CRIPTO II UT I N 01 BASES TEORICAS I

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1 CRIPTO II UT I N 0 BASES TEORICAS I TEORIA DE NUMEROS

2 cripto-scolik-hecht UT- UNIDAD TEMÁTICA N : Bases Teóricas. Teoría de Números: Aritmética Modular, Logaritmos Discretos. Geeració de úmeros primos. Cuerpos de Galois

3 cripto-scolik-hecht LA PREGUNTA INICIAL PARA QUE ES NECESARIO ESTUDIAR TEORIA DE NUMEROS Y ALGEBRA ABSTRACTA EN CRIPTOGRAFIA?

4 cripto-scolik-hecht PARA QUE ES NECESARIO ESTUDIAR TEORIA DE NUMEROS Y ALGEBRA ABSTRACTA EN CRIPTOGRAFIA? LOS CRIPTOSISTEMAS SE CLASIFICAN EN SIMETRICOS Y DE CLAVE PUBLICA. LA SEGURIDAD DE LOS CRIPTOSISTEMAS DE CLAVE PUBLICA RESIDE INTEGRAMENTE EN LA DIFICULTAD COMPUTACIONAL DE PROBLEMAS NUMERICOS Y ALGEBRAICOS. NO SE PUEDE COMPRENDER CRIPTOGRAFIA DE CLAVE PUBLICA SIN BASE MINIMA EN ESTAS AREAS DEL CONOCIMIENTO.

5 cripto-scolik-hecht PROBLEMAS DE COMPLEJIDAD NP DE LA TEORIA DE NUMEROS Y ALGEBRA ABSTRACTA CON IMPORTANCIA FUNDAMENTAL PARA LA CRIPTOGRAFIA - FACTORIZACION (FACTOR) dado Z, determiar p e p e. P ek k INDICADOR DE EULER dado Z, determiar φ() si o se cooce la FACTORIZACION de GENERADORES dado Z*, hallar algú g si o se cooce la FACTORIZACION de RESIDUOSIDAD CUADRATICA (QRP) dado u etero impar y compuesto, y algu etero a co el símbolo de jacobi (a/), decidir si a Q RAICES CUADRADAS MODULARES (SQROOT) dado u etero compuesto y a Q cuadrada de a modulo ecotrar ua raiz

6 cripto-scolik-hecht PROBLEMAS DE COMPLEJIDAD NP DE LA TEORIA DE NUMEROS Y ALGEBRA ABSTRACTA CON IMPORTANCIA FUNDAMENTAL PARA LA CRIPTOGRAFIA - LOGARITMO DISCRETO (DLP) dado p primo, u geerador a de Z* p y u b Z* p, determiar el etero x (0 x p-) tal que a x b (mod p) LOGARITMO DISCRETO GENERALIZADO (GDLP) dado u grupo fiito cíclico G de orde, u geerador a de G y u b G, determiar el etero x (0 x -) tal que a x b INVERSION RSA (RSAP) dado u p.q (producto de dos primos impares), u etero e que cumple (e, φ()) y u etero c, ecotrar u etero m tal que m e c (mod ) DIFFIE-HELLMAN (DHP) Dado u primo p, u geerador g de Z* p mod p y g b mod p, hallar g ab mod p y los elemetos g a

7 cripto-scolik-hecht PROBLEMAS DE COMPLEJIDAD NP DE LA TEORIA DE NUMEROS Y ALGEBRA ABSTRACTA CON IMPORTANCIA FUNDAMENTAL PARA LA CRIPTOGRAFIA - 3 DIFFIE-HELLMAN GENERALIZADO (GDHP) Dado u grupo fiito cíclico G y u geerador g de G elemetos g a y g b, hallar g ab y los SUMA DE SUBCONJUNTOS (SUBSET-SUM) Dado u cojuto A de eteros positivos A{a, a, a 3,, a } y u etero positivo s, determiar si algu subcojuto de A suma exactamete s

8 cripto-scolik-hecht DEFINICIONES - ENTEROS El cojuto de eteros se represeta como Z Z {,-3,-,-,0,,,3, } DIVISOR a b : el etero a divide al etero b si existe etero c tal que ba.c DIVISION ENTERA, MODULO Y DIVISION ENTERA E geeral, el etero a dividido al etero b geera u etero cociete q y u etero resto r tal que: aq.b+r Al resto se lo defie como ra mod b a-b a/b y al cociete como qa div b a/b

