3. Las medidas de centralización

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1 FUOC XP00/71004/ Las medidas de cetralizació 3. Las medidas de cetralizació La mediaa y la media aritmética Los diagramas de tallos y hojas y los histogramas proporcioa ua descripció geeral de u cojuto de datos uméricos. Ahora echamos u vistazo a las maeras más específicas de resumir datos uméricos e parámetros que os permitirá comparar co facilidad diferetes cojutos de datos. E este capítulo veremos dos maeras diferetes de resumir u valor típico o medio de u cojuto de datos, que mide el cetro de ua distribució. Parámetros estadísticos Números obteidos co cálculos a partir de los datos que permite caracterizar la variable que se estudia. E este capítulo sobre medidas de cetralizació aprederéis: Cómo se calcula la mediaa, o valor cetral, de u cojuto de datos. Cómo se calcula la media aritmética, o media, de u cojuto de datos. Qué diferecias existe etre la mediaa y la media aritmética. Istrucció Cosultad el vídeo de la uidad 4. Resume del vídeo Este vídeo empieza co u ejemplo de las diferecias de sueldo etre hombres y mujeres. Vemos dos histogramas de los sueldos de hombres y mujeres que trabaja e puestos comparables. Los dos histogramas so asimétricos por la derecha, pero parece que el patró geeral de los sueldos de los hombres es más alto que el de las mujeres. Para resumir u valor típico para cada distribució, se preseta la mediaa como el puto medio de ua distribució. El valor es tal que la mitad de las observacioes so meores que la mediaa, y la otra mitad, superiores. Después vemos que la mediaa de los sueldos de los hombres es más alta que el valor de la mediaa para las mujeres. El vídeo explica la historia de u caso específico, e el que los cálculos de la mediaa ayudaro a las mujeres trabajadoras co trabajos de oficia a coseguir la paridad de sueldo co los hombres trabajadores de mateimieto, cuyos trabajos fuero cosiderados comparables a los de las mujeres. Vemos ua ilustració detallada de cómo se calcula la mediaa. Después, se itroduce e ilustra la medida cetralizada alterativa, la media aritmética. Vemos que la media aritmética es sesible a valores isólitamete grades o pequeños e el cojuto de datos, mietras que la mediaa o lo es tato tambié decimos

2 FUOC XP00/71004/ Las medidas de cetralizació que la mediaa es resistete. La mediaa y la media aritmética so dos ideas diferetes que o es preciso que de resultados uméricos parecidos. Observamos que la media aritmética y la mediaa se aviee si la distribució es simétrica; si sucede lo cotrario, la media aritmética queda más hacia la cola de la distribució asimétrica que la mediaa. La mediaa, o la observació cetral Ua maera fácil de coseguir u valor para el cetro de ua distribució es ecotrar qué observació queda exactamete e el medio. Co esto queremos idicar que la mitad de las observacioes queda por debajo de este valor y la otra mitad, por ecima. Este valor se deomia la mediaa de la distribució. Veamos otro ejemplo. Supogamos que a lo largo de u periodo de 27 días aotáis el tiempo que teéis que esperar hasta que llega vuestro autobús por la mañaa. Los datos, e miutos, so los siguietes: Figura Tiempo de espera hasta que llega el autobús, e miutos Ahora pregutad qué valor podéis usar como típico para describir el rato que habéis esperado. El diagrama de tallos y hojas de estos datos es: Figura Diagrama de tallos y hojas de datos sobre el tiempo de espera Observad que utilizamos los itervalos 0-4, 5-9, y A la hora de costruir el diagrama de tallos y hojas hemos puesto todas las observacioes e orde ascedete, de la observació más corta (2 miutos) a la más larga (17 miutos). Puesto que se ha dado 27 observacioes, la observació cetral es la decimocuarta e la lista ordeada, ya que se da 13 valores ates que el decimocuarto, y 13 después. El valor decimocuarto es, e realidad, 7 miutos. El hecho de que haya cierto úmero de observacioes de 7 miutos carece de importacia (e realidad, e la lista ordeada, el valor decimosegudo, decimotercero, decimocuarto y decimoquito es 7).

3 FUOC XP00/71004/ Las medidas de cetralizació Ua regla para coseguir la mediaa La letra se usa covecioalmete para el úmero de observacioes e u cojuto de datos. La regla para ecotrar la posició de la observació cetral e ua lista de valores que ha sido ordeada de meor a mayor es: E uestro ejemplo, co = 27 valores, el valor cetral era el valor e la posició (27 + 1)/2 = 14 de la lista. Cuado es u úmero impar, el úmero de la observació para la mediaa es u etero exacto. Pero, cuado es u úmero par, o hay igua observació exactamete cetral e la lista ordeada. Por ejemplo, si recogemos 26 observacioes, etoces uestra fórmula os da el úmero (26 + 1)/2 = 13,5. Lo que hacemos ahora es tomar como mediaa el puto medio etre los úmeros que ocupa el decimotercero y decimocuarto lugar de la lista ordeada. Esto todavía os proporcioa u valor e que la mitad de las observacioes queda debajo y la otra mitad, por ecima, de maera que satisface la defiicó de la mediaa. El vídeo ejemplifica u cojuto de sueldos para hombres y otro para mujeres. E ambos casos, la mediaa de los sueldos ha sido calculada, y vemos que el sueldo de la mediaa para los hombres es superior al de las mujeres. Los valores resume cómo la mediaa hace que las comparacioes etre diferetes grupos de observacioes resulte más fáciles. La media aritmética o valor medio La media aritmética de u cojuto de datos uméricos es la misma que su valor medio. Para calcular la media aritmética o es ecesario empezar orgaizado los valores de los datos ordeadamete. Simplemete, sumamos todos los valores y dividimos por el úmero total de datos. Para los datos de la figura 3.1, los cálculos so los siguietes: 1) Sumad los 27 valores: etc = 200 2) Dividid la suma por 27: 200/27 = 7,41 La media aritmética de estos valores es, por lo tato, 7,41 miutos a lo largo de los 27 días habéis teido que esperar ua media de 7,41 miutos a que el autobús llegase. Alguas aotacioes Valor medio Media de todos los valores de la variable. Recordad El valor medio o siempre es igual al valor cetral. Reflexioad Cuál es la media de horas por día que habéis estudiado esta semaa? Cosideremos u cojuto de observacioes uméricas de ua variable X. Deotaremos este cojuto de observacioes co x 1, x 2, x 3,..., x, o co x i,

4 FUOC XP00/71004/ Las medidas de cetralizació i = 1,...,, dode el símbolo i se deomia ídice. Así, para los datos de la figura 3.1, teemos x 1 = 9, x 2 = 5, x 3 = 6, etc., x 27 = 4. A la hora de ordear las observacioes de meor a mayor deotaremos el uevo cojuto de catidades co los símbolos x (1), x (2), x (3), etc., hasta x (). Por lo tato, x (1) es el valor más pequeño y x () es el mayor. E uestro ejemplo, x (1) = 2 y x (27) = 17. Cuado sea u etero impar, la observació cetral está e la posició ( + 1)/2, que podemos deotar por m. De esta maera, la mediaa es igual a x (m). Si es u etero par, m = ( + 1)/2 está a medio camio etre los dos Recordad x = variable x 1, x 2, x 3,..., x = observacioes (datos) = tamaño de la muestra o població x (1), x (2), x (3),..., x () = datos ordeados m = posició de la mediaa x m = la mediaa x = la media eteros, m 1/2 y m + 1/2. La mediaa es así igual al valor medio etre x (m 0,5) y x (m + 0,5). Por ejemplo, e uestra ejemplificació de arriba, cosideramos = 26 observacioes, m = 13,5 y, por lo tato, la mediaa es el valor medio de las observacioes decimotercera y decimocuarta de la lista ordeada. La media aritmética de u cojuto de valores x i, i = 1,...,, ormalmete se deota co x. Usado la otació itroducida, la media aritmética es igual a: 1 x = -- x i i = 1 El efecto de los datos alejados o isólitos e la mediaa y la media aritmética Tato la mediaa como la media aritmética mide el cetro de la distribució, pero lo hace de formas diferetes. Sólo cuado la distribució resulta simétrica ambas medidas so iguales. La diferecia más importate etre ua y otra es cómo se ve afectadas por asimetrías y datos alejados. Cuado la distribució es asimétrica, la media aritmética siempre se ve arrastrada hacia la cola de la distribució. E el caso más comú de ua distribució que es asimétrica hacia la derecha, por ejemplo, los datos de los igresos que hemos visto e el vídeo, etoces la media aritmética es más alta que la mediaa. La presecia de u valor muy elevado o afecta a la mediaa, pero ifluye e gra medida sobre la media aritmética. Decimos que la mediaa resiste los datos alejados. Por ejemplo, imagiemos que, e lugar de 17 miutos, el valor más alto e la figura 3.2 fuese 45 miutos, ua espera muy larga para u solo día. Este cambio o afecta a la mediaa; de hecho, permaecería igual si lo cambiáramos por u valor mucho más elevado. Pero la media aritmética sí se ve afectada, ya que la suma de todas las observacioes ahora sería 228, que, dividido por 27, da el valor 8,44 miutos. Este icremeto de ua observació aumeta la media aritmética del tiempo de espera e u miuto, a pesar de que el resto de los 26 valores permaece itactos. E ua situació como ésta, la media aritmética o satisface la codició de ser u valor típico.

5 FUOC XP00/71004/ Las medidas de cetralizació Istrucció Revisad el vídeo y volved a la uidad 4. Observad atetamete cómo se calcula la mediaa y la media aritmética y cómo adopta diferetes características de la distribució. Observad que los datos alejados o afecta a la mediaa, pero sí ifluye mucho e la media aritmética. Actividad 3.1. Cosiderad de uevo los datos sobre los sueldos del profesorado uiversitario proporcioados e el capítulo 2. Calculad la mediaa y la media aritmética de estos datos. Cometad los resultados.

6 FUOC XP00/71004/ Las medidas de cetralizació Glosario mediaa Observació cetral umérica que divide los datos e dos partes iguales, de maera que si los ordeamos ua mitad queda a la izquierda de la mediaa y la otra, a la derecha. media aritmética Promedio de u cojuto de datos uméricos, calculado sumado todos los valores de los datos y dividiédolos por el úmero total. otacioes a) u cojuto de observacioes: x i, i = 1,..., b) las mismas observacioes e orde ascedete: x (i), i = 1,..., 1 c) la media aritmética de x i, i = 1,..., : x = -- x i resistete Propiedad de la mediaa que sigifica que los valores extremos de la distribució o afecta a la mediaa. i = 1

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