CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES
|
|
- Montserrat Ruiz Valdéz
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 (Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CAPÍTULO V. UCEIONE Y ERIE DEFINICIÓN. Ua sucesió ifiita, o simplemete sucesió, es ua fució cuyo domiio está costituido por el cojuto de los úmeros aturales y cuyo recorrido, que es u subcojuto de los úmeros reales, se expresa e u listado como sigue: f(), f( ), f( 3 ),..., f( ),... Como variable idepediete se acostumbra usar la letra " " para idicar que, a diferecia de las fucioes cuyos domiios so deotados co las últimas letras del abecedario y que cosidera valores reales, e las sucesioes el domiio so los úmeros aturales. Al eésimo térmio de la ucesió f( ) tambié se le idetifica co a, ( ) co a o bie co a. { } Ejemplo. Dar los primeros cico térmios y el térmio eésimo de las siguietes ucesioes Ifiitas: + i) a( ) = + ; ii) a = ( ) + iii) b = ( ) ; iv) {} 5 +
2 REPREENTACIÓN GRÁFICA Como las fucioes, las sucesioes tambié se puede graficar, correspodiedo sus valores fucioales a cada uo de los úmeros aturales sustituido e su regla de correspodecia. LÍMITE DE UNA UCEIÓN Teorema. ea ua sucesió { a }. e dice etoces que tiee límite, deotado como L y expresado como lim a = L si para toda ε > 0 y ta pequeña como se desee, existe u úmero etero N tal que a L < ε siempre que > N i existe el límite, etoces la sucesió es covergete y e caso cotrario se llama divergete. Represetació geométrica: y L (, a ) (,a ) ( 3,a 3 ) ( a, ) 3 N y = L+ ε y = L ε x Los límites de las sucesioes ifiitas tambié cumple las propiedades de los límites de las fucioes. Además es importate hacer ver que como los térmios de la sucesió so valores fucioales, al estudiar su covergecia o divergecia se puede aplicar la Regla de L Hopital. Al respecto, resulta coveiete euciar aquí el teorema correspodiete a esta regla para poder cotar co ua herramieta valiosa e el Cálculo del límite de ua sucesió.
3 3 Teorema. Regla de L hopital. upógase las fucioes f y g difereciables e cada puto de u itervalo abierto ( ab, ) que cotiee al valor " c " excepto posiblemete e este valor; y sea g' ( x) 0 para toda x c e el itervalo. ea tambié L que deota tato u valor f( x) real o bie + o, y supógase que es ua forma g( x) f' ( x) idetermiada e " c ". Luego, si lim = L etoces x cg ' ( x) f( x) lim = L x c g x ( ) De acuerdo co este teorema, el límite del cociete de dos fucioes es igual al límite del cociete de sus derivadas. Y si al derivar umerador y deomiador de la expresió origial se vuelve a presetar ua idetermiació de las formas 0 ó, se repite uevamete la Regla hasta que el 0 resultado está determiado o o existe el límite. Ejemplo. Calcular el valor umérico de los límites de las siguietes sucesioes y determiar co ello su aturaleza (utilizar la Regla de L Hopital cuado se cosidere ecesario o para verificar el resultado e ilustrar la técica) i) ; ii) se ; iii) 3 ( )
4 4 E ocasioes el límite resulta difícil y etoces es coveiete utilizar la propiedad del emparedado, teorema cuyo euciado es el siguiete: Teorema. ea las sucesioes defiidas por { }, { } { } a b y c, para las cuales se cumple que a b c y además, se sabe que lima = L= limc. Etoces limb = L
5 Ejemplo. Calcular el límite de la sucesió cos. 5 Teorema. ea ua sucesió cuyo térmio eésimo es Etoces: i) lim r = 0 si r < ii) lim r si r > r. Ejemplo. Calcular el límite de las sucesioes: i) ; ii) {(.0) }
6 Teorema. i para ua sucesió { } etoces limb = 0 b se tiee que lim b = 0, 6 Ejemplo. Verificar que lima = 0 para: a ( ) + = Defiició. ucesió moótoa Ua sucesió es moótoa creciete si sus térmios cosecutivos o decrece y es moótoa decreciete si sus térmios sucesivos o crece. Defiició. ucesió acotada e dice que ua sucesió es acotada si existe u valor real positivo " C " tal que: a C Teorema. i se tiee ua sucesió moótoa (creciete o decreciete) y está acotada, etoces tiee límite, por lo que es covergete. Ejemplo. La sucesió es acotada y es moótoa decreciete, por lo que es covergete y su límite es: lim = = 0
7 ERIE INFINITA. TELECÓPICA Y GEOMÉTRICA 7 DEFINICIÓN. Cosidérese la sucesió { a } y súmese ahora sus térmios. A la expresió obteida que es: a+ a + a3 + + a + se le llama serie ifiita o simplemete serie y se deota co = Como se trata de u úmero ifiito de sumados, es ecesario defiir lo que se etiede por suma ifiita y para ello es coveiete formar ua sucesió co las sumas parciales de los térmios de las series, que se expresa como: a e dode,,,...,,... 3 = a = a+ a = a + a + a 3 3 = a + a + a + + a 3 DEFINICIÓN. Cosidérese la serie ifiita = a = a+ a + a3 + + a + = y sea la sucesió de sus sumas parciales,,,...,,... 3 Etoces la serie dada es covergete si el límite de su suma parcial eésima existe, es decir, si lim = ; y el valor umérico " " del límite equivale a la suma fiita de la serie ifiita. E el caso de que el límite o existe, se dice que la serie es divergete.
