Cómo simplificar expresiones algebraicas?

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1 Cómo simplificar expresioes algebraicas? Prof. Jea-Pierre Marcaillou OBJETIVOS: La calculadora CASIO ClassPad 330 dispoe de los comados [simplify] y [combie] del submeú desplegable Trasformació del meú Acció para simplificar expresioes algebraicas, ecuacioes, iecuacioes e el cojuto de los úmeros reales y los úmeros complejos. CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS: Expresió algebraica: Es ua expresió e la cual aparece: Números eteros aturales, eteros relativos, racioales, irracioales) Variables (letras del alfabeto) Símbolos de istruccioes (operacioes,,, ; fucioes iversa, potecia, radicales) Sigos de agrupació: parétesis ( ), corchetes [ ], llaves { }. y que se trasforma e uúmero cuado todas las variables que aparece e ellas so sustituidas por úmeros. Simplificar ua expresió algebraica: Es hallar ua expresió algebraica más secilla que la expresió origial, que tome los mismos valores que la expresió origial para los mismos valores de las variables y, etre todas estas expresioes, determiar cuál es la más simple. No existe u criterio úico para determiar cuál es la expresió más simple. Se puede, segú los casos, adoptar alguo de los siguietes criterios: La expresió más simple puede ser la expresió que se escribe co el meor úmero de sigos. La expresió más simple puede ser la expresió que hace aparecer mejor ciertas propiedades. La expresió más simple puede ser la expresió que se presta mejor a los cálculos dode debe iterveir. Expresió algebraica equivalete: Ua expresió algebraica es equivalete a otra si toma los mismos valores cualesquiera sea los valores asigados a las variables e ambas expresioes. Expresió algebraica racioal: Es ua expresió algebraica de la forma, dode y Q(x) so poliomios. Q(x) Simplificació de ua expresió algebraica racioal: La simplificació de ua expresió algebraica racioal reposa sobre la siguiete propiedad ac = a (c 0). Para simplificar ua expresió racioal, es ecesario que el umerador y bc b el deomiador sea previamete factorizados. Si o es posible factorizarlos, o si o hay factor comú etre ambos, la expresió algebraica racioal o se puede simplificar. Simplificar o reducir ua expresió algebraica a su míima expresió es trasformarla de tal maera que el máximo comú divisor del umerador y deomiador sea igual a. Para reducir expresioes algebraicas racioales al mismo deomiador, hay que calcular el deomiador comú que debe ser el Míimo Comú Múltiplo de los deomiadores de los térmios de la expresió algebraica racioal origial. E cosecuecia es importate e el proceso de simplificació elegir el Míimo Comú Múltiplo de todos los deomiadores de los térmios de la expresió algebraica racioal origial, para evitar teer que realizar cálculos largos y tediosos, y ahorrar así otra simplificació suplemetaria al fial. Divisor (de): Se dice que uúmero a es u divisor de uúmero b si y solo si existe uúmero tal queb Múltiplo (de): Se dice uúmero a es u múltiplo de uúmero b si y solo si existe uúmero tal que a = a. = b.

2 Máximo comú divisor (MCD): Es el mayor de los divisores comues de varias expresioes algebraicas. La regla práctica para calcularlo es la siguiete:. Descompoe las expresioes algebraicas e producto de factores primos.. Cosidera los factores comues co su meor expoete. 3. Multiplica esos factores. Míimo comú múltiplo (MCM): Es el meor de los múltiplos comues a varias expresioes algebraicas. La regla práctica para calcularlo es la siguiete:. Descompoe las expresioes algebraicas que aparece como deomiadores e la expresió algebraica racioal origial e producto de factores primos.. Cosidera los factores comues y o comues co su mayor expoete. 3. Multiplica esos factores. Racioalizar expresioes algebraicas irracioales: Cosiste e hacer desaparecer las expresioes radicales del umerador o del deomiador segú lo exige el problema. El proceso de racioalizació se realiza multiplicado la expresió algebraica irracioal E por su cojugada E C, de tal maera que el producto ExE C sea ua expresió algebraica racioal, es decir si radicales. b b a b = a b b = ab ; a b m c a b m c = = ; a b ± c a b c ( a b ± c)( a b m c) a b m c d a b m c d = = a b ± c d a b c d ( a b ± c d) ( a b m c d) Criterios de divisibilidad de x ± y por x ± y dode es uúmero etero atural: x y es siempre divisible por x y, y se tiee que: 3 3 i i x y = (x y)(x x y x y... x y xy y ) = (x y) x y x y uca es divisible por x y. x y es divisible por x y si es par, y se tiee que: 3 3 i i i x y = (x y)(x x y x y... x y xy y ) = (x y) ( ) x y x y es divisible por x y si es impar, y se tiee que: 3 3 i i i x y = (x y)(x x y x y... x y xy y ) = (x y) ( ) x y E cosecuecia de lo aterior se deduce que: cuado es par: ( 3 L x y = x y x x y x y y ( 3 L x y = x y x x y x y y cuado es impar: ( 3 L ( 3 L x y = x y x x y x y y x y = x y x x y x y y

3 Descomposició de ua expresió algebraica racioal e expresioes algebraicas racioales simples:.- A A A =... dode a cada factor lieal ax b que (ax b )(ax b )...(ax b ) ax b ax b ax b A aparece ua sola vez como factor e el deomiador, le correspode ua fracció simple de la forma e ax b dode A es ua costate diferete de cero..- p p = A B B B... a p x b (ax b ) (a x b )(a x b ) (ax b ) (ax b ) dode a cada factor lieal ax b que aparece p veces como factor e el deomiador, le correspode la suma de p fraccioes simples cuyos deomiadores será el factor ax b elevado sucesivamete a los expoetes,,3,...,p y cuyos umeradores será respectivamete las costates B, B,..., B p diferetes de cero. A 3.- x B Ax B Ax B =... (ax bx c )(ax bx c )...(ax bx c ) ax bx c ax bx c ax bx c dode a cada factor cuadrático irreducible ax bx c que aparece ua sola vez como factor e el deomiador, le Ax B correspode ua fracció simple de la forma e dode A y B so costates o simultáeamete ax bx c ulas. 4.- Ax B Cx D Cx D C px Dp =... p p (ax bx c )(ax bx c ) (ax bx c ) (ax bx c ) (ax bx c ) (ax bx c ) dode a cada factor cuadrático irreducible ax bx c que aparece p veces como factor e el deomiador, le correspode la suma de p fraccioes simples cuyos deomiadores será el factor ax bx c elevado sucesivamete a los expoetes,,3,...,p y cuyos umeradores será respectivamete los factores lieales Cx D, Cx D,..., Cp x Dp dode C, D y C, D y... y C p, D p so costates o simultáeamete ulas a la vez. OPERACIÓN CON LA CALCULADORA: Cuado se activa el meú secudario Trasformació del meú desplegable Acció, aparece u listado de comados relacioados co diversos problemas de trasformació y expasió. El segudo comado [simplify], como lo idica la patalla adjuta, permite la simplificació de expresioes algebraicas (Exp), ecuacioes (Ecu), iecuacioes (Ie). Sitaxis del comado [simplify]: simplify(expresió) El séptimo comado [combie], como lo idica la patalla adjuta, permite la trasformació al mismo deomiador comú de ua suma de expresioes algebraicas (Exp), ecuacioes (Ecu), iecuacioes (Ie) y a la vez las reduce si es posible. Sitaxis del comado [combie]: combie(expresió) 3

4 Cómo simplificar ua expresió algebraica? El comado [simplify] trasforma ua expresióumérica racioal e irracioal a su míima expresió.. Simplifique las siguietes expresioes uméricas: a) 64 5 b) c) d) () Presioe la tecla [ON/OFF] y active la Aplicació Pricipal tocado el icoo del pael de icoos. () Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (3) Toque [Acció] / [Trasformació] / [simplify] y presioe la tecla [Keyboard] para activar el teclado virtual y toque la legüeta [D] para acceder al teclado platilla de matemática atural. (4) Toque seguidamete [ ] / [6] / [4] / [] / [ ] / [] / [5] / [] / [] / [Ejec] para itroducir la fraccióumérica y aparece e la líea de salida de la patalla la fracció irreducible equivalete. (5) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (6) Toque [Acció] / [Trasformació] / [simplify] y seguidamete [ ] / [] / [] / [3] / [ ] / [] / [7] / [0] / [ ] / [ ] / [ ] / [4] / [5] / [ ] / [] / [7] / [5] / [ ] / [] / [ ] / [7] / [7] / [ ] / [] / [] / [] / [Ejec] para itroducir la expresióumérica racioal y aparece e la líea de salida la expresióumérica racioal reducida a su míima expresió. (7) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. () Toque [Acció] / [Trasformació] / [simplify] y seguidamete [ ] / [] / [0] / [0] / [ ] / [ ] / [ ] / [3] / [] / [ ] / [] / [ ] / [7] / [] / [Ejec] para itroducir la expresió umérica irracioal y aparece e la líea de salida de la patalla la expresió umérica irracioal reducida a su míima expresió. (9) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (0) Toque [Acció] / [Trasformació] / [simplify] y seguidamete [ ] / [] / [ ] / [] / [] / [ ] / [3] / [ ] / [ ] / [] / [ ] / [ ] / [] / [ ] / [ ] / [6] / [ ] / [ ] / [ ] / [ ] / [] / [ ] / [3] / [] / [ ] / [3] / [Ejec] para itroducir la expresióumérica irracioal y aparece e la líea de salida de la patalla la expresió origial racioalizada y reducida a su míima expresió. El comado [simplify] racioaliza los térmios de ua expresióumérica irracioal y la reduce a su míima expresió.. Simplifique las siguietes expresioes algebraicas: a) 3 6a b x 4 9ab y b) x y xy x y x y x y c) (x ) () Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. () Toque [Acció] / [Trasformació] / [simplify] y seguidamete [ ] / [ ] / [] / [6] / [VAR] / [a] / [^] / [] / [b] / [^] / [3] / [x] / [ ] / [9] / [] / [a] / [b] / [^] / [4] / [y] / [^] / [] / [Ejec] para itroducir la expresió algebraica racioal y aparece e la líea de salida de la patalla la expresió algebraica racioal simplificada a su míima expresió. El comado [simplify] simplifica los térmios de ua expresió algebraica racioal y la reduce a su míima expresió. 4

5 (3) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (4) Toque [Acció] / [Trasformació] / [simplify] y seguidamete [ ] / [ ] / [x] / [^] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [y] / [ ] / [] / [ ] / [y] / [^] / [] / [ ] / [x] / [] / [y] / [ ] / [ ] / [ ] / [] / [x] / [ ] / [x] / [^] / [] / [ ] / [y] / [^] / [] / [Ejec] para itroducir la suma de expresioes algebraicas racioales y aparece e la líea de salida de la patalla la expresió simplificada a su míima expresió. El comado [simplify] simplifica la suma de expresioes algebraicas racioales y la reduce a su míima expresió. (5) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (6) Toque [Acció] / [Trasformació] / [simplify] y seguidamete [ ] / [(] / [x] / [] / [] / [)] / [^] / [] / [Ejec] para itroducir la expresió algebraica irracioal y aparece e la líea de salida de la patalla la expresió algebraica irracioal simplificada a su míima expresió e el cojuto de los úmeros reales. (7) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. () Toque [Acció] / [Trasformació] / [simplify] y seguidamete [ ] / [(] / [x] / [] / [] / [)] / [^] / [] / [Ejec] para itroducir la expresió algebraica irracioal y aparece e la líea de salida de la patalla la misma expresió algebraica irracioal e el cojuto de los úmeros complejos. El comado [combie] trasforma ua expresió algebraica racioal, ua ecuació racioal, ua iecuació racioal, bajo la forma respectivamete de ua expresió algebraica racioal, ua ecuació racioal y ua iecuació racioal equivalete, co deomiador comú, y reducida si es posible. 3. Simplifique las siguietes expresioes algebraicas: a) x 7 x 3x b) = x 7 x 3x c) < x 7 x 3x (9) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (0) Toque [Acció] / [Trasformació] / [combie] y seguidamete [ ] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [7] / [ ] / [] / [ ] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [ ] / [] / [ ] / [ ] / [] / [ ] / [3] / [x] / [] [] / [Ejec] para itroducir la suma de expresioes algebraicas racioales y aparece e la líea de salida de la patalla la expresió algebraica racioal equivalete co su deomiador comú. () Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. () Toque [Acció] / [Trasformació] / [combie] y seguidamete [ ] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [7] / [ ] / [] / [ ] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [=] / [] / [] / [ ] / [] / [ ] / [3] / [x] / [] [] / [Ejec] para itroducir la ecuació algebraica racioal y aparece e la líea de salida de la patalla la ecuació algebraica racioal equivalete e la cual cada miembro ha sido reducido por separado a su deomiador comú. (3) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (4) Toque [Acció] / [Trasformació] / [combie] y seguidamete [ ] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [7] / [ ] / [] / [ ] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [<] / [] / [] / [ ] / [] / [ ] / [3] / [x] / [] [] / [Ejec] para itroducir la iecuació algebraica racioal y aparece e la líea de salida de la patalla la iecuació algebraica racioal equivalete e la cual cada miembro ha sido reducido por separado a su deomiador comú. 5

6 E los dos últimos ejemplos se observa que la trasformació resultate tato e la ecuació como e la iecuació e sus expresioes equivaletes co deomiador comú se realiza por miembros separados. Si se desea el deomiador comú a ambos miembros de la ecuació racioal como la iecuació racioal se debe pasar todo el segudo miembro e el primer miembro como se ilustra a cotiuació: d) = 0 e) < 0 x 7 x 3x x 7 x 3x (5) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (6) Toque [Acció] / [Trasformació] / [combie] y seguidamete [ ] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [7] / [ ] / [] / [ ] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [ ] / [] / [ ] / [ ] / [] / [ ] / [3] / [x] / [] [] / [ ] / [=] / [0] / [Ejec] para itroducir la ecuació algebraica racioal y aparece e la líea de salida de la patalla la ecuació algebraica racioal equivalete co su deomiador comú completo. (7) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. () Toque [Acció] / [Trasformació] / [combie] y seguidamete [ ] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [7] / [ ] / [] / [ ] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [ ] / [] / [ ] / [ ] / [] / [ ] / [3] / [x] / [] [] / [ ] / [<] / [0] / [Ejec] para itroducir la iecuació algebraica racioal y aparece e la líea de salida de la patalla la iecuació algebraica racioal equivalete co su deomiador comú completo. Se quiere mostrar a través del siguiete ejemplo como respode los diferetes comados: combie, simplify, factor x x 3 5x 9x y rfactor a la misma expresió algebraica racioal siguiete. x x 3 x 5x 3 (9) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (30) Toque [Acció] / [Trasformació] / [combie] y seguidamete [ ] / [] / [x] / [^] / [] / [] / [x] / [ ] / [3] / [ ] / [ ] / [x] / [^] / [] / [] / [] / [x] / [] / [3] / [ ] / [] / [ ] / [ ] [5] / [x] / [^] / [] / [] / [] / [9] / [x] / [ ] / [] / [] / [ ] / [] / [x] / [^] / [] / [] / [5] / [x] / [] / [3] / [Ejec] para itroducir el comado combie, la expresió algebraica racioal origial, y aparece e la líea de salida de la patalla la expresió algebraica racioal equivalete co su deomiador comú factorizado. Se puede observar que el deomiador comú cotiee factores lieales de la forma (ax b) y/o (x b). x ^ x 3 5x ^ 9x (3) Seleccioe co el lápiz táctil la expresió x ^ x 3 x ^ 5x 3 deslizado la puta del lápiz táctil sobre la expresió de izquierda a derecha hasta obteer dicha expresió resaltada y toque [ ] para copiar esta expresió y colocarla e el portapapeles. (3) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (33) Toque [Acció] / [Trasformació] / [factor] y seguidamete [ ] / [Ejec] para itroducir el comado factor, pegar la expresió algebraica racioal origial, y aparece e la líea de salida de la patalla la expresió algebraica racioal equivalete co su deomiador comú factorizado. Se puede observar que el deomiador comú cotiee factores lieales de la forma (ax b) y/o (x b). 6

7 (34) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (35) Toque [Acció] / [Trasformació] / [rfactor] y seguidamete [ ] / [Ejec] para itroducir el comado rfactor, pegar la expresió algebraica racioal origial, y aparece e la líea de salida de la patalla la expresió algebraica racioal equivalete co su deomiador comú factorizado. Se obtiee u resultado expresado de maera diferete que co los comados [combie] y [factor] pero equivalete. La diferecia primordial está e que el deomiador comú está escrito b como el producto de factores lieales de la forma a. x a y/o ( x b ) y el a0 ax ax a x a x umerador como a.... x. a a a a a (36) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (37) Toque [Acció] / [Trasformació] / [simplify] y seguidamete [ ] / [Ejec] para itroducir el comado simplify, pegar la expresió algebraica racioal origial y aparece e la líea de salida de la patalla la expresió algebraica racioal equivalete co su deomiador comú factorizado. Se obtiee el mismo resultado que co los comado [combie], [factor] y [simplify]. Se puede observar que el deomiador comú cotiee factores de la forma (ax b) y/o (x b). E coclusió se puede observar que los comados [combie], [factor] y [simplify] da el mismo resultado. El comado [rfactor] da u resultado equivalete co el deomiador comú escrito como el producto de factores b lieales si los hay de la forma a. x a y/o ( x b ). 4. Simplifique las siguietes expresioes algebraicas: a b c (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) b (a b)(a b) (a b)(a b) 3 3 a 4b a a b ab b a b c a b c bc a a b c b c b c (b c) 4.- x yz y xz z xy y z z x x y x y z a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b) 5.- a b a c b c b a c a c b (b c) (c a) (a b) (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) b c a c a b a b c (b c) (a b)(a c) (c a) (b c)(b a) (a b) (c a)(c b) b c b bc c c a c ca a a b a ab b 7