ALGEBRA ELEMENTAL AUTOR: CARLOS DOMÍNGUEZ V INDICE... 1 UNIDAD III.- EXPONENTES Y RADICALES. RAZONES, PROPORCIONES Y VARIACIONES.

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1 ALGEBRA ELEMENTAL INDICE AUTOR: CARLOS DOMÍNGUEZ V INDICE... 1 UNIDAD III.- EXPONENTES Y RADICALES. RAZONES, PROPORCIONES Y VARIACIONES. Ley asociativa... Ley distriutiva EXPONENTES Y RADICALES Leyes de los expoetes Expresioes expoeciales DIVISIÓN Poliomio etre moomio Poliomio etre poliomio Raíces de los úmeros Leyes de los radicales Multiplicació de radicales Divisió de radicales Racioalizació de deomiadores Adició de radicales RAZONES, PROPORCIONES Y VARIACIONES Razó

2 Proporció... 1 Variacioes BIBLIOGRAFIA... 16

3 UNIDAD III.- EXPONENTES Y RADICALES. RAZONES, PROPORCIONES Y VARIACIONES. Ley asociativa El producto de tres o más úmeros, es el mismo si importar la maera e que se agrupa al multiplicarlos. ac(ac)c(a) xx8(x)8(x8)48 Ley distriutiva Respecto a la adició.- El producto de u úmero por la suma de dos o más úmeros es igual a la suma de los productos oteidos al multiplicar el primero por cada uo de los factores. c(a+)ca+c 4(+)4x+4x8+10 Respecto a la sustracció.- El producto de u úmero por la diferecia de dos úmeros, es igual a la diferecia de los productos oteidos al multiplicar el primer úmero por cada uo de los otros. a(-c)a-ac (5-)x9

4 El producto de dos úmeros de sigos iguales es positivo, el producto de dos úmeros de sigos cotrarios es egativo. El producto de cualquier úmero multiplicado por cero es igual a cero. (-a)(-)a (-a)()-a (a)()a (a)(0)0 (-)(-6)1 (-)(6)-1 ()(4)1 (6)(0)0 1.- EXPONENTES y RADICALES 1.1 Leyes de los expoetes. Para todo a, R, a 0 y todo,m R y ases diferetes de 0 para expoetes egativos o cero. A. a m.a a m+ B. (a m ) a m. C. (a.) m a m. m D. a a m a m a a E. 4

5 1. Expresioes expoeciales. POTENCIA.- Defiició: Llamamos potecia de u úmero al producto de tomarlo como factor tatas veces como queremos es, pues, ua multiplicació e la que los factores so siempre el mismo úmero. expoete ase 4 64 potecia Base: Al úmero que tomaremos como factor, o sea, el 4. Expoete: Al úmero que os idica cuatas veces deemos tomar como factor a la ase, el expoete es el. Potecia: Al producto oteido, es decir, el 64. El ejemplo de 4 os idica que se dee tomar como factor veces al 4, es decir, multiplicar al 4 por si mismo veces. 4 4 x 4 x 464 1ª ª ª vez vez vez REGLAS: a) La potecia de u úmero positivo siempre es positivo. (8) 64 () 7 ) La potecia de u úmero egativo siempre es positivo, si el expoete es etero o par. (-) 4 (-)

6 c) La potecia de u úmero egativo es siempre egativo, si el expoete es etero e impar. (-) 5-4 (-4) -64 d) Todo úmero elevado al expoete uo o primera potecia, os da el mismo úmero e) Todo úmero co expoete cero es igual a la uidad Divisió. Poliomio etre moomio. El cociete, es la suma de los cocietes que resulta de dividir cada térmio del poliomio etre el moomio. 0a + 5a 5a 4 c 15a 5 4 0a 5a c 15a + 5a 5a 5a 5 4 5ac + a Poliomio etre poliomio. Procedemos e la forma siguiete: 1. Ordeamos el dividedo y el divisor segú las potecias descedetes de ua misma letra que aparezca e amos.. Para oteer el primer térmio del cociete, dividimos el primer térmio del dividedo etre el primer térmio del divisor. 6

7 . Se multiplica el primer térmio del cociete por todo el divisor y se resta algeraicamete del dividedo. 4. El residuo oteido, se trata como u uevo divisor y se repite el procedimieto y. 5. Se cotiúa este proceso hasta oteer u residuo e el cual el mayor expoete de la letra que se escogió como ase de la ordeació sea meor que el mayor expoete de dicha letra e el divisor. Divida y +5y +y-1 etre y+ y -y +5 y + y + 5y + y 1 -y - 6y - y + y - y + y 5y-1-5y Raíces de los úmeros. La raíz de ua expresió algeraica es toda expresió algeraica que elevada a ua potecia reproduce la expresió dada. Así, a es raíz cuadrada de a porque (a) 4a y a tamié es raíz cuadrada de 4a porque (-a) 4a x es raíz cúica de 7x porque (x) 7x. El sigo de raíz es, llamado sigo radical. Deajo de este sigo se coloca la catidad a la cual se extrae la raíz, llamada por eso, catidad suradical. El sigo, lleva u ídice que idica la potecia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca la catidad suradical. Por coveció el ídice se suprime y cuado el sigo o lleva ídice se etiede que el ídice es. 7

8 8x sigifica ua catidad que elevada al cuo reproduce la catidad suradical 8x ; esta raíz es x porque (x) 8x. 5 5 a sigifica ua catidad que elevada a la quita potecia reproduce la catidad suradical a 5, esta raíz es a porque (-a) 5 -a Leyes de los radicales. A. 1 B. a ( a) a a 1 1 a a C. ; 0 m D. m. a a Codicioes para la simplificació de radicales 1. Todos los factores co potecias eésimas exactas o múltiplos de, dee elimiarse del radicado.. El ídice del radical dee ser el míimo posile.. No dee haer fraccioes e el radicado, es decir que su deomiador dee ser racioalizado. 8

9 1.5 Multiplicació de radicales Multiplicació, caso 1. La operació se efectúa aplicado la ley de radicales B. a a ( )( ) 4 16 ()() (4)(16) (4) 4 Multiplicació, caso. La operació se efectúa aprovechado el isomorfismo, co los expoetes racioales y sus leyes para camiar a radicales co ídices iguales * 5 * Divisió de radicales. Divisió, caso 1. Esta operació se efectúa usado la ley de radicales C. z a a y se simplifica usado el teorema z x y x y * * Divisió, caso. Al igual que e la multiplicació uscamos camiar a radicales co el mismo ídice, usado los expoetes racioales. 9

10 Racioalizació de deomiadores. Racioalizar el deomiador.- Racioalizar sigifica reemplazar la expresió por ua equivalete si radical e dode se idique. 9 9 Ley C. Se usca u factor (z) al que haga que el radicado e el deomiador tega u expoete múltiplo del ídice del radical y usado el teorema x y x y z z 1.8 Adició de radicales. Se dice que o más radicales so semejates, cuado tiee el mismo ídice y el mismo radicado. La suma algeraica de radicales se reduce a comiar todos los radicales semejates e u solo térmio Niguo de estos radicales es semejate, por lo que deemos camiar su forma y simplificarlos. 9* + 5* 6* ( + 5 6) 10

11 .- RAZONES, PROPORCIONES Y VARIACIONES. Razó. La razó de u úmero (a) co otro úmero () distito de cero, es el cociete que resulta dividir (a) etre (); o sea, razó es el úmero que resulta de dividir dichos úmeros (r). a r que se lee a es a. La razó r 1, del úmero al úmero 4 será: r 1 4 La razó r del úmero 4 al úmero es la siguiete: 4 r Las razoes r 1 y r so iversas (o recíprocas). Dos catidades so recíprocas (o iversas) cuado su producto es igual a la uidad. Veamos, si esto es cierto, para r 1 y r : 4 4 r 1 *r * Si u homre pesa 80 Kg., y su hijo tiee u peso de 40 Kg. Cuátas veces será mayor el peso del homre, respecto al peso del hijo? Para oteer la respuesta, expresemos la razó del peso del homre al peso del hijo. Wpeso del homre80 Kg. wpeso del hijo40 Kg. W w 80Kg 40Kg W ó Ww w 11

12 El peso del homre es dos veces mayor que el peso del hijo. Proporció. Ua proporció se defie como la igualdad de dos razoes. Si: a c r 1 y r d etoces: r 1 r a c d es ua proporció, que se lee a es a como c es a d. Si: r 1 6 y r 1 etoces 1 es ua proporció. 6 Otra maera de expresar ua proporció es como sigue: a: :: c:d y tamié se lee a es a como c es a d. Las cuatro catidades que aparece e ua proporció se llama térmios de la proporció. El primero y tercer térmios se llama atecedetes. El segudo y cuarto térmios se llama cosecuetes. El primero y cuarto térmios se llama extremos. El segudo y tercer térmios se llama medios. 1

13 E la proporció: a c d a y c so los atecedetes, y d los cosecuetes; a y d so los extremos; y c los medios. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES Las proporcioes tiee las siguietes propiedades. Si etoces: a c es ua proporció d Propiedad 1. E toda proporció, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. E símolos: a..c Propiedad. E toda proporció se puede camiar los medios, uo por otro, de lo cual resulta otra proporció. O sea: a c d Propiedad. E toda proporció se puede ivertir las razoes, de los cual resulta otra proporció. Esto es: a d c Propiedad 4. E toda proporció puede restarse de los atecedetes sus respectivos cosecuetes, de lo cual resulta otra proporció. Realizado la operació propuesta se tiee: a c d d Propiedad 5. E toda proporció puede tomarse a los dos atecedetes sus respectivos cosecuetes, de lo cual resulta otra proporció. Esta propiedad se 1

14 escrie como sigue: a + c + d d Propiedad 6. E toda serie de razoes iguales la suma de los atecedetes es a la suma de los cosecuetes, como uo cualquiera de los atecedetes es a su cosecuete. Sea las razoes iguales: a c d e f g h etoces, segú la propiedad euciada: a + c + e + g + d + f + h a ó a + c + e + g + d + f + h c d Variacioes. Las catidades que iterviee e ua cuestió matemática so costates cuado tiee u valor fijo y determiado y so variales cuado toma diversos valores. Variació directa. y Cuado dos variales x, y está relacioadas de tal maera que la razó es igual a x ua costate (la razó o camia), decimos que y varía directamete co x. El sigificado aterior se expresa e símolos matemáticos de la siguiete maera: y y varia directamete co x, sigifica que costatek x dode: k se llama costate de proporcioalidad (k 0) y Puesto que k, es equivalete a ykx, las dos ecuacioes: x y k ó ykx x represeta ua variació directa. 14

15 Variació iversa. Dadas dos catidades puede ocurrir que al aumeto de ua, correspoda ua dismiució para la otra; o que a toda dismiució de ua, correspoda u aumeto para la otra; etoces se dice que las dos catidades so iversamete proporcioales 1k a dode ka Si ua varía iversa y proporcioalmete co otra, etoces la primera es igual al producto de ua costate por el recíproco de la seguda. 15

16 BIBLIOGRAFIA TEXTO: ALGEBRA AUTOR: A. BALDOR EDIORIAL: PUBLICACIONES CULTURAL TEXTO: ALGEBRA ELEMENTAL AUTOR: ALFONSO GOBRAN EDIORIAL: GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICA TEXTO: ALGEBRA ELEMENTAL AUTOR: GORDON FULLER EDIORIAL: CIA. EDITORIAL CONTINENTAL, S.A. DE C.V. MEXICO TEXTO: MATEMATICAS III AUTOR: HUMBERTO CANTU SALINAS HECTOR PAZ ESTRADA EDIORIAL: SEP Autor: Carlos Domíguez V. 16