8 8 i fuera posible siempre determiar el límite de la suma parcial eésima, todo se cocretaría a calcularlo y así determiar su aturaleza. Pero e la mayoría de los casos es complicado. Ejemplo. ea la serie ifiita = = Alguas de sus sumas parciales, icluyedo la suma parcial eésima, que recuerda al prícipe de las matemáticas Gauss, por la aécdota que de él se cueta al respecto, so: = = + = 3 3 = + + 3= 6 ( + ) = e obtiee el límite de la suma parcial eésima y se ve que: ( + ) lim por lo que la serie es divergete. Ejemplo. (erie telescópica). ea la serie. i se ( ) = + escribe alguos de sus sumados y sus respectivas sumas parciales se obtiee lo siguiete: = = ( ) = = 0.5 = = + + = = = =
9 6 = = = = = = = = = = El térmio eésimo se puede escribir de la siguiete forma, al descompoerlo e dos fraccioes racioales: A B = + = A + A + B + + ( ) 0 = A+ B A = = A B = = ( + ) + y etoces, los térmios de la serie se puede escribir como sigue: = ( ) = + = + = Como se ve, todos los térmios meos dos se cacela y la suma parcial eésima queda como: = + y el límite de esta suma parcial eésima es lim = lim = + luego esta serie, coocida como telescópica, es covergete y su límite es uo, que es el valor de su suma fiita.
10 Ejemplo. (erie telescópica). Aalizar la serie ifiita = erie Geométrica. ea la serie ifiita ar = a + ar + ar + + ar + = 0 Cada térmio se obtiee al multiplicar el térmio imediato aterior por u térmio coocido como la razó de la serie. ar ar = = r ar a
11 Ejemplo. upógase que se tiee los siguietes térmios de ua serie y se pretede saber si se trata de ua serie geométrica: ,,,, olució e divide cada térmio etre el aterior y, = ; = = ; = = = = Luego se trata de ua serie geométrica co r = 5 y a=, por lo que su térmio geeral es: = 0 5 TEOREMA. La serie geométrica ar = a + ar + ar + + ar + i ) = 0 Coverge y su suma es ii ) Diverge si r a = si r < r PRUEBA. ea la suma parcial eésima = a + ar + ar + + ar i se multiplica los dos miembros por la razó " r " 3 r = ar + ar + ar + + ar i se resta ambas expresioes se tedrá: 3 r = a + ar + ar + + ar ar + ar + ar + + ar ( ) ( ) a a r = a ar = r r r ( )
12 i se calcula el límite de la suma parcial eésima se llega a: a a = lim = lim r r r a a a a = lim lim r = lim r r r r r De acuerdo co u teorema tratado e las ucesioes, si a r < etoces lim r = 0 por lo que = y la serie es r covergete. i r el límite o existe y la serie es divergete. Ejemplo. Dadas las siguietes series, determiar si so covergetes (dado el caso dar su suma) o divergetes: i) ; ii) iii) + ; iv) ; v) 4 = = 08 = 3
13 3 Ejemplo. Expresar el decimal periódico como la razó de dos úmeros eteros. olució = = La serie es ua serie geométrica co a= y r = < luego es covergete y su suma es 00 a = r = 0.0 =. e sustituye este valor y se tiee: = = = 99
14 CONDICIÓN NECEARIA PARA LA CONVERGENCIA 4 TEOREMA. Cosidérese la serie ifiita covergete, etoces se cumple que lima = 0. COROLARIO. ea la serie ifiita lima 0, la serie es divergete. = = a a. i ésta es. Etoces, si El corolario es más útil que el teorema mismo ya que implica que lo primero que se debe hacer al aalizar ua serie es obteer el límite del térmio eésimo y si resulta diferete de cero, se cocluye que la serie es divergete. Ejemplo. Determiar el carácter de cada ua de las siguietes series: 3! + + i) ) 6 ) 3 ii iii 3 3! = = 0 = TEOREMA. El carácter covergete o divergete de ua serie ifiita o cambia si se suprime o se agrega u úmero fiito de térmios al pricipio de ésta. IGUALDAD DE ERIE. Dos eries ifiitas, a y b = = so iguales si sus respectivos térmios so iguales, esto es, si se cumple que:
15 a = b si a = b N = = 5 UMA DE ERIE. Para defiir la suma de dos series ifiitas, basta co sumar los térmios eésimos, es decir, TEOREMA. i ) a + b = ( a + b) = = = ea dos series ifiitas covergetes a y b, = = co sumas A y B respectivamete. Etoces ( a + b) es covergete y su suma equivale a = A+ B ii ) ea dos series ifiitas, ua a covergete y otra = b divergete. Etoces, ( a + b) es divergete. = = iii ) ea a ua serie ifiita y c. Etoces el = producto de c a = ca y si la serie es covergete co = = suma " A ", etoces la serie ca es covergete y su = suma es = ca = Ejemplo. Ivestigar la aturaleza de la siguiete serie y e caso de ser covergete, calcular su suma: = ( + )
16 6 ERIE ARMÓNICA. La serie = se = 3 4 cooce como la serie armóica divergete. Ahora se verá el por qué diverge. e aalizará las sumas parciales e potecias de dos, es decir, ; 4 ; 8 ; 6 ; 3 ;... Etoces se,puede escribir: = + 4 = > = = > = = > > =
17 De la misma forma se tedría que: > + ; 64 > + ; 8 > + ; ; > + i se calcula el límite de + se obtiee que: Fialmete, divergete. lim lim + y por lo tato la serie armóica es ERIE INFINITA DE TÉRMINO POITIVO i e ua serie ifiita a todos sus térmios so positivos, = etoces sus sumas parciales cumple que < < < < < 3 Esta sucesió de sus sumas parciales es moótoa creciete; luego se deduce que para que esta serie de térmios positivos sea covergete, debe ser además acotada. E múltiples aplicacioes de las series ifiitas, lo importate o es coocer su suma sio solamete saber si so covergetes o divergetes. e verá la serie de gra utilidad coocida como serie " p ". Teorema (erie " p "). La serie ifiita = p p p p p = 3 +, dode p : i ) i p > es covergete. ii ) i p es divergete. iii) i =, el resto R p N = N está acotado por = 0 < R N < p N p ( ) 7
18 Ejemplo. Ivestigar la aturaleza de las siguietes series: i) ii) 3 3 = = 8 Ejemplo. Probar que la siguiete serie coverge y estimar el resto tras cico térmios 3 = olució. Como p = 3> la serie coverge. R < = = = p N ( p ) 5 ( ) 50 e deduce que la suma de la serie puede acotarse e la forma 5 < < Fialmete, como 5 = e cocluye que.86 < <.06
19 9 TEOREMA. CRITERIO DE LA COMPARACIÓN ea las dos series ifiitas co térmios positivos a y b. Etoces: = = i ) i 0 a b y b es covergete, a tambié es = = covergete y se dice que es domiada por la serie b. = ii ) i a b y b es divergete, la serie a tambié es = = divergete y se dice que domia a la serie b. = Ejemplo. Ivestigar si las siguietes series so covergetes o divergetes: 5 i) ; ii) = + 3 = EJEMPLO. Determiar la aturaleza de la siguiete serie: =
20 0 TEOREMA. CRITERIO DEL LÍMITE DEL COCIENTE DE LA COMPARACIÓN ea a y b series de térmios positivos y sea " L " = = u valor real. i se cumple que: a lim = L > 0 b etoces las dos series so covergetes o las dos so divergetes. Ejemplo. Ivestigar la aturaleza de las siguietes series ifiitas: i) ; ii) ; iii) = 4 = + 7 = ( )
21 Ejemplo. Ivestigar si la siguiete serie es covergete o divergete:
22 = ERIE ALTERNADA e cooce como series alteradas a aquellas cuyos térmios cambia de sigo de maera alterada, pudiedo ser la alteracia uo a uo o de maera irregular. e deota como: ( ) a ( ) = a a + a3 a4 + + a + = TEOREMA. CRITERIO DE LA ERIE ALTERNADA La serie alterada ( ) a es covergete si cumple las = siguietes codicioes: i) lima = 0 ) + ii a a para todo valor etero positivo " " Nota. Otras formas alterativas equivaletes a la seguda codició so: f' x < 0 x, etero positivo decreciete - ( ) ( )
23 - a a+ 0, etero positivo a - +, etero positivo a 3 Ejemplo. Determiar la aturaleza de las siguietes series alteradas: + 5 i) ( ) ; ii) ( ) ; iii) ( ) ( ) = = = 5 + iv) ( ) ; v) ( ) ; vi) ( ) = 0 + = 0 6 =!
24 4 TEOREMA. ERROR ETIMADO PARA UNA ERIE ALTERNADA CONVERGENTE La suma parcial de ua serie alterada covergete difiere de la suma de la serie e u error estimado meor al valor absoluto del térmio a +, esto es, E
25 < E a + 5 Ejemplo. Verificar que la siguiete serie alterada es covergete y calcular la suma " " co ua aproximació de cuatro cifras decimales. ( )! = ( )
Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.
CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió
Más detallesSucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,
Más detallesvalor absoluto de sus términos, se tiene la serie: que si es convergente, entonces también es convergente la serie alternada.
(Aputes e revisió para orietar el apredizaje) CONVERGENCIA ABSOLUTA TEOREMA. Si e la serie alterada ( ) valor absoluto de sus térmios, se tiee la serie: a + a + + a + a se toma el = que si es covergete,
Más detallesCAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió
Más detallesTEMA IV. 1. Series Numéricas
TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios
Más detalles1. Sucesiones y series numéricas
ITINFORMÁTICA CÁLCULO INFINITESIMAL BOLETÍN CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS CURSO 005-06 Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3,
Más detalles(finitas o infinitas)
Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5.
Más detalles1. SUCESIONES Y SERIES
1. SUCESIONES Y SERIES Objetivo: El alumo aalizará sucesioes y las series para represetar fucioes por medio de series de potecias 1.1 Defiició se sucesió. Límite y covergecia de ua sucesió qué es ua sucesió?
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detallesPropiedades de las series numéricas (18.03.2015)
Propiedades de las series uméricas 8.03.205) ) Si itercalamos e la sucesió {a } N u úmero fiito de térmios de suma b, el carácter de la serie a o varía y, si coverge, su suma aumeta e b. D: Sea b +b 2
Más detallesPROGRESIONES ARITMÉTICAS.-
PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, se obtiee sumado al aterior ua costate d, que se deomia diferecia de la progresió.
Más detallesSERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detallesSeries alternadas Introducción
Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia
Más detallesCálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesSucesiones y series numéricas
TEMA 6 Sucesioes y series uméricas Objetivos: Los objetivos so: () estudiar la covergecia de las sucesioes uméricas, (2) Coocer las series uméricas y sus propiedades; (3) saber aplicar los criterios y
Más detallesUna sucesión es un conjunto infinito de números ordenados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segundo, el tercero, etc.
Sucesioes Sucesi o. Ua sucesió es u cojuto ifiito de úmeros ordeados de tal forma que se puede decir cuál es el primero, cuál el segudo, el tercero, etc. Los térmios de ua sucesió se desiga mediate a 1,
Más detallesEn el siglo XVIII muchos matemáticos buscaban, sin demasiado éxito, el valor de la expresión
Defiició y propiedades 5 5. Defiició y propiedades 6 5. Covergecia absoluta e icodicioal 65 5.3 Criterios de covergecia para series de térmios o egativos 66 5.4 Otros criterios 69 5.5 Suma de series 69
Más detallesSucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7
Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r}
Más detallesCapítulo 2. Series de números reales. 2.1 Convergencia de una serie de números reales.
Capítulo 2 Series de úmeros reales Defiició 2.0. Dada ua sucesió a, a 2, a 3,,, de úmeros reales, la sucesió S, S 2, S 3,, S, dode: S = a S 2 = a + a 2 S 3 = a + a 2 + a 3 S = a + a 2 + a 3 + + se dice
Más detallesTEORÍA DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 3: Sucesiones y series. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García
TEORÍA DE CÁLCULO I Para Grados e Igeiería Capítulo 3: Sucesioes y series Domigo Pestaa Galvá José Mauel Rodríguez García Figuras realizadas co Arturo de Pablo Martíez TEMA 3. Sucesioes y series 3. Sucesioes
Más detallesSeries de números reales
Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió
Más detallesTEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones*
CURSO -6 TEMA 9 Cálculo de límites de sucesioes* Propiedades aritméticas de los límites de sucesioes. b tales que : a = a b = b, dode ab, R Sea las sucesioes { } a y { } Etoces podemos obteer su suma,
Más detallesR. Urbán Introducción a los métodos cuantitativos. Notas de clase Sucesiones y series.
R. Urbá Itroducció a los métodos cuatitativos. Notas de clase Sucesioes y series. SUCESIONES. Ua sucesió es u cojuto umerable de elemetos, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:
Más detallesCAPÍTULO XIII. SUCESIONES
CAPÍTULO XIII SUCESIONES NUMÉRICAS SECCIONES A Sucesioes covergetes y límites de oscilació Sucesioes moótoas y acotadas B Sucesioes recurretes C Ejercicios propuestos 59 A SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES
Más detalles1. Serie de Potencias
. Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada
Más detallesIntroducción básica a series
Itroducció básica a series Gearo Lua Carreto * 2 Noviembre de 206, 8 pm. Series: u caso particular de sucesió Supoga que tiee ua sucesió cualquiera a. Explicaremos la forma de geerar ua sucesió s, muy
Más detallesMATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS
Defiició de límite de ua fució (segú Heie) Sea f : D R ua fució y a R (D R) Diremos que se cumple que f() L R a f( ) L si para cualquier sucesió { } D { a} tal que a Ejemplos: ) Probar que Demostració:
Más detallesCAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS
CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E
Más detalles1. Sucesiones página 217. 2. Idea intuitiva de límite de una sucesión página 222. 3. Operaciones con sucesiones. página 224
Límite y cotiuidad E S Q U E M A D E L A U N I D A D.. Térmio geeral de ua sucesió págia 7.. Progresioes aritméticas y geométricas págia 7. Sucesioes págia 7. Idea ituitiva de límite de ua sucesió págia..
Más detallesCálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesSUCESIÓN. La colección de números que definen a una sucesión permite clasificar a éstas en:
UCEIÓN CPR. JORGE JUAN Xuvia-Naró Ua sucesió, (a ), de úmeros reales es ua fució que hace correspoder a cada úmero atural, excluido el cero, u úmero real, la cual viee defiida segú: f: N* R a a i a Número
Más detallesEJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES
EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:
Más detallesUniversidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Series Infinitas
Uiversidad Nacioal Autóoma de México Liceciatura e Ecoomía Cálculo Diferecial e Itegral Series Ifiitas El ifiito! Nigua cuestió ha comovido ta profudamete el espíritu del ser humao. David Hilbert Defiició
Más detallesSucesiones y series de números reales
38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,
Más detallesuna sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:
Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes
Más detalles(a n a n+1 ) n(n + 1) = Comprobar que las siguientes series no son convergentes. ( 1) n. 2 n+2 3 n 2,
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 4. Probar que si la serie es covergete,
Más detallesSesión 8 Series numéricas III
Sesió 8 Series uméricas III Defiició Serie de Potecias Si a 0, a, a,, a so úmeros reales y x es ua variable, ua expresió de la forma a x, se llama Serie de Potecias. Lo abreviaremos co SP. Alguos ejemplos
Más detalles1.1. SERIES NUMÉRICAS Y FUNCIONALES.
.. SERIES NUMÉRICAS Y FUNCIONALES. Dado el cojuto de los úmeros reales, ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació de la forma: + a : Z verificado que a () = a, (2),, ( ), a = a 2 a = a. Usualmete e lugar
Más detalles4. Sucesiones de números reales
4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...
Más detallesACTIVIDADES NO PRESENCIALES
E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Grado e Igeiería Mecáica Este documeto cotiee las actividades o preseciales propuestas al termiar la clase del día que se idica. Se sobreetiede
Más detallesEvaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad
Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El
Más detallesCálculo II (0252) TEMA 6 SERIES DE POTENCIAS. Semestre
Cálculo II (5) Semestre - TEMA 6 SERIES DE POTENCIAS Semestre - José Luis Quitero Julio Departameto de Matemática Aplicada UCV FIUCV CÁLCULO II (5) José Luis Quitero Las otas presetadas a cotiuació tiee
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R
P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III
Más detalles) = Ln(1 + 1 n ) 1 n. Ln( n ) n tiene términos positivos y si 0 < lím n n bn. < entonces ambas series divergen o bien ambas series convergen
Criterio de Comparació Si a 0 y b 0. Si existe ua costate C > 0 tal que a Cb etoces la covergecia de b implica la covergecia de a. Ejemplo.- Sabemos que la serie coverge a, pero como (+), etoces la serie
Más detallesRESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES
RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete
Más detallesAptitud Matemática 5 RPTA.: E SUCESIONES RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN 5 4 7 6 9 8 11 ; ; ; ; ; ; 4 5 6 7 8 9 10
SUCESIONES I. Determiar el térmio que cotiúa e cada ua de las siguietes sucesioes: 1. ; 5; 11; 0; 4. - ; 5; - 9 ; 19; A) 8 B) - 7 C) 7 D) - 8 E) 14 A) 8 B) 0 C) D) 1 E) 5. 5 4 7 6 9 8 ; ; ; ; ; ;... 4
Más detallesTema 4.4: Teorema de Riemann de singularidades evitables. Ceros de una función holomorfa. Principio de identidad
Tema 4.4: Teorema de Riema de sigularidades evitables. Ceros de ua fució holomorfa. Pricipio de idetidad Facultad de Ciecias Experimetales, Curso 2008-09 E. de Amo Comeamos e este tema extrayedo las primeras
Más detallesResolución de ecuaciones no lineales
Resolució de ecuacioes o lieales Solucioa ecuacioes o lieales tipo f()= Normalmete cada método tiee sus requisitos Métodos so iterativos Métodos iterativos para resolver f()= E geeral métodos iterativos
Más detallesLAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO
LAS SUCESIONES Y SU TENDENCIA AL INFINITO Sugerecias al Profesor: Resaltar que las sucesioes geométricas ifiitas so objetos matemáticos que permite modelar alguos procesos ifiitos, y que a la vez su costrucció
Más detallesLAS SERIES GEOMÉTRICAS Y SU TENDENCIA AL INFINITO
LA ERIE GEOMÉTRICA Y U TENDENCIA AL INFINITO ugerecias al Profesor: Al igual que las sucesioes, las series geométricas se itroduce como objetos matemáticos que permite modelar y resolver problemas que
Más detallesEstalmat. Real Academia de Ciencias. Curso 2005/2006. Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot. Método de Newton. Miguel Reyes Mayo 2006
Estalmat. Real Academia de Ciecias. Curso 5/6 Diámica compleja Cojutos de Julia y Madelbrot. Método de Newto. Miguel Reyes Mayo 6 Los úmeros complejos Los úmeros complejos so los úmeros de la forma dode
Más detallesSeries alternadas. n n. Es decir sus términos son alternadamente positivos y negativos. Se analiza su comportamiento utilizando el siguiente teorema:
So series de la forma Series alteradas + ( ) a o ( ) a co a > = =. Es decir sus térmios so alteradamete positivos y egativos. Se aaliza su comportamieto utilizado el siguiete teorema: Teorema de Leibiz
Más detallesTeoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia...
covergecia este capítulo teemos como objetivo demostrar las propiedades más importates de la Itegral de Lebesgue. teemos que demostrar todavía las propiedades fudametales de liealidad y aditividad respecto
Más detallesSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43
TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a a 8 + ( ); Y fialmete: a 7 8 + (7 ) 86 0 7 + 0. S 0 Págia 7 [ ( 7 + 9 5) ] 95. a) 6 : pero 0 : 6,6 o es PG b) 6 : ( ) : 6 :
Más detallesSeñales en Tiempo Discreto
Señales e Tiempo Discreto Dr. Luis Javier Morales Medoza Procesamieto Digital de Señales Departameto de Maestría DICIS - UG Ídice.. Itroducció.. Señales e tiempo discreto.3. Clasificació de las señales
Más detallesExamen de Febrero de 2005 de Cálculo I. Soluciones.
Eame de Febrero de 5 de Cálculo I Solucioes Sea la fució f() = e sh + co domiio R a) Hallar los tres primeros térmios o ulos de su desarrollo de Taylor e = b) Probar que eiste su fució iversa f y calcular
Más detallesSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 23 a 43
TEMA. SUCESIONES DE NÚMEROS. LOGARITMOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. a Págia. a) Es la sucesió de los úmeros impares:, 5, 7 b) Se suma al valor absoluto del úmero y se cambia de sigo: 7, 0, c) Se
Más detallesSucesiones I Introducción
Temas Qué es ua sucesió? Notacioes y coceptos relacioados. Maeras de presetar ua sucesió. Gráfico de sucesioes. Capacidades Coocer y compreder el cocepto de sucesió. Coocer y maejar las diferetes maeras
Más detallesSucesiones de números reales Sucesiones convergentes: límite de una sucesión
Sucesioes de úmeros reales Sucesioes covergetes: límite de ua sucesió Tato e la educació secudaria obligatoria como e el bachillerato se habla poco de las sucesioes de úmeros reales. Si acaso se dedica
Más detallesPráctica 1.- Sucesiones y series
Práctica.- Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y, que os permitirá, e la mayoría
Más detallesSerie de Potencias. Denición 1. A una serie de la forma. a n (x c) n. a n x n
Uidad 5 Covergecia Uiforme 5.1 Series de potecias y radio de covergecia. Serie de Potecias Deició 1. A ua serie de la forma a () dode a 1, a 2,..., a,... so costates y c R es jo, se le llama serie de potecias
Más detallesS6: Series Numéricas (I)
S6: Series Numéricas (I) Aprederemos como hacer sumas co u úmero ifiito de térmios. U ejemplo de suma ifiita es: 0 + + + + 4 + 5 + Para sumarla primero sumaremos térmios y después haremos +. Notació: S
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54
Más detallesCriterios de convergencia para series.
Criterios de covergecia para series. Para series e geeral, existe ua serie de criterios de covergecia:. Primer criterio de comparació.- Si ( ) y (b ) so dos sucesioes de úmeros reales tales que m N, tal
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 5: Series de potecias. Operacioes co series de potecias. Series de potecias Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález Cuado estudiamos las series geométricas, demostramos la
Más detallesPráctica 3 Sucesiones y series
Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la
Más detallesSucesiones. Límite de una
Capítulo 3 Sucesioes. Límite de ua sucesió 3.. Itroducció La oció de sucesió es u istrumeto importate para el estudio de u gra úmero de problemas relativos a las fucioes. Ua sucesió es, simplemete, ua
Más detallesUNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS SERIES DE POTENCIAS
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TEMUCO FACULTAD DE INGENIERÍA DEPTO. DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Y FÍSICAS Asigatura : Cálculo Numérico, MAT-23. Profesor : Emilio Cariaga L. Periodo : er. Semestre 205. SERIES DE POTENCIAS
Más detallesUNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA. Temas 5 y 6 Sucesiones y Series. Series de Potencias
Temas 5 y 6 Sucesioes y Series. Series de Potecias SUCESIONES E los siguietes problemas determie si la sucesió { } ecuetre el límite e caso de ser covergete..- { }.- { } = 5 a.- { } a 5.- { a} = + 9 a
Más detallesEl tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.
Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,
Más detallesSUCESIONES Y SERIES Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,...
SUCESIONES Y SERIES. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto
Más detallesMATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero
ucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros dados ordeadamete de modo que se pueda umerar: primero, segudo, tercero Ejemplos: a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 25, 36 c) 2, 4, 8, 6, 32, 64 e llama térmios a los
Más detallesEl interés fundamental que se persigue en este capítulo es la. representación de las funciones complejas por medio de series de potencias, lo
Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Series complejas El iterés fudametal que se persigue e este capítulo es la represetació de las fucioes complejas
Más detallesLímite y Continuidad de Funciones.
Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por
Más detalles3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79
Solucioes a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Pág. P RACTICA Sucesioes formació térmio geeral Escribe los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) Cada térmio se obtiee sumado 7 al aterior.
Más detallesSeries de potencias Introducción. Temas Series de potencias. Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencias.
Sesió 27 Series de potecias Temas Series de potecias. Itervalo y radio de covergecia de ua serie de potecias. Capacidades Coocer y compreder el cocepto de serie de potecias. Determiar el itervalo y el
Más detallesTarea 1 y 2. Problema 1. Calcula el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos.
