etre las variables, es decir mayor sea el valor de r xy. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

29 40 Actividades propuestas 18. Los datos siguietes so las calificacioes obteidas por los estudiates de u grupo de 5 de 1º de bachillerato e las asigaturas de Matemáticas y Legua. Matemáticas Legua Matemáticas Legua a) Escribe la tabla de frecuecias cojuta. b) Proporció de estudiates que obtiee más de u cico e ambas asigaturas, proporció de estudiates que obtiee más de u cico e Matemáticas, proporció estudiates que obtiee más de u cico e Legua. c) So idepedietes las calificacioes de Matemáticas y Legua? d) Represeta gráficamete. e) Calcula el coeficiete correlació. 19. Para realizar u estudio sobre la utilizació de ua impresora e u determiado departameto, se midió e u día los miutos trascurridos etre las sucesivas utilizacioes X y el úmero de págias impresas Y, obteiédose los siguietes resultados. X Y a) Escribe la distribució de frecuecias cojuta. Porcetaje de veces que trascurre más de ueve miutos desde la aterior utilizació y se imprime meos de doce págias. Número de veces que se imprime meos de doce págias y trascurre ueve miutos desde la utilizació aterior. b) Frecuecias margiales. Veces que se imprime como mucho doce págias. Número de págias que se imprime e el 80 % de las ocasioes. c) Calcula la distribució del úmero de págias impresas codicioada a que ha trascurrido ueve miutos etre sucesivas utilizacioes. d) Dibuja el diagrama de dispersió. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

30 41 0. Las estaturas de los 30 iños acidos e ua materidad durate ua semaa fuero los siguietes: Estatura Peso a) Costruye ua tabla de doble etrada, agrupado los pesos e itervalos de 0 5 kg. b) Es la estatura idepediete del peso? 1. E el exame de ua asigatura que costa de parte teórica y parte práctica, las calificacioes de ueve alumos fuero: Teoría Práctica Calcula la covariaza y el coeficiete de correlació lieal. Dibuja la ube de putos. Cometa los resultados.. Se desea ivestigar el gaado caprio y el gaado ovio de u país. E la tabla de doble etrada adjuta se preseta los resultados de u estudio de 100 explotacioes gaaderas, seleccioadas aleatoriamete del ceso agropecuario. Se proporcioa las frecuecias cojutas del úmero de cabezas (e miles) de cabras X y ovejas Y que posee las explotacioes. X / Y a) Halla las medias, variazas y desviacioes típicas margiales. b) Halla el úmero medio de ovejas codicioado a que e la explotació hay 000 cabras. c) Halla el úmero medio de cabras que tiee aquellas explotacioes que sabemos que o tiee ovejas. d) Halla la covariaza y el coeficiete de correlació etre ambas variables. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

31 4 3. El volume de ahorro y la reta del sector familias e milloes e euros costates de 005 para el periodo fuero. Años Ahorro Reta a) Recta regresió del ahorro sobre la reta. b) Recta de regresió de la reta sobre el ahorro. c) Para el año 015 se supoe que la reta era de 4.1 milloes de euros. cuál será el ahorro esperado para el año 015? d) Estudiar la fiabilidad de la predicció aterior. 4. Se midió el tiempo e segudos que tardaro e grabarse los mismos 4 ficheros e u lápiz USB X y e u disco duro exterior Y. X Y X Y a) Costruye la tabla de frecuecias cojuta. Cuál es el porcetaje de ficheros que tarda meos de 1 5 segudos e el primer tipo y más de 1 4 e el segudo? Cuátos ficheros tarda e grabarse etre 0 6 y 1 segudos e el primer tipo de memoria? Cuáto tiempo tarda como mucho e gravarse al meos el 90 % de los ficheros e el segudo tipo de memoria? b) Halla la tabla de frecuecias codicioadas de los tiempos del segudo tipo de memoria de aquellos programas que tardaro 1 e el primer tipo de memoria. Cuál es la proporció de estos programas que tarda e grabarse más de 1 5 segudos e el segudo tipo de memoria? c) Represeta gráficamete los datos y cometa el resultado obteido. d) Si u fichero tarda 0 8 segudos e grabarse e el primer tipo de memoria, cuatos segudos tardara e grabarse e el segudo tipo? Dar ua medida de fiabilidad. Cofirma esta medida lo cometado e el apartado c)? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