9 cripto-scolik-hecht DEFINICIONES - DIVISOR COMUN U etero a es divisor comú de b y c sii a b y a c MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD) U etero a es el MCD de b y c si es el máximo etero que divide a ambos, co la excepció MCD(0,0)0. Se simplifica la otació MCD(a,b) e (a,b) MINIMO COMUN MULTIPLO El mcm(a,b) es el meor etero positivo divisible por ambos. Se verifica que: mcm(a,b). MCD(a,b) a.b

10 cripto-scolik-hecht DEFINICIONES - 3 ENTEROS COPRIMOS Dos eteros a,b so primos relativos o coprimos sii (a,b) ENTEROS PRIMOS Y COMPUESTOS U etero p es primo sii sus úicos divisores so y p, caso cotrario es compuesto TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA Cada etero posee ua factorizació úica e potecias de úmeros primos p e p e. p ek k

11 cripto-scolik-hecht DEFINICIONES - 4 INDICADOR DE EULER (φ) Para, se defie como fució idicador (o totiet) de Euler φ () al úmero de eteros comprimos co del itervalo [,] PROPIEDADES DEL INDICADOR DE EULER. Si p es primo, φ(p)p-. La fució es multiplicativa, si (m,) φ(m) φ(m) φ() 3. Si p e p e. P k ek φ()(-/p )(-/p ) (-/p k )

12 cripto-scolik-hecht ALGORITMO DE EUCLIDES EUCLIDES O( ) Dados eteros a,b (a b) obteer MCD:. Mietras b 0 ejecutar: r!a mod b; a!b;b!r. Retorar (a) EUCLIDES EXTENDIDO O( ) Dados eteros a,b (a b) obteer d(a,b) y los eteros x, y que satisface ax+byd. Si b0 ; d!a, x!, y!0 y Retorar(d,x,y). x!, x!0, y!0, y! 3. Mietras b 0 ejecutar: q!a div b, r!a-qb, x!x-qx, y!y-qy a!b, b!r, x!x, x!x, y!y, y!y. d!a, x!x, y!y y Retorar(d,x,y)

13 cripto-scolik-hecht DEFINICIONES - 5 CONGRUENCIAS MODULARES Si a y b so eteros, se defie a b (mod ) o simplemete a b () sii (a-b). El etero es el módulo. PROPIEDADES DE LAS CONGRUENCIAS. a a (mod ). Si a b (mod ) a b (mod ) 3. Si a b (mod ) yi b c (mod ) a c (mod ) CLASE DE EQUIVALENCIA Z El cojuto de los eteros módulo :{0,,,,-} forma ua clase de equivalecia. La suma y el producto detro de esta clase es cerrada (forma Mooides)

14 cripto-scolik-hecht DEFINICIONES - 6 INVERSA MULTIPLICATIVA Sea a Z. La iversa multiplicativa de a modulo es u etero x Z tal que ax (mod ). La iversa de a es expresada a - y solo existe sii (a,) (Se resuelve x Euclides extedido) GRUPO MULTIPLICATIVO Z* Z* { a Z (a,)} y posee estructura de grupo respecto al producto. E particular si primo, Z* { a a -} ORDEN DEL GRUPO MULTIPLICATIVO Z* Es el úmero de elemetos) de Z* represetado como Z* o cardial. Por defiició Z* φ()

15 cripto-scolik-hecht TEOREMA DEL RESIDUO CHINO TRC Si los eteros,,, k so coprimos de a pares, etoces el sistema de ecuacioes x a (mod ), x a (mod ),, x a k (mod k ) posee ua úica solució modulo k ALGORITMO DE GAUSS O( ) La solució x del TRC se computa como: x (i,k) a i N i M i (mod ) dode N i / i y M i N - i (mod i ) Ej: x 3(7) y x 7(3) x 59(9)

16 cripto-scolik-hecht DEFINICIONES - 7 TEOREMA DE EULER Sea a Z* y. Etoces a φ() (mod ) PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT Es u caso particular del teorema de Euler para primo. Sea a Z* p y p primo. Etoces a p- (mod p) ORDEN DE INTEGRANTES DEL GRUPO MULTIPLICATIVO Z* Sea a Z*. Se defie ord(a) al míimo etero positivo t tal que a t (mod ). Siempre t φ() Ej: e Z* el ord(3) porque 3 ()

17 cripto-scolik-hecht DEFINICIONES - 8 muy importate! GENERADORES Y GRUPOS CICLICOS Sea g Z*. Etoces si ord(g) φ(), se defie a g como geerador (o elemeto primitivo) y Z* es u grupo cíclico PROPIEDADES DE LOS GENERADORES DE Z*. Z* tiee geerador si,4,p k,p k dode p primo y k. E particular si k existe geerador. Si g es geerador Z* {g i mod 0 i φ() } 3. Si g es geerador b g i mod tambié lo es sii (i, φ() ). Se desprede que si Z* es cíclico, el úmero de geeradores es φ(φ()) Úico algoritmo eficiete coocido para ecotrar geeradores: 4. g Z* es geerador sii para cada primo p φ() se cumple g φ()/p (mod )

18 cripto-scolik-hecht RESIDUOS CUADRATICOS - Sea a Z*. El elemeto a es residuo cuadrático módulo si existe x Z* tal que x a (mod ). El cojuto de todos los residuos cuadráticos módulo es Q y el de los o-residuos cuadráticos es Q. Notar que 0 Q y 0 Q ya que 0 Z* Sea p primo impar y g u geerador de Z* p. Etoces a es residuo cuadrático sii a g i mod p, dode i es u etero par. Por cosecuecia Q Q (p-)/. Ej: g6 es geerador de Z* 3 y las potecias de 6 so: i Q 6 i (3) Q

19 cripto-scolik-hecht RESIDUOS CUADRATICOS - SIMBOLO DE LEGENDRE Sea p u primo impar y a u etero. El símbolo de Legedre (a/p) se defie: 0 si p a si a Q p - si a Q p SIMBOLO DE JACOBI Es la geeralizació del símbolo de Legedre (a/) para etero impar pero o ecesariamete primo

20 cripto-scolik-hecht RESIDUOS CUADRATICOS - 3 COMPUTO DEL SIMBOLO DE JACOBI/LEGENDRE O( ) JACOBI(a,) Dado u etero 3 impar y u etero a (0 a<) obteer (a/) :. Si a0 Retorar(0). Si a Retorar() 3. Poer a e a dode a es impar 4. Si e par s!, sió s! si o 7 (mod 8), o s!- si 3 o 5 (mod 8) 5. Si 3(mod 4) y a 3(mod 4) etoces s!-s 6.! mod a 7. Retorar (s.jacobi(,a ))

21 cripto-scolik-hecht Residuos cuadráticos (RC) Defiició :sea a Z Si o existe tal x diremos que a es u o residuo cuadrático (NRC) mod( ). Los cojutos correspodietes se deota por Q Ejemplo :si * ( o sea MCD( a, ) ). Diremos que a es u RC si x Z los RC so,,4 porque mod(7) 4mod(7) mod(7) mod(7) 4mod(7) mod(7) y Q 3,5 y 6 so NRC porque o existe valores de x. Por defiició 0 Z tales que x * 0 Q * y 0 Q z mod(7) para z 3,5,6 / x a mod( )

22 cripto-scolik-hecht Teorema :el producto de dos RC es u RC y el producto de u RC co u NRC es u NRC Demostració : x Ahora, si y esto sigifica que z sería u RC (otar que calcular e Z u RC x * a mod( ), y pues es u grupo). bmod( ) ( xy) co u NRC z diese u RC y y x yx x abmod( ) z y mod( ) es u eteromod( ) y z ( ) x mod( ) pues se puede Nota :si teemos u grupo cíclico G de orde primo etoces cada elemeto puede escribirse como la potecia de u geerador g, o sea g so RC. Además g es u NRC porque si g x g φ () / x φ () φ (), i φ (). Los mod( ) y por lo tato g o sería u geerador. i elemetos g,..., g mod( ), por el teoremade Lagragesería Etoces teemos que para grupos cíclicos co primo el úmero de RC úmero de NRC, g 4 φ () /

23 cripto-scolik-hecht Si a es u RC mod(p) hay raíces cuadradas, ua etre 0 y Ua de ellas tambié es u RC y se llama raíz pricipal. p y otra etre p y p. Teorema (criteriode Euler) :sea p u primo >. Etoces x es u RC x Demostració :sea x y Recíprocamete sea x p Como g tiee orde p - p divide a i i es par y las raíces cuadradas de x so ± g x i p x. p ( y ( g ) i p ) p mod( p) mod( p) y p p (recordemos que x mod( p) mod( p) mod( p) y sea g u geerador mod(p) i / x g mod( p) g p i p mod( p) mod( p). Este teoremada u algoritmo poliomial(o(( log mod(p) mod( p) x 0mod( p)) p) 3 p mod( p) ) para decidir si x es u RC. i