Cálculo Tarea y Problema. Calcula el supremo y el ífimo de los siguietes cojutos. a) A = {x : 0 x }. Es imediato que sup A = e íf A = 0. b) A = {x : 0 < x < }. Es imediato que sup A = e íf A = 0. c) A
Más detallesIES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11
IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como
Más detalles( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7
LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.
Más detallesSumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio
Capítulo Sumatoria, Progresioes y Teorema del Biomio.. Símbolo Sumatorio Es u símbolo muy útil y coveiete que permite escribir sumas e forma abreviada. Este símbolo se represeta mediate la letra griega
Más detallesTALLER DEL CENTRO DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS
TALLER DEL CENTRO DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS Series Ifiitas de Números y Fucioes Guillermo Romero Melédez Departameto de Actuaría, Física y Matemáticas ü 1. SERIES DE NÚMEROS ü La serie =0 a = a 0 +
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 3: Series de térmios positivos. Criterios de covergecia. Series de térmios positivos Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos Gozález La característica fudametal de ua serie cuyos
Más detalles9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES
9 SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 9. Co ua calculadora, forma térmios de las siguietes sucesioes y estudia a qué valores tiede. a) a b) b c) c 5 a) a a 8 5,6 a 0 00,98 a 0 00 0
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,
Más detallesTEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.
TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar
Más detallesSOLUCIONARIO II Parcial Cálculo Proyecto MATEM UNIVERSIDAD DE COSTA RICA Miércoles 10 de agosto del Solucionario
SOLUCIONARIO II Parcial Cálculo Proyecto MATEM UNIVERSIDAD DE COSTA RICA Miércoles de agosto del ESCUELA DE MATEMÁTICA Segudo Eame Parcial Cálculo I PROYECTO MATEM Tiempo Probable: horas Solucioario. Use
Más detallesConvergencia de variables aleatorias
Capítulo Covergecia de variables aleatorias El objetivo del presete capítulo es estudiar alguos tipos de covergecia de variables aleatorias. Iiciaremos co la defiició de los distitos modos de covergecia...
Más detallesTema 7 (IV). Aplicaciones de las derivadas (2). Representación gráfica de curvas y fórmula de Taylor
Tema 7 (IV) Aplicacioes de las derivadas () Represetació gráfica de curvas y fórmula de Taylor Aplicacioes de la derivada primera El sigo de la derivada primera de ua fució permite coocer los itervalos
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Sucesioes Ejercicio. Prueba que si x
Más detallesNegativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18
Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesNOTA: En todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta explicando el procedimiento seguido en la resolución del ejercicio.
E.T.S.I. Idustriales y Telecomuicació Asigatura: Cálculo I Pág. Grado Ig. Tec. Telecomuicació NOTA: E todos los ejercicios se deberá justificar la respuesta eplicado el procedimieto seguido e la resolució
Más detalles6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6.1. SUCESIONES NUMÉRICAS
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM. 6. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6... Sucesioes de úmeros reales 6.. SUCESIONES NUMÉRICAS Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier
Más detallesS7: Series numéricas II
Dada la serie S = k= a k, si la suma es fiita diremos que es ua serie covergete y e caso cotrario ua serie divergete. A la siguiete sucesió de úmeros la llamaremos la sucesió de sus sumas parciales: S
Más detallesSERIES POTENCIALES. 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial: 3 2 n. n n. 2 n = = ( ) ( 1)
Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada SERIES POTENCIALES.- Hallar el campo de covergecia de la serie potecial: ( + ) 3 y Realizado el cambio de variable, + 3 = y, teemos la serie:
Más detallesCÁLCULO INTEGRAL APUNTES SERIES
UN I V E R S I D A D MA Y O R FA C U LT A D DE IN G E N I E R Í A SE G U N D O SE M E S T R E 0 CÁLCULO INTEGRAL AUNTES SERIES CRITERIOS. Criterio del -ésimo térmio para la divergecia Si la serie a coverge,
Más detallesLAS INDETERMINACIONES EN EL CÁLCULO DE LÍMITES
Este trabajo, e el que se aaliza la idetermiació e el cálculo de límites, ha sido realizado por Jorge Sáchez Ruao y se publica bajo licecia libre, por lo que queda dispoible para que cualquier persoa lo
Más detallesORGANIZACIÓN DE LOS DATOS.
ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. La toma de datos es ua de las partes de mayor importacia e el desarrollo de ua ivestigació. Así los datos obteidos mediate u primer proceso recibe el ombre de datos si tratar
Más detalles