32 43 5. De u muelle se cuelga pesos y obteemos los alargamietos siguietes. Peso gr X Alargamieto cm Y Ecuetra la recta de regresió de Y sobre X y estima el alargamieto que se coseguirá co pesos de 100 y 500 gr. Cuál de las dos estimacioes es más fiable? 6. La tabla siguiete muestra el úmero de gérmees patógeos por cetímetro cubico de u determiado cultivo segú el tiempo trascurrido. Número de horas Número de gérmees a) Calcula la recta de regresió para predecir el úmero de gérmees por cetímetro cubico e fució del tiempo. b) Qué catidad de gérmees por cetímetro cubico es previsible ecotrar cuado trascurra 6 horas? Es buea esta predicció? 7. E u depósito cilídrico, la altura del agua que cotiee varía a medida que pasa el tiempo segú los datos recogidos e la tabla: Tiempo: h Altura: m a) Ecuetra el coeficiete correlació etre el tiempo y la altura. Da ua iterpretació de él. b) Qué altura se alcazara cuado haya trascurrido 40 horas? c) Cuado la altura alcaza m suea ua alarma. Cuáto tiempo tiee que pasar para que suee la alarma? 8. La evolució del IPC (ídice de precios al cosumo) y la tasa de iflació e los meses idicados de u determiado año, va ser: Eero Febrero Marzo Abril Mayo Juio IPC Tasa iflació a) Represeta la ube de putos. b) Calcula el coeficiete de correlació etre el IPC y la tasa de iflació. c) Se puede estimar la tasa de iflació a partir del IPC? Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9:

33 44 CURIOSIDADES. REVISTA EL EFECTO PLACEBO Y EL EFECTO NOCEBO Ates de que u medicameto pueda comercializarse debe superar ua serie de estrictas pruebas que arroje seguridad acerca de su eficacia curativa. Ua de las pruebas más comues cosiste e seleccioar ua muestra de efermos y dividirlos aleatoriamete e dos grupos; u grupo recibe el medicameto, y el otro, si saberlo, ua sustacia e apariecia igual, pero si igú poder terapéutico: u placebo. De esta forma, al fial del esayo puede compararse los resultados etre los dos grupos y determiar la eficacia del medicameto. Para ello se emplea herramietas estadísticas como la correlació. Sorpredetemete, hay u úmero sigificativo de pacietes que, habiedo recibido el placebo, mejora de forma ostesible. Por ejemplo, esta cotrastado que, e muchas efermedades relacioadas co el dolor, etre el 10 % y el 15 % de los pacietes experimeta u alivio otable habiedo seguido u tratamieto exclusivamete de placebo. RELACION FUNCIONAL CORRELACIÓN Si lazamos ua piedra hacia arriba llegará más alto cuado más fuerte sea lazada. Existe ua fórmula que os permite calcular, exactamete la altura coseguida e fució de la velocidad co que es lazada. Estamos ate ua relació fucioal. Las persoas, e geeral, pesa más cuado más altos so. Pero o se puede dar ua fórmula que os permita dar el peso de ua persoa co exactitud coociedo su altura, sólo podremos coseguir ua fórmula que os dé u valor aproximado y coocer la eficacia de esa fórmula. La relació etre las variables peso estatura es ua relació estadística. Diremos que hay ua correlació etre estas variables. Tambié vamos a ecotrar correlació etre la distacia a que u jugador de balocesto se coloca de la cesta y el úmero de cestas que cosigue. Pero e este caso, al cotrario del aterior, hay ua correlació egativa, ya que a más distacia, meor úmero de cestas. Matemáticas I. Bachillerato de Ciecias. Capítulo 9: