LAS INDETERMINACIONES EN EL CÁLCULO DE LÍMITES

Transcripción

1 Este trabajo, e el que se aaliza la idetermiació e el cálculo de límites, ha sido realizado por Jorge Sáchez Ruao y se publica bajo licecia libre, por lo que queda dispoible para que cualquier persoa lo complemete co sus coocimietos sobre la materia. Además, el autor se compromete a que esta publicació sea ua creació comuitaria de coocimietos, de la que cualquier persoa puede hacer uso y cuyo coteido puede mejorar. LAS INDETERMINACIONES EN EL CÁLCULO DE LÍMITES Los objetivos que persigue este trabajo so los siguietes: Itroducir el cocepto de la idetermiació e el cálculo de límites. Idetificar los distitos tipos de idetermiacioes que se puede presetar e el cálculo de límites y presetar los correspodietes métodos de resolució de cada ua de ellos. Proporcioar ua picelada de la historia de las idetermiacioes, co ua breve reseña sobre el matemático Otto Stolz, cuyo trabajo cotribuyó a la resolució de los límites idetermiados. Auque el coteido de este trabajo tiee cierto carácter teórico, se ha desarrollado si perder de vista u efoque práctico, de maera que sirva para facilitar la compresió del cálculo de límites y tega como aplicació directa la resolució de los ejercicios plateados e la asigatura de Cálculo Igeiera Iformática para lo que se icluye ua explicació detallada de cómo resolver cada tipo de idetermiació. Ates de abordar el estudio de las idetermiacioes, coviee idicar que éstas puede presetarse e el cálculo de límites tato de sucesioes como de fucioes. Si embargo, para explicar el cocepto de idetermiació y aalizar los distitos tipos que existe y cómo resolverlos vamos a cetraros e los límites de sucesioes, auque todo lo dicho se podría aplicar de maera aáloga al cálculo de límites de fucioes.. Qué es ua idetermiació? El cocepto de idetermiació e el cálculo de límites de sucesioes se puede detectar al estudiar las propiedades aritméticas de estos límites. Así, se observa que, auque e geeral al operar algebraicamete co sucesioes covergetes (sumádolas, multiplicádolas, dividiédolas, extrayedo logaritmos o elevado ua a otra) se suele obteer sucesioes que tambié so covergetes, y cuyos límites se puede calcular a partir de los de aquéllas, esto o siempre es así, sio que hay casos sigulares e los que o so de aplicació las citadas propiedades, y el posible límite (el de la sucesió que resulta al operar co ciertas sucesioes dadas) o depede sólo de los valores que tome los límites de éstas, sio que varía de uos casos a otros, pudiedo, icluso, o existir. Estos so los casos de los que vamos a ocuparos, a los que llamaremos límites idetermiados o casos de idetermiació, para lo que vamos a empezar co u breve repaso de las propiedades aritméticas de los límites citadas.

2 PROPIEDADES ARITMÉTICAS DE LOS LÍMITES Sea a y b dos sucesioes covergetes, de úmeros reales, cuyos límites so a, b R lim a a y lim b b Etoces tambié so covergetes las siguietes sucesioes, que tiee los límites que se señala e cada caso: º lim (a b) a b para º lim (a* b) a * b para º lim (a / b) a / b (si b!) para º lim (log a) log a (si a > ) para º lim (a b ) a b (si a>) para Los cico resultados procedetes so tambié válidos e aquellos casos e los que, siedo a ó b, las operacioes co los límites a y b( a b, a * b, a / b, log a, a b ) esté defiidas o tega setido). Pero os pregutaremos qué es ua idetermiació. Se suele presetar e el cálculo de límites ifiitos, esto es, al calcular el límite de ua sucesió cuado tiede a ifiito, y seguro que más de ua vez os habremos topado co algua, e icluso habremos sabido escoger u método para resolverla, pero qué es exactamete ua idetermiació?. Vamos a empezar por la defiició semática de la propia palabra, la cual os dice que: Idetermiació: Falta de resolució o determiació e las cosas. Si embargo, la defiició matemática va u poco más allá. Se refiere a aquellos casos del cálculo de límites e que, realizado las operacioes habituales, basadas e las propiedades aritméticas de los límites, llegamos a u resultado idefiido, es decir, os ecotramos co ua falta de resolució o de determiació e el resultado, que o permite obteer directamete el valor del límite buscado, sio que hace ecesarias operacioes adicioales para que, trasformado la expresió de modo que desaparezca la idetermiació, lleguemos al valor de dicho límite. Aalizado las diferecias etre u límite determiado y otro idetermiado podremos eteder u poco mejor la defiició de límite idetermiado o idetermiació. U límite es determiado cuado su valor es u úmero real ó ó -.

3 EJEMPLO : (Límite determiado) lim ()/() lim lim _ / (Numero Real) EJEMPLO : (Límite determiado) lim ( )/(/ ) (Ifiito) E estos casos, basta co operar algebraicamete e las expresioes cuyo límite cuado tiede a ifiito se quiere calcular, para hallar el valor de dicho límite. Si embargo, hay otros casos e que estamos ate límites idetermiados, lo que o sigifica que el límite o exista, o que o se pueda determiar, sio que la aplicació de las propiedades de los límites, tal como las hemos euciado, o so válidas para llegar al valor del límite buscado, siedo preciso realizar otra serie de operacioes para llegar al resultado. EJEMPLO : (Límite idetermiado) lim [ -]- Idetermiació Se observa que, e este caso, realizado operacioes algebraicas llegamos a ua expresió de la que a priori o sabemos el resultado, pues qué resulta de restar u valor ifiito a otro?, cuál de los dos es u ifiito más grade?, o sabríamos qué respoder, ya que os ecotramos ate ua idetermiació. Para resolverla es ecesario trasformar la expresió e otra equivalete, es decir, que siga teiedo el mismo límite, pero e la que o aparezca la idetermiació y sea posible calcular el valor del límite buscado. E este ejemplo, para hacer desaparecer la idetermiació, basta co factorizar la expresió, llegado a otra cuyo límite cuado tiede a ifiito es del tipo, cuyo resultado es tambié. lim ( -) - Idetemicació lim (-) Auque todavía o hemos visto los distitos tipos de idetermiacioes que podemos ecotrar y, por tato, o las idetifiquemos como tal, el ejemplo permite ver cómo co ua secilla trasformació de la expresió se ha llegado a otra equivalete e la que ya o había

4 idetermiació para el cálculo del límite. E este ejemplo la trasformació era secilla y la idea estaba clara, pero hay otros casos e los que, para llegar a la expresió si idetermiació, hay que recurrir a procesos de trasformació más complejos. Para saber las operacioes que hay que realizar e cada caso para resolver la idetermiació que ecotremos, es ecesario que primero sepamos idetificar los tipos de idetermiacioes que existe. Así, atediedo al tipo, escogeremos etre u método de trasformació u otro, ya que para resolver u límite idetermiado o existe ua regla geeral que pueda ser aplicada e todas las situacioes, sio que el procedimieto es diferete para los distitos tipos de idetermiacioes. A cotiuació vamos a ver los tipos de idetermiacioes que se puede presetar e el cálculo de límites y cuál es el procedimieto a seguir para resolver cada uo de ellos.. Tipos de Idetermiacioes Teiedo e cueta que estamos ate casos de cálculo del límite de sucesioes covergetes cuado tiede a ifiito (), para poder idetificar los distitos tipos de idetermiació que se puede presetar, vamos a empezar por repasar las operacioes co. Operacioes co : a a R * a si a > * a - si a < * a Idetemiado si a / a * si a > a / a * - si a < a / a * o si a a a si a > a si a < Idetemiado si a a si a > a si - < a < a si a auque lim a b es idetermiado si lim a y lim b

5 Tipos de Idetermiacioes:, -, *,,,,. Ua vez idetificada cada ua de las idetermiacioes, vamos a proceder a explicar como se resuelve cada ua de ellas: E el cálculo de límites, los casos de idetermiació de los tipos / e / so los más frecuetes y a ellos se suele reducir alguas de las demás; de ahí que os ocupemos primero de esos dos tipos. Idetermiació tipo E este tipo de idetermiació se verifica que tato umerador y deomiador se hace ta grades como queramos. Sólo teemos que prestar ateció a qué térmio se dispara más rápidamete a para averiguar el valor del límite. Podemos resolver esta idetermiació por dos métodos:. Por comparació de ifiitos. Cuado. Cuado el grado del poliomio del umerador es superior al del deomiador, el limite es ±, depediedo del sigo del coeficiete de mayor grado, esto es debido a que al ser mayor el grado del umerador, este se dispara ates hacia el y al ser el umerador de mayor peso, prevalece que el resultado fial sea. 7

6 Cuado el grado del poliomio del umerador es iferior al del deomiador, el límite es. Esto es debido a que al ser mayor el grado del deomiador, este se dispara ates hacia el ifiito, y al ser el deomiador de mayor peso, el resultado es, porque cualquiera valor etre se reduce a. Cuado umerador y deomiador crece por igual, el resultado del límite se obtiee al dividir los coeficietes directores del umerador y deomiador. Al teer el límite el mismo grado, se estudia los coeficietes del cociete..si se trata de fucioes poteciales dividimos todos los sumados por la x elevada al mayor expoete. Como hemos visto e la image hemos divido cada uo de los sumados por el de mayor grado. Si so fucioes expoeciales dividimos por la expoecial de mayor base. Hacemos exactamete lo mismo, e el caso de que las sucesioes sea expoeciales

7 Idetermiació tipo. Fució racioal si radicales: Se descompoe e factores los poliomios y se simplifica la fracció. a cuado - b El resultado del límite es el cociete de que es ua idetermiació. ( ) ( ) ( ) ( ) Vemos que ha factorizado tato umerador y deomiador, para trasformar la expresió, y queda como resultado fial. ( )( ) ( ) cuado cuado.fució racioal co radicales: E primer lugar multiplicamos umerador y deomiador por el cojugado de la expresió irracioal. Realizamos las operacioes y simplificamos la fracció.