24 cripto-scolik-hecht Ejemplos de geeradores : Recordemos que si p es primo, g < p es u geerador mod( p) g a si b bmod( p). Por ejemplo si p, g es u geerador mod() pues {,..., p } a / mod() mod() mod() mod() para p los geeradores so,6,7,8 3 o lo es pues o existe a tal que 3 a mod()

25 cripto-scolik-hecht Testear cuado u úmero g es u geerador o es fácil, pero lo es si coocemos de p q... q Para ello calculamos g p q i Si uo de ellos esetoces g o es u geerador Ejemplo : p p 0.5 mod( p) para i,..., la factorizació g mod() 0 5 mod() 4 g es u geerador g 3 3 mod() g 3 NO es u geerador

26 cripto-scolik-hecht Defiició : sea a Q ua raíz cuadrada de Caso: si p a. es primo impar, es raíz pero + 3k Si co k a Z a Q La uicidad es e la clase, por ejemplo x * satisface x p mod(3) a mod( ) dos raíces cuadradas de a, o sea que es cogruete a - etoces decimos que mod( p) tiee raíces y -. Tambié x es x Caso : si p e... p e k k, p raíces cuadradas distitas módulo i primos impares distitos, e i, etoces si a Q tiee k El símbolo de Legedre: Sea p primo. Para cualquier etero a > 0 defiimos a p 0 si a 0mod( p) si a es u RC mod( p) si a es u NRC mod( p)

27 cripto-scolik-hecht Vimos que a Si Si a a kp p a es u NRC Por lo tato p mod( p) 0 etoces a obteemos el mod( p) p Teorema :sea p primo impar, etoces a es u RC mod( p) a p mod( p) pues a p a p mod( p) mod( p) El símbolo de Jacobi Sea etero positivo impar, p e... p e k k, a > 0 etero.el símbolo de Jacobi se defie por a k i a p i e i

28 ± ± ) ( si - ) ( si t m t t m m m m m ) ( ) ( m m m m k k 4 mod 3 4 mod ) ( 5) 4) impar es co e particular si es impar si 3) 8 mod 3 si 8 mod si es impar si ) ) mod( es impar si ) : Hechos sobre Jacobi pues 9975 ) )( ( ) )( ( Ejemplo : cripto-scolik-hecht

29 cripto-scolik-hecht Cómo evalúar el símbolo de Jacobi si factorizar? Para ello, a las propiedades ateriores le agregamos ua más : m m si m 3mod(4), Mediate estas propiedades se puede calcular el símbolo de Jacobi e tiempo poliomial (O( log ) ) m de lo cotrario (Reciprocidad cuadrática) m

30 cripto-scolik-hecht DEFINICIONES - 9 RAIZ CUADRADA MODULAR Sea a Q. Si x Z* tal que x a (mod ), etoces x es la raiz cuadrada modular de a módulo. NUMERO DE RAICES CUADRADAS. Si p es primo impar y a Q a tiee exactamete dos raíces cuadradas distitas modulo p. Si p e p e. P k ek (dode los pi so distitos etre sí y los e k so todos ), si a Q a tiee exactamete k raíces cuadradas distitas modulo p Ejemplo: Las raíces cuadradas de mod 37 so 7 y 30. Las de mod 35 so, 74, 0, 5, 64, 4, 4 y 304.

31 cripto-scolik-hecht DEFINICIONES - 0 LOGARITMO DISCRETO dado p primo, u geerador a de Z* p y u b Z* p, determiar el etero x (0 x p-) tal que a x b (mod p). Ese etero es el logaritmo discreto de b a la base a y se represeta xlog a b LOGARITMO DISCRETO GENERALIZADO dado u grupo fiito cíclico G de orde, u geerador a de G y u b G, determiar el etero x (0 x -) tal que a x b. Ese etero es el logaritmo discreto de b a la base a y se represeta xlog a b ESTE CAPITULO SE VERÁ POSTERIORMENTE EN MAS DETALLE