CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES

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1 (Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CAPÍTULO V. UCEIONE Y ERIE DEFINICIÓN. Ua sucesió ifiita, o simplemete sucesió, es ua fució cuyo domiio está costituido por el cojuto de los úmeros aturales y cuyo recorrido, que es u subcojuto de los úmeros reales, se expresa e u listado como sigue: f(), f( ), f( 3 ),..., f( ),... Como variable idepediete se acostumbra usar la letra " " para idicar que, a diferecia de las fucioes cuyos domiios so deotados co las últimas letras del abecedario y que cosidera valores reales, e las sucesioes el domiio so los úmeros aturales. Al eésimo térmio de la ucesió f( ) tambié se le idetifica co a, ( ) co a o bie co a. { } Ejemplo. Dar los primeros cico térmios y el térmio eésimo de las siguietes ucesioes Ifiitas: + i) a( ) = + ; ii) a = ( ) + iii) b = ( ) ; iv) {} 5 +

2 REPREENTACIÓN GRÁFICA Como las fucioes, las sucesioes tambié se puede graficar, correspodiedo sus valores fucioales a cada uo de los úmeros aturales sustituido e su regla de correspodecia. LÍMITE DE UNA UCEIÓN Teorema. ea ua sucesió { a }. e dice etoces que tiee límite, deotado como L y expresado como lim a = L si para toda ε > 0 y ta pequeña como se desee, existe u úmero etero N tal que a L < ε siempre que > N i existe el límite, etoces la sucesió es covergete y e caso cotrario se llama divergete. Represetació geométrica: y L (, a ) (,a ) ( 3,a 3 ) ( a, ) 3 N y = L+ ε y = L ε x Los límites de las sucesioes ifiitas tambié cumple las propiedades de los límites de las fucioes. Además es importate hacer ver que como los térmios de la sucesió so valores fucioales, al estudiar su covergecia o divergecia se puede aplicar la Regla de L Hopital. Al respecto, resulta coveiete euciar aquí el teorema correspodiete a esta regla para poder cotar co ua herramieta valiosa e el Cálculo del límite de ua sucesió.

3 3 Teorema. Regla de L hopital. upógase las fucioes f y g difereciables e cada puto de u itervalo abierto ( ab, ) que cotiee al valor " c " excepto posiblemete e este valor; y sea g' ( x) 0 para toda x c e el itervalo. ea tambié L que deota tato u valor f( x) real o bie + o, y supógase que es ua forma g( x) f' ( x) idetermiada e " c ". Luego, si lim = L etoces x cg ' ( x) f( x) lim = L x c g x ( ) De acuerdo co este teorema, el límite del cociete de dos fucioes es igual al límite del cociete de sus derivadas. Y si al derivar umerador y deomiador de la expresió origial se vuelve a presetar ua idetermiació de las formas 0 ó, se repite uevamete la Regla hasta que el 0 resultado está determiado o o existe el límite. Ejemplo. Calcular el valor umérico de los límites de las siguietes sucesioes y determiar co ello su aturaleza (utilizar la Regla de L Hopital cuado se cosidere ecesario o para verificar el resultado e ilustrar la técica) i) ; ii) se ; iii) 3 ( )

4 4 E ocasioes el límite resulta difícil y etoces es coveiete utilizar la propiedad del emparedado, teorema cuyo euciado es el siguiete: Teorema. ea las sucesioes defiidas por { }, { } { } a b y c, para las cuales se cumple que a b c y además, se sabe que lima = L= limc. Etoces limb = L

5 Ejemplo. Calcular el límite de la sucesió cos. 5 Teorema. ea ua sucesió cuyo térmio eésimo es Etoces: i) lim r = 0 si r < ii) lim r si r > r. Ejemplo. Calcular el límite de las sucesioes: i) ; ii) {(.0) }

6 Teorema. i para ua sucesió { } etoces limb = 0 b se tiee que lim b = 0, 6 Ejemplo. Verificar que lima = 0 para: a ( ) + = Defiició. ucesió moótoa Ua sucesió es moótoa creciete si sus térmios cosecutivos o decrece y es moótoa decreciete si sus térmios sucesivos o crece. Defiició. ucesió acotada e dice que ua sucesió es acotada si existe u valor real positivo " C " tal que: a C Teorema. i se tiee ua sucesió moótoa (creciete o decreciete) y está acotada, etoces tiee límite, por lo que es covergete. Ejemplo. La sucesió es acotada y es moótoa decreciete, por lo que es covergete y su límite es: lim = = 0

7 ERIE INFINITA. TELECÓPICA Y GEOMÉTRICA 7 DEFINICIÓN. Cosidérese la sucesió { a } y súmese ahora sus térmios. A la expresió obteida que es: a+ a + a3 + + a + se le llama serie ifiita o simplemete serie y se deota co = Como se trata de u úmero ifiito de sumados, es ecesario defiir lo que se etiede por suma ifiita y para ello es coveiete formar ua sucesió co las sumas parciales de los térmios de las series, que se expresa como: a e dode,,,...,,... 3 = a = a+ a = a + a + a 3 3 = a + a + a + + a 3 DEFINICIÓN. Cosidérese la serie ifiita = a = a+ a + a3 + + a + = y sea la sucesió de sus sumas parciales,,,...,,... 3 Etoces la serie dada es covergete si el límite de su suma parcial eésima existe, es decir, si lim = ; y el valor umérico " " del límite equivale a la suma fiita de la serie ifiita. E el caso de que el límite o existe, se dice que la serie es divergete.

8 8 i fuera posible siempre determiar el límite de la suma parcial eésima, todo se cocretaría a calcularlo y así determiar su aturaleza. Pero e la mayoría de los casos es complicado. Ejemplo. ea la serie ifiita = = Alguas de sus sumas parciales, icluyedo la suma parcial eésima, que recuerda al prícipe de las matemáticas Gauss, por la aécdota que de él se cueta al respecto, so: = = + = 3 3 = + + 3= 6 ( + ) = e obtiee el límite de la suma parcial eésima y se ve que: ( + ) lim por lo que la serie es divergete. Ejemplo. (erie telescópica). ea la serie. i se ( ) = + escribe alguos de sus sumados y sus respectivas sumas parciales se obtiee lo siguiete: = = ( ) = = 0.5 = = + + = = = =

9 6 = = = = = = = = = = El térmio eésimo se puede escribir de la siguiete forma, al descompoerlo e dos fraccioes racioales: A B = + = A + A + B + + ( ) 0 = A+ B A = = A B = = ( + ) + y etoces, los térmios de la serie se puede escribir como sigue: = ( ) = + = + = Como se ve, todos los térmios meos dos se cacela y la suma parcial eésima queda como: = + y el límite de esta suma parcial eésima es lim = lim = + luego esta serie, coocida como telescópica, es covergete y su límite es uo, que es el valor de su suma fiita.

10 Ejemplo. (erie telescópica). Aalizar la serie ifiita = erie Geométrica. ea la serie ifiita ar = a + ar + ar + + ar + = 0 Cada térmio se obtiee al multiplicar el térmio imediato aterior por u térmio coocido como la razó de la serie. ar ar = = r ar a

11 Ejemplo. upógase que se tiee los siguietes térmios de ua serie y se pretede saber si se trata de ua serie geométrica: ,,,, olució e divide cada térmio etre el aterior y, = ; = = ; = = = = Luego se trata de ua serie geométrica co r = 5 y a=, por lo que su térmio geeral es: = 0 5 TEOREMA. La serie geométrica ar = a + ar + ar + + ar + i ) = 0 Coverge y su suma es ii ) Diverge si r a = si r < r PRUEBA. ea la suma parcial eésima = a + ar + ar + + ar i se multiplica los dos miembros por la razó " r " 3 r = ar + ar + ar + + ar i se resta ambas expresioes se tedrá: 3 r = a + ar + ar + + ar ar + ar + ar + + ar ( ) ( ) a a r = a ar = r r r ( )

12 i se calcula el límite de la suma parcial eésima se llega a: a a = lim = lim r r r a a a a = lim lim r = lim r r r r r De acuerdo co u teorema tratado e las ucesioes, si a r < etoces lim r = 0 por lo que = y la serie es r covergete. i r el límite o existe y la serie es divergete. Ejemplo. Dadas las siguietes series, determiar si so covergetes (dado el caso dar su suma) o divergetes: i) ; ii) iii) + ; iv) ; v) 4 = = 08 = 3

13 3 Ejemplo. Expresar el decimal periódico como la razó de dos úmeros eteros. olució = = La serie es ua serie geométrica co a= y r = < luego es covergete y su suma es 00 a = r = 0.0 =. e sustituye este valor y se tiee: = = = 99

14 CONDICIÓN NECEARIA PARA LA CONVERGENCIA 4 TEOREMA. Cosidérese la serie ifiita covergete, etoces se cumple que lima = 0. COROLARIO. ea la serie ifiita lima 0, la serie es divergete. = = a a. i ésta es. Etoces, si El corolario es más útil que el teorema mismo ya que implica que lo primero que se debe hacer al aalizar ua serie es obteer el límite del térmio eésimo y si resulta diferete de cero, se cocluye que la serie es divergete. Ejemplo. Determiar el carácter de cada ua de las siguietes series: 3! + + i) ) 6 ) 3 ii iii 3 3! = = 0 = TEOREMA. El carácter covergete o divergete de ua serie ifiita o cambia si se suprime o se agrega u úmero fiito de térmios al pricipio de ésta. IGUALDAD DE ERIE. Dos eries ifiitas, a y b = = so iguales si sus respectivos térmios so iguales, esto es, si se cumple que:

15 a = b si a = b N = = 5 UMA DE ERIE. Para defiir la suma de dos series ifiitas, basta co sumar los térmios eésimos, es decir, TEOREMA. i ) a + b = ( a + b) = = = ea dos series ifiitas covergetes a y b, = = co sumas A y B respectivamete. Etoces ( a + b) es covergete y su suma equivale a = A+ B ii ) ea dos series ifiitas, ua a covergete y otra = b divergete. Etoces, ( a + b) es divergete. = = iii ) ea a ua serie ifiita y c. Etoces el = producto de c a = ca y si la serie es covergete co = = suma " A ", etoces la serie ca es covergete y su = suma es = ca = Ejemplo. Ivestigar la aturaleza de la siguiete serie y e caso de ser covergete, calcular su suma: = ( + )

16 6 ERIE ARMÓNICA. La serie = se = 3 4 cooce como la serie armóica divergete. Ahora se verá el por qué diverge. e aalizará las sumas parciales e potecias de dos, es decir, ; 4 ; 8 ; 6 ; 3 ;... Etoces se,puede escribir: = + 4 = > = = > = = > > =

17 De la misma forma se tedría que: > + ; 64 > + ; 8 > + ; ; > + i se calcula el límite de + se obtiee que: Fialmete, divergete. lim lim + y por lo tato la serie armóica es ERIE INFINITA DE TÉRMINO POITIVO i e ua serie ifiita a todos sus térmios so positivos, = etoces sus sumas parciales cumple que < < < < < 3 Esta sucesió de sus sumas parciales es moótoa creciete; luego se deduce que para que esta serie de térmios positivos sea covergete, debe ser además acotada. E múltiples aplicacioes de las series ifiitas, lo importate o es coocer su suma sio solamete saber si so covergetes o divergetes. e verá la serie de gra utilidad coocida como serie " p ". Teorema (erie " p "). La serie ifiita = p p p p p = 3 +, dode p : i ) i p > es covergete. ii ) i p es divergete. iii) i =, el resto R p N = N está acotado por = 0 < R N < p N p ( ) 7

18 Ejemplo. Ivestigar la aturaleza de las siguietes series: i) ii) 3 3 = = 8 Ejemplo. Probar que la siguiete serie coverge y estimar el resto tras cico térmios 3 = olució. Como p = 3> la serie coverge. R < = = = p N ( p ) 5 ( ) 50 e deduce que la suma de la serie puede acotarse e la forma 5 < < Fialmete, como 5 = e cocluye que.86 < <.06

19 9 TEOREMA. CRITERIO DE LA COMPARACIÓN ea las dos series ifiitas co térmios positivos a y b. Etoces: = = i ) i 0 a b y b es covergete, a tambié es = = covergete y se dice que es domiada por la serie b. = ii ) i a b y b es divergete, la serie a tambié es = = divergete y se dice que domia a la serie b. = Ejemplo. Ivestigar si las siguietes series so covergetes o divergetes: 5 i) ; ii) = + 3 = EJEMPLO. Determiar la aturaleza de la siguiete serie: =

20 0 TEOREMA. CRITERIO DEL LÍMITE DEL COCIENTE DE LA COMPARACIÓN ea a y b series de térmios positivos y sea " L " = = u valor real. i se cumple que: a lim = L > 0 b etoces las dos series so covergetes o las dos so divergetes. Ejemplo. Ivestigar la aturaleza de las siguietes series ifiitas: i) ; ii) ; iii) = 4 = + 7 = ( )

21 Ejemplo. Ivestigar si la siguiete serie es covergete o divergete:

22 = ERIE ALTERNADA e cooce como series alteradas a aquellas cuyos térmios cambia de sigo de maera alterada, pudiedo ser la alteracia uo a uo o de maera irregular. e deota como: ( ) a ( ) = a a + a3 a4 + + a + = TEOREMA. CRITERIO DE LA ERIE ALTERNADA La serie alterada ( ) a es covergete si cumple las = siguietes codicioes: i) lima = 0 ) + ii a a para todo valor etero positivo " " Nota. Otras formas alterativas equivaletes a la seguda codició so: f' x < 0 x, etero positivo decreciete - ( ) ( )

23 - a a+ 0, etero positivo a - +, etero positivo a 3 Ejemplo. Determiar la aturaleza de las siguietes series alteradas: + 5 i) ( ) ; ii) ( ) ; iii) ( ) ( ) = = = 5 + iv) ( ) ; v) ( ) ; vi) ( ) = 0 + = 0 6 =!

24 4 TEOREMA. ERROR ETIMADO PARA UNA ERIE ALTERNADA CONVERGENTE La suma parcial de ua serie alterada covergete difiere de la suma de la serie e u error estimado meor al valor absoluto del térmio a +, esto es, E

25 < E a + 5 Ejemplo. Verificar que la siguiete serie alterada es covergete y calcular la suma " " co ua aproximació de cuatro cifras decimales. ( )! = ( )

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