8 Idetermiació tipo. Co fucioes racioales. Poemos a comú deomiador, y obteemos. Resolvemos esta idetermiació. ) ( cuado El resultado del límite cuado es y queda como resultado ua idetermiació, ya que teemos dos valores que tiede a. Como o sabemos que valor es mayor, el resultado podría ser positivo, egativo, o e el caso de ser los dos iguales ) (.Cuado se trata de sucesioes irracioales podemos multiplicar y dividir por el cojugado. Siedo a y b a b cuado. ) ( Hemos multiplicado el umerador y deomiador por la expresió cojugada. ) ( )] )( [( Simplificamos la expresió del cociete:

9 Idetermiació tipo Se trasforma a ó a a a b b b a Siedo a 7 b a b cuado : ( 7) Itroducimos el primer factor e la raiz: ( 7) 9 lim Idetermiació tipo Para resolver este tipo de idetermiacioes, utilizamos la defiició del úmero e: E la práctica: Ejemplo: Si lim a y a! etoces lim a b lim(a-) b e Si el resultado del límite cuado es ua idetermiació. lim ( /)

10 Aplicamos el cocepto de la defiició del úmero e. lim ( /) e lim(-(/)-)* e lim -/ e -/ Como resultado del límite, después de aplicarle el cocepto de la idetermiació, es e -/ Por último las idetermiacioes del tipo, Se resuelve aplicado logaritmos. Ejemplo: Calcular : lim / Como el resultado del límite es, aplicamos logaritmos a ambos lados de la igualdad. Sea y lim / l y l lim / lim l / lim l lim l lim l - l(-) lim l(/-) (*) l lim (/-) l. -(-) -(-) Por el criterio de stolz coseguimos llegar a ua expresió tal que el resultado es igual a l etoces: l y y e lim / (*) Criterio de Stolz Sea a y b dos sucesioes de úmeros reales tales que se verifica ua de las dos codicioes siguietes: - b es moótoa divergete. - lim a lim b y b es moótoa. Etoces si existe lim a a - tambie existe lim a y so iguales b - b - b

11 . El matemático Otto Stolz E el coteido teórico os cetraremos e Otto Stolz, acido el de mayo de 8, y que murió el de octubre de 9. Otto Stolz fue u gra matemático austríaco destacado por su gra trabajo sobre el aálisis matemático e ifiitesimal. Su ombre es muy coocido detro de las matemáticas por el teorema de Stolz-Cesaro. Como hemos visto, esta regla o propiedad, es ua herramieta eficaz para calcular idetermiacioes como la de o y para calcular límites de cocietes ( a / b ), e los casos de idetermiació del tipo / e /, bajo ciertas hipótesis (b es moótoa divergete). Para hallar el limite: si existe lim a a - tambié existe lim a y so iguales. b - b - b Stolz estudió e la Uiversidad de Isbruck ates de pasar a la Uiversidad de Viea dode realizó la ivestigació para su doctorado. Después de la adjudicació de su doctorado, Stolz estudió e la Uiversidad de Viea y trabajó allí hasta 869. Obtuvo ua beca que le permitirá estudiar e Alemaia desde 869 hasta 87. Fue primero a Berlí, dode asistió a coferecias de los tres grades matemáticos: Weierstrass, Kummer y Kroecker, y a cotiuació, estudió e Göttige. Su período de estudios e Alemaia marcó la adició de u uevo tema para su cetro de iterés. Él estaba muy de acuerdo co el puto de vista de Weierstrass e el aálisis y comezó a ivestigar los problemas e esa zoa, que ha demostrado ser sus más importates cotribucioes. E julio de 87 Stolz fue ombrado como u excelete profesor e su ciudad atal de Isbruck. Sus temas de ivestigació so de gra alcace: Sus primeros documetos se refiere al aálisis o la geometría algebraica, icluida la trigoometría esférica.

12 Más tarde se dedicó cada vez más a la ivestigació del aálisis real, e particular, a problemas de covergecia e la teoría de la serie, icluida la serie; los límites de los coeficietes idetermiados, y la itegració.

13 bibliografía : Cálculo ifiitesimal de ua variable por Jua de Burgos (McGRAW-HILL). Matemática º BACHILLERATO por J.M.ARIAS e I.MAZA (Casals) Wikipedia, la eciclopedia libre Parte de la biografia de Otto Stolz se ha recogido de: